Zufallsgrösse und Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erklärt: Dein Leitfaden für die Stochastik

Stell dir vor, du spielst mit deinen Freunden ein Würfelspiel um Süssigkeiten. Bei einer 1 oder 2 verlierst du zwei Bonbons, bei einer 3, 4 oder 5 passiert nichts, und bei einer 6 gewinnst du fünf Bonbons. Bevor du mitspielst, möchtest du wissen: Lohnt sich das Spiel für dich auf lange Sicht? Wirst du am Ende mehr Bonbons haben oder weniger? Um solche Fragen zu beantworten, brauchst du ein mächtiges Werkzeug aus der Stochastik: die Zufallsgrösse und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mit diesen Konzepten kannst du den Zufall zähmen und vorhersagen, was im Durchschnitt passieren wird.

Vom Würfelspiel zur Mathematik

Kehren wir zum Bonbon-Spiel zurück. Was genau interessiert dich? Nicht die Augenzahl selbst, sondern was sie für deinen Bonbon-Vorrat bedeutet. Du übersetzt also das zufällige Ergebnis (die Augenzahl) in eine Zahl, die dich wirklich interessiert (Gewinn oder Verlust an Bonbons).

Genau das macht eine Zufallsgrösse: Sie ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu.

Lass uns das Spiel in einer Tabelle festhalten:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Gewinn (in Bonbons)	$-2$	$-2$	$0$	$0$	$0$	$+5$

Die Zufallsgrösse $X$ beschreibt hier deinen Gewinn pro Wurf. Sie kann die Werte $-2$, $0$ oder $+5$ annehmen.

Die Zufallsgrösse verstehen

Eine Zufallsgrösse ist also nichts anderes als eine Funktion. Sie nimmt ein zufälliges Ereignis und macht daraus eine Zahl. Diese Zahl nennt man den Wert der Zufallsgrösse.

In der Mathematik verwenden wir für Zufallsgrössen meistens Grossbuchstaben wie $X$, $Y$ oder $Z$. Die konkreten Werte, die sie annehmen kann, schreiben wir oft als $x_1, x_2, x_3, \ldots$

Beim Bonbon-Spiel hat die Zufallsgrösse $X$ drei mögliche Werte:

• $x_1 = -2$ (Verlust von 2 Bonbons)
• $x_2 = 0$ (kein Gewinn, kein Verlust)
• $x_3 = +5$ (Gewinn von 5 Bonbons)

DEFINITION

Eine Zufallsgrösse $X$ ist eine Grösse, deren Wert vom Zufall abhängt. Sie ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments genau eine reelle Zahl zu. Die möglichen Werte einer Zufallsgrösse bezeichnet man als ihre Ausprägungen.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen

Du weisst jetzt, welche Werte die Zufallsgrösse annehmen kann. Aber wie wahrscheinlich ist jeder einzelne Wert? Das beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für das Bonbon-Spiel überlegst du:

• Verlust von 2 Bonbons tritt bei Augenzahl 1 oder 2 ein. Das sind 2 von 6 Möglichkeiten.
• Kein Gewinn/Verlust tritt bei Augenzahl 3, 4 oder 5 ein. Das sind 3 von 6 Möglichkeiten.
• Gewinn von 5 Bonbons tritt nur bei Augenzahl 6 ein. Das ist 1 von 6 Möglichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung schreibst du so:

$$P(X = -2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$P(X = 0) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$P(X = 5) = \frac{1}{6}$$

Diese Verteilung stellst du übersichtlich in einer Tabelle dar:

$x_i$	$-2$	$0$	$5$
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

Das ist die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgrösse $X$.

DEFINITION

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgrösse $X$ gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder mögliche Wert $x_i$ angenommen wird. Sie ordnet jedem Wert $x_i$ seine Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$ zu. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer 1 ergeben.

Das Schritt-für-Schritt-Vorgehen

So gehst du bei jeder Aufgabe vor:

1. Zufallsexperiment identifizieren: Was wird zufällig durchgeführt? (z.B. Würfeln, Münzwurf, Ziehen aus einer Urne)

2. Zufallsgrösse definieren: Was genau misst du? Gib der Zufallsgrösse einen Namen (meist $X$) und beschreibe sie in Worten.

3. Alle möglichen Werte auflisten: Welche Zahlen kann die Zufallsgrösse annehmen? Liste alle Werte $x_1, x_2, \ldots$ auf.

4. Wahrscheinlichkeiten berechnen: Bestimme für jeden Wert die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$.

5. Kontrollieren: Addiere alle Wahrscheinlichkeiten. Die Summe muss genau 1 ergeben.

Die Kontrollrechnung für das Bonbon-Spiel:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \checkmark$$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Ergebnisse und Werte verwechseln Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 sind die Ergebnisse des Würfelwurfs. Die Werte der Zufallsgrösse sind $-2$, $0$ und $5$. Achte darauf, was genau die Zufallsgrösse misst.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeiten falsch zuordnen Wenn mehrere Ergebnisse zum selben Wert führen (z.B. Augenzahl 1 und 2 beide zu Gewinn $-2$), musst du die Wahrscheinlichkeiten addieren. Der Wert $-2$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$, nicht nur $\frac{1}{6}$.

Fehler 3: Die Summenprobe vergessen Alle Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen genau 1 ergeben. Wenn deine Summe nicht 1 ist, hast du einen Fehler gemacht. Kontrolliere immer am Schluss.

Beispiele

Beispiel 1: Zweimaliges Münzwerfen

Du wirfst eine faire Münze zweimal. Die Zufallsgrösse $X$ zählt, wie oft Kopf erscheint.

Schritt 1: Zufallsexperiment ist zweimaliges Werfen einer Münze.

Schritt 2: $X$ = Anzahl der Köpfe bei zwei Würfen.

Schritt 3: Mögliche Werte: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$

Schritt 4: Alle möglichen Ergebnisse beim zweimaligen Münzwurf sind:

• Kopf-Kopf (KK): $X = 2$
• Kopf-Zahl (KZ): $X = 1$
• Zahl-Kopf (ZK): $X = 1$
• Zahl-Zahl (ZZ): $X = 0$

Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$.

$$P(X = 0) = \frac{1}{4}$$$$P(X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$$$P(X = 2) = \frac{1}{4}$$

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Kontrolle: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$ ✓

Beispiel 2: Glücksrad mit Geldgewinnen

Ein Glücksrad hat 8 gleich grosse Felder. Auf 4 Feldern steht “0 CHF”, auf 3 Feldern “10 CHF” und auf 1 Feld “50 CHF”. Die Zufallsgrösse $X$ beschreibt den Gewinn in CHF.

Schritt 1: Zufallsexperiment ist das Drehen des Glücksrads.

Schritt 2: $X$ = Gewinn in CHF.

Schritt 3: Mögliche Werte: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$, $x_3 = 50$

Schritt 4:

$$P(X = 0) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$$$P(X = 10) = \frac{3}{8}$$$$P(X = 50) = \frac{1}{8}$$

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x_i$	$0$	$10$	$50$
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

Kontrolle: $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$ ✓

Beispiel 3: Ziehen aus einer Urne

In einer Urne liegen 3 rote, 2 blaue und 1 grüne Kugel. Du ziehst eine Kugel. Für Rot erhältst du 1 Punkt, für Blau 3 Punkte und für Grün 10 Punkte. Die Zufallsgrösse $X$ beschreibt deine Punktzahl.

Schritt 1: Zufallsexperiment ist das Ziehen einer Kugel.

Schritt 2: $X$ = erzielte Punktzahl.

Schritt 3: Mögliche Werte: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 10$

Schritt 4: Insgesamt liegen $3 + 2 + 1 = 6$ Kugeln in der Urne.

$$P(X = 1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$$$P(X = 3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$$$P(X = 10) = \frac{1}{6}$$

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x_i$	$1$	$3$	$10$
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

Kontrolle: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ ✓

Beispiel 4: Würfeln mit zwei Würfeln

Du wirfst zwei faire Würfel gleichzeitig. Die Zufallsgrösse $X$ beschreibt die Differenz der Augenzahlen (grössere minus kleinere Zahl, also immer $\geq 0$).

Schritt 1: Zufallsexperiment ist das Werfen zweier Würfel.

Schritt 2: $X$ = Differenz der Augenzahlen (grössere minus kleinere).

Schritt 3: Mögliche Werte: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$, $x_4 = 3$, $x_5 = 4$, $x_6 = 5$

Schritt 4: Es gibt insgesamt $6 \cdot 6 = 36$ mögliche Würfelergebnisse.

Für $X = 0$ (beide Würfel zeigen dieselbe Zahl): $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ → 6 Möglichkeiten

Für $X = 1$ (Differenz 1): $(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5)$ → 10 Möglichkeiten

Für $X = 2$: $(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4)$ → 8 Möglichkeiten

Für $X = 3$: $(1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,6), (6,3)$ → 6 Möglichkeiten

Für $X = 4$: $(1,5), (5,1), (2,6), (6,2)$ → 4 Möglichkeiten

Für $X = 5$: $(1,6), (6,1)$ → 2 Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = x_i)$	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Gekürzt:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{18}$

Kontrolle: $6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36$ → $\frac{36}{36} = 1$ ✓

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Zufallsgrösse $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu.

• Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder Wert der Zufallsgrösse angenommen wird.

• Führen mehrere Ergebnisse zum selben Wert, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

• Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung muss immer genau 1 ergeben. Nutze dies zur Kontrolle.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Eine Zufallsgrösse $X$ kann die Werte 1, 2 und 3 annehmen. Es gilt $P(X = 1) = 0{,}3$ und $P(X = 2) = 0{,}5$. Wie gross ist $P(X = 3)$?

Lösung anzeigen

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben:

$$P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1$$$$0{,}3 + 0{,}5 + P(X = 3) = 1$$$$P(X = 3) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $P(X = 3) = 0{,}2$ oder $20\%$.

❓ Frage: Du wirfst einen fairen Würfel einmal. Die Zufallsgrösse $X$ gibt an, ob die Augenzahl gerade (dann $X = 0$) oder ungerade (dann $X = 1$) ist. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf.

Lösung anzeigen

Gerade Augenzahlen: 2, 4, 6 → 3 von 6 Möglichkeiten Ungerade Augenzahlen: 1, 3, 5 → 3 von 6 Möglichkeiten

$$P(X = 0) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$$$P(X = 1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

$x_i$	$0$	$1$
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

❓ Frage: Bei einem Spiel gewinnst du bei einer 6 genau 12 CHF und bei jeder anderen Augenzahl verlierst du 2 CHF. Definiere eine passende Zufallsgrösse und stelle ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung auf.

Lösung anzeigen

Die Zufallsgrösse $X$ beschreibt den Gewinn in CHF pro Wurf.

Mögliche Werte:

• $x_1 = -2$ (Verlust bei Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5)
• $x_2 = 12$ (Gewinn bei Augenzahl 6)

Wahrscheinlichkeiten:

$$P(X = -2) = \frac{5}{6}$$$$P(X = 12) = \frac{1}{6}$$

$x_i$	$-2$	$12$
$P(X = x_i)$	$\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$

Kontrolle: $\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$ ✓

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du kannst jetzt Zufallsgrössen definieren und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen. Der nächste logische Schritt ist die Frage: Was passiert im Durchschnitt? Beim Bonbon-Spiel vom Anfang wolltest du wissen, ob sich das Spiel lohnt. Dafür brauchst du den Erwartungswert. Er berechnet den durchschnittlichen Wert, den eine Zufallsgrösse auf lange Sicht annimmt. Mit dem Erwartungswert kannst du vorhersagen, ob du bei einem Glücksspiel langfristig gewinnst oder verlierst. Auch die Standardabweichung wird wichtig: Sie misst, wie stark die tatsächlichen Werte vom Erwartungswert abweichen. Diese Konzepte bauen direkt auf dem auf, was du heute gelernt hast.