Ziehen ohne Zurücklegen einfach erklärt: So berechnest du Wahrscheinlichkeiten richtig

Stell dir vor, du spielst ein Kartenspiel mit deinen Freunden. Du ziehst eine Karte aus dem Stapel – sagen wir ein Ass. Diese Karte legst du vor dir auf den Tisch, sie kommt nicht zurück in den Stapel. Jetzt ist die Frage: Wie wahrscheinlich ist es, dass du bei der nächsten Ziehung wieder ein Ass bekommst? Die Situation hat sich verändert. Der Stapel ist kleiner geworden, und ein Ass fehlt bereits. Genau diese Veränderung der Ausgangssituation nach jeder Ziehung ist das Kernprinzip beim Ziehen ohne Zurücklegen. In diesem Kapitel lernst du, wie du solche Wahrscheinlichkeiten präzise berechnest.

Vom Kartenspiel zur mathematischen Problemstellung

Bleiben wir beim Kartenspiel. Ein Standard-Kartendeck hat 52 Karten, darunter 4 Asse. Du willst wissen: Wie wahrscheinlich ist es, bei zwei aufeinanderfolgenden Zügen zwei Asse zu ziehen, wenn du die erste Karte nicht zurücklegst?

Beim ersten Zug ist die Situation klar: 4 Asse von 52 Karten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{4}{52}$.

Aber was passiert beim zweiten Zug? Hier wird es spannend. Wenn du beim ersten Zug ein Ass gezogen hast, sind jetzt nur noch 3 Asse im Spiel. Und der Stapel hat nur noch 51 Karten. Die Wahrscheinlichkeit für das zweite Ass ist also $\frac{3}{51}$.

Du siehst: Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug hängt davon ab, was beim ersten Zug passiert ist. Die Ereignisse sind nicht unabhängig voneinander. Diese gegenseitige Beeinflussung ist das zentrale Merkmal beim Ziehen ohne Zurücklegen.

Die Grundlagen: Was bedeutet “ohne Zurücklegen” mathematisch?

Beim Ziehen ohne Zurücklegen gilt eine einfache Regel: Nach jeder Ziehung verändert sich die Gesamtmenge. Das hat zwei Konsequenzen:

1. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse (der Nenner im Bruch) wird kleiner.
2. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse (der Zähler) kann sich ebenfalls ändern.

DEFINITION

Beim Ziehen ohne Zurücklegen werden gezogene Objekte nicht in die Ausgangsmenge zurückgelegt. Dadurch ändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei jeder weiteren Ziehung. Die Ereignisse sind abhängig voneinander.

Für zwei aufeinanderfolgende Ereignisse $A$ und $B$ gilt:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)$

Dabei bedeutet $P(B | A)$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung, dass $A$ bereits eingetreten ist.

Die Schritt-für-Schritt-Methode

So gehst du bei Aufgaben zum Ziehen ohne Zurücklegen vor:

1. Erfasse die Ausgangssituation: Wie viele Objekte gibt es insgesamt? Wie viele davon sind “günstig” für das gewünschte Ergebnis?

2. Berechne die erste Wahrscheinlichkeit: Teile die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl.

3. Aktualisiere die Situation: Ziehe im Kopf ein Objekt ab. Wie viele Objekte bleiben übrig? Wie viele günstige?

4. Berechne die nächste Wahrscheinlichkeit: Nutze die aktualisierten Zahlen.

5. Kombiniere die Wahrscheinlichkeiten: Multipliziere die Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn beide Ereignisse eintreten sollen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Gesamtzahl nicht anpassen Viele Schüler vergessen, dass nach jeder Ziehung ein Objekt weniger im Spiel ist. Wenn du aus 10 Kugeln ziehst, hast du beim zweiten Zug nur noch 9 Kugeln – nicht mehr 10.

Fehler 2: Den Zähler unverändert lassen Wenn du eine rote Kugel gezogen hast und nach der Wahrscheinlichkeit für eine weitere rote Kugel fragst, ist jetzt eine rote Kugel weniger vorhanden. Hatte die Urne vorher 5 rote Kugeln, sind es jetzt nur noch 4.

Fehler 3: Verwechslung mit “Zurücklegen” Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sie sich. Lies die Aufgabenstellung genau, um herauszufinden, welcher Fall vorliegt.

Beispiele

Beispiel 1: Zwei rote Kugeln aus der Urne

In einer Urne befinden sich 6 rote und 4 blaue Kugeln. Du ziehst nacheinander zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?

Schritt 1: Erste Ziehung

• Gesamtzahl der Kugeln: $10$
• Anzahl roter Kugeln: $6$
• Wahrscheinlichkeit für Rot: $P(\text{1. rot}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Schritt 2: Situation aktualisieren Nach der ersten Ziehung (angenommen, sie war rot):

• Gesamtzahl der Kugeln: $10 - 1 = 9$
• Anzahl roter Kugeln: $6 - 1 = 5$

Schritt 3: Zweite Ziehung

• Wahrscheinlichkeit für Rot: $P(\text{2. rot} | \text{1. rot}) = \frac{5}{9}$

Schritt 4: Gesamtwahrscheinlichkeit

$P(\text{beide rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa $33{,}3\%$.

Beispiel 2: Mindestens eine Niete beim Lotterielos

Bei einer Tombola gibt es 20 Lose: 5 Gewinnlose und 15 Nieten. Du kaufst 2 Lose. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines davon eine Niete ist?

Strategie: Wir berechnen das Gegenereignis (beide Lose sind Gewinne) und ziehen es von 1 ab.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinne

$P(\text{1. Gewinn}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

Nach dem ersten Gewinn:

$P(\text{2. Gewinn} | \text{1. Gewinn}) = \frac{4}{19}$

$P(\text{beide Gewinne}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{19} = \frac{4}{76} = \frac{1}{19}$

Schritt 2: Gegenereignis nutzen

$P(\text{mindestens eine Niete}) = 1 - P(\text{beide Gewinne}) = 1 - \frac{1}{19} = \frac{18}{19}$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Niete beträgt $\frac{18}{19}$ oder etwa $94{,}7\%$.

Beispiel 3: Drei Karten ohne Bild ziehen

Aus einem Stapel von 32 Karten (Schweizer Jass-Karten) werden 3 Karten gezogen. Es gibt 12 Bildkarten (König, Ober, Unter) und 20 Zahlenkarten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Karten Zahlenkarten sind?

Schritt 1: Erste Ziehung

$P(\text{1. Zahlenkarte}) = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$

Schritt 2: Zweite Ziehung Nach der ersten Zahlenkarte: 19 Zahlenkarten von 31 Karten übrig.

$P(\text{2. Zahlenkarte} | \text{1. Zahlenkarte}) = \frac{19}{31}$

Schritt 3: Dritte Ziehung Nach zwei Zahlenkarten: 18 Zahlenkarten von 30 Karten übrig.

$P(\text{3. Zahlenkarte} | \text{1. und 2. Zahlenkarte}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Schritt 4: Gesamtwahrscheinlichkeit

$P(\text{alle drei Zahlenkarten}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{19}{31} \cdot \frac{3}{5}$

$= \frac{5 \cdot 19 \cdot 3}{8 \cdot 31 \cdot 5} = \frac{285}{1240} = \frac{57}{248}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{57}{248}$ oder etwa $23\%$.

Beispiel 4: Qualitätskontrolle in der Produktion

In einer Lieferung von 50 Smartphones sind 3 defekt. Für die Qualitätskontrolle werden zufällig 2 Geräte entnommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geräte funktionieren?

Ausgangssituation:

• Gesamtzahl: 50 Geräte
• Funktionierende Geräte: $50 - 3 = 47$

Berechnung:

$P(\text{1. funktioniert}) = \frac{47}{50}$

$P(\text{2. funktioniert} | \text{1. funktioniert}) = \frac{46}{49}$

$P(\text{beide funktionieren}) = \frac{47}{50} \cdot \frac{46}{49} = \frac{2162}{2450} = \frac{1081}{1225}$

Das entspricht etwa $88{,}2\%$. Mit hoher Wahrscheinlichkeit funktionieren beide Testgeräte.

Zusatzfrage: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Gerät defekt ist?

Hier gibt es zwei Möglichkeiten: Erst defekt, dann funktionierend – oder umgekehrt.

$P(\text{D, F}) = \frac{3}{50} \cdot \frac{47}{49} = \frac{141}{2450}$

$P(\text{F, D}) = \frac{47}{50} \cdot \frac{3}{49} = \frac{141}{2450}$

$P(\text{genau ein defekt}) = \frac{141}{2450} + \frac{141}{2450} = \frac{282}{2450} = \frac{141}{1225}$

Das entspricht etwa $11{,}5\%$.

Die Formel für mehrfaches Ziehen

Wenn du $k$ Objekte aus $n$ Objekten ziehst, wobei $m$ davon eine bestimmte Eigenschaft haben, und du wissen willst, wie wahrscheinlich es ist, dass alle $k$ Objekte diese Eigenschaft haben, kannst du die Formel nutzen:

$P = \frac{m}{n} \cdot \frac{m-1}{n-1} \cdot \frac{m-2}{n-2} \cdot \ldots \cdot \frac{m-k+1}{n-k+1}$

Diese Formel ist nichts anderes als die systematische Anwendung der Pfadregel für abhängige Ereignisse.

Das Wichtigste in Kürze

• Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jeder Ziehung.
• Der Nenner (Gesamtzahl) und oft auch der Zähler (günstige Ergebnisse) werden bei jeder Ziehung um 1 kleiner.
• Für die Gesamtwahrscheinlichkeit mehrerer aufeinanderfolgender Ereignisse multiplizierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten (Pfadregel).
• Bei “mindestens”-Aufgaben ist es oft einfacher, das Gegenereignis zu berechnen und von 1 abzuziehen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einer Schachtel liegen 8 grüne und 4 gelbe Bonbons. Du nimmst nacheinander 2 Bonbons heraus, ohne das erste zurückzulegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide grün sind?

Lösung anzeigen

$P(\text{beide grün}) = \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} = \frac{56}{132} = \frac{14}{33}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{14}{33}$ oder etwa $42{,}4\%$.

❓ Frage: Eine Klasse hat 18 Schülerinnen und 12 Schüler. Für ein Projekt werden zufällig 2 Personen ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Personen Schüler sind?

Lösung anzeigen

Gesamtzahl: 30 Personen, davon 12 Schüler.

$P(\text{beide Schüler}) = \frac{12}{30} \cdot \frac{11}{29} = \frac{132}{870} = \frac{22}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{22}{145}$ oder etwa $15{,}2\%$.

❓ Frage: In einem Beutel sind 5 rote, 3 blaue und 2 weisse Murmeln. Du ziehst 2 Murmeln ohne Zurücklegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Murmeln verschiedene Farben haben?

Lösung anzeigen

Hier nutzen wir das Gegenereignis: Beide Murmeln haben die gleiche Farbe.

$P(\text{beide rot}) = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{90}$

$P(\text{beide blau}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$

$P(\text{beide weiss}) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90}$

$P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{20 + 6 + 2}{90} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45}$

$P(\text{verschiedene Farben}) = 1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{31}{45}$ oder etwa $68{,}9\%$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, wie Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen funktionieren. Im nächsten Schritt wirst du dieses Wissen mit dem Konzept der Kombinatorik verbinden. Dabei lernst du, wie du mit dem Binomialkoeffizienten die Anzahl der Möglichkeiten berechnest, $k$ Objekte aus $n$ auszuwählen – ohne jede Ziehung einzeln betrachten zu müssen. Das wird besonders nützlich, wenn du viele Objekte auf einmal ziehst oder wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Ausserdem wirst du die hypergeometrische Verteilung kennenlernen, die das Ziehen ohne Zurücklegen für beliebige Situationen verallgemeinert.