Teilbarkeit

Darum geht's

Warum lässt sich $24$ glatt durch $3$ teilen, $25$ aber nicht? Warum gibt es Zahlen wie $7$ oder $13$, die sich nur durch sich selbst und durch $1$ teilen lassen? Die Teilbarkeitslehre beantwortet genau diese Fragen und ist das Tor zur Zahlentheorie — einem der ältesten und schönsten Gebiete der Mathematik.

In diesem Kapitel lernst du die Werkzeuge, die du für Brüche, Rechenvereinfachungen und das Lösen vieler Textaufgaben brauchst: Teiler, Vielfache, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, ggT und kgV.

Worum geht es?

Eine Zahl $b$ teilt eine Zahl $a$ (geschrieben $b \mid a$), wenn die Division $a : b$ ohne Rest aufgeht. Zum Beispiel: $3 \mid 12$, weil $12 : 3 = 4$. Aber $3 \nmid 10$, denn $10 : 3$ lässt einen Rest von $1$.

Aus dieser einfachen Idee wächst ein ganzes Begriffsgebäude. Zahlen haben Teiler (alle Zahlen, die sie glatt teilen) und Vielfache (alle Ergebnisse, wenn man die Zahl mit ganzen Zahlen multipliziert). Manche Zahlen — die Primzahlen — haben nur zwei Teiler: $1$ und sich selbst. Jede andere Zahl lässt sich in ein eindeutiges Produkt von Primzahlen zerlegen, und zwei Zahlen haben einen grössten gemeinsamen Teiler und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, die du beim Bruchrechnen ständig brauchst.

Was du schon können solltest

Bevor du dich in die Teilbarkeit stürzt, solltest du sicher sein im:

• Multiplizieren und Dividieren natürlicher Zahlen,
• Umgang mit Divisionsresten ($17 : 5 = 3$ Rest $2$),
• kleinen Einmaleins — das spart dir viele Rechenminuten beim Suchen von Teilern.

Was du in diesem Kapitel lernst

Vier Lektionen, die aufeinander aufbauen:

1. Teiler und Vielfache — was es genau bedeutet, eine Zahl zu teilen, und wie du alle Teiler einer Zahl systematisch findest. Hier lernst du auch die Teilbarkeitsregeln für $2, 3, 5, 9, 10$.
2. Primzahlen — die “Atome” der Mathematik. Du lernst, wie du sie erkennst und warum es unendlich viele davon gibt (ein Beweis, den schon Euklid vor 2300 Jahren geführt hat).
3. Primfaktorzerlegung — jede Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Zum Beispiel $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Das ist das “DNA-Profil” einer Zahl.
4. ggT und kgV — der grösste gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache. Für das Kürzen und Erweitern von Brüchen sind diese beiden unverzichtbar.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Teiler — eine Zahl, die ohne Rest in einer anderen enthalten ist. Teiler von $12$ sind $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
• Vielfaches — Ergebnis einer Multiplikation mit einer ganzen Zahl. Vielfache von $4$ sind $4, 8, 12, 16, \ldots$
• Primzahl — natürliche Zahl $> 1$ mit genau zwei Teilern: $1$ und sich selbst. Beispiele: $2, 3, 5, 7, 11, 13$.
• Primfaktor — ein Teiler einer Zahl, der selbst eine Primzahl ist.
• ggT(a, b) — der grösste gemeinsame Teiler. $\text{ggT}(12, 18) = 6$.
• kgV(a, b) — das kleinste gemeinsame Vielfache. $\text{kgV}(4, 6) = 12$.

Häufige Denkfehler

Achtung

Bei der Teilbarkeit sind die Stolperfallen meistens begrifflich: Wer “Teiler” und “Vielfaches” verwechselt, rechnet das Falsche in die richtige Formel.

1. ”$1$ ist eine Primzahl.” Früher dachten viele so, heute nicht mehr. Eine Primzahl muss genau zwei verschiedene Teiler haben; $1$ hat nur einen.
2. “Teiler sind dasselbe wie Vielfache.” Nein — genau umgekehrt. $4$ ist ein Teiler von $12$, und $12$ ist ein Vielfaches von $4$.
3. “Der ggT ist immer die grössere Zahl.” Nein. Der ggT ist die grösste Zahl, die beide Ausgangszahlen teilt. $\text{ggT}(6, 10) = 2$, nicht $10$.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Teilbarkeit gehört zu MA.1 – Zahl und Variable, 2. Zyklus (6. Klasse), mit Übergang in den 3. Zyklus:

• MA.1.A.2 – Teiler und Vielfache einer Zahl bestimmen.
• MA.1.A.4 – Primzahlen erkennen, Primfaktorzerlegung durchführen.
• MA.1.B.1 – Teilbarkeitsregeln begründen und anwenden.

Teiler, Vielfache und Teilbarkeitsregeln gelten als Grundanspruch. Primfaktorzerlegung, ggT und kgV sind zum Teil Erweiterung und werden im 3. Zyklus gefestigt.

Die Themen im Überblick

• Teiler und Vielfache
• Primzahlen
• Primfaktorzerlegung
• ggT und kgV

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport