Summenregel der Wahrscheinlichkeit: So berechnest du Oder-Ereignisse

Stell dir vor, du stehst vor einem Snackautomaten mit verschiedenen Riegeln: Schokolade, Nuss und Karamell. Du hast nur noch Kleingeld für einen einzigen Riegel. Dein Freund fragt dich: “Welchen nimmst du?” Du antwortest: “Schokolade ODER Nuss – Hauptsache, kein Karamell!” In diesem Moment hast du bereits das Prinzip der Summenregel angewandt. Du hast zwei Möglichkeiten kombiniert, die sich gegenseitig ausschliessen. Genau so funktioniert die Summenregel in der Stochastik: Sie hilft dir, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wenn mehrere Alternativen in Frage kommen.

Von der Alltagslogik zur mathematischen Formel

Bleiben wir beim Snackautomaten. Nehmen wir an, der Automat enthält 10 Riegel: 3 Schokoladenriegel, 2 Nussriegel und 5 Karamellriegel. Du drückst blind auf einen Knopf und erhältst einen zufälligen Riegel.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du Schokolade bekommst? Das ist einfach:

$P(\text{Schokolade}) = \frac{3}{10}$

Und für Nuss?

$P(\text{Nuss}) = \frac{2}{10}$

Aber was, wenn du wissen willst: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du Schokolade ODER Nuss bekommst?

Hier kommt die entscheidende Beobachtung: Du kannst nicht gleichzeitig einen Schokoladenriegel UND einen Nussriegel ziehen. Es ist entweder das eine oder das andere. Diese Ereignisse schliessen sich gegenseitig aus.

In diesem Fall kannst du die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren:

$P(\text{Schokolade oder Nuss}) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 50%. Das ist die Summenregel in ihrer einfachsten Form.

Die Summenregel für unvereinbare Ereignisse

Die Summenregel ist ein fundamentales Werkzeug der Stochastik. Sie beantwortet die Frage: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A ODER Ereignis B eintritt?

Der Schlüsselbegriff lautet: unvereinbar (auch “disjunkt” genannt). Zwei Ereignisse sind unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können.

So wendest du die Summenregel an:

1. Identifiziere die einzelnen Ereignisse, die du betrachten möchtest.
2. Prüfe, ob diese Ereignisse unvereinbar sind (können sie gleichzeitig eintreten?).
3. Wenn ja: Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ereignisses.
4. Addiere alle Einzelwahrscheinlichkeiten.

DEFINITION

Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ unvereinbar sind (sich gegenseitig ausschliessen), dann gilt:

$P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)$

In der mathematischen Schreibweise: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Das Symbol $\cup$ bedeutet “Vereinigung” und steht für “oder”.

Diese Regel lässt sich auf beliebig viele unvereinbare Ereignisse erweitern. Für drei Ereignisse $A$, $B$ und $C$ gilt:

$P(A \text{ oder } B \text{ oder } C) = P(A) + P(B) + P(C)$

Wann sind Ereignisse unvereinbar?

Bevor du die Summenregel anwendest, musst du prüfen, ob die Ereignisse tatsächlich unvereinbar sind. Hier einige Beispiele:

Unvereinbare Ereignisse:

• Beim Würfeln: “eine 3 werfen” und “eine 5 werfen”
• Bei einer Münze: “Kopf” und “Zahl”
• Bei einem Kartenspiel: “ein Herz ziehen” und “ein Pik ziehen” (bei einer einzelnen Karte)

NICHT unvereinbare Ereignisse:

• Beim Würfeln: “eine gerade Zahl werfen” und “eine Zahl grösser als 3 werfen” (die 4 und 6 erfüllen beides!)
• Bei einem Kartenspiel: “eine rote Karte ziehen” und “eine Dame ziehen” (die Herz-Dame und Karo-Dame erfüllen beides!)

Wenn Ereignisse nicht unvereinbar sind, brauchst du eine erweiterte Formel. Dazu kommen wir später.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Summenregel bei vereinbaren Ereignissen anwenden

Viele Schüler addieren Wahrscheinlichkeiten, ohne vorher zu prüfen, ob die Ereignisse unvereinbar sind. Bei vereinbaren Ereignissen führt das zu falschen (oft zu grossen) Ergebnissen.

Vermeidung: Frage dich immer zuerst: “Können beide Ereignisse gleichzeitig eintreten?” Wenn ja, darfst du nicht einfach addieren.

Fehler 2: Vergessen, dass Wahrscheinlichkeiten nie grösser als 1 sein können

Wenn dein Ergebnis grösser als 1 (oder 100%) ist, hast du einen Fehler gemacht. Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1.

Vermeidung: Überprüfe dein Endergebnis. Liegt es zwischen 0 und 1? Falls nicht, überdenke deine Rechnung.

Fehler 3: “Oder” mit “Und” verwechseln

Die Summenregel gilt für “oder”-Verknüpfungen. Für “und”-Verknüpfungen gelten andere Regeln (Produktregel).

Vermeidung: Achte genau auf die Fragestellung. “Mindestens eines von beiden” bedeutet “oder”. “Beides gleichzeitig” bedeutet “und”.

Beispiele

Beispiel 1: Der klassische Würfel

Aufgabe: Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder eine 6 zu werfen?

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die Ereignisse.

• Ereignis A: “Eine 1 werfen”
• Ereignis B: “Eine 6 werfen”

Schritt 2: Prüfe, ob die Ereignisse unvereinbar sind. Du kannst nicht gleichzeitig eine 1 und eine 6 werfen. Die Ereignisse sind unvereinbar.

Schritt 3: Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten. $P(A) = P(\text{eine 1}) = \frac{1}{6}$ $P(B) = P(\text{eine 6}) = \frac{1}{6}$

Schritt 4: Wende die Summenregel an. $P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{3}$ (etwa 33.3%).

Beispiel 2: Kugeln in einer Urne

Aufgabe: In einer Urne befinden sich 4 rote, 3 blaue, 2 grüne und 1 gelbe Kugel. Du ziehst blind eine Kugel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote oder eine grüne Kugel zu ziehen?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme die Gesamtanzahl der Kugeln. $n_{\text{gesamt}} = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$

Schritt 2: Identifiziere die Ereignisse.

• Ereignis A: “Eine rote Kugel ziehen”
• Ereignis B: “Eine grüne Kugel ziehen”

Schritt 3: Prüfe die Unvereinbarkeit. Eine Kugel kann nicht gleichzeitig rot und grün sein. Die Ereignisse sind unvereinbar.

Schritt 4: Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten. $P(A) = \frac{4}{10}$ $P(B) = \frac{2}{10}$

Schritt 5: Wende die Summenregel an. $P(A \text{ oder } B) = \frac{4}{10} + \frac{2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{3}{5}$ (60%).

Beispiel 3: Kartenspiel mit mehreren Möglichkeiten

Aufgabe: Aus einem Stapel mit 32 Jass-Karten (je 8 Karten in den Farben Schellen, Schilten, Eichel und Rosen) wird eine Karte gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte Schellen, Schilten oder Eichel zeigt?

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die Ereignisse.

• Ereignis A: “Schellen ziehen”
• Ereignis B: “Schilten ziehen”
• Ereignis C: “Eichel ziehen”

Schritt 2: Prüfe die Unvereinbarkeit. Eine Karte hat genau eine Farbe. Die drei Ereignisse schliessen sich gegenseitig aus.

Schritt 3: Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten. $P(A) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ $P(B) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ $P(C) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

Schritt 4: Wende die erweiterte Summenregel an. $P(A \text{ oder } B \text{ oder } C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{3}{4}$ (75%).

Hinweis: Du hättest auch anders rechnen können: Die Wahrscheinlichkeit, KEINE Rosen-Karte zu ziehen, ist $1 - P(\text{Rosen}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Das Ergebnis stimmt überein.

Beispiel 4: Lottozahlen

Aufgabe: Beim Schweizer Zahlenlotto werden 6 Zahlen aus 42 gezogen. Markus hat auf seinem Spielschein die Zahlen 7, 14, 21, 28, 35 und 42 angekreuzt. Bei der ersten Ziehung wird eine Kugel entnommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese erste Kugel eine von Markus’ Zahlen zeigt?

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die Ereignisse. Markus hat 6 verschiedene Zahlen. Jede dieser Zahlen stellt ein eigenes Ereignis dar.

Schritt 2: Prüfe die Unvereinbarkeit. Bei einer einzelnen Ziehung kann nur genau eine Zahl erscheinen. Alle 6 Ereignisse sind paarweise unvereinbar.

Schritt 3: Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten. Für jede einzelne Zahl gilt: $P(\text{eine bestimmte Zahl}) = \frac{1}{42}$

Schritt 4: Wende die Summenregel an. $P(\text{eine von Markus' Zahlen}) = 6 \cdot \frac{1}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{7}$ (etwa 14.3%).

Beispiel 5: Bus oder Tram

Aufgabe: An einer Haltestelle verkehren verschiedene Linien. In den nächsten 10 Minuten kommt mit 30% Wahrscheinlichkeit ein Bus der Linie 5, mit 25% Wahrscheinlichkeit ein Bus der Linie 8 und mit 40% Wahrscheinlichkeit ein Tram der Linie 11. Die Fahrzeuge kommen unabhängig voneinander, aber du steigst in das erste ein, das kommt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du in den nächsten 10 Minuten einen Bus (Linie 5 oder 8) nehmen kannst?

Wichtig: Wir nehmen hier an, dass in den 10 Minuten höchstens ein Fahrzeug kommt. Die Ereignisse “Bus Linie 5 kommt zuerst” und “Bus Linie 8 kommt zuerst” schliessen sich also gegenseitig aus.

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die Ereignisse.

• Ereignis A: “Bus Linie 5 kommt”
• Ereignis B: “Bus Linie 8 kommt”

Schritt 2: Die Ereignisse sind unvereinbar (höchstens ein Fahrzeug kommt zuerst).

Schritt 3: Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben. $P(A) = 0.30$ $P(B) = 0.25$

Schritt 4: Wende die Summenregel an. $P(\text{Bus Linie 5 oder 8}) = 0.30 + 0.25 = 0.55$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 55%.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Summenregel berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A oder Ereignis B eintritt.
• Sie gilt in der einfachen Form $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ nur für unvereinbare Ereignisse (Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können).
• Prüfe immer zuerst, ob die Ereignisse unvereinbar sind, bevor du die Wahrscheinlichkeiten addierst.
• Die Summenregel lässt sich auf beliebig viele unvereinbare Ereignisse erweitern.
• Das Endergebnis muss immer zwischen 0 und 1 (bzw. 0% und 100%) liegen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Glücksrad hat 8 gleich grosse Felder: 3 rote, 2 blaue, 2 gelbe und 1 grünes Feld. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung auf Rot oder Grün zu landen?

Lösung anzeigen

Die Ereignisse “Rot” und “Grün” sind unvereinbar (das Rad bleibt auf genau einem Feld stehen).

$P(\text{Rot}) = \frac{3}{8}$ $P(\text{Grün}) = \frac{1}{8}$ $P(\text{Rot oder Grün}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 50% oder $\frac{1}{2}$.

❓ Frage: Beim Würfeln mit zwei Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 etwa 16.7% und für die Augensumme 11 etwa 5.6%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 7 ODER eine 11 zu würfeln?

Lösung anzeigen

Die Augensummen 7 und 11 schliessen sich gegenseitig aus. Bei einem Wurf kann nur eine bestimmte Augensumme entstehen.

$P(\text{Summe 7 oder 11}) = 16.7\% + 5.6\% = 22.3\%$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 22.3%.

(Exakt: $P(7) = \frac{6}{36}$, $P(11) = \frac{2}{36}$, also $P(7 \text{ oder } 11) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \approx 22.2\%$)

❓ Frage: Anna behauptet: “Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine gerade Zahl ODER eine Zahl grösser als 4 zu werfen, ist $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.” Hat Anna recht? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Anna hat nicht recht.

Die Ereignisse “gerade Zahl” (2, 4, 6) und “Zahl grösser als 4” (5, 6) sind nicht unvereinbar. Die Zahl 6 erfüllt beide Bedingungen.

Wenn Anna einfach addiert, zählt sie die 6 doppelt. Das führt zu einem zu hohen Ergebnis.

Die korrekte Lösung erfordert die erweiterte Summenregel für vereinbare Ereignisse: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

• Gerade Zahlen: 2, 4, 6 → $P(A) = \frac{3}{6}$
• Zahlen > 4: 5, 6 → $P(B) = \frac{2}{6}$
• Gerade UND > 4: nur 6 → $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Die korrekte Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{3}$ (nicht $\frac{5}{6}$).

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Summenregel für unvereinbare Ereignisse kennengelernt. Im nächsten Schritt wirst du die erweiterte Summenregel für vereinbare Ereignisse behandeln. Diese lautet:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Der Term $P(A \cap B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. Diesen musst du abziehen, um Doppelzählungen zu vermeiden. Mit dieser erweiterten Formel kannst du auch Aufgaben lösen, bei denen sich die Ereignisse überschneiden können.

Danach folgt die Produktregel, mit der du “und”-Verknüpfungen berechnest. Zusammen bilden Summenregel und Produktregel das Fundament für komplexere Wahrscheinlichkeitsberechnungen, wie sie beispielsweise bei Baumdiagrammen oder bedingten Wahrscheinlichkeiten vorkommen.