Vierfeldertafeln einfach erklärt: So behältst du den Überblick bei zwei Merkmalen

Stell dir vor, du bist Trainer eines Fussballvereins. Du willst herausfinden, wie viele deiner Spieler gleichzeitig Rechtsfuss sind UND regelmässig ins Training kommen. Oder du möchtest wissen: Gibt es einen Zusammenhang zwischen Linksfüssigkeit und unregelmässigem Training? Du hast also zwei Eigenschaften (Merkmale), die du gleichzeitig betrachten willst – und genau das wird schnell unübersichtlich.

Genau hier kommt die Vierfeldertafel ins Spiel. Sie ist wie ein cleveres Ordnungssystem für deine Daten. Statt Listen zu vergleichen und dabei den Überblick zu verlieren, packst du alles in eine kompakte Tabelle mit genau vier Feldern. Am Ende dieser Seite wirst du Vierfeldertafeln selbst erstellen, ablesen und für Wahrscheinlichkeitsberechnungen nutzen können.

Vom Alltag zur Tabelle: Warum brauchen wir Vierfeldertafeln?

Greifen wir das Fussball-Beispiel auf. Du hast 40 Spieler im Verein und zwei Fragen:

• Merkmal 1: Ist der Spieler Rechtsfuss oder Linksfuss?
• Merkmal 2: Kommt der Spieler regelmässig oder unregelmässig zum Training?

Jeder Spieler lässt sich nun einer von vier Gruppen zuordnen:

1. Rechtsfuss und regelmässig
2. Rechtsfuss und unregelmässig
3. Linksfuss und regelmässig
4. Linksfuss und unregelmässig

Wenn du diese Zuordnung als Tabelle darstellst, entsteht automatisch eine Struktur mit vier Feldern – daher der Name Vierfeldertafel. Sie hilft dir, die Daten auf einen Blick zu erfassen und Zusammenhänge zu erkennen.

Der Aufbau einer Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel hat immer dieselbe Grundstruktur. In den Zeilen steht das eine Merkmal, in den Spalten das andere. Dazu kommen Randsummen, die zeigen, wie viele Objekte insgesamt eine bestimmte Eigenschaft haben.

	Merkmal B	nicht B	Summe
Merkmal A	$a$	$b$	$a + b$
nicht A	$c$	$d$	$c + d$
Summe	$a + c$	$b + d$	$n$

Die vier Felder in der Mitte ($a$, $b$, $c$, $d$) heissen Häufigkeiten. Sie geben an, wie viele Objekte beide Merkmale gleichzeitig haben (oder eben nicht haben).

Die Werte am Rand ($a + b$, $c + d$, $a + c$, $b + d$) heissen Randsummen oder Randverteilungen. Sie zeigen, wie viele Objekte insgesamt das jeweilige Merkmal besitzen – unabhängig vom anderen Merkmal.

Der Wert $n$ ist die Gesamtzahl aller Objekte. Es gilt immer:

$n = a + b + c + d$

DEFINITION

Eine Vierfeldertafel ist eine übersichtliche Darstellung für zwei Merkmale, die jeweils zwei Ausprägungen haben (z.B. ja/nein). Sie enthält vier innere Felder für die kombinierten Häufigkeiten sowie Randsummen und die Gesamtzahl $n$. Mit ihr lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten und Zusammenhänge zwischen Merkmalen untersuchen.

Schritt für Schritt: So erstellst du eine Vierfeldertafel

Wenn du Daten in eine Vierfeldertafel eintragen musst, gehe so vor:

1. Merkmale identifizieren: Welche zwei Eigenschaften werden untersucht? Welche Ausprägungen hat jedes Merkmal?

2. Tabelle anlegen: Zeichne eine Tabelle mit 3 Zeilen und 3 Spalten. Beschrifte die Zeilen mit Merkmal A und “nicht A”, die Spalten mit Merkmal B und “nicht B”. Füge eine Zeile und Spalte für die Summen hinzu.

3. Bekannte Werte eintragen: Trage alle Werte ein, die du direkt aus der Aufgabe ablesen kannst.

4. Fehlende Werte berechnen: Nutze die Eigenschaft, dass jede Zeile und jede Spalte zur jeweiligen Randsumme addiert werden muss. So kannst du fehlende Felder schrittweise erschliessen.

5. Kontrolle: Prüfe, ob alle Randsummen zur Gesamtzahl $n$ addiert werden.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Zeilen und Spalten verwechseln Beim Ablesen von bedingten Wahrscheinlichkeiten ist die Reihenfolge entscheidend. “Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand regelmässig trainiert, gegeben er ist Linksfuss” ist etwas anderes als “Die Wahrscheinlichkeit, Linksfuss zu sein, gegeben regelmässiges Training”. Lies die Aufgabe genau und markiere, welche Bedingung gegeben ist.

Fehler 2: Randsummen falsch berechnen Manchmal werden die inneren Felder korrekt ausgefüllt, aber die Randsummen vergessen oder falsch addiert. Kontrolliere immer: Zeile für Zeile und Spalte für Spalte müssen die Summen stimmen.

Fehler 3: Relative und absolute Häufigkeiten vermischen In manchen Aufgaben sind Prozentwerte gegeben, in anderen absolute Zahlen. Achte darauf, ob du mit Anzahlen oder mit Anteilen rechnest. Bei Wahrscheinlichkeiten teilst du durch die passende Randsumme oder durch $n$.

Beispiele

Beispiel 1: Fussballverein – Vierfeldertafel erstellen

In einem Fussballverein mit 40 Spielern gilt:

• 30 Spieler sind Rechtsfüsser.
• 25 Spieler kommen regelmässig zum Training.
• 8 Linksfüsser kommen regelmässig zum Training.

Erstelle die Vierfeldertafel.

Lösung:

Zuerst legen wir die Struktur fest. Merkmal A: Rechtsfuss/Linksfuss. Merkmal B: regelmässig/unregelmässig.

Wir kennen:

• Gesamtzahl: $n = 40$
• Rechtsfüsser: $30$, also Linksfüsser: $40 - 30 = 10$
• Regelmässig: $25$, also unregelmässig: $40 - 25 = 15$
• Linksfuss und regelmässig: $8$

Daraus folgt:

• Linksfuss und unregelmässig: $10 - 8 = 2$
• Rechtsfuss und regelmässig: $25 - 8 = 17$
• Rechtsfuss und unregelmässig: $30 - 17 = 13$

Die fertige Tafel:

	regelmässig	unregelmässig	Summe
Rechtsfuss	$17$	$13$	$30$
Linksfuss	$8$	$2$	$10$
Summe	$25$	$15$	$40$

Kontrolle: $17 + 13 + 8 + 2 = 40$ ✓

Beispiel 2: Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldertafel berechnen

Nutze die Vierfeldertafel aus Beispiel 1. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:

a) Ein zufällig gewählter Spieler ist Rechtsfuss.

b) Ein zufällig gewählter Spieler ist Linksfuss und kommt unregelmässig.

c) Ein zufällig gewählter Linksfussspieler kommt regelmässig zum Training.

Lösung:

a) Die Wahrscheinlichkeit für Rechtsfuss:

$P(\text{Rechtsfuss}) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 0{,}75$

Das sind $75 \, \%$ der Spieler.

b) Die Wahrscheinlichkeit für Linksfuss UND unregelmässig:

$P(\text{Linksfuss und unregelmässig}) = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} = 0{,}05$

Das sind $5 \, \%$ der Spieler.

c) Hier ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt. Die Bedingung “Linksfuss” schränkt unsere Grundmenge ein. Wir betrachten nur die 10 Linksfüsser.

$P(\text{regelmässig} \mid \text{Linksfuss}) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Von den Linksfüssern kommen $80 \, \%$ regelmässig zum Training.

Beispiel 3: Fehlende Werte ergänzen

Bei einer Umfrage unter 200 Schülerinnen und Schülern wurde erfasst, wer ein Smartphone besitzt und wer regelmässig Sport treibt. Die folgende Vierfeldertafel ist unvollständig:

	Sport	kein Sport	Summe
Smartphone	$?$	$50$	$?$
kein Smartphone	$20$	$?$	$60$
Summe	$90$	$?$	$200$

Ergänze alle fehlenden Werte.

Lösung:

Wir arbeiten uns Schritt für Schritt vor:

Schritt 1: Summe “kein Smartphone” ist $60$. Bekannt ist $20$ (kein Smartphone, Sport). Also:

$\text{kein Smartphone, kein Sport} = 60 - 20 = 40$

Schritt 2: Summe Sport ist $90$. Bekannt ist $20$ (kein Smartphone, Sport). Also:

$\text{Smartphone, Sport} = 90 - 20 = 70$

Schritt 3: Summe “kein Sport”:

$\text{kein Sport} = 200 - 90 = 110$

Schritt 4: Randsumme Smartphone:

$\text{Smartphone} = 200 - 60 = 140$

Kontrolle: $70 + 50 = 120$? Nein, das passt nicht zu $140$.

Moment – wir müssen nochmals prüfen. $50$ (Smartphone, kein Sport) ist gegeben. Dann:

$\text{Smartphone} = 70 + 50 = 120$

Aber: $120 + 60 = 180 \neq 200$. Das widerspricht der Aufgabe.

Korrektur: Wir berechnen die Smartphone-Randsumme direkt: $200 - 60 = 140$.

Dann ist Smartphone, Sport: $140 - 50 = 90$.

Aber die Summe Sport ist auch $90$. Das würde bedeuten: kein Smartphone, Sport = $0$.

Das widerspricht aber der Angabe $20$.

Die Aufgabe enthält widersprüchliche Angaben. In der Prüfung: Schreibe auf, welche Werte du berechnet hast, und weise auf den Widerspruch hin.

Falls die Tabelle konsistent wäre (z.B. Summe Sport = $110$ statt $90$):

	Sport	kein Sport	Summe
Smartphone	$90$	$50$	$140$
kein Smartphone	$20$	$40$	$60$
Summe	$110$	$90$	$200$

Lerneffekt: Kontrolliere immer, ob alle Summen konsistent sind.

Beispiel 4: Anwendung bei Krankheitstests

Ein Schnelltest für eine seltene Krankheit wurde an 1000 Personen getestet. Folgende Daten sind bekannt:

• 50 Personen sind tatsächlich krank.
• Der Test zeigt bei 45 kranken Personen ein positives Ergebnis.
• Der Test zeigt bei 30 gesunden Personen fälschlicherweise ein positives Ergebnis.

a) Erstelle die Vierfeldertafel.

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich krank ist?

Lösung:

a) Merkmal A: krank/gesund. Merkmal B: Test positiv/Test negativ.

Aus den Angaben:

• Gesamtzahl: $n = 1000$
• Krank: $50$, gesund: $1000 - 50 = 950$
• Krank und positiv: $45$
• Krank und negativ: $50 - 45 = 5$
• Gesund und positiv: $30$
• Gesund und negativ: $950 - 30 = 920$

	Test positiv	Test negativ	Summe
krank	$45$	$5$	$50$
gesund	$30$	$920$	$950$
Summe	$75$	$925$	$1000$

b) Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit:

$P(\text{krank} \mid \text{positiv}) = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0{,}6$

Nur $60 \, \%$ der Personen mit positivem Test sind tatsächlich krank. Diese Zahl heisst positiver Vorhersagewert. Er ist überraschend niedrig, weil die Krankheit selten ist und es vergleichsweise viele falsch-positive Ergebnisse gibt.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Vierfeldertafel ordnet Daten nach zwei Merkmalen mit je zwei Ausprägungen in vier Feldern an.
• Die Randsummen zeigen, wie viele Objekte ein einzelnes Merkmal besitzen (unabhängig vom anderen Merkmal).
• Für bedingte Wahrscheinlichkeiten schränkst du die Grundmenge auf die entsprechende Randsumme ein.
• Kontrolliere immer, ob die Summen konsistent sind: Zeilensummen plus Spaltensummen müssen zur Gesamtzahl passen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

In einer Vierfeldertafel stehen in den inneren Feldern die Werte $12$, $8$, $5$ und $15$. Wie gross ist die Gesamtzahl $n$?

Lösung anzeigen

Die Gesamtzahl ist die Summe aller inneren Felder:

$n = 12 + 8 + 5 + 15 = 40$

❓ Frage:

Von 80 befragten Jugendlichen besitzen 60 ein Velo und 50 Inlineskates. 40 besitzen beides. Wie viele Jugendliche besitzen weder Velo noch Inlineskates?

Lösung anzeigen

Wir erstellen die Vierfeldertafel:

• Velo und Inlineskates: $40$
• Velo, keine Inlineskates: $60 - 40 = 20$
• Keine Velo, Inlineskates: $50 - 40 = 10$
• Keines von beiden: $80 - 40 - 20 - 10 = 10$

Antwort: 10 Jugendliche besitzen weder Velo noch Inlineskates.

❓ Frage:

In der Vierfeldertafel eines Schnelltests sind 48 von 50 kranken Personen positiv getestet worden. Von 200 Gesunden wurden 10 fälschlicherweise positiv getestet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich krank ist?

Lösung anzeigen

Positiv getestet: $48 + 10 = 58$

Davon krank: $48$

$P(\text{krank} \mid \text{positiv}) = \frac{48}{58} = \frac{24}{29} \approx 0{,}828$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa $82{,}8 \, \%$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, wie du zwei Merkmale übersichtlich in einer Vierfeldertafel darstellen und bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst. Im nächsten Schritt wirst du diese Kenntnisse vertiefen und untersuchen, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind. Das bedeutet: Hat ein Merkmal Einfluss auf das andere – oder sind sie völlig unabhängig voneinander? Ausserdem lernst du Baumdiagramme als alternative Darstellungsform kennen, die besonders bei mehrstufigen Zufallsexperimenten nützlich sind.