Venn-Diagramme einfach erklärt: So visualisierst du Wahrscheinlichkeiten

Stell dir vor, du planst eine Party und fragst deine Freunde nach ihren Getränkewünschen. Einige mögen Cola, andere Fanta, und manche mögen beides. Wie behältst du den Überblick, wer was trinkt – und wie viele Getränke du insgesamt brauchst?

Genau für solche Situationen gibt es ein geniales Werkzeug: das Venn-Diagramm. Mit diesen überlappenden Kreisen kannst du auf einen Blick sehen, welche Elemente zu welcher Gruppe gehören – und welche zu mehreren gleichzeitig. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung hilft dir dieses Werkzeug dabei, komplexe Zusammenhänge zwischen Ereignissen zu verstehen und Wahrscheinlichkeiten präzise zu berechnen.

Von der Party zur Mathematik

Bleiben wir bei unserem Partybeispiel. Du hast 30 Gäste eingeladen und fragst nach ihren Lieblings-Softdrinks:

• 18 Gäste mögen Cola
• 15 Gäste mögen Fanta
• 8 Gäste mögen beides

Auf den ersten Blick scheint das seltsam: $18 + 15 = 33$, aber du hast nur 30 Gäste. Das Rätsel löst sich auf, wenn du erkennst, dass die 8 Gäste, die beides mögen, in beiden Zahlen gezählt werden. Sie werden also doppelt erfasst.

Ein Venn-Diagramm macht diese Überschneidung sichtbar. Du zeichnest zwei Kreise, die sich teilweise überlappen. Der eine Kreis steht für “mag Cola”, der andere für “mag Fanta”. Die Schnittfläche in der Mitte repräsentiert die Gäste, die beides mögen.

In der Mathematik nennen wir solche Gruppen Mengen oder im Kontext der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse. Das Venn-Diagramm zeigt uns, wie diese Ereignisse zusammenhängen.

Das Venn-Diagramm als Werkzeug verstehen

John Venn, ein britischer Mathematiker, entwickelte diese Darstellungsform im Jahr 1880. Seitdem ist sie aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken.

Ein Venn-Diagramm besteht aus folgenden Elementen:

1. Das Rechteck (Grundmenge $\Omega$): Es umschliesst alle Kreise und repräsentiert alle möglichen Ergebnisse. Bei einem Würfelwurf wäre das $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

2. Die Kreise (Ereignisse $A$, $B$, …): Jeder Kreis steht für ein bestimmtes Ereignis. Der Kreis enthält alle Ergebnisse, bei denen dieses Ereignis eintritt.

3. Die Schnittmenge ($A \cap B$): Der überlappende Bereich zweier Kreise. Hier liegen alle Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören.

4. Die Vereinigung ($A \cup B$): Beide Kreise zusammen, inklusive der Schnittmenge. Alle Ergebnisse, die zu mindestens einem der Ereignisse gehören.

5. Das Komplement ($\bar{A}$ oder $A'$): Alles ausserhalb eines Kreises, aber innerhalb des Rechtecks. Alle Ergebnisse, bei denen das Ereignis nicht eintritt.

DEFINITION

Ein Venn-Diagramm ist eine grafische Darstellung von Mengen oder Ereignissen durch sich überlappende Kreise. Es visualisiert Beziehungen zwischen Ereignissen wie Schnittmenge, Vereinigung und Komplement. Die Grundmenge $\Omega$ wird als umschliessendes Rechteck dargestellt.

Die wichtigsten Operationen im Venn-Diagramm

Schnittmenge: $A \cap B$

Die Schnittmenge enthält alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen. Im Diagramm ist das der überlappende Bereich in der Mitte.

Das Wort “und” ist dein Signal für die Schnittmenge.

Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als:

$P(A \cap B) = \frac{\text{Anzahl Elemente in der Schnittfläche}}{\text{Anzahl aller Elemente}}$

Vereinigung: $A \cup B$

Die Vereinigung enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ liegen – oder in beiden. Im Diagramm ist das die gesamte Fläche beider Kreise.

Das Wort “oder” signalisiert die Vereinigung.

Für die Wahrscheinlichkeit gilt die Additionsregel:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Warum ziehen wir $P(A \cap B)$ ab? Weil die Schnittmenge sonst doppelt gezählt würde.

Komplement: $\bar{A}$

Das Komplement von $A$ enthält alle Elemente, die nicht in $A$ liegen. Im Diagramm ist das alles ausserhalb des Kreises $A$, aber innerhalb des Rechtecks.

Es gilt immer:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Häufige Fehler bei Venn-Diagrammen:

1. Doppelzählung vergessen: Beim Berechnen von $P(A \cup B)$ addieren viele Schüler einfach $P(A) + P(B)$. Dabei wird die Schnittmenge doppelt gezählt. Denke immer an die Formel: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

2. Bereiche falsch ablesen: Im Venn-Diagramm zeigt der Kreis $A$ nicht nur das “reine” $A$, sondern auch die Schnittmenge mit $B$. Wenn du nur $A$ ohne $B$ meinst, musst du die Schnittmenge abziehen.

3. “Oder” als “entweder … oder” interpretieren: In der Mathematik schliesst “oder” die Möglichkeit ein, dass beide Ereignisse eintreten. “Entweder A oder B” wäre $(A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

So erstellst du ein Venn-Diagramm Schritt für Schritt

Folge diesem Rezept, um jedes Venn-Diagramm korrekt zu erstellen:

1. Zeichne das Rechteck für die Grundmenge $\Omega$.
2. Zeichne die Kreise für jedes Ereignis. Bei zwei Ereignissen überlappen sie sich.
3. Beginne mit der Schnittmenge: Trage zuerst die Anzahl der Elemente in $A \cap B$ ein.
4. Fülle die “reinen” Bereiche: Berechne $A$ ohne $B$ und $B$ ohne $A$.
5. Berechne den Rest: Die Elemente ausserhalb beider Kreise ergeben sich aus $|\Omega| - |A \cup B|$.
6. Kontrolliere: Die Summe aller Bereiche muss $|\Omega|$ ergeben.

Beispiele

Beispiel 1: Klassenumfrage zu Hobbys

In einer Klasse mit 25 Schülern wurde nach Hobbys gefragt:

• 14 Schüler spielen ein Instrument
• 12 Schüler treiben Sport
• 6 Schüler machen beides

a) Erstelle ein Venn-Diagramm.

Schritt 1-2: Zeichne Rechteck und zwei überlappende Kreise ($I$ = Instrument, $S$ = Sport).

Schritt 3: Die Schnittmenge $I \cap S = 6$ Schüler kommt in die Mitte.

Schritt 4:

• Nur Instrument: $14 - 6 = 8$ Schüler
• Nur Sport: $12 - 6 = 6$ Schüler

Schritt 5: Ausserhalb beider: $25 - 8 - 6 - 6 = 5$ Schüler (weder Instrument noch Sport)

b) Berechne $P(I \cup S)$.

$P(I \cup S) = P(I) + P(S) - P(I \cap S) = \frac{14}{25} + \frac{12}{25} - \frac{6}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Schüler mindestens eines der Hobbys hat, beträgt 80%.

Beispiel 2: Würfelwurf mit zwei Ereignissen

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Betrachte die Ereignisse:

• $A$: “Die Augenzahl ist gerade”
• $B$: “Die Augenzahl ist grösser als 3”

a) Bestimme die Mengen.

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$A = \{2, 4, 6\}$

$B = \{4, 5, 6\}$

$A \cap B = \{4, 6\}$

$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$

b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten.

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

c) Berechne $P(\bar{A})$.

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Das ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Augenzahl.

Beispiel 3: Komplexere Aufgabe mit drei Schritten

In einer Schule mit 200 Schülern gibt es Informatik-AG und Mathe-AG:

• 45 Schüler sind in der Informatik-AG
• 60 Schüler sind in der Mathe-AG
• 15 Schüler sind in beiden AGs
• Die restlichen Schüler sind in keiner der beiden AGs

Ein Schüler wird zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler:

a) In mindestens einer AG ist

Wir suchen $P(I \cup M)$:

$P(I \cup M) = P(I) + P(M) - P(I \cap M)$

$P(I \cup M) = \frac{45}{200} + \frac{60}{200} - \frac{15}{200} = \frac{90}{200} = \frac{9}{20} = 0{,}45$

b) Nur in der Informatik-AG ist (nicht in der Mathe-AG)

Wir suchen $P(I \cap \bar{M})$:

Anzahl der Schüler nur in Informatik: $45 - 15 = 30$

$P(I \cap \bar{M}) = \frac{30}{200} = \frac{3}{20} = 0{,}15$

c) In genau einer der beiden AGs ist

Wir suchen $(I \cup M) \setminus (I \cap M)$:

Nur Informatik: $45 - 15 = 30$ Nur Mathe: $60 - 15 = 45$ Gesamt: $30 + 45 = 75$

$P(\text{genau eine AG}) = \frac{75}{200} = \frac{3}{8} = 0{,}375$

d) In keiner AG ist

$P(\bar{I} \cap \bar{M}) = 1 - P(I \cup M) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55$

Von 200 Schülern sind also $200 \cdot 0{,}55 = 110$ Schüler in keiner der beiden AGs.

Beispiel 4: Rückwärtsrechnen aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Bei einer Befragung unter 150 Personen zu den Streaming-Diensten Netflix ($N$) und Disney+ ($D$) ergaben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(N) = 0{,}6$ $P(D) = 0{,}4$ $P(N \cap D) = 0{,}2$

a) Wie viele Personen nutzen beide Dienste?

$|N \cap D| = 150 \cdot 0{,}2 = 30$

b) Wie viele Personen nutzen mindestens einen der Dienste?

$P(N \cup D) = 0{,}6 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}8$

$|N \cup D| = 150 \cdot 0{,}8 = 120$

c) Wie viele Personen nutzen nur Netflix?

$P(N \cap \bar{D}) = P(N) - P(N \cap D) = 0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}4$

$|N \cap \bar{D}| = 150 \cdot 0{,}4 = 60$

d) Wie viele Personen nutzen keinen der beiden Dienste?

$P(\bar{N} \cap \bar{D}) = 1 - P(N \cup D) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$

$|\bar{N} \cap \bar{D}| = 150 \cdot 0{,}2 = 30$

Kontrolle: $60 + 30 + 30 + 30 = 150$ ✓

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Venn-Diagramm visualisiert Beziehungen zwischen Ereignissen durch überlappende Kreise in einem Rechteck (Grundmenge $\Omega$).
• Die Schnittmenge $A \cap B$ (Wort: “und”) enthält alle Elemente, die zu beiden Ereignissen gehören.
• Die Vereinigung $A \cup B$ (Wort: “oder”) enthält alle Elemente, die zu mindestens einem Ereignis gehören. Es gilt: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Das Komplement $\bar{A}$ enthält alle Elemente ausserhalb von $A$. Es gilt: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
• Beginne beim Ausfüllen immer mit der Schnittmenge und arbeite dich nach aussen vor.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einer Gruppe von 50 Personen sprechen 30 Englisch und 25 Französisch. Wie viele sprechen beide Sprachen, wenn 40 Personen mindestens eine der Sprachen sprechen?

Lösung anzeigen

Wir nutzen die Additionsregel und lösen nach der Schnittmenge auf:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$40 = 30 + 25 - |A \cap B|$

$|A \cap B| = 30 + 25 - 40 = 15$

15 Personen sprechen beide Sprachen.

❓ Frage: Erkläre mit eigenen Worten: Warum muss man bei $P(A \cup B)$ die Schnittmenge abziehen?

Lösung anzeigen

Wenn wir $P(A) + P(B)$ rechnen, werden die Elemente in der Schnittmenge doppelt gezählt – einmal als Teil von $A$ und einmal als Teil von $B$. Um jedes Element nur einmal zu zählen, müssen wir die Schnittmenge $P(A \cap B)$ wieder abziehen.

Das ist wie beim Partybeispiel: Wenn 18 Gäste Cola mögen und 15 Fanta, können wir nicht einfach 33 rechnen. Die Gäste, die beides mögen, sind in beiden Zahlen enthalten und werden sonst überbewertet.

❓ Frage: Gegeben: $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$, $P(A \cap B) = 0{,}1$. Berechne $P(\bar{A} \cap \bar{B})$.

Lösung anzeigen

$P(\bar{A} \cap \bar{B})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder $A$ noch $B$ eintritt.

Schritt 1: Berechne $P(A \cup B)$:

$P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}7$

Schritt 2: Das Komplement davon ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt Venn-Diagramme für zwei Ereignisse. Im nächsten Schritt wirst du bedingte Wahrscheinlichkeiten kennenlernen. Dabei fragst du: Wie wahrscheinlich ist Ereignis $A$, wenn du bereits weisst, dass Ereignis $B$ eingetreten ist?

Die Formel dafür lautet:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Das Symbol $P(A \mid B)$ liest du als “Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$”. Auch hier helfen dir Venn-Diagramme, denn du schränkst einfach deinen Blick auf den Kreis $B$ ein und fragst: Welcher Anteil davon gehört auch zu $A$?

Ausserdem wirst du Venn-Diagramme mit drei Kreisen kennenlernen. Das Prinzip bleibt gleich, aber es gibt mehr Überlappungsbereiche zu beachten. Mit dem Wissen aus dieser Lektion bist du bestens darauf vorbereitet.