Punktsymmetrie verstehen – Spiegelung am Punkt

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst auf einem Karussell genau in der Mitte. Du hältst dich an einer Stange fest. Das Karussell dreht sich um eine halbe Umdrehung. Du landest auf der gegenüberliegenden Seite. Dein Abstand zur Mitte hat sich nicht verändert.

Genau das steckt hinter der Punktsymmetrie. Ein einziger Punkt in der Mitte bestimmt alles. Jeder Teil einer Figur hat einen Partnerpunkt auf der anderen Seite. Der Abstand zum Zentrum bleibt immer gleich. In diesem Artikel lernst du, wie du Punktsymmetrie erkennst, berechnest und im Alltag entdeckst.

Eine kleine Zeitreise

Symmetrie fasziniert Menschen schon seit Tausenden von Jahren. Die alten Ägypter bauten ihre Tempel symmetrisch. Die Griechen erforschten geometrische Formen systematisch. Doch die genaue mathematische Beschreibung der Punktsymmetrie kam viel später.

Die Griechen und die Geometrie

Der griechische Mathematiker Euklid lebte um 300 vor Christus. Er schrieb das Werk „Elemente”. Darin beschrieb er Punkte, Linien und Flächen. Die Idee der Drehung um einen Punkt war schon bekannt. Eine mathematische Theorie der Symmetrie fehlte aber noch.

Die Renaissance und das Erwachen der Symmetrie

Im 15. und 16. Jahrhundert entdeckten Künstler und Wissenschaftler die Symmetrie neu. Leonardo da Vinci untersuchte symmetrische Formen in der Natur. Albrecht Dürer schrieb über Proportionen und Geometrie. Symmetrie galt als Zeichen von Schönheit und Ordnung.

Die mathematische Formalisierung

Im 18. und 19. Jahrhundert wurde Symmetrie mathematisch streng gefasst. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler arbeitete intensiv an geometrischen Transformationen. Die Drehung um einen Punkt wurde als mathematische Operation beschrieben. Euler gilt als einer der produktivsten Mathematiker aller Zeiten. Er lebte von 1707 bis 1783 und arbeitete lange in Berlin und St. Petersburg.

Im 19. Jahrhundert entwickelte der Mathematiker Félix Klein seine berühmte Erlanger Programmschrift. Darin beschrieb er Geometrie als das Studium von Invarianten unter Transformationen. Punktsymmetrie ist genau das: Ein Objekt bleibt unverändert unter einer bestimmten Drehung.

Punktsymmetrie im Alltag der Geschichte

Spielkarten gibt es seit dem 14. Jahrhundert in Europa. Frühe Karten waren nicht symmetrisch. Erst später wurden sie punktsymmetrisch gestaltet. Der Grund ist praktisch: Du kannst die Karte drehen, ohne ihren Wert zu verlieren. Viele historische Ornamente, Fensterrosen und Mosaike nutzen Punktsymmetrie. Sie schafft optisches Gleichgewicht und Harmonie.

Heute in der Schule

In der Schule lernst du Punktsymmetrie als Teil der geometrischen Grundlagen. Sie verbindet sich mit Drehen, Spiegeln und Koordinatengeometrie. Sie ist eine Vorbereitung auf höhere Mathematik wie Vektorrechnung und Gruppentheorie.

Die Grundlagen

Was genau ist Punktsymmetrie? Hier ist die präzise Definition.

Definition

Eine Figur heisst punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180°$ um das Symmetriezentrum $Z$ mit sich selbst zur Deckung kommt.

Für jeden Punkt $P$ der Figur existiert ein Bildpunkt $P'$. Das Zentrum $Z$ liegt genau in der Mitte zwischen $P$ und $P'$. Es gilt:

$$\overline{PZ} = \overline{ZP'}$$

Der Abstand von $P$ zu $Z$ ist gleich dem Abstand von $Z$ zu $P'$. Punkt $Z$ halbiert die Strecke $PP'$.

Stell dir eine Nadel durch ein Blatt Papier. Die Nadel steckt im Symmetriezentrum. Du drehst das Blatt um genau $180°$. Wenn die Figur danach genauso aussieht wie vorher, ist sie punktsymmetrisch.

Punktsymmetrie versus Achsensymmetrie

Du kennst vielleicht die Achsensymmetrie. Dort faltest du eine Figur entlang einer Linie. Die zwei Hälften liegen dann übereinander. Bei der Punktsymmetrie gibt es keine Faltlinie. Du drehst die Figur um einen Punkt.

Ein Schmetterling ist achsensymmetrisch. Du kannst ihn entlang der Körpermitte falten. Ein Propeller mit zwei gleichen Flügeln ist punktsymmetrisch. Du kannst ihn um seine Mitte drehen.

Bekannte punktsymmetrische Figuren

Folgende Figuren sind immer punktsymmetrisch:

• Der Kreis (Zentrum ist der Mittelpunkt)
• Das Parallelogramm (Zentrum ist der Diagonalenschnittpunkt)
• Das reguläre Sechseck (Zentrum ist der Mittelpunkt)
• Der Buchstabe S
• Die Ziffer 8
• Ein Schachbrettmuster

Folgende Figuren sind nicht punktsymmetrisch:

• Das gleichseitige Dreieck
• Der Buchstabe A oder T
• Ein einzelner Pfeil
• Ein rechtwinkliges Dreieck (im Allgemeinen)

Die Kernmethode

Wie bestimmst du den Bildpunkt bei einer Punktspiegelung? Es gibt eine klare Methode.

Definition

Gegeben: Punkt $P$ und Symmetriezentrum $Z$.

Konstruktionsschritte:

1. Verbinde $P$ und $Z$ mit einer geraden Linie.
2. Verlängere diese Linie über $Z$ hinaus.
3. Trage den Abstand $\overline{PZ}$ auf der anderen Seite von $Z$ ab.
4. Der neue Punkt ist der Bildpunkt $P'$.

Mit Koordinaten:

Liegt $Z = (z_1 | z_2)$ und $P = (p_1 | p_2)$, dann berechnest du $P'$ so:

$$\begin{align*} P'_x &= 2 \cdot z_1 - p_1 \\ P'_y &= 2 \cdot z_2 - p_2 \end{align*}$$

Sonderfall Ursprung: Ist $Z = O(0|0)$, dann gilt einfach:

$$P(x|y) \rightarrow P'(-x|-y)$$

Beide Koordinaten wechseln ihr Vorzeichen.

Diese Formel funktioniert immer. Du musst sie nicht auswendig lernen. Wenn du die Idee verstehst, kannst du sie jederzeit selbst herleiten.

Die Idee dahinter: $Z$ liegt genau in der Mitte zwischen $P$ und $P'$. Der Mittelpunkt einer Strecke liegt bei $\dfrac{p + p'}{2}$. Setzt du $Z$ gleich diesem Mittelpunkt, erhältst du die Formel oben.

Beispiel:

Beispiel 1: Punktsymmetrie erkennen – das Parallelogramm

Gegeben ist ein Parallelogramm $ABCD$. Der Schnittpunkt der Diagonalen heisst $M$.

Aufgabe: Ist das Parallelogramm punktsymmetrisch bezüglich $M$?

Lösung:

Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich gegenseitig. Das ist eine bekannte Eigenschaft. Es gilt:

$$\overline{AM} = \overline{MC} \qquad \text{und} \qquad \overline{BM} = \overline{MD}$$

Punkt $M$ liegt genau in der Mitte zwischen $A$ und $C$. Punkt $M$ liegt genau in der Mitte zwischen $B$ und $D$. Also hat jede Ecke ihren Partnerpunkt auf der gegenüberliegenden Seite.

Dreht man das Parallelogramm um $180°$ um $M$, dann wandert $A$ auf $C$. Punkt $B$ wandert auf $D$. Die Seiten bleiben in derselben Position.

Antwort: Ja, das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist $M$.

Merke: Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Das gilt auch für Rechteck, Raute und Quadrat. Alle sind spezielle Parallelogramme.

Beispiel:

Beispiel 2: Bildpunkt mit Koordinaten berechnen

Punkt $P(3|2)$ wird am Symmetriezentrum $Z(1|1)$ gespiegelt.

Aufgabe: Berechne den Bildpunkt $P'$.

Lösung:

Schritt 1: Wende die Formel an.

$$\begin{align*} P'_x &= 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1 \\ P'_y &= 2 \cdot 1 - 2 = 2 - 2 = 0 \end{align*}$$

Der Bildpunkt ist $P'(-1|0)$.

Schritt 2: Überprüfe das Ergebnis.

$Z$ muss in der Mitte zwischen $P$ und $P'$ liegen.

$$\text{Mittelpunkt} = \left(\dfrac{3 + (-1)}{2} \Big| \dfrac{2 + 0}{2}\right) = \left(\dfrac{2}{2} \Big| \dfrac{2}{2}\right) = (1|1)$$

Das ist genau $Z$. Die Rechnung stimmt.

Antwort: Der Bildpunkt ist $P'(-1|0)$.

Tipp: Die Überprüfung über den Mittelpunkt kostet wenig Zeit. Sie sichert dein Ergebnis ab.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Punkt- und Achsensymmetrie verwechseln

Das ist der häufigste Fehler. Achte auf den Unterschied:

• Achsensymmetrie = Spiegeln an einer Linie. Du klappst die Figur.
• Punktsymmetrie = Drehen um einen Punkt um $180°$.

Ein Rechteck ist achsensymmetrisch bezüglich beider Mittellinien. Es ist auch punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts. Ein gleichseitiges Dreieck ist achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

Test: Drehe dein Blatt um eine halbe Umdrehung. Sieht die Figur gleich aus? Dann ist sie punktsymmetrisch.

Achtung

Stolperstein 2: Falsches Symmetriezentrum wählen

Das Symmetriezentrum liegt nicht immer im Mittelpunkt einer Seite. Es liegt im Mittelpunkt der ganzen Figur. Beim Parallelogramm ist es der Schnittpunkt der Diagonalen. Beim Kreis ist es der Kreismittelpunkt.

Wenn du dir unsicher bist: Verbinde zwei gegenüberliegende Punkte. Der Mittelpunkt dieser Verbindungsstrecke ist das Symmetriezentrum – falls die Figur punktsymmetrisch ist.

Merke: Nicht jede Figur hat ein Symmetriezentrum. Ein gleichseitiges Dreieck hat keines.

Achtung

Stolperstein 3: Vorzeichen bei der Ursprungsspiegelung

Bei der Spiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen. Viele Schüler vergessen eine Koordinate.

Aus $P(4|{-3})$ wird $P'({-4}|3)$. Beide Vorzeichen ändern sich.

Merke: Nicht nur $x$ ändert sich. Auch $y$ ändert sich. Immer beide.

Achtung

Stolperstein 4: Drehwinkel vergessen

Punktsymmetrie bedeutet immer eine Drehung um genau $180°$. Nicht $90°$, nicht $120°$. Manche Figuren sehen nach $90°$ oder $120°$ gleich aus. Das ist eine andere Art von Symmetrie.

Ein Quadrat sieht nach $90°$ gleich aus. Das nennt man Drehsymmetrie vierter Ordnung. Das ist nicht dasselbe wie Punktsymmetrie. Punktsymmetrie bezieht sich immer auf den Winkel $180°$.

Beispiel:

Beispiel 3: Bildpunkt eines Dreiecks bestimmen

Dreieck $ABC$ mit $A(1|1)$, $B(3|1)$, $C(2|3)$ wird am Symmetriezentrum $Z(0|0)$ gespiegelt.

Aufgabe: Bestimme das Bilddreieck $A'B'C'$.

Lösung:

Da das Zentrum der Ursprung $O(0|0)$ ist, wechseln alle Koordinaten ihr Vorzeichen.

$$\begin{align*} A(1|1) &\rightarrow A'(-1|-1) \\ B(3|1) &\rightarrow B'(-3|-1) \\ C(2|3) &\rightarrow C'(-2|-3) \end{align*}$$

Überprüfung für Punkt $A$:

Mittelpunkt zwischen $A(1|1)$ und $A'(-1|-1)$:

$$\left(\dfrac{1+(-1)}{2} \Big| \dfrac{1+(-1)}{2}\right) = (0|0) = Z \checkmark$$

Antwort: Das Bilddreieck ist $A'(-1|-1)$, $B'(-3|-1)$, $C'(-2|-3)$.

Beachte: Das Bilddreieck hat dieselbe Form und Grösse wie das Original. Punktspiegelung verändert keine Abstände oder Winkel.

Beispiel:

Beispiel 4: Punktsymmetrie im Alltag – Spielkarten

Lisa behauptet: „Spielkarten sind punktsymmetrisch.” Stimmt das?

Aufgabe: Untersuche eine Spielkarte auf Punktsymmetrie.

Lösung:

Nimm eine Spielkarte, zum Beispiel die Herz 7. Halte sie normal. Dann drehst du sie um $180°$. Was passiert?

Die Zahl „7” erscheint wieder oben. Die Herz-Symbole sind so angeordnet, dass sie nach der Drehung dieselbe Position einnehmen. Das Bild sieht identisch aus.

Das Symmetriezentrum liegt genau in der Mitte der Karte.

Warum ist das so?

Spielkarten werden absichtlich punktsymmetrisch gestaltet. Ein Kartenspieler hält Karten in verschiedenen Richtungen. Egal wie, er erkennt den Wert sofort. Das ist praktisch und verhindert Fehler beim Spiel.

Auch Figuren-Karten wie König, Dame und Bube sind punktsymmetrisch. Du siehst oben und unten je eine halbe Figur.

Antwort: Ja, Lisa hat recht. Spielkarten sind punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum liegt in der Mitte der Karte.

Vertiefung

Bisher hast du einzelne Punkte und einfache Figuren betrachtet. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

Punktsymmetrie und Achsensymmetrie zusammen

Manche Figuren besitzen beide Arten von Symmetrie. Ein Quadrat ist achsensymmetrisch bezüglich vier Achsen. Es ist auch punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts. Ein Rechteck ist achsensymmetrisch bezüglich zwei Achsen. Es ist ebenfalls punktsymmetrisch.

Aber: Achsensymmetrie bedeutet nicht automatisch Punktsymmetrie. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch. Es ist nicht punktsymmetrisch. Ein Parallelogramm (keine rechten Winkel) ist punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch.

Drehsymmetrie als Verallgemeinerung

Definition

Eine Figur heisst n-fach drehsymmetrisch, wenn sie bei einer Drehung um $\dfrac{360°}{n}$ mit sich selbst übereinstimmt.

Punktsymmetrie ist ein Sonderfall: Sie entspricht einer 2-fachen Drehsymmetrie mit Drehwinkel $\dfrac{360°}{2} = 180°$.

Ein gleichseitiges Dreieck ist 3-fach drehsymmetrisch (Drehwinkel $120°$). Es ist aber nicht punktsymmetrisch.

Ein reguläres Sechseck ist 6-fach drehsymmetrisch. Es ist auch punktsymmetrisch (Drehwinkel $180°$ ist enthalten).

Punktsymmetrie in der Natur und Technik

In der Natur findest du Punktsymmetrie selten in reiner Form. Manche Kristalle zeigen sie. In der Technik ist sie häufig: Schrauben, Zahnräder, Propeller. Viele Logos von Firmen nutzen Punktsymmetrie. Sie wirken ausgewogen und stabil.

In der Architektur findest du Punktsymmetrie in Grundrissen. Viele klassische Gebäude haben einen zentralen Punkt. Um ihn herum sind die Räume symmetrisch angeordnet.

Koordinatensystem und Punktspiegelung

Im Koordinatensystem kannst du Punktspiegelungen exakt berechnen. Das wirst du in höheren Klassen mit Vektoren noch genauer beschreiben. Ein Vektor von $P$ zu $Z$ wird gespiegelt. Der Bildpunkt liegt auf der verlängerten Linie.

Beispiel:

Beispiel 5: Symmetriezentrum bestimmen

Gegeben sind zwei Punkte: $P(2|5)$ und sein Bildpunkt $P'(6|1)$.

Aufgabe: Bestimme das Symmetriezentrum $Z$.

Lösung:

Das Symmetriezentrum liegt genau in der Mitte zwischen $P$ und $P'$. Berechne den Mittelpunkt:

$$\begin{align*} Z_x &= \dfrac{p_x + p'_x}{2} = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \\ Z_y &= \dfrac{p_y + p'_y}{2} = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \end{align*}$$

Das Symmetriezentrum ist $Z(4|3)$.

Überprüfung:

Wende die Spiegelungsformel an: $P(2|5)$ gespiegelt an $Z(4|3)$:

$$\begin{align*} P'_x &= 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6 \\ P'_y &= 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1 \end{align*}$$

Ergebnis: $P'(6|1)$. Das stimmt mit dem gegebenen Bildpunkt überein.

Antwort: Das Symmetriezentrum ist $Z(4|3)$.

Merke: Diese Methode funktioniert umgekehrt. Du kennst Punkt und Bildpunkt. Daraus findest du das Zentrum.

Übungen

Löse die Aufgaben selbst. Die ausführlichen Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 ★ Welche dieser Figuren ist punktsymmetrisch? Kreuze an: Kreis, gleichseitiges Dreieck, Raute, Pfeil.

Aufgabe 2 ★ Punkt $A(5|0)$ wird am Ursprung $O(0|0)$ gespiegelt. Welche Koordinaten hat der Bildpunkt $A'$?

Aufgabe 3 ★ Erkläre in einem Satz: Was bedeutet es, dass $Z$ das Symmetriezentrum einer Figur ist?

Aufgabe 4 ★★ Punkt $B(2|{-3})$ wird am Zentrum $Z(1|2)$ gespiegelt. Berechne den Bildpunkt $B'$.

Aufgabe 5 ★★ Punkt $C$ hat den Bildpunkt $C'(4|6)$ bei der Spiegelung am Zentrum $Z(1|2)$. Bestimme den Originalpunkt $C$.

Aufgabe 6 ★★ Ist ein gleichschenkliges Dreieck punktsymmetrisch? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 7 ★★ Strecke $AB$ mit $A(0|2)$ und $B(4|2)$ wird am Zentrum $Z(2|0)$ gespiegelt. Bestimme die Bildstrecke $A'B'$.

Aufgabe 8 ★★★ Gegeben sind $P(3|4)$ und $P'({-1}|2)$. Bestimme das Symmetriezentrum $Z$.

Aufgabe 9 ★★★ Ein Rechteck hat die Ecken $A(1|1)$, $B(5|1)$, $C(5|3)$, $D(1|3)$. Bestimme das Symmetriezentrum. Überprüfe dein Ergebnis.

Aufgabe 10 ★★★ Ein Dreieck $PQR$ mit $P(1|1)$, $Q(4|1)$, $R(2|4)$ wird am Zentrum $Z(3|2)$ gespiegelt. Bestimme das Bilddreieck $P'Q'R'$ und zeichne beide Dreiecke in ein Koordinatensystem.

Das Wichtigste in Kürze

Punktsymmetrie bedeutet: Eine Figur sieht nach einer Drehung um $180°$ um das Symmetriezentrum $Z$ genauso aus wie vorher.

Für jeden Punkt $P$ einer punktsymmetrischen Figur gilt: Es gibt einen Bildpunkt $P'$. Das Zentrum $Z$ liegt genau in der Mitte zwischen $P$ und $P'$. Es gilt $\overline{PZ} = \overline{ZP'}$.

Den Bildpunkt berechnest du mit:

$$\begin{align*} P'_x &= 2 \cdot Z_x - P_x \\ P'_y &= 2 \cdot Z_y - P_y \end{align*}$$

Am Ursprung gilt einfach: Vorzeichen beider Koordinaten wechseln. Punktsymmetrie ist verschieden von Achsensymmetrie. Parallelogramme, Kreise und reguläre Sechsecke sind typische Beispiele. Dreiecke im Allgemeinen sind nicht punktsymmetrisch.

Quiz

❓ Frage: Ist ein Rechteck punktsymmetrisch? Wenn ja, wo liegt das Symmetriezentrum?

Lösung anzeigen

Ja, ein Rechteck ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum liegt im Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Bei einer Drehung um $180°$ um diesen Punkt geht das Rechteck in sich selbst über. Jede Ecke hat ihre Partnerecke auf der gegenüberliegenden Seite.

❓ Frage: Der Punkt $A(4|3)$ wird am Ursprung $O(0|0)$ gespiegelt. Welche Koordinaten hat der Bildpunkt $A'$?

Lösung anzeigen

Bei der Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen: $A(4|3) \rightarrow A'(-4|-3)$ Der Bildpunkt ist $A'(-4|-3)$. Merke: Immer beide Koordinaten wechseln, nicht nur eine.

❓ Frage: Erkläre in einem Satz den Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie.

Lösung anzeigen

Bei der Achsensymmetrie wird eine Figur an einer Linie gespiegelt (wie ein Klappen des Papiers). Bei der Punktsymmetrie wird sie um $180°$ um einen einzigen Punkt gedreht.

❓ Frage: Welche dieser Figuren ist punktsymmetrisch: gleichseitiges Dreieck, Parallelogramm, Pfeil?

Lösung anzeigen

Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Das gleichseitige Dreieck ist nicht punktsymmetrisch. Es ist zwar drehsymmetrisch um $120°$, aber nicht um $180°$. Der Pfeil ist ebenfalls nicht punktsymmetrisch.

❓ Frage: Punkt $P(5|3)$ wird am Zentrum $Z(2|1)$ gespiegelt. Berechne den Bildpunkt $P'$.

Lösung anzeigen

Wende die Formel an:

$$\begin{align*} P'_x &= 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1 \\ P'_y &= 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1 \end{align*}$$

Der Bildpunkt ist $P'(-1|-1)$.

Überprüfung: Mittelpunkt von $P(5|3)$ und $P'(-1|-1)$ ist $\left(\dfrac{5-1}{2}\Big|\dfrac{3-1}{2}\right) = (2|1) = Z$. ✓

Ausblick

Punktsymmetrie ist ein Baustein für viele weitere Themen. In der 7. und 8. Klasse lernst du Vektoren kennen. Dann kannst du Punktspiegelungen mit Vektoraddition beschreiben. Später kommt die Gruppentheorie: Symmetrien werden als mathematische Gruppen beschrieben.

Im Alltag begegnet dir Punktsymmetrie weiterhin. In der Kunst, im Design, in der Architektur. In der Physik spielt Symmetrie eine riesige Rolle. Naturgesetze sind oft symmetrisch. Das hilft Wissenschaftlern, neue Erkenntnisse zu gewinnen. Was du hier lernst, ist der erste Schritt zu einem grossen mathematischen Weltbild.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Kreis: ✓ punktsymmetrisch (Zentrum = Mittelpunkt) Gleichseitiges Dreieck: ✗ nicht punktsymmetrisch Raute: ✓ punktsymmetrisch (Zentrum = Diagonalenschnittpunkt) Pfeil: ✗ nicht punktsymmetrisch

Lösung zu Aufgabe 2

Bei der Spiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen:

$$A(5|0) \rightarrow A'(-5|0)$$

Der Bildpunkt ist $A'(-5|0)$.

Lösung zu Aufgabe 3

Mögliche Antwort: Das Symmetriezentrum $Z$ ist der Punkt, um den man die Figur um $180°$ dreht, so dass sie danach mit sich selbst übereinstimmt. Für jeden Punkt $P$ der Figur liegt $Z$ genau in der Mitte zwischen $P$ und seinem Bildpunkt $P'$.

Lösung zu Aufgabe 4

Gegeben: $B(2|-3)$, $Z(1|2)$. Wende die Formel an:

$$\begin{align*} B'_x &= 2 \cdot 1 - 2 = 2 - 2 = 0 \\ B'_y &= 2 \cdot 2 - (-3) = 4 + 3 = 7 \end{align*}$$

Der Bildpunkt ist $B'(0|7)$.

Überprüfung: Mittelpunkt von $B(2|-3)$ und $B'(0|7)$ ist $\left(\dfrac{2+0}{2}\Big|\dfrac{-3+7}{2}\right) = (1|2) = Z$. ✓

Lösung zu Aufgabe 5

Bekannt: Bildpunkt $C'(4|6)$, Zentrum $Z(1|2)$. Gesucht: Originalpunkt $C$.

Da $Z$ in der Mitte zwischen $C$ und $C'$ liegt, verwende dieselbe Formel „umgekehrt”:

$$\begin{align*} C_x &= 2 \cdot Z_x - C'_x = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2 \\ C_y &= 2 \cdot Z_y - C'_y = 2 \cdot 2 - 6 = 4 - 6 = -2 \end{align*}$$

Der Originalpunkt ist $C(-2|-2)$.

Lösung zu Aufgabe 6

Ein gleichschenkliges Dreieck ist nicht punktsymmetrisch. Grund: Wähle die Spitze des Dreiecks als mögliches Zentrum. Der gespiegelte Punkt der Spitze läge weit ausserhalb des Dreiecks. Es gibt keinen Punkt $Z$, um den das Dreieck bei $180°$-Drehung mit sich selbst übereinstimmt. Dreiecke im Allgemeinen sind nie punktsymmetrisch.

Lösung zu Aufgabe 7

Gegeben: $A(0|2)$, $B(4|2)$, $Z(2|0)$. Berechne die Bildpunkte:

$$\begin{align*} A'_x &= 2 \cdot 2 - 0 = 4 \quad A'_y = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \quad \Rightarrow A'(4|-2) \\ B'_x &= 2 \cdot 2 - 4 = 0 \quad B'_y = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \quad \Rightarrow B'(0|-2) \end{align*}$$

Die Bildstrecke $A'B'$ verbindet $A'(4|-2)$ und $B'(0|-2)$. Sie liegt parallel zur x-Achse bei $y = -2$.

Lösung zu Aufgabe 8

Gegeben: $P(3|4)$, $P'(-1|2)$. Das Zentrum liegt in der Mitte:

$$\begin{align*} Z_x &= \dfrac{3 + (-1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \\ Z_y &= \dfrac{4 + 2}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \end{align*}$$

Das Symmetriezentrum ist $Z(1|3)$.

Lösung zu Aufgabe 9

Das Zentrum des Rechtecks liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Berechne den Mittelpunkt von $A(1|1)$ und $C(5|3)$ (gegenüberliegende Ecken):

$$Z = \left(\dfrac{1+5}{2}\Big|\dfrac{1+3}{2}\right) = (3|2)$$

Überprüfung: Mittelpunkt von $B(5|1)$ und $D(1|3)$:

$$\left(\dfrac{5+1}{2}\Big|\dfrac{1+3}{2}\right) = (3|2) = Z \checkmark$$

Das Symmetriezentrum ist $Z(3|2)$.

Lösung zu Aufgabe 10

Gegeben: $P(1|1)$, $Q(4|1)$, $R(2|4)$, $Z(3|2)$. Berechne alle Bildpunkte:

$$\begin{align*} P'_x &= 2 \cdot 3 - 1 = 5 \quad P'_y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \quad \Rightarrow P'(5|3) \\ Q'_x &= 2 \cdot 3 - 4 = 2 \quad Q'_y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \quad \Rightarrow Q'(2|3) \\ R'_x &= 2 \cdot 3 - 2 = 4 \quad R'_y = 2 \cdot 2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow R'(4|0) \end{align*}$$

Das Bilddreieck hat die Ecken $P'(5|3)$, $Q'(2|3)$, $R'(4|0)$.

Zeichne beide Dreiecke in ein Koordinatensystem. Das Bilddreieck ist eine Drehung des Originals um $180°$ um $Z(3|2)$. Beide Dreiecke sind gleich gross und gleich geformt. Das Zentrum $Z$ liegt genau in der Mitte jeder Verbindungsstrecke zwischen Original- und Bildpunkt.

Verwandte Themen

• Achsensymmetrie verstehen – Spiegelungen in der Geometrie
• Lage von Geraden – Wie Linien sich treffen (oder nicht)
• Strecken und Geraden – Die Bausteine der Geometrie

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport