Die Winkelhalbierende verstehen und konstruieren

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie”
• Vorwissen: Winkel an Geraden
• Verwandt: Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren
• Als Nächstes: Zusammenhänge im Dreieck

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst in der Ecke eines Zimmers. Zwei Wände treffen sich genau dort, wo du stehst. Du möchtest dich so hinstellen, dass du von beiden Wänden gleich weit entfernt bist.

Wo genau musst du stehen? Nicht direkt an einer Wand, nicht direkt an der anderen. Du suchst die Linie genau in der Mitte zwischen beiden. Diese Linie teilt den Winkel zwischen den Wänden in zwei gleiche Hälften.

In der Mathematik hat sie einen eigenen Namen: die Winkelhalbierende. Sie ist eine der wichtigsten Grundkonstruktionen der Geometrie. Mit ihr findest du Mittellinien, Symmetrieachsen und den Inkreis jedes Dreiecks.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 2Kompetenzen

• MA.2.C.2.hGrundanspruchSenkrechte, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte mit Geodreieck zeichnen; Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte und gleichseitiges Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren; am Computer Figuren zeichnen
• MA.2.A.1.iBegriffe Seitenhalbierende, Winkelhalbierende, Höhe, Lot, Grundlinie, Grundfläche, Mittelsenkrechte, Schenkel, Netz, Umkreis, Inkreis, Viereck, Vieleck, Rhombus, Parallelogramm, Drachenviereck, Trapez, gleichschenklig/gleichseitig, Punktspiegelung, Drehung, Originalpunkt, Bildpunkt, kongruent, Koordinatensystem, 2D, 3D; geometrische Objekte korrekt beschriften

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Winkelhalbierende ist älter, als du vielleicht denkst. Schon die Baumeister im alten Ägypten mussten Winkel präzise teilen. Ohne Winkelhalbierende wäre der symmetrische Bau von Pyramiden, Tempeln und Tragwerken kaum möglich gewesen. Die Ägypter nutzten gespannte Seile, sogenannte Harpedonapten-Seile, um Winkel gleichmässig aufzuteilen.

Die systematische Konstruktion mit Zirkel und Lineal geht aber auf die Griechen zurück. Vor rund 2300 Jahren schrieb Euklid von Alexandria sein Werk „Elemente”. Darin erklärt er im ersten Buch in Satz 9, wie man einen Winkel exakt halbiert. Seine Methode unterscheidet sich bis heute kaum von der, die du im Unterricht lernst.

Euklid stellte eine strenge Regel auf: Jede geometrische Konstruktion darf nur mit zwei Werkzeugen erfolgen. Dem Zirkel zum Zeichnen von Kreisen und dem Lineal zum Ziehen gerader Linien. Längen messen war verboten. Diese Einschränkung klingt streng, führte aber zu wunderschönen, nachvollziehbaren Konstruktionen.

Im arabischen Mittelalter griffen Gelehrte wie al-Chwarizmi und Thabit ibn Qurra die Arbeiten Euklids auf. Sie verfeinerten die Konstruktionen und trugen das Wissen weiter. Über Spanien und Italien kam es im 12. Jahrhundert zurück nach Europa.

Renaissance-Maler wie Albrecht Dürer nutzten die Winkelhalbierende für die Perspektive in Bildern. Dürer verfasste 1525 eine eigene Schrift über geometrische Konstruktionen. Er wollte Handwerkern und Künstlern mathematisch saubere Methoden an die Hand geben.

Heute brauchst du die Winkelhalbierende nicht nur im Mathematikunterricht. Sie steckt in GPS-Systemen, in der Computergrafik und in der Architektur. Jedes Mal, wenn ein Roboter seinen Weg zwischen Hindernissen berechnet, nutzt er im Hintergrund genau diese Idee: Wo ist der Ort mit gleichem Abstand zu zwei Grenzen? Die Antwort liefert die Winkelhalbierende.

Die Grundlagen

Bevor du konstruierst, musst du die Bausteine kennen. Ein Winkel entsteht, wenn zwei Halbgeraden von einem gemeinsamen Punkt ausgehen. Dieser Punkt heisst Scheitelpunkt $S$. Die beiden Halbgeraden heissen Schenkel. Man bezeichnet sie oft mit Buchstaben wie $\overline{SA}$ und $\overline{SB}$.

Die Grösse eines Winkels misst du in Grad. Ein rechter Winkel hat $90°$, ein gestreckter Winkel $180°$, ein voller Umlauf $360°$. Winkel unter $90°$ heissen spitz, Winkel zwischen $90°$ und $180°$ stumpf.

Die Ecke eines Zimmers ist ein Winkel. Die beiden Wände sind die Schenkel. Der Punkt, an dem sie sich treffen, ist der Scheitelpunkt. Die Linie, auf der du dich zwischen den Wänden genau mittig aufstellen musst, heisst Winkelhalbierende.

Definition

Die Winkelhalbierende eines Winkels $\angle ASB$ ist eine Halbgerade $w$. Sie geht vom Scheitelpunkt $S$ aus und teilt den Winkel in zwei gleich grosse Hälften:

$$\angle ASW = \angle WSB = \dfrac{\angle ASB}{2}$$

Besondere Eigenschaft: Jeder Punkt $P$ auf der Winkelhalbierenden hat den gleichen senkrechten Abstand zu beiden Schenkeln:

$$d(P, \overline{SA}) = d(P, \overline{SB})$$

Das Symbol $d(P, \overline{SA})$ bedeutet: der kürzeste Abstand vom Punkt $P$ zur Geraden durch $SA$. Dieser kürzeste Abstand ist immer senkrecht zur Geraden. Stell dir vor, du fällst von $P$ ein Lot auf den Schenkel. Die Länge dieses Lots ist der Abstand.

Die Winkelhalbierende liegt symmetrisch zwischen den beiden Schenkeln. Wenn du das Papier entlang der Winkelhalbierenden faltest, liegen die beiden Schenkel genau aufeinander. Diese Faltsymmetrie erklärt, warum die Abstände gleich sind.

Die Kernmethode

Mit Zirkel und Lineal kannst du die Winkelhalbierende exakt zeichnen. Du brauchst kein Geodreieck zum Messen. Die Konstruktion nutzt die Symmetrie-Eigenschaft und funktioniert für jeden beliebigen Winkel.

Definition

Gegeben: Ein Winkel $\angle ASB$ mit Scheitelpunkt $S$.

1. Kreisbogen um $S$: Setze den Zirkel in $S$. Zeichne einen Kreisbogen, der beide Schenkel schneidet. Die Schnittpunkte nennst du $P$ und $Q$.
2. Kreisbogen um $P$: Setze den Zirkel in $P$. Wähle eine Öffnung, die grösser ist als die halbe Strecke $\overline{PQ}$. Zeichne einen Bogen im Inneren des Winkels.
3. Kreisbogen um $Q$: Mit derselben Zirkelöffnung setze in $Q$ und zeichne einen weiteren Bogen. Er schneidet den Bogen von $P$ im Punkt $R$.
4. Verbinden: Ziehe die Halbgerade von $S$ durch $R$. Das ist die Winkelhalbierende $w$.

Warum funktioniert das? Die Punkte $P$ und $Q$ haben denselben Abstand zu $S$, weil du beide mit derselben Zirkelöffnung gezeichnet hast. Der Punkt $R$ hat denselben Abstand zu $P$ und zu $Q$, ebenfalls wegen gleicher Zirkelöffnung.

Damit liegt $R$ auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{PQ}$. Diese Mittelsenkrechte verläuft auch durch den Scheitelpunkt $S$. Die Verbindungslinie $\overline{SR}$ ist also die gesuchte Winkelhalbierende.

Die Konstruktion funktioniert immer, egal ob der Winkel spitz, recht oder stumpf ist. Du musst nur achtsam mit der Zirkelöffnung arbeiten.

Beispiel:

Beispiel 1: Winkelgrösse berechnen

Ein Winkel $\angle ASB$ beträgt $72°$. Die Winkelhalbierende $w$ teilt ihn in zwei Teilwinkel.

Aufgabe: Wie gross sind die Teilwinkel?

Lösung:

Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleiche Hälften. Du musst den Winkel also nur durch zwei teilen:

$$\angle ASW = \angle WSB = \dfrac{72°}{2} = 36°$$

Jeder Teilwinkel beträgt $36°$.

Probe: Zur Sicherheit kannst du die beiden Teilwinkel addieren. $36° + 36° = 72°$. Das Ergebnis stimmt mit dem ursprünglichen Winkel überein.

Beispiel:

Beispiel 2: Gesamtwinkel rückwärts bestimmen

Die Winkelhalbierende eines Winkels erzeugt zwei Teilwinkel. Einer davon beträgt $\alpha = 28°$.

Aufgabe: Wie gross ist der ursprüngliche Gesamtwinkel?

Lösung:

Beide Teilwinkel sind gleich gross, weil die Winkelhalbierende genau durch die Mitte läuft. Der Gesamtwinkel ist die Summe der beiden Teilwinkel:

$$\angle ASB = 28° + 28° = 56°$$

Alternativ kannst du den Gesamtwinkel auch als das Doppelte eines Teilwinkels berechnen:

$$\angle ASB = 2 \cdot 28° = 56°$$

Merkregel: Kennst du einen Teilwinkel, verdoppelst du ihn. Kennst du den Gesamtwinkel, halbierst du ihn.

Die häufigsten Stolpersteine

Bei der Winkelhalbierenden passieren typische Fehler. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie.

Achtung

Stolperstein 1: Zirkelöffnung verändern

Beim zweiten und dritten Kreisbogen musst du die gleiche Zirkelöffnung verwenden. Viele Schülerinnen und Schüler stellen den Zirkel zwischen den beiden Bögen neu ein. Dann treffen sich die Bögen nicht an der richtigen Stelle. Die Winkelhalbierende wird schief.

Tipp: Lass die Zirkelöffnung zwischen Schritt 2 und 3 unberührt. Fasse den Zirkel nur am oberen Ende an, damit sich die Schenkel nicht verstellen.

Achtung

Stolperstein 2: Erster Bogen zu klein

Wenn dein erster Kreisbogen um $S$ zu klein ist, schneidet er nicht beide Schenkel. Du hast dann keine Punkte $P$ und $Q$ zum Weitermachen.

Tipp: Wähle die Zirkelöffnung beim ersten Bogen grosszügig. Der Bogen muss beide Schenkel sicher kreuzen. Lieber zu gross als zu klein.

Achtung

Stolperstein 3: Halbgerade falsch ziehen

Die Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die am Scheitelpunkt $S$ beginnt. Sie ist keine Gerade, die beliebig verlängert wird. Manche zeichnen nur die Strecke $\overline{SR}$, andere ziehen die Linie versehentlich über $S$ hinaus.

Tipp: Starte die Linie exakt bei $S$ und verlängere sie über $R$ hinaus in den Winkel hinein. Nicht über den Scheitelpunkt nach aussen.

Achtung

Stolperstein 4: Scheitelpunkt vergessen

Einige Konstruktionen verbinden die Punkte $P$ und $R$ oder zeichnen nur eine Linie durch $R$. Die Winkelhalbierende muss aber durch den Scheitelpunkt $S$ gehen, sonst teilt sie den Winkel nicht.

Tipp: Prüfe am Ende: Startet deine Linie wirklich bei $S$? Läuft sie gefühlt genau durch die Mitte des Winkels? Falls du unsicher bist, miss die beiden Teilwinkel mit dem Geodreieck. Sie müssen identisch sein.

Beispiel:

Beispiel 3: Gleichschenkliges Dreieck

Im gleichschenkligen Dreieck $ABC$ sind die Schenkel $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ gleich lang. Der Winkel bei $A$ beträgt $50°$. Die Winkelhalbierende des Winkels bei $A$ trifft die Basis $\overline{BC}$ im Punkt $D$.

Aufgabe: Wie gross ist der Winkel $\angle BAD$? Und welche besondere Rolle spielt die Winkelhalbierende hier?

Lösung:

Die Winkelhalbierende teilt den Winkel bei $A$ in zwei gleiche Teile:

$$\angle BAD = \dfrac{50°}{2} = 25°$$

Der Winkel $\angle BAD$ beträgt $25°$.

Zusatzinfo: Im gleichschenkligen Dreieck ist die Winkelhalbierende vom Scheitel zur Basis etwas ganz Besonderes. Sie ist gleichzeitig die Mittelsenkrechte der Basis und die Höhe des Dreiecks. Sie steht also senkrecht auf $\overline{BC}$ und halbiert die Basis. Drei Linien in einer! Diese Besonderheit gilt nur im gleichschenkligen Dreieck.

Beispiel:

Beispiel 4: Abstand zu den Schenkeln

Ein Winkel $\angle ASB$ misst $80°$. Auf der Winkelhalbierenden liegt ein Punkt $P$. Du misst den senkrechten Abstand von $P$ zum Schenkel $\overline{SA}$. Er beträgt $4{,}2\;\text{cm}$.

Aufgabe: Wie gross ist der senkrechte Abstand von $P$ zum Schenkel $\overline{SB}$?

Lösung:

Die besondere Eigenschaft der Winkelhalbierenden sagt: Jeder Punkt auf ihr hat den gleichen senkrechten Abstand zu beiden Schenkeln. Also gilt:

$$d(P, \overline{SA}) = d(P, \overline{SB}) = 4{,}2\;\text{cm}$$

Der Abstand zu $\overline{SB}$ beträgt ebenfalls $4{,}2\;\text{cm}$.

Beachte: Die Grösse des Winkels spielt für diese Gleichheit keine Rolle. Egal ob $80°$ oder $140°$: Auf der Winkelhalbierenden sind die Abstände immer gleich. Der Winkel bestimmt nur, wie „schnell” die Abstände mit wachsender Entfernung von $S$ grösser werden.

Vertiefung

Die Winkelhalbierende zeigt ihre wahre Stärke im Dreieck. In jedem Dreieck gibt es drei Winkel. Zu jedem Winkel gehört eine Winkelhalbierende. Diese drei Winkelhalbierenden haben eine erstaunliche Eigenschaft: Sie schneiden sich alle in einem Punkt.

Definition

Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt $I$. Dieser Punkt heisst Inkreismittelpunkt.

Er hat zu allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand $r$. Deshalb ist $I$ der Mittelpunkt des Inkreises – das ist der grösste Kreis, der vollständig ins Dreieck passt.

Warum treffen sich alle drei Winkelhalbierenden in einem Punkt? Die Begründung folgt aus der Abstandseigenschaft. Nimm zwei Winkelhalbierende, zum Beispiel die zu den Ecken $A$ und $B$. Sie schneiden sich in einem Punkt $I$.

Weil $I$ auf der Winkelhalbierenden bei $A$ liegt, hat $I$ den gleichen Abstand zu den beiden Seiten, die von $A$ ausgehen. Weil $I$ auch auf der Winkelhalbierenden bei $B$ liegt, hat $I$ den gleichen Abstand zu den beiden Seiten, die von $B$ ausgehen.

Daraus folgt: $I$ hat zu allen drei Seiten denselben Abstand. Damit liegt $I$ auch auf der dritten Winkelhalbierenden, nämlich der bei $C$. Alle drei Winkelhalbierenden laufen also durch denselben Punkt.

Der Abstand von $I$ zu jeder Seite ist zugleich der Radius des Inkreises. Dieser Kreis berührt jede Seite des Dreiecks genau einmal. Er passt perfekt in das Dreieck.

Die Winkelhalbierende hat noch eine weitere, überraschende Eigenschaft: Sie teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten. Diese Aussage heisst Winkelhalbierendensatz und wirst du später in höheren Klassen beweisen.

Beispiel:

Beispiel 5: Inkreis eines Dreiecks

Ein Dreieck $ABC$ hat die Winkel $\alpha = 60°$ bei $A$, $\beta = 80°$ bei $B$ und $\gamma = 40°$ bei $C$.

Aufgabe: Bestimme den Winkel, mit dem die Winkelhalbierende des Winkels bei $A$ in das Dreieck eindringt. Wie gross ist der Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und der Seite $\overline{AB}$?

Lösung:

Die Winkelhalbierende bei $A$ teilt den Winkel $\alpha = 60°$ in zwei gleiche Hälften:

$$\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{60°}{2} = 30°$$

Der Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und der Seite $\overline{AB}$ beträgt $30°$.

Probe der Winkelsumme im Dreieck:

$$\alpha + \beta + \gamma = 60° + 80° + 40° = 180° \checkmark$$

Die Winkelsumme stimmt. Das Dreieck ist korrekt beschrieben. Wenn du nun auch die Winkelhalbierenden bei $B$ und $C$ zeichnest, schneiden sich alle drei in einem Punkt – dem Inkreismittelpunkt.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben. Die Schwierigkeit steigt von oben nach unten.

Aufgabe 1: Ein Winkel beträgt $48°$. Wie gross ist jeder Teilwinkel, wenn du die Winkelhalbierende zeichnest?

Aufgabe 2: Die Winkelhalbierende eines Winkels erzeugt zwei Teilwinkel von je $37°$. Wie gross ist der ursprüngliche Winkel?

Aufgabe 3: Ein Winkel misst $90°$. Wie gross sind die Teilwinkel nach dem Zeichnen der Winkelhalbierenden?

Aufgabe 4: Ein Winkel beträgt $150°$. Wie gross ist jeder Teilwinkel?

Aufgabe 5: Zeichne einen Winkel von $70°$ auf Papier. Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Winkelhalbierende. Miss am Schluss beide Teilwinkel. Sind sie gleich gross?

Aufgabe 6: Ein Punkt $P$ liegt auf der Winkelhalbierenden eines $60°$-Winkels. Der senkrechte Abstand von $P$ zum einen Schenkel beträgt $3{,}5\;\text{cm}$. Wie gross ist der Abstand zum anderen Schenkel?

Aufgabe 7: In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze $40°$. Wie gross ist der Winkel zwischen der Winkelhalbierenden dieses Spitzenwinkels und einem Schenkel des Dreiecks?

Aufgabe 8: Ein Winkel $\angle ASB$ misst $124°$. Die Winkelhalbierende wird gezeichnet. Auf ihr liegt ein Punkt $R$, der $5\;\text{cm}$ vom Scheitelpunkt entfernt ist. Bestimme den Winkel $\angle ASR$.

Aufgabe 9: In einem Dreieck $ABC$ hat die Ecke $A$ einen Winkel von $72°$, die Ecke $B$ einen Winkel von $56°$. Wie gross ist die Winkelhalbierende bei Ecke $C$, also halber Winkel $\gamma / 2$?

Aufgabe 10: Die Winkelhalbierende eines Winkels wird gezeichnet. Der ursprüngliche Winkel ist um $36°$ grösser als einer seiner Teilwinkel. Wie gross ist der ursprüngliche Winkel?

Das Wichtigste in Kürze

Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich grosse Hälften. Sie verläuft vom Scheitelpunkt aus genau durch die Mitte und liegt symmetrisch zwischen den beiden Schenkeln.

Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat den gleichen senkrechten Abstand zu beiden Schenkeln. Diese Eigenschaft ist die Grundlage der klassischen Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Die Konstruktion nutzt drei Kreisbögen: einen um den Scheitelpunkt, zwei weitere mit gleicher Öffnung um die Schnittpunkte mit den Schenkeln. Die Verbindung des Scheitelpunkts mit dem Schnittpunkt dieser beiden Bögen ergibt die Winkelhalbierende.

Im Dreieck schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden in einem einzigen Punkt, dem Inkreismittelpunkt. Von dort hast du zu jeder Seite denselben Abstand – das ist der Radius des Inkreises.

❓ Frage:

Ein Winkel beträgt $124°$. Die Winkelhalbierende teilt ihn. Wie gross ist jeder Teilwinkel?

Lösung anzeigen

Jeder Teilwinkel beträgt $\dfrac{124°}{2} = 62°$.

❓ Frage:

Eine Winkelhalbierende erzeugt zwei Teilwinkel von je $43°$. Wie gross war der ursprüngliche Winkel?

Lösung anzeigen

Der ursprüngliche Winkel beträgt $2 \cdot 43° = 86°$.

❓ Frage:

Warum schneiden sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks in genau einem Punkt?

Lösung anzeigen

Jeder Punkt auf einer Winkelhalbierenden hat gleichen Abstand zu den beiden anliegenden Schenkeln. Der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden ist daher von allen drei Seiten gleich weit entfernt. Es gibt nur einen solchen Punkt – den Inkreismittelpunkt.

❓ Frage:

Welches Werkzeug brauchst du für die klassische Konstruktion der Winkelhalbierenden nicht? a) Zirkel b) Lineal c) Geodreieck mit Gradskala d) Bleistift

Lösung anzeigen

Antwort c) – das Geodreieck mit Gradskala wird nicht benötigt. Die Winkelhalbierende wird rein mit Zirkel und Lineal konstruiert. Du misst weder Grade noch Längen.

❓ Frage:

Ein Punkt liegt $6\;\text{cm}$ vom einen Schenkel eines Winkels entfernt. Er liegt auf der Winkelhalbierenden. Wie gross ist sein Abstand zum anderen Schenkel?

Lösung anzeigen

Der Abstand beträgt ebenfalls $6\;\text{cm}$. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat denselben senkrechten Abstand zu beiden Schenkeln.

Ausblick

Die Winkelhalbierende ist der Schlüssel zum Inkreis. In der nächsten Lektion lernst du die Mittelsenkrechte genauer kennen. Sie funktioniert ähnlich, bezieht sich aber auf Strecken statt auf Winkel. Mit ihr konstruierst du den Umkreis eines Dreiecks.

Später triffst du die Winkelhalbierende wieder beim Winkelhalbierendensatz und bei Konstruktionen mit Tangenten an Kreise. In der Trigonometrie hilft sie, Winkelbeziehungen eleganter zu beweisen. Und im Alltag steckt sie überall dort, wo Symmetrie gefragt ist.

Lösungen

Aufgabe 1: Die Winkelhalbierende halbiert den Winkel. Du rechnest $\dfrac{48°}{2} = 24°$. Jeder Teilwinkel beträgt $24°$.

Aufgabe 2: Beide Teilwinkel sind gleich gross, denn die Winkelhalbierende teilt genau in der Mitte. Der ursprüngliche Winkel ist die Summe oder das Doppelte: $2 \cdot 37° = 74°$. Der ursprüngliche Winkel misst $74°$.

Aufgabe 3: Ein Winkel von $90°$ ist ein rechter Winkel. Die Winkelhalbierende teilt ihn in zwei gleich grosse Hälften: $\dfrac{90°}{2} = 45°$. Jeder Teilwinkel beträgt $45°$. Das ist ein sogenannter halber rechter Winkel.

Aufgabe 4: Die Winkelhalbierende halbiert den stumpfen Winkel: $\dfrac{150°}{2} = 75°$. Jeder Teilwinkel beträgt $75°$. Beide Teilwinkel sind spitz, obwohl der ursprüngliche Winkel stumpf war.

Aufgabe 5: Zeichne den Winkel mit dem Geodreieck. Setze dann den Zirkel in den Scheitelpunkt und ziehe einen Bogen, der beide Schenkel schneidet. Setze mit gleicher Öffnung in beiden Schnittpunkten ein und zeichne zwei weitere Bögen, die sich im Inneren schneiden. Verbinde den Schnittpunkt mit dem Scheitelpunkt. Misst du beide Teilwinkel, ergibt jeder $35°$. Die Teilwinkel sind also gleich gross – die Konstruktion funktioniert.

Aufgabe 6: Nach der besonderen Eigenschaft der Winkelhalbierenden ist der Abstand zu beiden Schenkeln gleich: $d = 3{,}5\;\text{cm}$. Der Abstand zum anderen Schenkel beträgt $3{,}5\;\text{cm}$.

Aufgabe 7: Im gleichschenkligen Dreieck teilt die Winkelhalbierende des Spitzenwinkels diesen in zwei gleiche Hälften: $\dfrac{40°}{2} = 20°$. Der Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und einem Schenkel des Dreiecks beträgt $20°$.

Aufgabe 8: Der Punkt $R$ liegt auf der Winkelhalbierenden. Die Winkelhalbierende teilt den Winkel $\angle ASB$ in zwei gleiche Hälften. Also gilt:

$$\angle ASR = \dfrac{124°}{2} = 62°$$

Der Winkel $\angle ASR$ beträgt $62°$. Der Abstand von $R$ zum Scheitelpunkt spielt keine Rolle für die Winkelgrösse.

Aufgabe 9: Zuerst berechnest du den Winkel $\gamma$ bei der Ecke $C$. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180°$:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 72° - 56° = 52°$$

Die Winkelhalbierende halbiert $\gamma$:

$$\dfrac{\gamma}{2} = \dfrac{52°}{2} = 26°$$

Der halbe Winkel $\gamma / 2$ beträgt $26°$.

Aufgabe 10: Sei $\alpha$ der ursprüngliche Winkel und $t$ ein Teilwinkel. Dann gilt $\alpha = 2t$ und $\alpha - t = 36°$. Aus der zweiten Gleichung folgt $t = \alpha - 36°$. Eingesetzt in die erste Gleichung:

$$\alpha = 2 \cdot (\alpha - 36°) = 2\alpha - 72°$$

Auflösen nach $\alpha$:

$$72° = 2\alpha - \alpha = \alpha$$

Der ursprüngliche Winkel beträgt $\alpha = 72°$. Prüfung: Der Teilwinkel ist $36°$, und $72° - 36° = 36°$. Passt.

Verwandte Themen

• Senkrechte zu einer Geraden konstruieren
• Umkreis und Inkreis eines Dreiecks verstehen
• Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport