Wahrscheinlichkeitsrechnung

Darum geht's

Wie wahrscheinlich ist es, beim Würfeln eine Sechs zu werfen? Wie gross ist die Chance, im Lotto sechs Richtige zu haben? Und wie gross ist eigentlich das Risiko, dass bei $30$ zufällig ausgewählten Leuten zwei am selben Tag Geburtstag haben? Die Antworten liefert die Wahrscheinlichkeitsrechnung — die Mathematik des Zufalls.

In diesem Kapitel lernst du, Zufall quantitativ zu beschreiben: mit Brüchen zwischen $0$ und $1$, mit Baumdiagrammen für mehrstufige Experimente und mit der Summenregel für zusammengesetzte Ereignisse.

Worum geht es?

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ergebnis im Voraus nicht feststeht, aber dessen möglichen Ergebnisse man kennt: Würfeln (Ergebnisse $1, 2, 3, 4, 5, 6$), Münzwurf (Kopf oder Zahl), eine Karte aus einem Stapel ziehen.

Jedem Ergebnis ordnet man eine Wahrscheinlichkeit $P$ zwischen $0$ (unmöglich) und $1$ (sicher) zu. Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse zusammen sind immer $1$.

Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heisst das Experiment Laplace-Experiment. Dann gilt die einfache Formel:

$P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}$

Ein Würfelwurf ist Laplace: jede der sechs Zahlen hat Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{6}$. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, ist $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.

Spannend wird es bei mehrstufigen Experimenten — zum Beispiel zweimal würfeln, oder nacheinander mehrere Kugeln aus einer Urne ziehen. Hier hilft das Baumdiagramm: Jede Stufe wird als Verzweigung dargestellt, und entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert (Produktregel). Mehrere Pfade, die dasselbe Ereignis liefern, werden addiert (Summenregel).

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du wenig neues Vorwissen, aber sicheres Fundament:

• Brüche — jede Wahrscheinlichkeit ist ein Bruch oder eine Dezimalzahl,
• Dezimalzahlen und Prozente — Wahrscheinlichkeiten werden oft in $\%$ angegeben,
• Grundkenntnisse in Kombinatorik (Zählen) — die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist meistens das Schwierigste.

Ein paar Würfel und eine Münze sind für dieses Kapitel die besten Werkzeuge.

Was du in diesem Kapitel lernst

Neun Lektionen, die die Grundlagen der Stochastik legen:

1. Zufallsexperimente — was ein Zufallsexperiment ist, und wie man die Ergebnismenge beschreibt.
2. Wahrscheinlichkeit — die Definition, der Bereich $[0, 1]$, und die ersten Beispiele.
3. Wahrscheinlichkeitsskala — wie man Wahrscheinlichkeiten einordnet und mit $\%, \tfrac{1}{2}, 0{,}5$ flexibel umgeht.
4. Laplace-Experimente — die einfache Formel $P(E) = \tfrac{\text{günstig}}{\text{möglich}}$.
5. Ergebnisse zählen — systematisches Aufzählen: Tabellen, Baumdiagramme, Abzählprinzipien.
6. Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse — UND vs. ODER: das Produkt für unabhängige Ereignisse, die Summe für disjunkte.
7. Summenregel — für Ereignisse, die sich ausschliessen: $P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)$.
8. Mehrstufige Zufallsexperimente — wenn ein Experiment mehrere Stufen hat (z. B. mehrfach würfeln).
9. Baumdiagramme — die grafische Standardmethode für mehrstufige Experimente, mit Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades, Addition über Pfade).

Wichtige Begriffe im Überblick

• Zufallsexperiment — Vorgang mit unsicherem Ausgang, aber bekannter Ergebnismenge.
• Ergebnis — ein einzelner möglicher Ausgang (z. B. "$3$" beim Würfeln).
• Ereignis — eine Teilmenge der Ergebnisse (z. B. “gerade Zahl” = $\{2, 4, 6\}$).
• Wahrscheinlichkeit ($P$) — Zahl zwischen $0$ und $1$; $P = 0$ unmöglich, $P = 1$ sicher.
• Laplace-Experiment — alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
• Baumdiagramm — grafische Darstellung eines mehrstufigen Experiments.
• Pfadregel — entlang eines Pfades Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, über Pfade addieren.

Häufige Denkfehler

Achtung

Die Intuition für Wahrscheinlichkeiten ist bekanntlich unzuverlässig. Deshalb rechnet man konsequent — und prüft, ob das Ergebnis realistisch ist ($0 \le P \le 1$).

1. “Nach fünfmal Kopf kommt jetzt bestimmt Zahl.” Nein. Eine faire Münze hat kein Gedächtnis. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl im sechsten Wurf ist weiterhin $\tfrac{1}{2}$ — egal, was davor passiert ist. Dieser Fehler heisst “Gambler’s Fallacy”.
2. “Es gibt zwei Ergebnisse: Lotto gewinnen oder nicht. Also ist die Chance $50\,\%$.” Falsch. Für Laplace müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein — bei Lotto aber ist das eine Ergebnis “gewinnen” sehr viel unwahrscheinlicher als “nicht gewinnen”. Du musst die Ergebnisse auf der richtigen Ebene zählen.
3. ”$P(A \text{ und } B) = P(A) + P(B)$.” Nur für disjunkte Ereignisse gilt die Summenregel — und auch dann nur für “oder”. Für “und” bei unabhängigen Ereignissen gilt die Produktregel: $P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B)$.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört zu MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 3. Zyklus:

• MA.3.D.1 – Zufallsexperimente durchführen, auswerten und interpretieren.
• MA.3.D.2 – Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten berechnen.
• MA.3.C.4 – Mehrstufige Experimente mit Baumdiagrammen darstellen und auswerten.

Einfache Zufallsexperimente und die Laplace-Formel gelten als Grundanspruch. Mehrstufige Baumdiagramme und die Pfadregel gehören zur Erweiterung und werden in der 9. Klasse und auf der Oberstufe vertieft.

Die Themen im Überblick

• Zufallsexperimente
• Wahrscheinlichkeit
• Wahrscheinlichkeitsskala
• Laplace-Experimente
• Ergebnisse zählen
• Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse
• Summenregel
• Mehrstufige Zufallsexperimente
• Baumdiagramme

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport