Zusammengesetzte Körper berechnen: Volumen und Oberfläche Schritt für Schritt

Darum geht's

Du baust ein Vogelhaus aus Holz. Der untere Teil ist ein Würfel, darauf sitzt ein Dach in Form einer Pyramide. Wie viel Holz brauchst du für die Aussenfläche? Wie viel Platz ist im Inneren?

Solche Objekte aus mehreren geometrischen Grundformen begegnen dir überall: Silos auf dem Bauernhof, Eiswaffeln mit Kugel, Bleistifte mit Spitze. In der Mathematik nennen wir sie zusammengesetzte Körper. Du lernst hier, wie du ihr Volumen und ihre Oberfläche systematisch berechnest – selbst wenn sie aus vielen Teilen bestehen.

Was sind zusammengesetzte Körper?

Ein zusammengesetzter Körper entsteht, wenn du zwei oder mehr geometrische Grundkörper kombinierst. Das Vogelhaus von oben ist ein perfektes Beispiel: Ein Quader bildet den Korpus, eine Pyramide das Dach.

Diese Grundkörper kennst du bereits:

• Quader und Würfel – rechteckige Kästen
• Zylinder – runde Säulen wie Dosen
• Kegel – spitze Formen wie Eistüten
• Kugel – perfekt rund wie ein Ball
• Pyramide – spitz zulaufend mit vieleckiger Grundfläche
• Prisma – Säulen mit beliebiger Grundfläche

Der Trick bei zusammengesetzten Körpern: Du zerlegst sie gedanklich in ihre Einzelteile. Dann berechnest du jeden Teil separat und kombinierst die Ergebnisse.

Das Prinzip der Zerlegung

Bevor du rechnest, analysierst du den Körper. Welche Grundkörper erkennst du? Wie sind sie verbunden? Diese Analyse ist der wichtigste Schritt.

Nimm einen Bleistift als Beispiel. Er besteht aus einem Zylinder (der Schaft) und einem Kegel (die Spitze). Beide teilen sich eine Kreisfläche als Verbindung.

Abb. 1: Oben der ganze Bleistift, unten in Kegel und Zylinder zerlegt. Die beiden rot schraffierten Kreisflächen liegen im fertigen Bleistift aufeinander und sind von aussen nicht zu sehen. Der Schaft ist verkürzt gezeichnet.

Die Methode in vier Schritten

1. Zerlegen: Identifiziere alle Grundkörper im zusammengesetzten Körper.
2. Skizzieren: Zeichne jeden Grundkörper separat mit allen bekannten Massen.
3. Berechnen: Ermittle Volumen und Oberfläche jedes Einzelteils.
4. Kombinieren: Addiere die Ergebnisse – aber Vorsicht bei der Oberfläche!

Definition

Das Gesamtvolumen eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Einzelvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 + V_3 + \ldots$

Die Gesamtoberfläche ist die Summe der Einzeloberflächen, abzüglich der verdeckten Flächen:

$O_{\text{gesamt}} = O_1 + O_2 + O_3 + \ldots - 2 \cdot A_{\text{verdeckt}}$

Dabei ist $A_{\text{verdeckt}}$ die Fläche, an der sich zwei Körper berühren. Diese Fläche existiert bei beiden Körpern, wird aber von aussen nicht sichtbar – daher ziehst du sie zweimal ab.

Die wichtigsten Formeln im Überblick

Für die Berechnungen brauchst du die Formeln der Grundkörper. Hier eine kompakte Übersicht:

Quader mit Länge $a$, Breite $b$, Höhe $c$:

$V = a \cdot b \cdot c$

$O = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right)$

Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

$O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Kegel mit Radius $r$, Höhe $h$ und Mantellinie $s = \sqrt{r^2 + h^2}$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

$O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$

Kugel mit Radius $r$:

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

$O = 4 \cdot \pi \cdot r^2$

Halbkugel mit Radius $r$:

$V = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

$O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r^2 = 3 \cdot \pi \cdot r^2$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Verdeckte Flächen vergessen

Bei der Oberfläche darfst du die Berührungsflächen nicht mitzählen. Wenn ein Kegel auf einem Zylinder sitzt, ist die gemeinsame Kreisfläche von aussen nicht sichtbar. Ziehe sie bei beiden Körpern ab – also insgesamt zweimal.

Fehler 2: Unterschiedliche Einheiten mischen

Achte darauf, dass alle Masse in derselben Einheit vorliegen. Wenn die Höhe in Metern und der Radius in Zentimetern gegeben ist, musst du vor dem Rechnen umrechnen.

Fehler 3: Mantellinie mit Höhe verwechseln

Beim Kegel ist $h$ die senkrechte Höhe und $s$ die schräge Mantellinie. Für das Volumen brauchst du $h$, für die Mantelfläche brauchst du $s$. Verwechsle diese Grössen nicht.

Beispiele

Beispiel 1: Bleistift (Zylinder + Kegel)

Ein Bleistift besteht aus einem zylindrischen Schaft und einer kegelförmigen Spitze.

Gegeben:

• Schaft: Radius $r = 0{,}4 \, \text{cm}$, Länge $h_1 = 17 \, \text{cm}$
• Spitze: Radius $r = 0{,}4 \, \text{cm}$, Höhe $h_2 = 1{,}5 \, \text{cm}$

Gesucht: Volumen und Oberfläche

Schritt 1: Volumen berechnen

Volumen des Zylinders:

$V_1 = \pi \cdot r^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 0{,}4^2 \cdot 17 = \pi \cdot 0{,}16 \cdot 17 = 2{,}72 \cdot \pi \approx 8{,}55 \, \text{cm}^3$

Volumen des Kegels:

$V_2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 0{,}16 \cdot 1{,}5 = 0{,}08 \cdot \pi \approx 0{,}25 \, \text{cm}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 \approx 8{,}55 + 0{,}25 = 8{,}80 \, \text{cm}^3$

Schritt 2: Mantellinie des Kegels berechnen

$s = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{0{,}4^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{0{,}16 + 2{,}25} = \sqrt{2{,}41} \approx 1{,}55 \, \text{cm}$

Schritt 3: Oberfläche berechnen

Mantelfläche des Zylinders:

$M_1 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_1 = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}4 \cdot 17 = 13{,}6 \cdot \pi \approx 42{,}73 \, \text{cm}^2$

Mantelfläche des Kegels:

$M_2 = \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot 0{,}4 \cdot 1{,}55 = 0{,}62 \cdot \pi \approx 1{,}95 \, \text{cm}^2$

Grundfläche des Zylinders (hinteres Ende):

$G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 0{,}16 \approx 0{,}50 \, \text{cm}^2$

Die Kreisfläche zwischen Zylinder und Kegel ist verdeckt und wird nicht mitgezählt (rot schraffiert in Abb. 1).

Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} = M_1 + M_2 + G \approx 42{,}73 + 1{,}95 + 0{,}50 = 45{,}18 \, \text{cm}^2$

Beispiel 2: Silo (Zylinder + Halbkugel)

Ein Getreidesilo hat die Form eines Zylinders mit einer Halbkugel als Dach.

Gegeben:

• Radius $r = 3 \, \text{m}$
• Höhe des Zylinders $h = 8 \, \text{m}$

Gesucht: Volumen und Oberfläche

Abb. 2: Zur Oberfläche des Silos zählen der Boden, der Mantel und die gewölbte Fläche der Halbkugel. Die rote Kreisfläche liegt innen zwischen Zylinder und Halbkugel.

Schritt 1: Volumen berechnen

Volumen des Zylinders:

$V_1 = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72 \cdot \pi \approx 226{,}19 \, \text{m}^3$

Volumen der Halbkugel:

$V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 18 \cdot \pi \approx 56{,}55 \, \text{m}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = 72\pi + 18\pi = 90\pi \approx 282{,}74 \, \text{m}^3$

Schritt 2: Oberfläche berechnen

Mantelfläche des Zylinders:

$M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 8 = 48 \cdot \pi \approx 150{,}80 \, \text{m}^2$

Grundfläche des Zylinders (Boden):

$G = \pi \cdot r^2 = 9 \cdot \pi \approx 28{,}27 \, \text{m}^2$

Oberfläche der Halbkugel (nur die gewölbte Fläche):

$O_{\text{Halbkugel}} = 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 18 \cdot \pi \approx 56{,}55 \, \text{m}^2$

Die Kreisfläche zwischen Zylinder und Halbkugel zählst du nicht mit.

Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} = M + G + O_{\text{Halbkugel}} = 48\pi + 9\pi + 18\pi = 75\pi \approx 235{,}62 \, \text{m}^2$

Beispiel 3: Eistüte (Kegel + Halbkugel)

Das kegelförmige Hörnchen einer Eistüte ist bis zum Rand mit Eis gefüllt. Obendrauf sitzt eine Halbkugel aus Eis mit demselben Radius.

Gegeben:

• Kegel: Radius $r = 2{,}5 \, \text{cm}$, Höhe $h = 12 \, \text{cm}$
• Halbkugel: Radius $r = 2{,}5 \, \text{cm}$

Gesucht: Gesamtvolumen und sichtbare Oberfläche

Abb. 3: Die Eistüte besteht aus einem Kegel und einer Halbkugel. Sichtbar sind nur der Kegelmantel und die gewölbte Fläche der Halbkugel.

Schritt 1: Volumen berechnen

Volumen des Kegels:

$V_1 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6{,}25 \cdot 12 = 25 \cdot \pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^3$

Volumen der Halbkugel:

$V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 15{,}625 = \frac{125}{12} \cdot \pi \approx 32{,}72 \, \text{cm}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 \approx 78{,}54 + 32{,}72 = 111{,}26 \, \text{cm}^3$

Rechne hier nicht mit einer ganzen Kugel. Deren untere Hälfte würde in das Hörnchen hineinragen, also in einen Raum, der schon im Kegelvolumen steckt. Du würdest ihn doppelt zählen.

Schritt 2: Mantellinie des Kegels berechnen

$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6{,}25 + 144} = \sqrt{150{,}25} \approx 12{,}26 \, \text{cm}$

Schritt 3: Sichtbare Oberfläche berechnen

Mantelfläche des Kegels:

$M = \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot 2{,}5 \cdot \sqrt{150{,}25} \approx 96{,}27 \, \text{cm}^2$

Rechne mit dem ungerundeten Wert von $s$ weiter (Taschenrechner-Speicher). Mit dem gerundeten $12{,}26$ erhieltest du $96{,}29$ statt $96{,}27$.

Gewölbte Fläche der Halbkugel (die halbe Kugeloberfläche):

$O_{\text{gewölbt}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \cdot \pi \cdot 6{,}25 = 12{,}5 \cdot \pi \approx 39{,}27 \, \text{cm}^2$

Die Kreisöffnung des Kegels und die ebene Fläche der Halbkugel liegen aufeinander. Beide sind verdeckt und zählen nicht.

Sichtbare Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} \approx 96{,}27 + 39{,}27 = 135{,}54 \, \text{cm}^2$

Beispiel 4: Haus mit Satteldach (Quader + Prisma)

Ein Modellhaus besteht aus einem quaderförmigen Korpus und einem dreieckigen Prisma als Dach.

Gegeben:

• Quader: Länge $l = 10 \, \text{cm}$, Breite $b = 6 \, \text{cm}$, Höhe $h_1 = 5 \, \text{cm}$
• Dach (Prisma): Grundfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $b = 6 \, \text{cm}$ und Höhe $h_d = 3 \, \text{cm}$; Länge des Prismas $l = 10 \, \text{cm}$

Gesucht: Volumen und Oberfläche

Abb. 4: Das Dach ist zum Zeigen angehoben. Die Deckfläche des Quaders und die Grundfläche des Dachs ($10 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm}$) liegen im fertigen Haus aufeinander und zählen nicht.

Schritt 1: Volumen des Quaders

$V_1 = l \cdot b \cdot h_1 = 10 \cdot 6 \cdot 5 = 300 \, \text{cm}^3$

Schritt 2: Volumen des Prismas

Fläche des Dreiecks:

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_d = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \, \text{cm}^2$

$V_2 = A_{\text{Dreieck}} \cdot l = 9 \cdot 10 = 90 \, \text{cm}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = 300 + 90 = 390 \, \text{cm}^3$

Schritt 3: Oberfläche berechnen

Zuerst berechnen wir die schräge Seite des Dach-Dreiecks:

$s = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_d^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24 \, \text{cm}$

Oberfläche des Quaders (ohne Deckfläche):

$O_1 = 2 \cdot (l \cdot h_1) + 2 \cdot (b \cdot h_1) + (l \cdot b)$

$O_1 = 2 \cdot 50 + 2 \cdot 30 + 60 = 100 + 60 + 60 = 220 \, \text{cm}^2$

Oberfläche des Prismas (ohne Grundfläche):

• Zwei Dachflächen: $2 \cdot (s \cdot l) = 2 \cdot \sqrt{18} \cdot 10 \approx 84{,}85 \, \text{cm}^2$
• Zwei Dreiecksseiten (Giebel): $2 \cdot 9 = 18 \, \text{cm}^2$

$O_2 \approx 84{,}85 + 18 = 102{,}85 \, \text{cm}^2$

Die Deckfläche des Quaders und die Grundfläche des Prismas überlappen – sie werden nicht mitgezählt.

Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} \approx 220 + 102{,}85 = 322{,}85 \, \text{cm}^2$

Körper mit Bohrungen

Manchmal wird aus einem Körper etwas herausgenommen, zum Beispiel ein Loch gebohrt. Beim Volumen rechnest du dann mit Minus:

$V = V_{\text{Körper}} - V_{\text{Bohrung}}$

Bei der Oberfläche musst du genauer hinschauen. Wo die Bohrung beginnt und endet, fehlt je eine Kreisfläche. Dafür entsteht im Inneren eine neue Fläche: der Mantel der Bohrung. Sie gehört zur Oberfläche, denn du kannst sie berühren, wenn du in das Loch greifst. Für eine durchgehende zylindrische Bohrung gilt:

$O = O_{\text{Körper}} - 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Dabei ist $r$ der Radius der Bohrung und $h$ ihre Länge.

Beispiel 5: Holzklotz mit Bohrung (Quader − Zylinder)

Durch einen quaderförmigen Holzklotz wird von der Vorder- bis zur Rückseite ein Loch gebohrt.

Gegeben:

• Quader: Länge $8 \, \text{cm}$, Tiefe $6 \, \text{cm}$, Höhe $5 \, \text{cm}$
• Bohrung: Durchmesser $d = 2 \, \text{cm}$, also $r = 1 \, \text{cm}$; Länge $h = 6 \, \text{cm}$ (so tief wie der Klotz)

Gesucht: Volumen und Oberfläche

Abb. 5: Die Bohrung nimmt Volumen weg. Vorne und hinten fehlt je ein Kreis von der Oberfläche, dafür kommt die grüne Innenwand dazu.

Schritt 1: Volumen berechnen

Volumen des vollen Quaders:

$V_{\text{Quader}} = 8 \cdot 6 \cdot 5 = 240 \, \text{cm}^3$

Volumen der Bohrung (ein Zylinder):

$V_{\text{Bohrung}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 1^2 \cdot 6 = 6 \cdot \pi \approx 18{,}85 \, \text{cm}^3$

Volumen des Holzklotzes:

$V = 240 - 6\pi \approx 221{,}15 \, \text{cm}^3$

Schritt 2: Oberfläche berechnen

Oberfläche des vollen Quaders:

$O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (8 \cdot 6 + 8 \cdot 5 + 6 \cdot 5) = 2 \cdot (48 + 40 + 30) = 236 \, \text{cm}^2$

Die beiden Öffnungen fallen weg:

$2 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 = 2\pi \approx 6{,}28 \, \text{cm}^2$

Der Mantel der Bohrung kommt dazu:

$M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 6 = 12\pi \approx 37{,}70 \, \text{cm}^2$

Gesamtoberfläche:

$O = 236 - 2\pi + 12\pi = 236 + 10\pi \approx 267{,}42 \, \text{cm}^2$

Antwort: Der Holzklotz hat ein Volumen von etwa $221{,}15 \, \text{cm}^3$ und eine Oberfläche von etwa $267{,}42 \, \text{cm}^2$. Die Bohrung macht das Volumen kleiner, die Oberfläche aber grösser.

Übungen

Die Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Rechne mit der $\pi$-Taste und runde erst am Schluss auf zwei Dezimalstellen. Eine Skizze mit allen Massen hilft dir bei jeder Aufgabe. Die vollständigen Lösungswege findest du im Abschnitt «Lösungen» am Ende der Seite.

Aufgabe 1: Eine Holztreppe besteht aus zwei Quadern. Der untere Quader ist $6 \, \text{dm}$ lang, $4 \, \text{dm}$ breit und $2 \, \text{dm}$ hoch. Auf seiner hinteren Hälfte liegt ein zweiter Quader: $3 \, \text{dm}$ lang, $4 \, \text{dm}$ breit und $2 \, \text{dm}$ hoch. Berechne Volumen und Oberfläche der Treppe.

Aufgabe 2: Ein Turm hat die Form eines Zylinders mit Radius $r = 2 \, \text{m}$ und Höhe $h = 6 \, \text{m}$. Obendrauf sitzt ein kegelförmiges Dach mit demselben Radius und der Höhe $1{,}5 \, \text{m}$.

a) Berechne das Volumen des Turms.

b) Fassade und Dach werden gestrichen, der Boden nicht. Wie gross ist die Fläche, die gestrichen wird?

Aufgabe 3: Eine Medikamentenkapsel besteht aus einem Zylinder mit je einer Halbkugel an beiden Enden. Der Radius beträgt überall $3 \, \text{mm}$, der Zylinderteil ist $12 \, \text{mm}$ lang. Berechne Volumen und Oberfläche der Kapsel.

Aufgabe 4: Auf einem quaderförmigen Sockel ($10 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm}$, Höhe $2 \, \text{cm}$) steht in der Mitte ein Zylinder mit $r = 3 \, \text{cm}$ und $h = 8 \, \text{cm}$. Berechne Volumen und Oberfläche des ganzen Körpers. Überlege genau, welche Flächen sich berühren.

Aufgabe 5: Durch einen Holzwürfel mit der Kantenlänge $4 \, \text{cm}$ wird ein Loch mit dem Radius $1 \, \text{cm}$ gebohrt, und zwar von einer Seitenfläche zur gegenüberliegenden. Berechne Volumen und Oberfläche des durchbohrten Würfels.

Aufgabe 6: Ein Kreisel besteht aus einem Kegel mit $r = 3 \, \text{cm}$ und $h = 4 \, \text{cm}$. Auf seiner Grundfläche sitzt eine Halbkugel mit demselben Radius. Berechne Volumen und Oberfläche des Kreisels.

Aufgabe 7: Zurück zum Vogelhaus aus der Einleitung: Der Korpus ist ein Würfel mit der Kantenlänge $30 \, \text{cm}$. Das Dach ist eine quadratische Pyramide, die genau auf den Würfel passt. Sie ist $20 \, \text{cm}$ hoch.

a) Wie viel Platz hat das Vogelhaus innen? Gib das Volumen in $\text{cm}^3$ und in Litern an. Die Wandstärke vernachlässigst du.

b) Wie viel Holzfläche brauchst du für die Aussenfläche? Das Einflugloch vernachlässigst du. Tipp: Berechne zuerst die Höhe der dreieckigen Dachflächen.

Aufgabe 8: Ein Betonrohr ist $2 \, \text{m}$ lang. Sein Aussenradius beträgt $0{,}5 \, \text{m}$, sein Innenradius $0{,}4 \, \text{m}$.

a) Berechne das Volumen des Betons.

b) Das Rohr wird innen und aussen beschichtet, die beiden Ringflächen an den Enden ebenfalls. Wie gross ist diese Fläche insgesamt?

c) $1 \, \text{m}^3$ Beton wiegt etwa $2{,}4 \, \text{t}$. Wie schwer ist das Rohr?

Das Wichtigste in Kürze

• Zusammengesetzte Körper bestehen aus mehreren geometrischen Grundkörpern wie Quadern, Zylindern, Kegeln oder Kugeln.
• Das Gesamtvolumen ist die Summe aller Einzelvolumen.
• Bei der Oberfläche musst du die verdeckten Berührungsflächen abziehen – und zwar bei beiden Körpern, also insgesamt zweimal.
• Bei einer Bohrung ziehst du das Volumen der Bohrung ab. Von der Oberfläche fallen die beiden Öffnungen weg, dafür kommt der Mantel der Bohrung dazu.
• Systematisches Vorgehen ist entscheidend: Zerlegen, Skizzieren, Berechnen, Kombinieren.
• Achte auf einheitliche Masseinheiten und verwechsle beim Kegel nicht Höhe $h$ und Mantellinie $s$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Ein Zylinder mit Radius $r = 2 \, \text{cm}$ und Höhe $h = 5 \, \text{cm}$ trägt eine Halbkugel mit demselben Radius als Deckel. Wie gross ist das Gesamtvolumen?

Lösung anzeigen

Volumen Zylinder: $V_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 5 = 20\pi$

Volumen Halbkugel: $V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 2^3 = \frac{16}{3}\pi$

Gesamtvolumen: $V = 20\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{60\pi + 16\pi}{3} = \frac{76\pi}{3} \approx 79{,}6 \, \text{cm}^3$

❓ Frage:Warum wird bei der Oberflächenberechnung die Berührungsfläche zweimal abgezogen?

Lösung anzeigen

Die Berührungsfläche gehört ursprünglich zu beiden Körpern – einmal als Deckfläche des unteren und einmal als Grundfläche des oberen Körpers. Da diese Fläche von aussen nicht mehr sichtbar ist, muss sie bei beiden Körpern abgezogen werden. Rechnest du die Einzeloberflächen zusammen, ist diese Fläche doppelt enthalten – deshalb ziehst du sie zweimal ab.

❓ Frage:Ein Kegel hat den Radius $r = 3 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Mantellinie $s$.

Lösung anzeigen

Die Mantellinie berechnest du mit dem Satz des Pythagoras:

$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast gelernt, zusammengesetzte Körper zu analysieren und ihre Volumen sowie Oberflächen zu berechnen. Diese Fähigkeit bildet die Grundlage für viele weiterführende Themen.

Im nächsten Schritt wirst du dich mit Körpern in Sachaufgaben beschäftigen. Dort geht es darum, reale Probleme mathematisch zu modellieren: Wie viel Farbe brauchst du für einen Tank? Wie schwer ist ein Betonpfeiler? Ausserdem werden Schnitte durch Körper interessant – was passiert, wenn du einen Kegel schräg durchschneidest?

Mit dem Wissen über zusammengesetzte Körper bist du bestens vorbereitet, um komplexere geometrische Herausforderungen zu meistern.

Lösungen

Aufgabe 1:

Volumen: $V = 6 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 2 = 48 + 24 = 72 \, \text{dm}^3$

Oberflächen der beiden Quader einzeln:

$O_1 = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot (24 + 12 + 8) = 88 \, \text{dm}^2$

$O_2 = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 6 + 8) = 52 \, \text{dm}^2$

Die Berührungsfläche ist die Grundfläche des oberen Quaders: $3 \cdot 4 = 12 \, \text{dm}^2$. Sie wird zweimal abgezogen:

$O = 88 + 52 - 2 \cdot 12 = 116 \, \text{dm}^2$

Kontrolle auf einem zweiten Weg: Von der Seite gesehen ist die Treppe ein L mit der Fläche $6 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 18 \, \text{dm}^2$ und dem Umfang $6 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 = 20 \, \text{dm}$. Die Treppe ist ein Prisma mit dieser Grundfläche und der Breite $4 \, \text{dm}$: $O = 2 \cdot 18 + 20 \cdot 4 = 36 + 80 = 116 \, \text{dm}^2$ ✓

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Aufgabe 2:

Mantellinie des Dachs: $s = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{4 + 2{,}25} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 \, \text{m}$

a) Volumen:

$V = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 1{,}5 = 24\pi + 2\pi = 26\pi \approx 81{,}68 \, \text{m}^3$

b) Gestrichen werden der Zylindermantel und der Kegelmantel. Der Boden und die verdeckte Kreisfläche unter dem Dach zählen nicht.

$M_{\text{Zylinder}} = 2 \cdot \pi \cdot 2 \cdot 6 = 24\pi, \qquad M_{\text{Kegel}} = \pi \cdot 2 \cdot 2{,}5 = 5\pi$

$A = 24\pi + 5\pi = 29\pi \approx 91{,}11 \, \text{m}^2$

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Aufgabe 3: Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine ganze Kugel mit $r = 3 \, \text{mm}$.

Volumen:

$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 12 + \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 108\pi + 36\pi = 144\pi \approx 452{,}39 \, \text{mm}^3$

Oberfläche: Die beiden Kreisflächen des Zylinders sind von den Halbkugeln verdeckt. Es bleiben der Zylindermantel und die gewölbten Flächen der Halbkugeln, zusammen eine Kugeloberfläche.

$O = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 12 + 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 72\pi + 36\pi = 108\pi \approx 339{,}29 \, \text{mm}^2$

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Aufgabe 4:

Volumen:

$V = 10 \cdot 10 \cdot 2 + \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 200 + 72\pi \approx 426{,}19 \, \text{cm}^3$

Oberflächen einzeln:

$O_{\text{Sockel}} = 2 \cdot (10 \cdot 10 + 10 \cdot 2 + 10 \cdot 2) = 2 \cdot 140 = 280 \, \text{cm}^2$

$O_{\text{Zylinder}} = 2 \cdot \pi \cdot 3^2 + 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 8 = 18\pi + 48\pi = 66\pi$

Die Berührungsfläche ist nur der Kreis unter dem Zylinder: $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$. Der Rest der Sockel-Deckfläche bleibt sichtbar. Die Kreisfläche wird zweimal abgezogen:

$O = 280 + 66\pi - 2 \cdot 9\pi = 280 + 48\pi \approx 430{,}80 \, \text{cm}^2$

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Aufgabe 5: Die Bohrung ist ein Zylinder mit $r = 1 \, \text{cm}$ und $h = 4 \, \text{cm}$.

Volumen:

$V = 4^3 - \pi \cdot 1^2 \cdot 4 = 64 - 4\pi \approx 51{,}43 \, \text{cm}^3$

Oberfläche: Würfeloberfläche minus zwei Öffnungen plus Mantel der Bohrung.

$O = 6 \cdot 4^2 - 2 \cdot \pi \cdot 1^2 + 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 4 = 96 - 2\pi + 8\pi = 96 + 6\pi \approx 114{,}85 \, \text{cm}^2$

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Aufgabe 6:

Mantellinie des Kegels: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}$

Volumen:

$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 + \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 12\pi + 18\pi = 30\pi \approx 94{,}25 \, \text{cm}^3$

Oberfläche: Die Grundfläche des Kegels und die ebene Fläche der Halbkugel sind verdeckt. Es bleiben der Kegelmantel und die gewölbte Fläche der Halbkugel.

$O = \pi \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot \pi \cdot 3^2 = 15\pi + 18\pi = 33\pi \approx 103{,}67 \, \text{cm}^2$

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Aufgabe 7:

a) Volumen von Würfel und Pyramide:

$V = 30^3 + \frac{1}{3} \cdot 30^2 \cdot 20 = 27\,000 + 6000 = 33\,000 \, \text{cm}^3$

Da $1 \, \text{Liter} = 1 \, \text{dm}^3 = 1000 \, \text{cm}^3$ ist, sind das $33$ Liter.

b) Die Höhe $h_s$ einer dreieckigen Dachfläche ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck aus der Pyramidenhöhe $20 \, \text{cm}$ und der halben Kantenlänge $15 \, \text{cm}$:

$h_s = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \, \text{cm}$

Vom Würfel zählen fünf Quadrate. Seine Deckfläche ist von der Pyramide verdeckt, und die Grundfläche der Pyramide zählt ebenfalls nicht. Dazu kommen vier Dreiecke:

$O = 5 \cdot 30^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 25 = 4500 + 1500 = 6000 \, \text{cm}^2 = 0{,}6 \, \text{m}^2$

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Aufgabe 8: Das Rohr ist ein grosser Zylinder ($R = 0{,}5 \, \text{m}$), aus dem ein kleiner Zylinder ($r = 0{,}4 \, \text{m}$) herausgenommen ist. Beide sind $h = 2 \, \text{m}$ lang.

a) Volumen:

$V = \pi \cdot 0{,}5^2 \cdot 2 - \pi \cdot 0{,}4^2 \cdot 2 = 0{,}5\pi - 0{,}32\pi = 0{,}18\pi \approx 0{,}57 \, \text{m}^3$

b) Die Fläche besteht aus drei Teilen:

• Aussenmantel: $2 \cdot \pi \cdot 0{,}5 \cdot 2 = 2\pi$
• Innenmantel: $2 \cdot \pi \cdot 0{,}4 \cdot 2 = 1{,}6\pi$
• zwei Ringflächen: $2 \cdot (\pi \cdot 0{,}5^2 - \pi \cdot 0{,}4^2) = 2 \cdot 0{,}09\pi = 0{,}18\pi$

$A = 2\pi + 1{,}6\pi + 0{,}18\pi = 3{,}78\pi \approx 11{,}88 \, \text{m}^2$

c) Masse: $m = 0{,}18\pi \cdot 2{,}4 = 0{,}432\pi \approx 1{,}36 \, \text{t}$. Rechne mit dem genauen Volumen. Mit dem gerundeten Wert $0{,}57$ erhieltest du $1{,}37 \, \text{t}$.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport