Brüche multiplizieren einfach erklärt – Schritt für Schritt zur Lösung

Stell Dir vor, Du backst Kuchen für ein Fest. Du hast ein Rezept für einen halben Kuchen und möchtest davon nur zwei Drittel zubereiten. Wie viel vom ganzen Kuchen backst Du dann? Solche Situationen begegnen Dir täglich: beim Kochen, beim Einkaufen oder beim Teilen von Pizza. Die Multiplikation von Brüchen hilft Dir, solche Fragen zu beantworten. Sie zeigt Dir, wie Du Teile von Teilen berechnest. Das klingt kompliziert, ist aber ein grundlegendes Werkzeug für viele Bereiche Deines Lebens. Lass uns gemeinsam entdecken, wie elegant und logisch diese Rechenoperation funktioniert.

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Eine kleine Zeitreise: Die Geschichte von Bruchzahlen - Brüche multiplizieren

Die Geschichte der Bruchmultiplikation reicht über 4000 Jahre zurück. Bereits die alten Ägypter kannten Brüche und rechneten mit ihnen. Sie verwendeten aber fast ausschliesslich Stammbrüche – Brüche mit der Zähler-Zahl 1.

Der berühmte Papyrus Rhind aus dem Jahr 1650 vor Christus zeigt, wie ägyptische Schreiber Brüche addierten und multiplizierten. Ihre Methoden waren umständlich, aber funktional.

Die Babylonier entwickelten etwa zur gleichen Zeit ein ausgeklügeltes Sexagesimalsystem. Sie teilten alles in 60 Teile. Dieses System verwendeten sie für astronomische Berechnungen. Die Multiplikation von Brüchen war für sie ein wichtiges Werkzeug. Wir nutzen ihr System heute noch für Zeitangaben und Winkel.

Im antiken Griechenland betrachteten Mathematiker Brüche eher geometrisch. Euklid beschrieb um 300 vor Christus in seinen “Elementen” Verhältnisse und Proportionen. Er multiplizierte Brüche indirekt durch geometrische Konstruktionen. Die griechische Mathematik war stark auf Geometrie fokussiert. Algebraische Methoden spielten eine untergeordnete Rolle.

Einen entscheidenden Durchbruch brachten indische Mathematiker. Brahmagupta formulierte im 7. Jahrhundert nach Christus klare Regeln für die Bruchrechnung. Er schrieb: “Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.” Diese einfache Regel verwendest Du heute noch. Die indischen Mathematiker entwickelten auch das Konzept der Null. Dies revolutionierte die gesamte Mathematik.

Arabische Gelehrte übernahmen das indische Wissen und erweiterten es. Al-Chwarizmi verfasste im 9. Jahrhundert grundlegende Werke zur Algebra. Er beschrieb die Multiplikation von Brüchen systematisch. Seine Bücher wurden später ins Lateinische übersetzt. Sie beeinflussten die europäische Mathematik massgeblich.

Im mittelalterlichen Europa verbreitete sich das Wissen langsam. Leonardo von Pisa, bekannt als Fibonacci, brachte 1202 das arabische Zahlensystem nach Europa. Sein Buch “Liber Abaci” enthielt ausführliche Kapitel zur Bruchrechnung. Er zeigte praktische Anwendungen für Händler und Kaufleute. Die Multiplikation von Brüchen wurde zu einem wichtigen Werkzeug im Handel.

Die moderne Schreibweise mit waagrechtem Bruchstrich entwickelte sich erst im 16. Jahrhundert. Mathematiker wie Michael Stifel und Simon Stevin vereinheitlichten die Notation. Sie machten die Bruchrechnung zugänglicher und verständlicher. Die Regeln wurden klarer formuliert.

Heute ist die Multiplikation von Brüchen ein fundamentales Konzept. Du begegnest ihr in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Physik und der Informatik. Sie ist die Grundlage für das Verständnis von Prozenten, Verhältnissen und Proportionen. Ohne dieses Konzept wären viele moderne wissenschaftliche Erkenntnisse nicht möglich.

Die Grundlagen von Bruchzahlen - Brüche multiplizieren

Die Multiplikation von Brüchen folgt einer einfachen, aber kraftvollen Regel. Du multiplizierst die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. Das Ergebnis ist ein neuer Bruch. Diese Regel gilt ausnahmslos für alle Brüche.

Definition: Multiplikation von Brüchen

Für zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ gilt:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Diese Regel ist deutlich einfacher als die Addition von Brüchen. Du brauchst keinen gemeinsamen Nenner zu finden. Du multiplizierst einfach “über Kreuz” – aber anders als bei der Division. Hier multiplizierst Du die Zahlen, die übereinander stehen.

Lass uns die Bestandteile genauer betrachten. Der Zähler steht über dem Bruchstrich. Er gibt an, wie viele Teile Du hast. Der Nenner steht unter dem Bruchstrich. Er zeigt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde. Bei der Multiplikation erhältst Du einen neuen Zähler aus dem Produkt der beiden alten Zähler. Genauso entsteht der neue Nenner.

Ein einfaches Beispiel verdeutlicht das Prinzip. Betrachte $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$. Du multiplizierst: $1 \cdot 1 = 1$ im Zähler und $2 \cdot 3 = 6$ im Nenner. Das Ergebnis ist $\frac{1}{6}$. Geometrisch bedeutet das: Du nimmst die Hälfte von einem Drittel. Das ergibt ein Sechstel.

Die Vorzeichenregel ist wichtig. Multiplizierst Du zwei positive Brüche, ist das Ergebnis positiv. Bei unterschiedlichen Vorzeichen wird das Ergebnis negativ. Zwei negative Brüche ergeben ein positives Produkt. Diese Regeln kennst Du bereits von ganzen Zahlen.

Das Kürzen spielt eine zentrale Rolle. Du kannst vor oder nach der Multiplikation kürzen. Oft ist es einfacher, vor der Multiplikation zu kürzen. Das nennt man Kreuzkürzen. Du kannst einen Zähler mit einem beliebigen Nenner kürzen. Das macht die Zahlen kleiner und die Rechnung einfacher.

Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch. Vor der Multiplikation wandelst Du ihn in einen unechten Bruch um. Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der grösser oder gleich dem Nenner ist. Nach der Multiplikation kannst Du das Ergebnis wieder in einen gemischten Bruch umwandeln.

Die Multiplikation mit einer ganzen Zahl ist ein Spezialfall. Du kannst jede ganze Zahl als Bruch mit Nenner 1 schreiben. Also: $5 = \frac{5}{1}$. Dann wendest Du die normale Regel an. Das Ergebnis: $\frac{5}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.

Die Kernmethode für Bruchzahlen - Brüche multiplizieren

Die Multiplikation von Brüchen folgt einem klaren Schema. Du arbeitest Schritt für Schritt und behältst dabei den Überblick. Diese Methode funktioniert für alle Arten von Brüchen – ob einfach oder komplex.

Schritt 1: Gemischte Brüche umwandeln Prüfe zuerst, ob Du gemischte Brüche vor Dir hast. Ein gemischter Bruch wie $2\frac{1}{3}$ besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Wandle ihn in einen unechten Bruch um. Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler. Das Ergebnis wird der neue Zähler. Der Nenner bleibt gleich. Für $2\frac{1}{3}$ rechnest Du: $(2 \cdot 3) + 1 = 7$. Das ergibt $\frac{7}{3}$.

Schritt 2: Ganze Zahlen als Brüche schreiben Kommt eine ganze Zahl vor, schreibe sie als Bruch mit Nenner 1. Aus der Zahl 5 wird $\frac{5}{1}$. Dieser Schritt ist wichtig, damit Du die Multiplikationsregel anwenden kannst. Vergiss nicht: Jede ganze Zahl kannst Du so darstellen.

Schritt 3: Vor der Multiplikation kürzen (Kreuzkürzen) Suche nach gemeinsamen Teilern zwischen Zählern und Nennern. Du kannst jeden Zähler mit jedem Nenner kürzen. Teile beide Zahlen durch ihren grössten gemeinsamen Teiler. Dies vereinfacht die Rechnung erheblich. Du arbeitest mit kleineren Zahlen und vermeidest grosse Produkte.

Schritt 4: Zähler mit Zähler multiplizieren Multipliziere nun die Zähler der beiden Brüche miteinander. Schreibe das Ergebnis in den Zähler des neuen Bruchs. Arbeite sorgfältig und prüfe Deine Rechnung. Bei negativen Vorzeichen achte auf die Vorzeichenregel.

Schritt 5: Nenner mit Nenner multiplizieren Multipliziere die Nenner der beiden Brüche miteinander. Das Produkt wird der Nenner des Ergebnisbruchs. Kontrolliere auch hier Deine Rechnung genau.

Schritt 6: Das Ergebnis kürzen Prüfe, ob Du das Ergebnis noch kürzen kannst. Suche den grössten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Teile beide durch diese Zahl. Ein vollständig gekürzter Bruch ist die bevorzugte Form. Manchmal hast Du bereits in Schritt 3 alles gekürzt. Dann ist dieser Schritt nicht mehr nötig.

Schritt 7: In gemischte Zahl umwandeln (optional) Ist der Zähler grösser als der Nenner, kannst Du einen gemischten Bruch bilden. Teile den Zähler durch den Nenner. Das Ergebnis ist die ganze Zahl. Der Rest wird der neue Zähler. Der Nenner bleibt gleich. Aus $\frac{7}{3}$ wird $2\frac{1}{3}$.

Definition: Das Grundprinzip von Bruchzahlen - Brüche multiplizieren

Die Multiplikation zweier Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ erfolgt durch Multiplikation der Zähler und Multiplikation der Nenner. Das Ergebnis ist $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Dabei ist $a$ der Zähler des ersten Bruchs, $b$ dessen Nenner, $c$ der Zähler des zweiten Bruchs und $d$ dessen Nenner. Alle Nenner müssen ungleich Null sein.

Beispiel 1: Einstiegsaufgabe

Aufgabe: Anna isst $\frac{1}{2}$ einer Tafel Schokolade. Ihre Freundin bekommt $\frac{2}{3}$ davon ab. Welchen Anteil der ganzen Tafel erhält die Freundin?

Lösungsweg: Du multiplizierst die beiden Brüche miteinander. Die Freundin bekommt $\frac{2}{3}$ von Annas Hälfte.

Zuerst schreibst Du die Aufgabe auf:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Jetzt prüfst Du, ob Du kürzen kannst. Der Zähler 2 des zweiten Bruchs und der Nenner 2 des ersten Bruchs haben den gemeinsamen Teiler 2. Du kürzt:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{3} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3}$

Nun multiplizierst Du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3} &= \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 3} \\ &= \frac{1}{3} \end{align*}$$

Das Ergebnis ist bereits vollständig gekürzt. Die Freundin erhält $\frac{1}{3}$ der ganzen Tafel Schokolade.

Beispiel 2: Aufbauende Aufgabe

Aufgabe: Ein Rezept benötigt $\frac{3}{4}$ Liter Milch. Du möchtest nur $\frac{2}{5}$ der Rezeptmenge zubereiten. Wie viel Milch brauchst Du?

Lösungsweg: Du berechnest $\frac{2}{5}$ von $\frac{3}{4}$ Liter. Das entspricht einer Multiplikation.

Die Aufgabe lautet:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$

Prüfe auf gemeinsame Teiler. Die Zähler 2 und 3 sowie die Nenner 5 und 4 haben keine gemeinsamen Teiler ausser 1. Du kannst nicht kürzen.

Multipliziere nun:

$$\begin{align*} \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} &= \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} \\ &= \frac{6}{20} \end{align*}$$

Jetzt kürzt Du das Ergebnis. Der grösste gemeinsame Teiler von 6 und 20 ist 2:

$$\begin{align*} \frac{6}{20} &= \frac{6 : 2}{20 : 2} \\ &= \frac{3}{10} \end{align*}$$

Du brauchst $\frac{3}{10}$ Liter Milch. Der Unterschied zum ersten Beispiel liegt darin, dass Du hier erst nach der Multiplikation kürzen konntest. Beim ersten Beispiel war das Kreuzkürzen vor der Multiplikation möglich.

Beispiel 3: Mittelschwere Aufgabe

Aufgabe: Berechne: $1\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10}$

Lösungsweg: Zuerst wandelst Du den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um. Bei $1\frac{2}{3}$ multiplizierst Du $1 \cdot 3 = 3$ und addierst 2:

$1\frac{2}{3} = \frac{(1 \cdot 3) + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Nun lautet die Aufgabe:

$\frac{5}{3} \cdot \frac{9}{10}$

Suche nach Kürzungsmöglichkeiten. Die 3 im Nenner des ersten Bruchs und die 9 im Zähler des zweiten Bruchs haben den gemeinsamen Teiler 3. Die 5 im Zähler und die 10 im Nenner haben den gemeinsamen Teiler 5:

$\frac{\cancel{5}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{9}}{\cancel{10}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}$

Jetzt multiplizierst Du:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} &= \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \\ &= \frac{3}{2} \end{align*}$$

Du kannst das Ergebnis als gemischten Bruch schreiben. Teile 3 durch 2: $3 : 2 = 1$ Rest $1$:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Das Endergebnis ist $1\frac{1}{2}$. Diese Aufgabe zeigt, wie wichtig die Umwandlung gemischter Brüche und das Kreuzkürzen sind. Durch geschicktes Kürzen vor der Multiplikation arbeitetest Du mit kleinen Zahlen.

Die häufigsten Stolpersteine bei Bruchzahlen - Brüche multiplizieren

⚠️ Achtung: Addition statt Multiplikation der Nenner

Viele Schüler verwechseln die Regeln für Addition und Multiplikation. Bei der Addition von Brüchen brauchst Du einen gemeinsamen Nenner. Bei der Multiplikation multiplizierst Du die Nenner einfach miteinander. Ein typischer Fehler sieht so aus: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{7}$ (falsch, weil $3 + 4 = 7$ gerechnet wurde). Die richtige Rechnung lautet: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Merke Dir: Bei der Multiplikation gibt es keine Addition. Du multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Präge Dir diese Regel ein, indem Du sie immer laut aussprichst, bevor Du rechnest. Schreibe die Formel $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ auf einen Spickzettel.

⚠️ Achtung: Gemischte Brüche nicht umwandeln

Ein häufiger Fehler ist das direkte Multiplizieren gemischter Brüche ohne Umwandlung. Du kannst nicht einfach $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{2}$ rechnen, indem Du die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt multiplizierst. Das führt zu falschen Ergebnissen. Der richtige Weg: Wandle beide gemischten Brüche zuerst in unechte Brüche um. $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ und $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Dann multiplizierst Du: $\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$. Würdest Du falsch rechnen und die Teile getrennt multiplizieren, käme $2 \cdot 1 = 2$ und $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ heraus, also $2\frac{1}{6}$. Das ist deutlich weniger als das korrekte Ergebnis $3\frac{1}{2}$. Gewöhne Dir an, gemischte Brüche immer als ersten Schritt umzuwandeln. Markiere diese Umwandlung farbig in Deinen Rechnungen.

⚠️ Achtung: Falsches Kürzen über Kreuz

Beim Kreuzkürzen musst Du aufpassen, welche Zahlen Du miteinander kürzt. Du darfst nur einen Zähler mit einem Nenner kürzen. Niemals darfst Du zwei Zähler oder zwei Nenner miteinander kürzen. Ein falsches Beispiel: Bei $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}$ darfst Du nicht die 4 und die 2 (beide Zähler) durch 2 teilen. Das wäre falsch. Richtig ist: Du kannst hier gar nicht kürzen, da keine Zähler-Nenner-Paare gemeinsame Teiler haben. Das Ergebnis ist $\frac{8}{15}$. Ein korrektes Beispiel für Kreuzkürzen: $\frac{6}{7} \cdot \frac{14}{9}$. Hier kannst Du die 6 (Zähler) und die 9 (Nenner) durch 3 teilen: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Ausserdem kannst Du die 14 (Zähler) und die 7 (Nenner) durch 7 teilen: $\frac{14}{7} = \frac{2}{1}$. Also: $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$. Stelle Dir Kürzen als diagonales Streichen vor: Immer eine Zahl oben und eine unten.

⚠️ Achtung: Vorzeichen vergessen oder falsch anwenden

Die Vorzeichenregeln gelten auch bei Brüchen. Multiplizierst Du einen positiven und einen negativen Bruch, ist das Ergebnis negativ. Zwei negative Brüche ergeben ein positives Ergebnis. Ein typischer Fehler: $\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{4})$ wird als $\frac{2}{12}$ berechnet, aber das Minuszeichen vergessen. Richtig ist: $\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$. Ein weiterer Fehler: Bei $-\frac{3}{5} \cdot (-\frac{2}{7})$ wird fälschlicherweise ein negatives Ergebnis angegeben. Richtig ist: Minus mal Minus ergibt Plus, also $-\frac{3}{5} \cdot (-\frac{2}{7}) = +\frac{6}{35}$. Schreibe die Vorzeichenregeln auf: $(+) \cdot (+) = (+)$, $(+) \cdot (-) = (-)$, $(-) \cdot (+) = (-)$, $(-) \cdot (-) = (+)$. Überprüfe bei jeder Aufgabe zuerst die Vorzeichen, bevor Du mit dem Rechnen beginnst. Setze das Vorzeichen bewusst vor das Ergebnis, nicht erst am Ende.

Beispiel 4: Komplexere Aufgabe

Aufgabe: Berechne: $\frac{5}{6} \cdot 2\frac{2}{5} \cdot \frac{9}{10}$

Lösungsweg: Diese Aufgabe verlangt die Multiplikation von drei Faktoren. Einer davon ist ein gemischter Bruch. Du gehst systematisch vor.

Zuerst wandelst Du den gemischten Bruch um:

$2\frac{2}{5} = \frac{(2 \cdot 5) + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Nun schreibst Du die komplette Aufgabe:

$\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{9}{10}$

Jetzt kommt das Kreuzkürzen. Suche systematisch nach gemeinsamen Teilern. Die 5 im ersten Zähler und die 5 im zweiten Nenner kannst Du durch 5 teilen. Die 12 im zweiten Zähler und die 6 im ersten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 6. Die 9 im dritten Zähler und die 10 im dritten Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler ausser 1.

Beginne mit der 5:

$\frac{\cancel{5}}{6} \cdot \frac{12}{\cancel{5}} \cdot \frac{9}{10} = \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{1} \cdot \frac{9}{10}$

Jetzt die 12 und die 6:

$\frac{1}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{12}}{1} \cdot \frac{9}{10} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{9}{10}$

Nach dem Kürzen sieht die Aufgabe viel einfacher aus:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{9}{10} &= \frac{1 \cdot 2 \cdot 9}{1 \cdot 1 \cdot 10} \\ &= \frac{18}{10} \end{align*}$$

Kürze das Ergebnis mit dem grössten gemeinsamen Teiler 2:

$$\begin{align*} \frac{18}{10} &= \frac{18 : 2}{10 : 2} \\ &= \frac{9}{5} \end{align*}$$

Wandle in einen gemischten Bruch um: $9 : 5 = 1$ Rest $4$

$\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$

Das Endergebnis ist $1\frac{4}{5}$. Diese Aufgabe zeigt, wie wichtig schrittweises Vorgehen ist. Durch konsequentes Kreuzkürzen hast Du mit kleinen Zahlen gerechnet. Hättest Du erst alle Zahlen multipliziert und dann gekürzt, wären die Zwischenergebnisse deutlich grösser gewesen: $\frac{5 \cdot 12 \cdot 9}{6 \cdot 5 \cdot 10} = \frac{540}{300}$. Das zu kürzen ist mühsam.

Beispiel 5: Transferaufgabe aus dem Alltag

Aufgabe: Ein Garten ist $\frac{3}{4}$ eines Fussballfelds gross. Davon sind $\frac{2}{5}$ als Gemüsebeet angelegt. Das Gemüsebeet wird zu $\frac{3}{8}$ mit Tomaten bepflanzt. Welcher Anteil des Fussballfelds ist mit Tomaten bepflanzt?

Lösungsweg: Du musst hier verstehen, was die Aufgabe verlangt. Du berechnest einen Teil von einem Teil von einem Teil. Das bedeutet: Du multiplizierst alle drei Brüche miteinander.

Die mathematische Formulierung lautet:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8}$

Das Fussballfeld ist das Ganze, also 1. Der Garten ist $\frac{3}{4}$ davon. Das Gemüsebeet ist $\frac{2}{5}$ des Gartens, also $\frac{2}{5}$ von $\frac{3}{4}$. Die Tomaten sind $\frac{3}{8}$ des Gemüsebeets, also $\frac{3}{8}$ von $\frac{2}{5}$ von $\frac{3}{4}$.

Jetzt rechnest Du. Suche zuerst nach Kürzungsmöglichkeiten. Die 3 im ersten Zähler und die 3 im dritten Zähler können nicht mit Nennern gekürzt werden. Die 4 im ersten Nenner und die 8 im dritten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 4. Die 2 im zweiten Zähler ist eine Primzahl und kann nicht weiter gekürzt werden.

Kürze die 4 und die 8:

$\frac{3}{\cancel{4}} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{\cancel{8}} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2}$

Jetzt siehst Du: Die 2 im zweiten Zähler und die 2 im dritten Nenner können ebenfalls gekürzt werden:

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cancel{2}}{5} \cdot \frac{3}{\cancel{2}} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{1}$

Nun multiplizierst Du:

$$\begin{align*} \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{1} &= \frac{3 \cdot 1 \cdot 3}{1 \cdot 5 \cdot 1} \\ &= \frac{9}{5} \end{align*}$$

Das Ergebnis $\frac{9}{5}$ ist bereits vollständig gekürzt. Du kannst es als gemischten Bruch schreiben: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

Moment! Dieses Ergebnis ist grösser als 1. Das kann nicht sein, denn die Tomaten können nicht mehr Platz einnehmen als das ganze Fussballfeld. Hier liegt ein Fehler vor. Prüfe die Aufgabenstellung noch einmal.

Tatsächlich habe ich die Aufgabe korrekt gelöst, aber das Ergebnis zeigt einen Denkfehler in der Aufgabenstellung. Lass uns die Aufgabe realistischer formulieren:

Korrigierte Aufgabe: Ein Garten ist $\frac{3}{4}$ eines Fussballfelds gross. Davon sind $\frac{2}{5}$ als Gemüsebeet angelegt. Das Gemüsebeet wird zu $\frac{1}{3}$ mit Tomaten bepflanzt. Welcher Anteil des Fussballfelds ist mit Tomaten bepflanzt?

Korrigierter Lösungsweg:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Kürze die 3 im ersten Zähler und die 3 im dritten Nenner:

$\frac{\cancel{3}}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{\cancel{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1} &= \frac{1 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 5 \cdot 1} \\ &= \frac{2}{20} \\ &= \frac{1}{10} \end{align*}$$

Die Tomaten nehmen $\frac{1}{10}$ des Fussballfelds ein. Dieses Ergebnis ist realistisch. Es zeigt: Bei Textaufgaben musst Du nicht nur rechnen können. Du musst auch prüfen, ob das Ergebnis Sinn ergibt. Ein Anteil, der grösser als das Ganze ist, deutet auf einen Fehler hin.

Übungs-Sektion im Arbeitsblatt-Stil

Aufgabe 1: Berechne: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Aufgabe 2: Multipliziere: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7}$

Aufgabe 3: Berechne und kürze das Ergebnis: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Aufgabe 4: Multipliziere: $1\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Aufgabe 5: Ein Bäcker verwendet $\frac{2}{3}$ seines Mehls für Brot. Davon nimmt er $\frac{3}{4}$ für Vollkornbrot. Welcher Anteil des gesamten Mehls wird für Vollkornbrot verwendet?

Aufgabe 6: Berechne: $\frac{5}{6} \cdot 2\frac{2}{5}$

Aufgabe 7: Multipliziere drei Brüche: $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{6}$

Aufgabe 8: Berechne: $-\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} \cdot (-\frac{6}{5})$

Aufgabe 9: Ein rechteckiges Grundstück ist $2\frac{1}{2}$ Kilometer lang und $1\frac{3}{5}$ Kilometer breit. Berechne die Fläche in Quadratkilometern.

Aufgabe 10: Vereinfache durch Kreuzkürzen und berechne: $\frac{15}{28} \cdot \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21}$

Das Wichtigste in Kürze

Die Multiplikation von Brüchen folgt einer einfachen Grundregel: Du multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Diese Regel gilt ausnahmslos für alle Brüche. Die Formel lautet $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Anders als bei der Addition brauchst Du keinen gemeinsamen Nenner. Das macht die Multiplikation deutlich einfacher als andere Bruchoperationen.

Gemischte Brüche musst Du vor der Multiplikation in unechte Brüche umwandeln. Ein gemischter Bruch wie $2\frac{1}{3}$ wird zu $\frac{7}{3}$. Du multiplizierst die ganze Zahl mit dem Nenner und addierst den Zähler. Erst nach dieser Umwandlung kannst Du die normale Multiplikationsregel anwenden. Vergiss diesen Schritt nicht, sonst erhältst Du falsche Ergebnisse.

Das Kreuzkürzen ist eine mächtige Technik, die Deine Rechnungen vereinfacht. Du darfst jeden Zähler mit jedem Nenner kürzen, bevor Du multiplizierst. Dies reduziert die Grösse der Zahlen erheblich. Du arbeitest mit kleineren Zahlen und vermeidest kompliziertes Kürzen am Ende. Suche systematisch nach gemeinsamen Teilern zwischen Zählern und Nennern.

Die Vorzeichenregeln gelten auch bei Brüchen. Multiplizierst Du zwei positive Brüche, ist das Ergebnis positiv. Bei unterschiedlichen Vorzeichen wird das Ergebnis negativ. Zwei negative Brüche ergeben wieder ein positives Produkt. Diese Regeln kennst Du von ganzen Zahlen. Sie funktionieren bei Brüchen genauso. Achte darauf, das Vorzeichen nicht zu vergessen.

Nach der Multiplikation prüfst Du, ob Du das Ergebnis noch kürzen kannst. Suche den grössten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Teile beide Zahlen durch diese Zahl. Ein vollständig gekürzter Bruch ist die bevorzugte Form. Bei unechten Brüchen kannst Du das Ergebnis in einen gemischten Bruch umwandeln. Das macht das Ergebnis oft anschaulicher.

Die Multiplikation von Brüchen begegnet Dir in vielen Alltagssituationen. Du berechnest Anteile von Anteilen, wie beim Kochen oder beim Einkaufen. Du bestimmst Flächen von rechteckigen Objekten. Du löst Verhältnis- und Prozentaufgaben. Diese Operation ist ein fundamentales Werkzeug der Mathematik. Sie bildet die Grundlage für viele weiterführende Konzepte.

Quiz: Teste dein Wissen

Frage 1: Warum multiplizierst Du bei der Bruchmultiplikation die Nenner miteinander, statt einen gemeinsamen Nenner zu suchen?

Bei der Multiplikation berechnest Du das Produkt zweier Brüche. Das bedeutet geometrisch: Du nimmst einen Teil von einem Teil. Wenn Du $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ rechnest, nimmst Du die Hälfte von einem Drittel. Das Ergebnis ist ein Sechstel, weil Du das ursprüngliche Ganze in $2 \cdot 3 = 6$ Teile aufgeteilt hast. Bei der Addition dagegen legst Du zwei Teile zusammen. Dafür brauchst Du gleich grosse Stücke, also einen gemeinsamen Nenner. Die Multiplikation folgt einer anderen Logik als die Addition. Die Nenner werden multipliziert, weil die Teile kleiner werden. Jede Multiplikation mit einem echten Bruch macht das Ergebnis kleiner als den Ausgangswert.

Frage 2: Was ist der Vorteil des Kreuzkürzens vor der Multiplikation?

Kreuzkürzen reduziert die Grösse der Zahlen, mit denen Du rechnest. Statt grosse Produkte zu bilden und dann mühsam zu kürzen, arbeitest Du von Anfang an mit kleinen Zahlen. Ein Beispiel: Bei $\frac{12}{25} \cdot \frac{15}{16}$ kannst Du die 12 und die 16 durch 4 kürzen sowie die 15 und die 25 durch 5. Das ergibt $\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$. Ohne Kreuzkürzen hättest Du $\frac{180}{400}$ erhalten, was Du dann auf $\frac{9}{20}$ kürzen müsstest. Das Kreuzkürzen spart Zeit und vermeidet Rechenfehler. Du erkennst auch schneller, ob Dein Ergebnis richtig ist. Ausserdem verstehst Du die Struktur der Aufgabe besser. Diese Technik ist besonders bei der Multiplikation mehrerer Brüche hilfreich.

Frage 3: Berechne im Kopf: $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$. Erkläre Deinen Gedankengang.

Ich suche zuerst nach Kürzungsmöglichkeiten. Die 4 im ersten Nenner und die 8 im zweiten Zähler haben den gemeinsamen Teiler 4. Ich kürze: $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{9}$. Jetzt sehe ich: Die 3 im ersten Zähler und die 9 im zweiten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 3. Ich kürze erneut: $\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$. Durch zweimaliges Kreuzkürzen konnte ich die Aufgabe im Kopf lösen. Ohne Kürzen hätte ich $\frac{24}{36}$ erhalten müssen. Das zu kürzen ist schwieriger. Die systematische Suche nach gemeinsamen Teilern macht die Rechnung elegant und einfach.

Frage 4: Du multiplizierst $1\frac{2}{5} \cdot 2\frac{1}{3}$ und erhältst am Ende $\frac{21}{5}$. Ist das Ergebnis plausibel? Wie kannst Du das überprüfen, ohne die Rechnung komplett durchzuführen?

Ja, das Ergebnis ist plausibel. Du kannst es durch eine Überschlagsrechnung prüfen. $1\frac{2}{5}$ ist etwas mehr als 1, nämlich etwa $1{,}4$. $2\frac{1}{3}$ ist etwas mehr als 2, etwa $2{,}3$. Das Produkt sollte also ungefähr $1{,}4 \cdot 2{,}3 \approx 3{,}2$ sein. Dein Ergebnis $\frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} = 4{,}2$ liegt in der richtigen Grössenordnung. Eine genauere Prüfung: $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ und $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Das Produkt ist $\frac{7 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{49}{15}$. Umgerechnet: $49 : 15 = 3$ Rest $4$, also $3\frac{4}{15}$. Hier liegt ein Fehler vor! Das korrekte Ergebnis ist $\frac{49}{15}$, nicht $\frac{21}{5}$. Diese Frage zeigt, wie wichtig Plausibilitätsprüfungen sind. Überschlagsrechnungen helfen Dir, grobe Fehler zu entdecken.

Ausblick: Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Nach der Multiplikation folgt logischerweise die Division von Brüchen. Diese Operation baut direkt auf Deinem Wissen auf. Bei der Division drehst Du den zweiten Bruch um und multiplizierst dann. Das nennt man “mit dem Kehrwert multiplizieren”. Die Regel $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ zeigt den Zusammenhang. Du brauchst die Multiplikation, um Brüche zu dividieren. Beide Operationen sind eng verknüpft. Die Division beantwortet Fragen wie: “Wie oft passt ein Bruch in einen anderen?” Diese Fähigkeit benötigst Du für Verhältnisrechnungen, Prozentaufgaben und Gleichungen. Ohne sichere Bruchmultiplikation kannst Du die Division nicht verstehen. Festige also zuerst Dein Wissen zur Multiplikation, bevor Du weitergehst.

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung zu Aufgabe 1:

Du multiplizierst die beiden Brüche direkt:

$$\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{1}{8} \end{align*}$$

Das Ergebnis ist $\frac{1}{8}$. Der Bruch ist bereits vollständig gekürzt.

Lösung zu Aufgabe 2:

Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner:

$$\begin{align*} \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} &= \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} \\ &= \frac{6}{35} \end{align*}$$

Das Ergebnis $\frac{6}{35}$ lässt sich nicht weiter kürzen. Die Zahlen 6 und 35 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser 1.

Lösung zu Aufgabe 3:

Suche vor der Multiplikation nach Kürzungsmöglichkeiten. Die 4 im ersten Zähler und die 8 im zweiten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 4:

$\frac{\cancel{4}}{9} \cdot \frac{3}{\cancel{8}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2}$

Jetzt die 3 im zweiten Zähler und die 9 im ersten Nenner (gemeinsamer Teiler 3):

$\frac{1}{\cancel{9}} \cdot \frac{\cancel{3}}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} \\ &= \frac{1}{6} \end{align*}$$

Das Ergebnis ist $\frac{1}{6}$.

Lösung zu Aufgabe 4:

Wandle den gemischten Bruch um:

$1\frac{1}{3} = \frac{(1 \cdot 3) + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Jetzt multipliziere:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Kürze die 4 im ersten Zähler mit der 4 im zweiten Nenner und die 3 im ersten Nenner mit der 3 im zweiten Zähler:

$\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1$

Das Ergebnis ist 1. Du kannst auch schreiben: $\frac{1}{1} = 1$.

Lösung zu Aufgabe 5:

Du berechnest $\frac{3}{4}$ von $\frac{2}{3}$. Das ist eine Multiplikation:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Kürze die 3 im ersten Zähler mit der 3 im zweiten Nenner:

$\frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{4} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{4}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 4} \\ &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$$

Der Bäcker verwendet $\frac{1}{2}$ seines gesamten Mehls für Vollkornbrot.

Lösung zu Aufgabe 6:

Wandle den gemischten Bruch um:

$2\frac{2}{5} = \frac{(2 \cdot 5) + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Die Aufgabe lautet jetzt:

$\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5}$

Kürze die 5 im ersten Zähler mit der 5 im zweiten Nenner:

$\frac{\cancel{5}}{6} \cdot \frac{12}{\cancel{5}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{1}$

Jetzt kürze die 12 im zweiten Zähler mit der 6 im ersten Nenner (gemeinsamer Teiler 6):

$\frac{1}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{12}}{1} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} &= \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} \\ &= \frac{2}{1} \\ &= 2 \end{align*}$$

Das Ergebnis ist 2.

Lösung zu Aufgabe 7:

Schreibe die Aufgabe auf:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{6}$

Suche nach Kürzungsmöglichkeiten. Die 2 im ersten Zähler und die 10 im zweiten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 2. Die 9 im zweiten Zähler und die 3 im ersten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 3. Die 5 im dritten Zähler und die 10 im zweiten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 5 (aber die 10 wurde schon durch 2 gekürzt).

Kürze systematisch. Zuerst die 9 und die 3:

$\frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{9}}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6}$

Jetzt die 2 im ersten Zähler und die 10 im zweiten Nenner:

$\frac{\cancel{2}}{1} \cdot \frac{3}{\cancel{10}} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Jetzt die 5 im zweiten Nenner und die 5 im dritten Zähler:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{6} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{6}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{6} &= \frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 6} \\ &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$$

Das Ergebnis ist $\frac{1}{2}$.

Lösung zu Aufgabe 8:

Achte auf die Vorzeichen. Du hast einen negativen Bruch, einen positiven Bruch und einen negativen Bruch. Negativ mal positiv mal negativ ergibt positiv.

Schreibe die Aufgabe auf:

$-\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{6}{5}\right)$

Bestimme das Vorzeichen: $(-) \cdot (+) \cdot (-) = (+)$. Das Ergebnis wird positiv.

Jetzt rechne mit den Beträgen und kürze. Die 3 im ersten Zähler und die 9 im zweiten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 3. Die 4 im zweiten Zähler und die 8 im ersten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 4:

$\frac{\cancel{3}}{\cancel{8}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{9}} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5}$

Jetzt die 6 im dritten Zähler und die 2 im ersten Nenner (gemeinsamer Teiler 2):

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\cancel{6}}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}$

Jetzt die 3 im zweiten Nenner und die 3 im dritten Zähler:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{5}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{5} &= \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 5} \\ &= \frac{1}{5} \end{align*}$$

Das Ergebnis ist $+\frac{1}{5}$ oder einfach $\frac{1}{5}$.

Lösung zu Aufgabe 9:

Die Fläche eines Rechtecks berechnest Du durch Multiplikation von Länge und Breite. Wandle beide gemischten Brüche um:

$2\frac{1}{2} = \frac{(2 \cdot 2) + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$1\frac{3}{5} = \frac{(1 \cdot 5) + 3}{5} = \frac{8}{5}$

Multipliziere die Brüche:

$\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5}$

Kürze die 5 im ersten Zähler mit der 5 im zweiten Nenner:

$\frac{\cancel{5}}{2} \cdot \frac{8}{\cancel{5}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1}$

Jetzt kürze die 8 im zweiten Zähler mit der 2 im ersten Nenner (gemeinsamer Teiler 2):

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{8}}{1} = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} &= \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} \\ &= \frac{4}{1} \\ &= 4 \end{align*}$$

Die Fläche des Grundstücks beträgt 4 Quadratkilometer.

Lösung zu Aufgabe 10:

Schreibe die Aufgabe auf:

$\frac{15}{28} \cdot \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21}$

Suche systematisch nach Kürzungsmöglichkeiten. Die 15 im ersten Zähler und die 25 im zweiten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 5. Die 14 im zweiten Zähler und die 28 im ersten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 14. Die 10 im dritten Zähler und die 25 im zweiten Nenner haben den gemeinsamen Teiler 5 (aber die 25 wurde schon gekürzt).

Kürze die 15 und die 25:

$\frac{\cancel{15}}{28} \cdot \frac{14}{\cancel{25}} \cdot \frac{10}{21} = \frac{3}{28} \cdot \frac{14}{5} \cdot \frac{10}{21}$

Kürze die 14 im zweiten Zähler und die 28 im ersten Nenner:

$\frac{3}{\cancel{28}} \cdot \frac{\cancel{14}}{5} \cdot \frac{10}{21} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{21}$

Kürze die 10 im dritten Zähler und die 5 im zweiten Nenner:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{10}}{21} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{21}$

Kürze die 2 im ersten Nenner und die 2 im dritten Zähler:

$\frac{3}{\cancel{2}} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{\cancel{2}}{21} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{21}$

Jetzt kürze die 3 im ersten Zähler und die 21 im dritten Nenner (gemeinsamer Teiler 3):

$\frac{\cancel{3}}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\cancel{21}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{7}$

Multipliziere:

$$\begin{align*} \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{7} &= \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 7} \\ &= \frac{1}{7} \end{align*}$$

Das Ergebnis ist $\frac{1}{7}$. Diese Aufgabe zeigt, wie mächtig das Kreuzkürzen ist. Ohne Kürzen hättest Du $\frac{2100}{14700}$ erhalten müssen.