Kreise und Kreisausschnitte verstehen – So berechnest du Flächen und Bögen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Winkel und Kreis”
• Vorwissen: Alles über Winkel: Drehen, Messen und Verstehen
• Werkzeug: Winkel messen und zeichnen – Alles im Griff mit dem Geodreieck

Darum geht's

Stell dir vor, du bestellst eine riesige Pizza für deine Geburtstagsparty. Die Pizza wird in acht gleich grosse Stücke geschnitten. Jedes Stück hat die typische Dreiecksform mit der Spitze in der Mitte.

Nun möchtest du wissen: Wie viel Pizza bekommt jeder Gast? Du musst also herausfinden, wie gross ein einzelnes Stück im Vergleich zur ganzen Pizza ist.

Genau das ist die Grundidee hinter Kreisausschnitten. Du nimmst einen Teil vom Ganzen. Dieser Teil hängt davon ab, wie gross der Winkel in der Mitte ist. In diesem Artikel lernst du, wie du Flächen und Bögen jedes Kreisstücks sicher berechnest.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 2Kompetenzen

• MA.3.A.2.iGrundanspruchFlächeninhalte und Volumen (m³) schätzen, umwandeln; Grössen absolut und relativ vergleichen; Distanzen und Zeitdauern für Geschwindigkeitsberechnungen messen
• MA.3.C.2.fProportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen (Erw: indirekt proportionale); Wertepaare und Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen; Alltagssituationen in mathematische Sprache übersetzen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Mathematik des Kreises ist uralt. Schon vor über 4000 Jahren beschäftigten sich Menschen mit dieser perfekten Form. Die alten Ägypter versuchten, die Fläche eines Kreises zu berechnen. Sie verwendeten eine Näherung: Sie teilten den Durchmesser durch 9 und quadrierten dann 8 Neuntel davon. Ihr Wert für $\pi$ lag bei etwa $3{,}16$.

Die Babylonier rechneten mit einfacheren Werten. Oft benutzten sie für $\pi$ einfach die Zahl $3$. Manchmal verfeinerten sie den Wert zu $3\frac{1}{8}$. Das reichte für ihre Baupläne meist aus.

Der grosse Durchbruch kam mit dem griechischen Gelehrten Archimedes. Er lebte von $287$ bis $212$ vor Christus in Syrakus auf Sizilien. Archimedes war ein genialer Denker. Er entwickelte eine clevere Methode zur Berechnung von $\pi$, die bis heute faszinierend ist.

Seine Idee: Er zeichnete regelmässige Vielecke in einen Kreis hinein und um den Kreis herum. Mit $96$-Ecken kam er auf eine Einschliessung von $\pi$ zwischen $3\frac{10}{71}$ und $3\frac{1}{7}$. Das war für seine Zeit eine fantastische Genauigkeit.

In China arbeitete der Mathematiker Liu Hui im dritten Jahrhundert mit ähnlichen Methoden. Zwei Jahrhunderte später berechnete Zu Chongzhi den Wert $\pi \approx \dfrac{355}{113}$. Dieser Bruch stimmt auf sieben Dezimalstellen genau. Das blieb fast tausend Jahre lang ein Weltrekord.

Das Symbol $\pi$ tauchte erst viel später auf. Der walisische Mathematiker William Jones führte es $1706$ ein. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler machte das Symbol ab $1737$ weltweit bekannt. Euler war einer der produktivsten Mathematiker aller Zeiten.

Heute kennt die moderne Mathematik $\pi$ auf Billionen Stellen genau. Dennoch reicht für den Schulalltag fast immer der Näherungswert $\pi \approx 3{,}14159$.

Die Grundlagen

Bevor wir Teile eines Kreises betrachten, brauchen wir die Formeln für den ganzen Kreis. Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die gleich weit vom Mittelpunkt $M$ entfernt sind. Diesen Abstand nennt man den Radius $r$.

Der Durchmesser $d$ reicht durch den Mittelpunkt von einem Rand zum anderen. Es gilt also immer $d = 2 \cdot r$. Die Kreislinie selbst bildet den Kreisumfang.

Definition

Kreisumfang:

$$U = 2 \cdot \pi \cdot r$$

Kreisfläche:

$$A = \pi \cdot r^2$$

Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $\pi \approx 3{,}14159$.

Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie. Die Fläche bezeichnet den gesamten Bereich innerhalb des Kreises. Beide Werte hängen ausschliesslich vom Radius ab.

Ein Kreisausschnitt ist ein „Tortenstück” des Kreises. Manche nennen ihn auch Kreissektor. Er besteht aus zwei Radien und dem Kreisbogen dazwischen.

Der Winkel in der Mitte bestimmt, wie gross dein Stück ist. Bei acht gleichen Stücken hat jedes einen Winkel von $45°$. Denn $360° \div 8 = 45°$.

Je grösser der Winkel, desto mehr Kreis bekommst du. Bei $180°$ hättest du einen Halbkreis. Bei $90°$ einen Viertelkreis. Bei $60°$ ein Sechstel des Kreises.

Der Kreisbogen ist der gekrümmte Teil des Kreisrandes, der zum Ausschnitt gehört. Stell dir vor, du legst ein Stück Schnur entlang des Randes deines Pizzastücks. Genau das ist der Bogen. Seine Länge hängt vom Radius und vom Winkel ab.

Die Kernmethode

Ein Kreisausschnitt wird durch einen Mittelpunktswinkel $\alpha$ (Alpha) bestimmt. Dieser Winkel gibt an, welchen Anteil des vollen Kreises du betrachtest. Je grösser der Winkel, desto grösser der Anteil.

Definition

Fläche des Kreisausschnitts:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2$$

Länge des Kreisbogens:

$$b = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$$

Hierbei ist $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad und $r$ der Radius.

Der Bruch $\dfrac{\alpha}{360°}$ ist das Herzstück der Methode. Er gibt an, welchen Anteil vom ganzen Kreis du betrachtest. Bei $90°$ ist das $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$, also ein Viertel.

Diesen Anteil multiplizierst du mit der vollen Kreisfläche oder dem vollen Umfang. So erhältst du den entsprechenden Teil.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Lies den Radius $r$ und den Winkel $\alpha$ aus der Aufgabe ab.
2. Berechne den Anteil $\dfrac{\alpha}{360°}$ und kürze den Bruch.
3. Für die Fläche: Multipliziere den Anteil mit $\pi \cdot r^2$.
4. Für den Bogen: Multipliziere den Anteil mit $2 \cdot \pi \cdot r$.
5. Runde das Ergebnis sinnvoll, meist auf zwei Dezimalstellen.

Mit diesem Vorgehen meisterst du jede Aufgabe zu Kreisausschnitten. Die Formeln sehen auf den ersten Blick komplex aus. In Wirklichkeit stecken nur zwei Ideen dahinter: Anteil und Multiplikation.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfacher Kreisausschnitt

Ein Kreis hat den Radius $r = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche eines Kreisausschnitts mit dem Winkel $\alpha = 72°$.

Lösung:

Berechne zuerst den Anteil am Kreis:

$$\dfrac{72°}{360°} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$$

Jetzt berechnest du die Fläche des Ausschnitts:

$$A_{\text{Sektor}} = 0{,}2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 0{,}2 \cdot \pi \cdot 25 = 5\pi \approx 15{,}71 \, \text{cm}^2$$

Der Kreisausschnitt hat eine Fläche von etwa $15{,}71 \, \text{cm}^2$.

Zum Vergleich: Die volle Kreisfläche wäre $\pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^2$. Der Ausschnitt ist genau ein Fünftel davon. Die Kontrolle bestätigt unser Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 2: Bogenlänge berechnen

Ein Kreisbogen gehört zu einem Ausschnitt mit Winkel $\alpha = 150°$. Der Radius beträgt $r = 3 \, \text{cm}$. Berechne die Bogenlänge.

Lösung:

Bestimme zuerst den Anteil am Kreis:

$$\dfrac{150°}{360°} = \dfrac{150}{360} = \dfrac{5}{12}$$

Der volle Kreisumfang wäre $U = 2 \cdot \pi \cdot 3 = 6\pi \, \text{cm}$. Davon betrachtest du nur fünf Zwölftel.

Berechne jetzt die Bogenlänge:

$$b = \dfrac{5}{12} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 3 = \dfrac{5}{12} \cdot 6\pi = \dfrac{30\pi}{12} = 2{,}5\pi$$

Mit $\pi \approx 3{,}14159$ erhältst du:

$$b \approx 2{,}5 \cdot 3{,}14159 \approx 7{,}85 \, \text{cm}$$

Der Kreisbogen ist etwa $7{,}85 \, \text{cm}$ lang. Er entspricht etwas mehr als $41\%$ des vollen Umfangs. Das passt, denn $150°$ sind knapp mehr als $\dfrac{1}{3}$ des Vollkreises.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Rechnen mit Kreisausschnitten machen viele Lernende ähnliche Fehler. Hier kommen die wichtigsten Fallen. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter. Jede Warnung gehört zu einem typischen Missverständnis.

Achtung

Verwechslung von Fläche und Bogenlänge: Ein Kreisbogen wird in Längeneinheiten wie Zentimeter oder Meter gemessen. Eine Kreisfläche wird in Quadrateinheiten wie $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$ angegeben. Prüfe immer, was die Aufgabe wirklich fragt. Dann wählst du die richtige Formel.

Achtung

Falscher Bezug zum Vollkreis: Der volle Kreis hat $360°$, nicht $180°$ oder $100°$. Wenn du durch eine falsche Zahl teilst, stimmt der ganze Rechenweg nicht mehr. Merke dir fest: $360°$ ist die Runde.

Achtung

Radius mit Durchmesser verwechselt: In manchen Aufgaben ist der Durchmesser gegeben, nicht der Radius. Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser: $r = \dfrac{d}{2}$. Wer das übersieht, erhält viermal zu grosse Flächen oder doppelt so lange Bögen.

Achtung

Zu früh runden: Runde nicht mitten in der Rechnung. Behalte $\pi$ so lange wie möglich als Symbol. Erst am Schluss setzt du den Näherungswert ein. So vermeidest du Rundungsfehler, die sich im Rechenweg aufschaukeln können.

Beispiel:

Beispiel 3: Durchmesser statt Radius

Ein Teich hat die Form eines Viertelkreises. Der Durchmesser beträgt $d = 8 \, \text{m}$. Wie gross ist die Wasserfläche des Teichs?

Lösung:

Achte auf die Angabe: Hier ist der Durchmesser gegeben, nicht der Radius. Bestimme zuerst den Radius:

$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \, \text{m}$$

Ein Viertelkreis entspricht einem Winkel von $\alpha = 90°$. Der Anteil am Kreis beträgt also:

$$\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$$

Nun berechnest du die Fläche:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi$$

Mit $\pi \approx 3{,}14159$ ergibt sich:

$$A_{\text{Sektor}} \approx 12{,}57 \, \text{m}^2$$

Der Teich hat eine Wasserfläche von etwa $12{,}57 \, \text{m}^2$. Hätten wir versehentlich mit $r = 8$ gerechnet, wäre das Ergebnis $16\pi \approx 50{,}27 \, \text{m}^2$ – viermal zu gross.

Beispiel:

Beispiel 4: Rückwärts rechnen

Ein Kreisausschnitt hat eine Fläche von $A_{\text{Sektor}} = 25\pi \, \text{cm}^2$. Der Radius beträgt $r = 10 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Mittelpunktswinkel $\alpha$?

Lösung:

Hier ist der Rechenweg umgekehrt: Die Fläche ist gegeben, der Winkel gesucht. Bestimme zuerst die volle Kreisfläche:

$$A = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \, \text{cm}^2$$

Berechne den Anteil des Ausschnitts am ganzen Kreis:

$$\dfrac{A_{\text{Sektor}}}{A} = \dfrac{25\pi}{100\pi} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$$

Das $\pi$ kürzt sich weg. Nun bestimmst du den Winkel:

$$\alpha = 0{,}25 \cdot 360° = 90°$$

Der Mittelpunktswinkel beträgt $90°$. Der Ausschnitt ist also ein Viertelkreis.

Kontrolle: $\dfrac{1}{4} \cdot 100\pi = 25\pi$. Das Ergebnis passt.

Vertiefung

Neben Fläche und Bogenlänge gibt es weitere Kenngrössen eines Kreisausschnitts. Eine davon ist der Umfang des gesamten Ausschnitts. Er besteht aus zwei Radien und dem Bogen. Viele Aufgaben fragen nach diesem kompletten Rand.

Definition

Umfang eines Kreisausschnitts:

$$U_{\text{Sektor}} = 2 \cdot r + b = 2 \cdot r + \dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$$

Dabei ist $r$ der Radius und $b$ die Bogenlänge.

Interessant wird es, wenn der Winkel nicht mehr in Grad, sondern im Bogenmass angegeben wird. Das Bogenmass ist eine moderne Art, Winkel zu messen. Es begegnet dir in der Oberstufe und an der Universität. Die Idee dahinter passt perfekt zu unserem Thema.

Beim Bogenmass gibt der Winkel direkt die Bogenlänge eines Einheitskreises an. Der volle Kreis entspricht dann $2\pi$ Radiant. Ein Halbkreis sind $\pi$ Radiant. Ein Viertelkreis sind $\dfrac{\pi}{2}$ Radiant.

Dadurch vereinfachen sich die Formeln. Für die Bogenlänge gilt dann $b = r \cdot \alpha_{\text{Radiant}}$. Für die Fläche gilt $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \alpha_{\text{Radiant}}$. Die lästigen $360°$ verschwinden.

Im Alltag begegnen dir Kreisausschnitte überall. Der Lautsprecher einer Hifi-Anlage strahlt oft in einem bestimmten Winkel ab. Ein Scheibenwischer überstreicht beim Putzen eine Kreisausschnittsfläche. Ein Ventilator, ein Radarschirm oder ein Verkehrsschild können ebenfalls Kreisausschnitte bilden.

Auch in der Architektur spielen sie eine Rolle. Rosettenfenster in gotischen Kirchen sind oft aus Kreisausschnitten zusammengesetzt. In der Technik beschreibt man mit Kreisausschnitten den Schwenkbereich von Armen bei Kränen oder Robotern.

Die Formeln funktionieren also nicht nur für Pizza und Torte. Sie beschreiben jede Situation, in der ein Winkel einen Anteil an einer kreisförmigen Grösse bestimmt.

Beispiel:

Beispiel 5: Umfang eines Kreisausschnitts

Ein Kreisausschnitt hat den Radius $r = 6 \, \text{cm}$ und den Winkel $\alpha = 60°$. Berechne den gesamten Umfang des Ausschnitts.

Lösung:

Der Umfang setzt sich aus zwei Radien und dem Kreisbogen zusammen. Bestimme zuerst die Bogenlänge.

Der Anteil am Kreis:

$$\dfrac{60°}{360°} = \dfrac{1}{6}$$

Die Bogenlänge:

$$b = \dfrac{1}{6} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 6 = \dfrac{1}{6} \cdot 12\pi = 2\pi$$

Mit $\pi \approx 3{,}14159$ ergibt sich:

$$b \approx 6{,}28 \, \text{cm}$$

Nun berechnest du den gesamten Umfang des Ausschnitts. Die zwei Radien zusammen ergeben $2 \cdot 6 = 12 \, \text{cm}$.

$$U_{\text{Sektor}} = 2 \cdot 6 + 2\pi = 12 + 2\pi$$

Mit Näherung:

$$U_{\text{Sektor}} \approx 12 + 6{,}28 = 18{,}28 \, \text{cm}$$

Der Umfang des Ausschnitts beträgt etwa $18{,}28 \, \text{cm}$. Davon sind $12 \, \text{cm}$ die beiden Radien und etwa $6{,}28 \, \text{cm}$ der Bogen. Der gerade Teil ist hier länger als der gekrümmte Teil.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels. Verwende $\pi \approx 3{,}14159$ und runde am Schluss auf zwei Dezimalstellen.

Aufgabe 1: Ein Kreis hat den Radius $r = 7 \, \text{cm}$. Berechne den Umfang und die Fläche des ganzen Kreises.

Aufgabe 2: Berechne die Fläche eines Kreisausschnitts mit $r = 8 \, \text{cm}$ und $\alpha = 45°$.

Aufgabe 3: Ein Halbkreis hat den Radius $r = 12 \, \text{cm}$. Wie lang ist sein Kreisbogen?

Aufgabe 4: Ein Kreisausschnitt hat $r = 10 \, \text{cm}$ und $\alpha = 135°$. Berechne die Fläche und die Bogenlänge.

Aufgabe 5: Ein Viertelkreis hat den Durchmesser $d = 20 \, \text{cm}$. Wie gross ist seine Fläche?

Aufgabe 6: Ein Kreisausschnitt hat eine Fläche von $A_{\text{Sektor}} = 9\pi \, \text{cm}^2$ und einen Radius $r = 6 \, \text{cm}$. Bestimme den Mittelpunktswinkel $\alpha$.

Aufgabe 7: Ein Kreisbogen ist $4\pi \, \text{cm}$ lang. Der zugehörige Radius beträgt $r = 8 \, \text{cm}$. Bestimme den Mittelpunktswinkel.

Aufgabe 8: Berechne den gesamten Umfang eines Kreisausschnitts mit $r = 5 \, \text{cm}$ und $\alpha = 120°$.

Aufgabe 9: Ein Ventilator bewegt sich in einem Winkel von $\alpha = 180°$ hin und her. Die Flügelspitzen haben einen Abstand von $r = 25 \, \text{cm}$ vom Drehpunkt. Welche Fläche überstreichen die Flügelspitzen?

Aufgabe 10: Ein Kreissektor hat eine Bogenlänge von $b = 10\pi \, \text{cm}$ und einen Mittelpunktswinkel von $\alpha = 150°$. Bestimme den Radius.

Das Wichtigste in Kürze

Bei Kreisausschnitten dreht sich alles um Anteile. Der Winkel $\alpha$ bestimmt, welchen Bruchteil des ganzen Kreises du betrachtest.

Der Bruch $\dfrac{\alpha}{360°}$ ist dein universeller Multiplikator. Damit berechnest du sowohl die Fläche als auch die Bogenlänge eines Kreisausschnitts.

Für den vollen Kreis gilt: $U = 2\pi r$ und $A = \pi r^2$. Für einen Kreisausschnitt multiplizierst du diese Werte mit dem Anteil $\dfrac{\alpha}{360°}$.

Achte auf die Einheiten. Längen werden in $\text{cm}$, $\text{m}$ angegeben. Flächen entsprechend in $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$.

Prüfe jedes Ergebnis mit einer Überschlagsrechnung. Bei $\alpha = 180°$ muss die Fläche etwa der halben Kreisfläche entsprechen. So merkst du Rechenfehler schnell.

Quiz: Teste dein Wissen

❓ Frage:

Ein Kreis hat den Radius $r = 4 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche eines Kreisausschnitts mit $\alpha = 90°$?

Lösung anzeigen

Der Anteil beträgt $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$. Die Fläche ist:

$$A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi \approx 12{,}57 \, \text{cm}^2$$

❓ Frage:

Ein Kreisbogen hat die Länge $b = 3\pi \, \text{cm}$. Der Radius beträgt $r = 6 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Winkel $\alpha$?

Lösung anzeigen

Der volle Umfang wäre $U = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi \, \text{cm}$. Der Anteil: $\dfrac{3\pi}{12\pi} = \dfrac{1}{4}$. Der Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

❓ Frage:

Welchen Anteil am ganzen Kreis hat ein Ausschnitt mit $\alpha = 60°$? Gib das Ergebnis als Bruch an.

Lösung anzeigen

$$\dfrac{60°}{360°} = \dfrac{1}{6}$$

Ein Winkel von $60°$ entspricht einem Sechstel des Kreises.

❓ Frage:

Wahr oder falsch? Wenn sich der Radius verdoppelt, verdoppelt sich auch die Fläche eines Kreisausschnitts.

Lösung anzeigen

Falsch. Die Fläche enthält $r^2$ als Faktor. Bei doppeltem Radius wird die Fläche viermal so gross. Beispiel: Bei $r = 2$ und $\alpha = 90°$ ist $A = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4 = \pi$. Bei $r = 4$ und $\alpha = 90°$ ist $A = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 16 = 4\pi$. Das Verhältnis ist $4:1$, nicht $2:1$.

❓ Frage:

Ein Kreisausschnitt hat $r = 10 \, \text{cm}$ und eine Bogenlänge von $b = 5\pi \, \text{cm}$. Wie gross ist seine Fläche?

Lösung anzeigen

Bestimme zuerst den Winkel. Der volle Umfang ist $U = 2\pi \cdot 10 = 20\pi \, \text{cm}$. Anteil: $\dfrac{5\pi}{20\pi} = \dfrac{1}{4}$. Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$. Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 10^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^2$.

Ausblick

In der Oberstufe lernst du, Winkel nicht nur in Grad, sondern auch im Bogenmass anzugeben. Das vereinfacht viele Formeln rund um den Kreis. Später begegnest du dem Kreis bei Sinus und Kosinus wieder. Diese trigonometrischen Funktionen sind ohne Kreis nicht denkbar.

Auch die Integralrechnung greift auf Kreisflächen zurück. Mit ihr kannst du Flächen beliebiger krummer Figuren berechnen. Und in der Physik beschreiben Kreise die Bewegung von Planeten, Rädern und Wellen. Der Kreis ist also nur der Anfang einer langen mathematischen Reise.

Lösungen

Aufgabe 1: Setze in die Formeln ein.

Umfang: $U = 2 \cdot \pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98 \, \text{cm}$.

Fläche: $A = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \approx 153{,}94 \, \text{cm}^2$.

Aufgabe 2: Berechne zuerst den Anteil, dann die Fläche.

Anteil: $\dfrac{45°}{360°} = \dfrac{1}{8}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{8} \cdot \pi \cdot 8^2 = \dfrac{1}{8} \cdot 64\pi = 8\pi \approx 25{,}13 \, \text{cm}^2$.

Aufgabe 3: Ein Halbkreis entspricht $\alpha = 180°$, also einem Anteil von $\dfrac{1}{2}$.

Bogenlänge: $b = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 12 = 12\pi \approx 37{,}70 \, \text{cm}$.

Aufgabe 4: Bestimme zuerst den Anteil.

Anteil: $\dfrac{135°}{360°} = \dfrac{3}{8}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{3}{8} \cdot \pi \cdot 10^2 = \dfrac{300\pi}{8} = 37{,}5\pi \approx 117{,}81 \, \text{cm}^2$.

Bogenlänge: $b = \dfrac{3}{8} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 10 = \dfrac{60\pi}{8} = 7{,}5\pi \approx 23{,}56 \, \text{cm}$.

Aufgabe 5: Achte auf die Angabe des Durchmessers.

Radius: $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \, \text{cm}$.

Viertelkreis: Anteil $\dfrac{90°}{360°} = \dfrac{1}{4}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 10^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^2$.

Aufgabe 6: Hier ist der Winkel gesucht.

Volle Fläche: $A = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \, \text{cm}^2$.

Anteil: $\dfrac{9\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{4}$.

Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

Aufgabe 7: Nutze den Umfang als Vergleich.

Voller Umfang: $U = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi \, \text{cm}$.

Anteil: $\dfrac{4\pi}{16\pi} = \dfrac{1}{4}$.

Winkel: $\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

Aufgabe 8: Der gesamte Umfang besteht aus zwei Radien und dem Bogen.

Anteil: $\dfrac{120°}{360°} = \dfrac{1}{3}$.

Bogenlänge: $b = \dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 5 = \dfrac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \, \text{cm}$.

Gesamtumfang: $U_{\text{Sektor}} = 2 \cdot 5 + \dfrac{10\pi}{3} = 10 + \dfrac{10\pi}{3} \approx 20{,}47 \, \text{cm}$.

Aufgabe 9: Der Ventilator überstreicht einen Halbkreis.

Anteil: $\dfrac{180°}{360°} = \dfrac{1}{2}$.

Fläche: $A_{\text{Sektor}} = \dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 25^2 = \dfrac{625\pi}{2} \approx 981{,}75 \, \text{cm}^2$.

Das entspricht etwa $0{,}098 \, \text{m}^2$.

Aufgabe 10: Hier löst du die Bogenformel nach $r$ auf.

Anteil: $\dfrac{150°}{360°} = \dfrac{5}{12}$.

Ansatz: $10\pi = \dfrac{5}{12} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r = \dfrac{10\pi \cdot r}{12}$.

Auflösen: $10\pi \cdot 12 = 10\pi \cdot r$, also $r = 12 \, \text{cm}$.

Verwandte Themen

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• Winkel an parallelen Geraden – Stufen-, Wechsel- und Nebenwinkel verstehen
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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport