Quadratwurzelfunktion einfach erklärt: Graphen, Eigenschaften und Beispiele

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Potenz- und quadratische Funktionen”
• Vorwissen: Die Normalparabel verstehen
• Als Nächstes: Potenzfunktionen einfach erklärt
• Verwandt: Quadratische Funktionen und Scheitelpunkt

Darum geht's

Stell dir vor, du baust einen quadratischen Garten und kennst die Fläche. Aber wie lang ist dann jede Seite? Wenn dein Garten $25 \, \text{m}^2$ gross ist, musst du herausfinden, welche Zahl mit sich selbst multipliziert $25$ ergibt. Die Antwort ist $5$, denn $5 \cdot 5 = 25$. Genau diesen Prozess – das Rückwärtsrechnen vom Quadrat zur Seitenlänge – beschreibt die Quadratwurzelfunktion. Sie ist die Umkehrung des Quadrierens und eröffnet dir eine neue Welt von Funktionen mit überraschenden Eigenschaften. In diesem Artikel lernst du ihren Graphen, ihren Definitionsbereich und viele Anwendungsbeispiele kennen.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.1.A.1.iGrundanspruchBegriffe Term, Variable, Unbekannte, hoch, Potenz, Zehnerpotenz, Vorzeichen, positive/negative Zahlen, (Quadrat-)Wurzel (Erw: Basis, Exponent); Symbole √, ≤, ≥; Zahlen bis 1 Milliarde lesen und schreiben
• MA.1.A.3.iGrundanspruchGrundoperationen mit rationalen Zahlen; Wurzeln und Potenzen mit Rechner; Erw: Grundoperationen mit gewöhnlichen Brüchen mit Variablen
• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.1.A.1.jZahlen in wissenschaftlicher Schreibweise mit positiven Exponenten lesen/schreiben; Potenzen mit rationaler Basis und natürlichem Exponenten
• MA.1.A.3.jTerme mit Potenzen und Quadratwurzeln umformen und berechnen; Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Quadratwurzel hat eine faszinierende Geschichte, die weit in die Antike zurückreicht. Schon die Babylonier vor rund $4000$ Jahren konnten Quadratwurzeln erstaunlich genau berechnen. Auf einer Tontafel mit der Bezeichnung YBC 7289 findest du den Wert von $\sqrt{2}$ mit einer Genauigkeit von sechs Nachkommastellen. Das ist beeindruckend für eine Zeit ohne Taschenrechner.

Die alten Griechen machten dann eine Entdeckung, die ihre mathematische Welt erschütterte. Pythagoras und seine Schüler glaubten fest daran, dass sich jede Zahl als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Doch als sie versuchten, die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge $1$ zu berechnen, stiessen sie auf $\sqrt{2}$. Diese Zahl liess sich partout nicht als Bruch schreiben. Die Legende erzählt, dass der Mathematiker Hippasos, der diese Erkenntnis öffentlich machte, dafür ins Meer geworfen wurde.

Das Wurzelzeichen $\sqrt{\phantom{x}}$, wie wir es heute kennen, wurde erst im Jahr $1525$ vom deutschen Mathematiker Christoph Rudolff eingeführt. Es soll sich aus dem lateinischen Buchstaben “r” für radix (Wurzel) entwickelt haben. Der waagerechte Strich über dem Ausdruck, das sogenannte Vinculum, kam später hinzu und stammt von René Descartes.

Die Quadratwurzelfunktion als eigenständiges mathematisches Objekt wurde aber erst im $17.$ Jahrhundert systematisch untersucht. Mathematiker wie Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten im Rahmen der Analysis Methoden, um solche Funktionen allgemein zu behandeln.

Heute begegnet dir die Quadratwurzelfunktion überall. In der Physik beschreibt sie die Fallzeit bei freiem Fall. In der Statistik taucht sie bei der Berechnung der Standardabweichung auf. Und selbst in der Computergrafik spielt sie eine zentrale Rolle, etwa bei der Berechnung von Abständen zwischen Pixeln.

Die Grundlagen

Erinnere dich an die quadratische Funktion $f(x) = x^2$. Diese Funktion nimmt eine Zahl und quadriert sie. Wenn du $3$ einsetzt, erhältst du $9$. Wenn du $4$ einsetzt, erhältst du $16$.

Die Quadratwurzelfunktion macht genau das Gegenteil. Sie beantwortet die Frage: Welche positive Zahl ergibt quadriert diesen Wert?

Schauen wir uns das in einer Tabelle an:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$
$\sqrt{x}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

Fällt dir etwas auf? Die Werte unter dem Wurzelzeichen sind Quadratzahlen. Die Ergebnisse sind genau die Zahlen, die quadriert diese Werte ergeben.

Die Quadratwurzel ist also eine Umkehroperation. Sie macht das Quadrieren rückgängig, allerdings nur für nicht-negative Zahlen. Diese Einschränkung ist wichtig und begleitet dich durch den ganzen Artikel.

Definition

Die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ heisst Quadratwurzelfunktion. Sie ordnet jeder nicht-negativen Zahl $x$ ihre positive Quadratwurzel zu. Für den Definitionsbereich gilt $D = [0; \infty)$ und für den Wertebereich $W = [0; \infty)$. Der Graph beginnt im Ursprung, steigt monoton und verläuft ausschliesslich im ersten Quadranten des Koordinatensystems.

Beachte, dass die Quadratwurzel immer einen eindeutigen, nicht-negativen Wert liefert. Manche denken, $\sqrt{16}$ könne $4$ oder $-4$ sein, weil ja $4^2 = 16$ und $(-4)^2 = 16$ gelten. Das stimmt für die Lösungen der Gleichung $x^2 = 16$. Die Wurzelfunktion selbst liefert aber nur den positiven Wert $4$.

Die Kernmethode

Die Quadratwurzelfunktion schreibst du als:

$f(x) = \sqrt{x}$

Diese Schreibweise bedeutet: Für jeden $x$-Wert berechnest du die Quadratwurzel.

So zeichnest du den Graphen der Quadratwurzelfunktion Schritt für Schritt:

1. Wertetabelle erstellen: Wähle mehrere $x$-Werte und berechne die zugehörigen $y$-Werte. Wähle sowohl Quadratzahlen ($0, 1, 4, 9, 16$) als auch Zwischenwerte ($2, 3, 5, 6$).
2. Punkte einzeichnen: Trage jeden Punkt $(x \mid y)$ ins Koordinatensystem ein.
3. Kurve verbinden: Verbinde die Punkte mit einer glatten Kurve.

Hier ist eine ausführliche Wertetabelle:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$\sqrt{x}$	$0$	$1$	$\approx 1{,}41$	$\approx 1{,}73$	$2$	$\approx 2{,}24$	$\approx 2{,}45$	$\approx 2{,}65$	$\approx 2{,}83$	$3$

Der Graph beginnt im Ursprung $(0 \mid 0)$ und steigt nach rechts an. Er verläuft immer oberhalb der $x$-Achse und wird mit zunehmendem $x$ immer flacher.

Definition

Für die Quadratwurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ gilt:

• Definitionsbereich: $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}$
• Wertebereich: $W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}$

Negative Zahlen sind ausgeschlossen, weil es im Bereich der reellen Zahlen keine Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist.

Beispiel:

Beispiel 1: Funktionswerte berechnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$. Berechne $f(0)$, $f(16)$ und $f(50)$.

Lösung:

Für $f(0)$ gilt:

$f(0) = \sqrt{0} = 0$

Für $f(16)$ gilt:

$f(16) = \sqrt{16} = 4$

Für $f(50)$ gilt:

$f(50) = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$

Die Funktionswerte sind $f(0) = 0$, $f(16) = 4$ und $f(50) \approx 7{,}07$.

Beachte bei $f(50)$: Die Zahl $50$ ist keine Quadratzahl. Du zerlegst sie aber in $25 \cdot 2$, wobei $25$ eine Quadratzahl ist. So kannst du die Wurzel teilweise vereinfachen und erhältst die exakte Darstellung $5\sqrt{2}$.

Beispiel:

Beispiel 2: Punkt auf dem Graphen überprüfen

Liegt der Punkt $P(9 \mid 4)$ auf dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$? Und welcher Punkt mit $x$-Koordinate $9$ liegt tatsächlich auf dem Graphen?

Lösung:

Ein Punkt liegt auf dem Graphen, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Wir setzen $x = 9$ ein und prüfen, ob $y = 4$ herauskommt.

$f(9) = \sqrt{9} = 3$

Das Ergebnis ist $3$, nicht $4$. Der Punkt $P(9 \mid 4)$ liegt also nicht auf dem Graphen.

Der Punkt mit $x = 9$, der tatsächlich auf dem Graphen liegt, ist $Q(9 \mid 3)$.

Zur weiteren Kontrolle berechnen wir noch zwei Punkte:

• Für $x = 1$: $f(1) = \sqrt{1} = 1$, also Punkt $(1 \mid 1)$
• Für $x = 4$: $f(4) = \sqrt{4} = 2$, also Punkt $(4 \mid 2)$
• Für $x = 25$: $f(25) = \sqrt{25} = 5$, also Punkt $(25 \mid 5)$

Diese drei Punkte bestätigen die typische Kurvenform. Die Funktion wächst, aber immer langsamer.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Negative Zahlen unter der Wurzel: Manche Schüler setzen negative Zahlen in $\sqrt{x}$ ein und wundern sich über die Fehlermeldung des Taschenrechners. Merke dir: Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Prüfe immer zuerst, ob dein $x$-Wert grösser oder gleich null ist. Nur in der Mathematik der komplexen Zahlen gibt es eine Erweiterung, die dir aber erst viel später in deiner Schullaufbahn begegnet.

Achtung

Verwechslung mit dem Quadrieren: Die Wurzelfunktion ist nicht dasselbe wie das Quadrieren. Es gilt $\sqrt{x^2} = |x|$ und nicht einfach $x$. Bei negativen Zahlen ist das wichtig: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ und nicht $-3$. Die Quadratwurzel liefert immer einen nicht-negativen Wert.

Achtung

Falsches Vereinfachen von Summen: Ein häufiger Irrtum ist $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Das stimmt nicht. Zum Beispiel ist $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Die Wurzel aus einer Summe kannst du nicht einfach aufspalten. Nur bei Produkten gilt $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, vorausgesetzt $a \geq 0$ und $b \geq 0$.

Achtung

Verwechslung von Graph und Parabel: Die Parabel $y = x^2$ und der Wurzelgraph $y = \sqrt{x}$ sehen auf den ersten Blick ähnlich aus, sind aber verschieden. Die Parabel öffnet sich nach oben und ist symmetrisch zur $y$-Achse. Der Wurzelgraph liegt “auf der Seite” und ist nur für $x \geq 0$ definiert. Tatsächlich ist der Wurzelgraph der rechte Ast der um $90°$ gedrehten Parabel.

Beispiel:

Beispiel 3: Definitionsbereich einer verschobenen Wurzelfunktion

Bestimme den Definitionsbereich der Funktion $g(x) = \sqrt{x - 3}$ und den Startpunkt ihres Graphen.

Lösung:

Unter der Wurzel darf kein negativer Wert stehen. Wir müssen also herausfinden, für welche $x$-Werte der Term $x - 3$ nicht negativ ist.

$x - 3 \geq 0$

Wir lösen nach $x$ auf:

$x \geq 3$

Der Definitionsbereich ist $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3\}$ oder $D = [3; \infty)$.

Diese Funktion ist erst ab $x = 3$ definiert. Ihr Graph startet im Punkt $(3 \mid 0)$, denn an dieser Stelle gilt:

$g(3) = \sqrt{3 - 3} = \sqrt{0} = 0$

Der Graph ist gegenüber der Grundfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ um $3$ Einheiten nach rechts verschoben. Alles andere bleibt gleich: gleiche Form, gleiche Krümmung, nur ein anderer Startpunkt.

Beispiel:

Beispiel 4: Anwendung – Seitenlänge berechnen

Ein quadratisches Grundstück hat eine Fläche von $200 \, \text{m}^2$. Wie lang ist jede Seite? Wie ändert sich die Seitenlänge, wenn die Fläche verdoppelt wird?

Lösung:

Die Fläche eines Quadrats berechnet sich mit $A = a^2$, wobei $a$ die Seitenlänge ist.

Wir kennen die Fläche und suchen die Seitenlänge. Dazu ziehen wir die Wurzel:

$a = \sqrt{A} = \sqrt{200}$

Wir vereinfachen:

$a = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$

Jede Seite ist etwa $14{,}14 \, \text{m}$ lang.

Nun verdoppeln wir die Fläche auf $400 \, \text{m}^2$:

$a_{\text{neu}} = \sqrt{400} = 20$

Die neue Seitenlänge ist $20 \, \text{m}$. Sie ist also nicht doppelt so lang wie vorher, sondern nur um den Faktor $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ länger. Das zeigt dir eine wichtige Eigenschaft der Wurzelfunktion: Sie wächst langsam. Eine Verdoppelung der Fläche führt nur zu einer Vergrösserung der Seitenlänge um etwa $41 \, \%$.

Vertiefung

Die Quadratwurzelfunktion ist eng mit der quadratischen Funktion verwandt. Tatsächlich ist sie die Umkehrfunktion von $f(x) = x^2$, allerdings nur, wenn wir $x$ auf nicht-negative Werte beschränken. Wenn du den Graphen von $f(x) = x^2$ für $x \geq 0$ an der Winkelhalbierenden $y = x$ spiegelst, erhältst du genau den Graphen von $g(x) = \sqrt{x}$.

Diese Spiegelung ist kein Zufall. Sie folgt aus der allgemeinen Eigenschaft: Wenn zwei Funktionen Umkehrfunktionen voneinander sind, sind ihre Graphen Spiegelbilder bezüglich der Winkelhalbierenden.

Definition

Die Funktion $g$ heisst Umkehrfunktion von $f$, wenn gilt $g(f(x)) = x$ für alle $x$ im Definitionsbereich von $f$. Für $f(x) = x^2$ mit $x \geq 0$ ist die Umkehrfunktion $g(x) = \sqrt{x}$. Es gilt $\sqrt{x^2} = x$ für $x \geq 0$.

Aus dieser Beziehung leiten sich viele Eigenschaften der Wurzelfunktion ab. Die Parabel $y = x^2$ steigt für $x \geq 0$ immer steiler an. Der Wurzelgraph als Spiegelbild steigt also immer flacher. Die Parabel geht durch $(2 \mid 4)$ und $(3 \mid 9)$. Der Wurzelgraph geht dementsprechend durch $(4 \mid 2)$ und $(9 \mid 3)$. Die Koordinaten tauschen einfach die Rollen.

Ein weiterer interessanter Aspekt ist die Rechenregel für Produkte und Quotienten. Es gilt $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ für $a, b \geq 0$ und $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ für $a \geq 0$ und $b > 0$. Diese Regeln helfen dir beim Vereinfachen von Wurzelausdrücken. So kannst du etwa $\sqrt{72}$ als $\sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ schreiben.

Für Summen und Differenzen gelten solche einfachen Regeln dagegen nicht. Das musst du dir gut merken.

Beispiel:

Beispiel 5: Schnittpunkt mit einer Geraden

Bestimme den Schnittpunkt der Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ mit der Geraden $g(x) = \dfrac{1}{2}x$.

Lösung:

Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}x$

Wir quadrieren beide Seiten (das ist erlaubt, da beide Seiten für $x \geq 0$ nicht negativ sind):

$x = \frac{1}{4}x^2$

Wir multiplizieren mit $4$:

$4x = x^2$

Wir bringen alles auf eine Seite:

$x^2 - 4x = 0$

Wir klammern aus:

$x(x - 4) = 0$

Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$.

Wir berechnen die zugehörigen $y$-Werte:

• Für $x = 0$: $y = \sqrt{0} = 0$
• Für $x = 4$: $y = \sqrt{4} = 2$

Die Schnittpunkte sind $S_1(0 \mid 0)$ und $S_2(4 \mid 2)$.

Probe: Wir prüfen $S_2$ in beiden Funktionen: $f(4) = \sqrt{4} = 2$ ✓ und $g(4) = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$ ✓.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne ohne Taschenrechner: $\sqrt{64}$, $\sqrt{144}$ und $\sqrt{0{,}25}$.

Aufgabe 2: Bestimme den Definitionsbereich der Funktion $f(x) = \sqrt{x - 7}$.

Aufgabe 3: Liegt der Punkt $P(36 \mid 6)$ auf dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 4: Vereinfache die Ausdrücke: $\sqrt{48}$ und $\sqrt{75}$.

Aufgabe 5: Ein quadratischer Raum hat eine Fläche von $49 \, \text{m}^2$. Wie lang ist jede Wand?

Aufgabe 6: Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ mit den $x$-Werten $0, 1, 4, 9, 16$ und zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Aufgabe 7: Bestimme den Definitionsbereich von $h(x) = \sqrt{2x - 6}$.

Aufgabe 8: Zeige durch ein Zahlenbeispiel, dass $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ gilt.

Aufgabe 9: Bestimme den Schnittpunkt von $f(x) = \sqrt{x}$ mit der Geraden $g(x) = x - 2$.

Aufgabe 10: Ein freier Fall aus der Höhe $h$ dauert näherungsweise $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ Sekunden, wobei $g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2$ ist. Wie lange dauert es, bis ein Stein aus $45 \, \text{m}$ Höhe auf dem Boden aufschlägt?

Das Wichtigste in Kürze

• Die Quadratwurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion des Quadrierens für nicht-negative Zahlen.
• Der Definitionsbereich umfasst nur Werte $x \geq 0$, da die Wurzel aus negativen Zahlen nicht reell ist.
• Der Wertebereich ist ebenfalls $[0; \infty)$, denn die Wurzel ist immer nicht-negativ.
• Der Graph startet im Ursprung, ist streng monoton steigend und rechtsgekrümmt.
• Die Wurzel aus einer Summe lässt sich nicht in die Summe der Wurzeln aufspalten: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Für Produkte gilt hingegen $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ mit $a, b \geq 0$.
• Der Graph entsteht durch Spiegelung des Graphen von $y = x^2$ (für $x \geq 0$) an der Winkelhalbierenden $y = x$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Was ist der Definitionsbereich der Funktion $f(x) = \sqrt{x + 5}$?

Lösung anzeigen

Unter der Wurzel muss der Ausdruck nicht-negativ sein: $x + 5 \geq 0$, also $x \geq -5$. Der Definitionsbereich ist $D = [-5; \infty)$.

❓ Frage:

Berechne $f(81)$ für die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$.

Lösung anzeigen

$f(81) = \sqrt{81} = 9$ Die Lösung ist $9$, denn $9 \cdot 9 = 81$.

❓ Frage:

Liegt der Punkt $P(25 \mid 5)$ auf dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Wir setzen $x = 25$ in die Funktion ein: $f(25) = \sqrt{25} = 5$ Das Ergebnis ist $5$, und genau das ist die $y$-Koordinate des Punktes $P$. Ja, der Punkt $P(25 \mid 5)$ liegt auf dem Graphen.

❓ Frage:

Was ist $\sqrt{36 \cdot 4}$? Wähle die richtige Antwort: a) $6 + 2 = 8$ b) $\sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 2 = 12$ c) $\sqrt{36} + \sqrt{4} = 8$

Lösung anzeigen

Die richtige Antwort ist b). Es gilt die Regel $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ für nicht-negative $a$ und $b$. Also: $\sqrt{36 \cdot 4} = \sqrt{144} = 12 = 6 \cdot 2 = \sqrt{36} \cdot \sqrt{4}$ Bei Produkten funktioniert das Aufspalten. Bei Summen hingegen nicht.

❓ Frage:

Welche Aussage über den Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$ ist falsch? a) Der Graph geht durch den Ursprung. b) Der Graph ist streng monoton steigend. c) Der Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse. d) Der Graph liegt nur im ersten Quadranten.

Lösung anzeigen

Die falsche Aussage ist c). Der Graph der Quadratwurzelfunktion ist nicht symmetrisch zur $y$-Achse. Er verläuft nur im ersten Quadranten, hat also keine Punkte links von der $y$-Achse. Die anderen Aussagen sind richtig: Der Graph geht durch $(0 \mid 0)$, steigt streng monoton und liegt vollständig im ersten Quadranten.

Ausblick

Du hast nun die Grundform der Quadratwurzelfunktion kennengelernt. Im nächsten Schritt wirst du sehen, wie sich der Graph verändert, wenn du Parameter hinzufügst. Funktionen wie $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ verschieben und strecken den Graphen auf verschiedene Weisen. Ausserdem wirst du Wurzelfunktionen mit höheren Wurzeln kennenlernen, etwa die Kubikwurzel $\sqrt[3]{x}$, die auch negative Zahlen verarbeiten kann. Diese Erweiterungen bauen direkt auf dem auf, was du heute gelernt hast.

Lösungen

Aufgabe 1: Wir berechnen die drei Wurzeln:

$\sqrt{64} = 8 \quad \text{denn} \quad 8^2 = 64$

$\sqrt{144} = 12 \quad \text{denn} \quad 12^2 = 144$

$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \quad \text{denn} \quad 0{,}5^2 = 0{,}25$

Tipp: Bei Dezimalzahlen schreibst du die Zahl als Bruch um. Es gilt $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ und somit $\sqrt{0{,}25} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

Aufgabe 2: Unter der Wurzel muss der Ausdruck nicht-negativ sein:

$x - 7 \geq 0 \implies x \geq 7$

Der Definitionsbereich ist $D = [7; \infty)$.

Aufgabe 3: Wir setzen $x = 36$ in die Funktion ein:

$f(36) = \sqrt{36} = 6$

Das Ergebnis ist $6$, und genau das ist die $y$-Koordinate des Punktes $P$. Ja, der Punkt $P(36 \mid 6)$ liegt auf dem Graphen.

Aufgabe 4: Wir zerlegen die Zahlen unter der Wurzel in einen quadratischen Faktor und einen Rest:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Die vereinfachten Ausdrücke sind $4\sqrt{3}$ und $5\sqrt{3}$.

Aufgabe 5: Die Seitenlänge ergibt sich aus der Wurzel der Fläche:

$a = \sqrt{49} = 7$

Jede Wand ist $7 \, \text{m}$ lang.

Aufgabe 6: Die Wertetabelle lautet:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$
$\sqrt{x}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

Die Punkte sind $(0 \mid 0)$, $(1 \mid 1)$, $(4 \mid 2)$, $(9 \mid 3)$ und $(16 \mid 4)$. Zeichne sie in ein Koordinatensystem und verbinde sie mit einer glatten Kurve.

Aufgabe 7: Unter der Wurzel muss der Ausdruck nicht-negativ sein:

$2x - 6 \geq 0 \implies 2x \geq 6 \implies x \geq 3$

Der Definitionsbereich ist $D = [3; \infty)$.

Aufgabe 8: Wir wählen $a = 9$ und $b = 16$:

$\sqrt{a + b} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$

Die beiden Werte sind verschieden: $5 \neq 7$. Damit ist gezeigt, dass $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ im Allgemeinen gilt.

Aufgabe 9: Wir setzen die Funktionsterme gleich:

$\sqrt{x} = x - 2$

Damit die rechte Seite nicht negativ ist (denn die linke Seite ist es nicht), muss $x \geq 2$ gelten. Wir quadrieren beide Seiten:

$x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

Wir bringen alles auf eine Seite:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren:

$(x - 1)(x - 4) = 0$

Die Lösungen sind $x_1 = 1$ und $x_2 = 4$. Wegen der Bedingung $x \geq 2$ scheidet $x_1 = 1$ aus. Für $x_2 = 4$ gilt $f(4) = \sqrt{4} = 2$ und $g(4) = 4 - 2 = 2$. Der Schnittpunkt ist $S(4 \mid 2)$.

Aufgabe 10: Wir setzen $h = 45$ und $g = 9{,}81$ in die Formel ein:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}} \approx \sqrt{9{,}174}$

Wir berechnen die Wurzel:

$t \approx 3{,}03 \, \text{s}$

Der Stein benötigt etwa $3$ Sekunden, bis er auf dem Boden aufschlägt. Das zeigt dir eine typische Anwendung der Quadratwurzelfunktion in der Physik: Die Fallzeit wächst nicht linear mit der Fallhöhe, sondern nur mit ihrer Quadratwurzel. Eine vierfache Höhe führt nur zu einer doppelten Fallzeit.

Verwandte Themen

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport