Gleichungen verstehen und lösen

Darum geht's

Stell dir vor, du hast eine Waage mit zwei Schalen. Links liegen ein paar Äpfel und ein Gewicht. Rechts liegt ein anderes Gewicht. Die Waage ist im Gleichgewicht. Wie schwer ist ein einzelner Apfel? Du weisst es nicht direkt. Aber du kannst es herausfinden: Nimm von beiden Seiten gleich viel weg. Die Waage bleibt im Gleichgewicht. Schritt für Schritt findest du die Antwort. Genau so funktionieren Gleichungen in der Mathematik.

Eine kleine Zeitreise

Gleichungen sind keine moderne Erfindung. Menschen haben mit ihnen gerechnet, lange bevor es Schulen gab.

Die ältesten bekannten Gleichungen stammen aus dem alten Ägypten. Der Papyrus Rhind, geschrieben um 1650 vor Christus, enthält Aufgaben, die wir heute als Gleichungen erkennen würden. Die Ägypter nannten die unbekannte Grösse “Aha” – was so viel wie “Haufen” bedeutet. Statt $x$ schrieben sie also bildlich von einem unbekannten Haufen.

In Babylon, dem heutigen Irak, rechneten Mathematiker noch früher mit ähnlichen Problemen. Auf Tontafeln aus dem Jahr 2000 vor Christus finden sich Aufgaben mit zwei Unbekannten. Die babylonischen Gelehrten lösten sie mit geometrischen Methoden, ohne eine formale Algebra zu kennen.

Der griechische Mathematiker Diophant von Alexandria, der um 250 nach Christus lebte, gilt als einer der ersten, der systematisch mit Symbolen für Unbekannte arbeitete. Sein Werk “Arithmetika” enthält hunderte von Gleichungsaufgaben.

Den grössten Schritt machte jedoch Mohammed al-Chwarizmi. Er lebte in Bagdad und schrieb um 820 nach Christus ein Buch namens “Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala”. Der Ausdruck “al-jabr” aus dem Titel bedeutet so viel wie “das Wiedereinsetzen” oder “das Verbinden gebrochener Teile”. Daraus entstand das Wort Algebra.

Al-Chwarizmi beschrieb genau die Methoden, die du heute noch in der Schule lernst: Terme auf eine Seite bringen, vereinfachen, die Unbekannte isolieren. Das Erstaunliche daran: Diese Grundidee ist über tausend Jahre alt und funktioniert noch genauso.

Selbst das Gleichheitszeichen $=$ ist relativ jung. Der walisische Mathematiker Robert Recorde erfand es erst 1557. Vorher schrieb man alles in Worten aus.

Die Grundlagen

Du kennst bereits Terme. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Zum Beispiel: $3x + 2$ oder $7 - x$.

Eine Gleichung entsteht, wenn du zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbindest.

Definition

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, bei der zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

$$\text{linker Term} = \text{rechter Term}$$

Die Variable ist der Platzhalter für eine unbekannte Zahl. Meistens verwenden wir den Buchstaben $x$.

Die Lösung einer Gleichung ist der Wert der Variable, für den beide Seiten denselben Wert ergeben.

Nicht jede Gleichung hat genau eine Lösung. Manche haben keine Lösung. Manche sind für alle Zahlen wahr. In der 7. Klasse begegnest du zuerst den Gleichungen mit genau einer Lösung.

Ein Beispiel: Die Gleichung $x + 3 = 8$ hat genau eine Lösung. Nur wenn $x = 5$ gilt, stimmt die Aussage. Für alle anderen Zahlen ist sie falsch.

Die Gleichung $x + 0 = x$ dagegen gilt für jede Zahl. Das nennt man eine Identität.

Die Gleichung $x = x + 1$ hat keine Lösung. Keine Zahl ist gleich ihrer selbst plus eins.

Die Kernmethode

Das Ziel beim Lösen einer Gleichung ist immer dasselbe: Du bringst die Variable alleine auf eine Seite. Alles andere kommt auf die andere Seite.

Dazu verwendest du Äquivalenzumformungen.

Definition

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die den Lösungswert einer Gleichung nicht verändert.

Erlaubte Operationen auf beiden Seiten gleichzeitig:

• Dieselbe Zahl addieren: $\quad x - 4 = 3 \implies x - 4 + 4 = 3 + 4$
• Dieselbe Zahl subtrahieren: $\quad x + 5 = 9 \implies x + 5 - 5 = 9 - 5$
• Mit derselben Zahl multiplizieren (nicht null)
• Durch dieselbe Zahl dividieren (nicht null)

Die Schritte in der Praxis:

1. Schreib die Gleichung auf.
2. Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite.
3. Bringe alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite.
4. Isoliere $x$ durch Multiplizieren oder Dividieren.
5. Mache die Probe: Setze deinen Wert in die ursprüngliche Gleichung ein.

Die Probe ist kein optionaler Schritt. Sie zeigt dir zuverlässig, ob dein Ergebnis stimmt.

Beispiel:

Beispiel 1: Gleichung mit Addition

Löse die Gleichung:

$$x + 7 = 12$$

Lösung:

Die Variable $x$ soll alleine stehen. Links steht noch $+7$. Wir subtrahieren auf beiden Seiten $7$:

$$\begin{align*} x + 7 - 7 &= 12 - 7 \\ x &= 5 \end{align*}$$

Probe: $5 + 7 = 12$ ✓

Die Lösung ist $x = 5$.

Beispiel:

Beispiel 2: Gleichung mit zwei Schritten

Löse die Gleichung:

$$3x - 4 = 11$$

Lösung:

Erster Schritt: Wir bringen die $-4$ auf die rechte Seite. Dazu addieren wir auf beiden Seiten $4$:

$$\begin{align*} 3x - 4 + 4 &= 11 + 4 \\ 3x &= 15 \end{align*}$$

Zweiter Schritt: Wir teilen beide Seiten durch $3$:

$$\begin{align*} \dfrac{3x}{3} &= \dfrac{15}{3} \\ x &= 5 \end{align*}$$

Probe: $3 \cdot 5 - 4 = 15 - 4 = 11$ ✓

Die Lösung ist $x = 5$.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Lösen von Gleichungen passieren immer wieder dieselben Fehler. Hier sind die drei häufigsten.

Achtung

Nur eine Seite umformen: Der häufigste Fehler überhaupt. Du subtrahierst links, vergisst es aber rechts. Die Waage kippt. Die Gleichung wird falsch. Jede Operation muss auf beiden Seiten gleichzeitig passieren.

Achtung

Vorzeichen beim Umformen vergessen: Wenn du einen Term auf die andere Seite bringst, ändert sich sein Vorzeichen. Aus $+5$ wird $-5$. Aus $-3$ wird $+3$. Das ist keine Magie. Es folgt direkt aus dem Subtrahieren: $x + 5 = 9 \implies x = 9 - 5$. Das $+5$ wird zu $-5$ auf der rechten Seite.

Achtung

Division durch null: Teile niemals durch null. Das ist in der Mathematik verboten. Es gibt kein Ergebnis. Auch wenn du eine Gleichung umformst und im Nenner eine null entsteht, musst du den Fall gesondert prüfen.

Noch ein praktischer Tipp: Mach immer die Probe. Nicht weil du misstrauisch sein musst. Sondern weil sie dich vor stillen Fehlern schützt, die du beim Rechnen nicht bemerkst.

Beispiel:

Beispiel 3: Variable auf beiden Seiten

Löse die Gleichung:

$$5x + 3 = 2x + 12$$

Lösung:

Jetzt steht $x$ auf beiden Seiten. Kein Problem. Wir bringen alle $x$-Terme auf eine Seite. Subtrahiere auf beiden Seiten $2x$:

$$\begin{align*} 5x + 3 - 2x &= 2x + 12 - 2x \\ 3x + 3 &= 12 \end{align*}$$

Jetzt subtrahieren wir $3$ auf beiden Seiten:

$$\begin{align*} 3x &= 9 \end{align*}$$

Teile durch $3$:

$$\begin{align*} x &= 3 \end{align*}$$

Probe: Linke Seite: $5 \cdot 3 + 3 = 18$. Rechte Seite: $2 \cdot 3 + 12 = 18$ ✓

Die Lösung ist $x = 3$.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe

Lisa denkt sich eine Zahl. Sie verdoppelt sie und addiert $8$. Das Ergebnis ist $22$. Welche Zahl hat Lisa gedacht?

Lösung:

Die unbekannte Zahl nennen wir $x$.

• Lisa verdoppelt sie: $2x$
• Sie addiert $8$: $2x + 8$
• Das Ergebnis ist $22$

Die Gleichung lautet:

$$2x + 8 = 22$$

Subtrahiere $8$ auf beiden Seiten:

$$\begin{align*} 2x &= 14 \end{align*}$$

Teile durch $2$:

$$\begin{align*} x &= 7 \end{align*}$$

Probe: $2 \cdot 7 + 8 = 14 + 8 = 22$ ✓

Lisa hat sich die Zahl $7$ gedacht.

Übungen

Löse die folgenden Gleichungen. Mache bei jeder Aufgabe die Probe. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: $x + 9 = 15$

Aufgabe 2: $x - 4 = 11$

Aufgabe 3: $4x = 28$

Aufgabe 4: $\dfrac{x}{3} = 7$

Aufgabe 5: $2x + 5 = 17$

Aufgabe 6: $6x - 3 = 27$

Aufgabe 7: $4x + 2 = x + 14$

Aufgabe 8 (Textaufgabe): Ein Rechteck hat eine Breite von $4$ cm. Die Länge ist unbekannt. Der Umfang beträgt $26$ cm. Wie lang ist das Rechteck?

Hinweis zu Aufgabe 8: Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich mit $U = 2 \cdot (\text{Länge} + \text{Breite})$. Stell die Gleichung selbst auf und löse sie.

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Hier sind vier zusätzliche Aufgaben zum Nachdenken, ohne Lösungshinweis:

Knobelaufgabe A: Tom hat $x$ Euro. Er gibt $12$ Euro aus und bekommt dann $5$ Euro geschenkt. Am Ende hat er $18$ Euro. Wie viel hatte Tom am Anfang?

Knobelaufgabe B: Das Dreifache einer Zahl ist um $6$ grösser als die Zahl selbst. Welche Zahl ist gemeint?

Das Wichtigste in Kürze

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage mit zwei Seiten und einem Gleichheitszeichen dazwischen. Dein Ziel ist es, die Variable zu isolieren. Dazu führst du Äquivalenzumformungen durch. Was du auf einer Seite tust, musst du immer auch auf der anderen Seite tun. Dann machst du die Probe. Dieses Prinzip stammt aus der arabischen Mathematik des 9. Jahrhunderts und funktioniert bis heute zuverlässig. Mit Übung wird das Lösen von Gleichungen zur Routine.

Quiz

❓ Frage: Welchen Wert hat $x$ in der Gleichung $x + 9 = 15$?

Lösung anzeigen

$x = 6$, denn $15 - 9 = 6$. Probe: $6 + 9 = 15$ ✓

❓ Frage: Löse: $4x = 28$. Was ist $x$?

Lösung anzeigen

$x = 7$, denn $28 \div 4 = 7$. Probe: $4 \cdot 7 = 28$ ✓

❓ Frage: Löse: $2x + 5 = 17$. Was ist $x$?

Lösung anzeigen

Erster Schritt: $2x = 12$, denn $17 - 5 = 12$. Zweiter Schritt: $x = 6$, denn $12 \div 2 = 6$. Probe: $2 \cdot 6 + 5 = 17$ ✓

Ausblick

Du beherrschst jetzt die Grundlagen. Als nächstes lernst du, Gleichungen mit Klammern zu lösen. Dabei hilft dir das Distributivgesetz, das du vielleicht schon kennst. Später kommen Gleichungen mit Brüchen und schliesslich lineare Gleichungssysteme, bei denen du zwei Unbekannte gleichzeitig bestimmst. All das baut auf dem Waageprinzip auf, das du hier kennengelernt hast.

Lösungen

Aufgabe 1: $x + 9 = 15$

Subtrahiere $9$ auf beiden Seiten:

$$\begin{align*} x &= 15 - 9 \\ x &= 6 \end{align*}$$

Probe: $6 + 9 = 15$ ✓

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Aufgabe 2: $x - 4 = 11$

Addiere $4$ auf beiden Seiten:

$$\begin{align*} x &= 11 + 4 \\ x &= 15 \end{align*}$$

Probe: $15 - 4 = 11$ ✓

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Aufgabe 3: $4x = 28$

Teile durch $4$ auf beiden Seiten:

$$\begin{align*} x &= \dfrac{28}{4} \\ x &= 7 \end{align*}$$

Probe: $4 \cdot 7 = 28$ ✓

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Aufgabe 4: $\dfrac{x}{3} = 7$

Multipliziere beide Seiten mit $3$:

$$\begin{align*} x &= 7 \cdot 3 \\ x &= 21 \end{align*}$$

Probe: $\dfrac{21}{3} = 7$ ✓

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Aufgabe 5: $2x + 5 = 17$

Subtrahiere $5$, dann teile durch $2$:

$$\begin{align*} 2x &= 12 \\ x &= 6 \end{align*}$$

Probe: $2 \cdot 6 + 5 = 17$ ✓

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Aufgabe 6: $6x - 3 = 27$

Addiere $3$, dann teile durch $6$:

$$\begin{align*} 6x &= 30 \\ x &= 5 \end{align*}$$

Probe: $6 \cdot 5 - 3 = 30 - 3 = 27$ ✓

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Aufgabe 7: $4x + 2 = x + 14$

Subtrahiere $x$ auf beiden Seiten:

$$\begin{align*} 3x + 2 &= 14 \end{align*}$$

Subtrahiere $2$ auf beiden Seiten:

$$\begin{align*} 3x &= 12 \end{align*}$$

Teile durch $3$:

$$\begin{align*} x &= 4 \end{align*}$$

Probe: Linke Seite $4 \cdot 4 + 2 = 18$. Rechte Seite $4 + 14 = 18$ ✓

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Aufgabe 8: Die Länge des Rechtecks sei $x$ cm. Die Breite beträgt $4$ cm. Der Umfang beträgt $26$ cm.

Gleichung aufstellen:

$$2 \cdot (x + 4) = 26$$

Teile beide Seiten durch $2$:

$$\begin{align*} x + 4 &= 13 \end{align*}$$

Subtrahiere $4$:

$$\begin{align*} x &= 9 \end{align*}$$

Das Rechteck ist $9$ cm lang.

Probe: $2 \cdot (9 + 4) = 2 \cdot 13 = 26$ ✓

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Knobelaufgabe A: Tom hat $x$ Euro. Er gibt $12$ aus und bekommt $5$ dazu. Am Ende hat er $18$ Euro.

$$\begin{align*} x - 12 + 5 &= 18 \\ x - 7 &= 18 \\ x &= 25 \end{align*}$$

Tom hatte am Anfang $25$ Euro.
Probe: $25 - 12 + 5 = 18$ ✓

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Knobelaufgabe B: Das Dreifache einer Zahl $x$ ist um $6$ grösser als die Zahl selbst.

$$\begin{align*} 3x &= x + 6 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{align*}$$

Die gesuchte Zahl ist $3$.
Probe: $3 \cdot 3 = 9$ und $3 + 6 = 9$ ✓

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• Terme mit einer Variablen – Der Platzhalter in der Mathematik
• Terme aufstellen – Vom Alltag zur Formel
• Terme verstehen und richtig rechnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport