Relative Häufigkeit einfach erklärt: Dein Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stell dir vor, du bist der Trainer einer Basketballmannschaft. Deine beste Werferin hat in den letzten 50 Freiwürfen 42 Treffer erzielt. Wie gut ist sie wirklich? Und wie wahrscheinlich ist es, dass sie den nächsten Wurf trifft? Du könntest einfach sagen “42 Treffer”, aber das allein sagt wenig aus. Was, wenn eine andere Spielerin 35 Treffer bei nur 40 Versuchen hat? Wer ist jetzt besser?

Um solche Fragen fair zu beantworten, brauchst du ein Werkzeug, das Treffer und Versuche ins Verhältnis setzt. Genau das macht die relative Häufigkeit. Sie ist dein Schlüssel, um aus beobachteten Daten sinnvolle Aussagen über Wahrscheinlichkeiten zu machen – und damit der perfekte Einstieg in die Welt der Stochastik.

Von der Beobachtung zur Mathematik

Kehren wir zu unserer Basketballspielerin zurück. Sie hat 42 Treffer bei 50 Versuchen erzielt. Um ihre Trefferquote zu berechnen, setzt du die Anzahl der Treffer ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Würfe:

$\frac{42}{50} = 0{,}84$

Das bedeutet: In 84 von 100 Fällen trifft sie – oder anders gesagt: Ihre Trefferquote liegt bei 84 %. Die zweite Spielerin mit 35 Treffern bei 40 Versuchen kommt auf:

$\frac{35}{40} = 0{,}875$

Das sind 87,5 %. Obwohl sie absolut weniger Treffer hat, ist sie prozentual gesehen die bessere Werferin. Dieses Verhältnis – Treffer geteilt durch Versuche – nennen wir in der Mathematik die relative Häufigkeit.

Der Begriff “relativ” bedeutet hier “im Verhältnis zu etwas”. Im Gegensatz dazu steht die absolute Häufigkeit, die einfach nur zählt, wie oft etwas passiert ist (42 Treffer, 35 Treffer). Die relative Häufigkeit macht Ereignisse vergleichbar, auch wenn die Gesamtzahl der Versuche unterschiedlich ist.

Die Formel für die relative Häufigkeit

Die Berechnung folgt immer dem gleichen Prinzip. Hier ist deine Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Bestimme das Ereignis, dessen Häufigkeit du untersuchen willst (z. B. “Treffer”, “Kopf beim Münzwurf”, “Sechs beim Würfeln”).
2. Zähle die absolute Häufigkeit $k$ – also wie oft das Ereignis eingetreten ist.
3. Zähle die Gesamtzahl der Versuche $n$.
4. Teile die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl.

DEFINITION

Die relative Häufigkeit $h_n(E)$ eines Ereignisses $E$ bei $n$ Versuchen ist definiert als:

$h_n(E) = \frac{k}{n}$

Dabei ist:

• $k$ = die absolute Häufigkeit (Anzahl, wie oft das Ereignis $E$ eingetreten ist)
• $n$ = die Gesamtzahl aller Versuche
• $h_n(E)$ = die relative Häufigkeit des Ereignisses $E$

Die relative Häufigkeit liegt immer zwischen 0 und 1: $0 \leq h_n(E) \leq 1$

Du kannst das Ergebnis auch in Prozent angeben. Dazu multiplizierst du einfach mit 100:

$h_n(E) \text{ in Prozent} = \frac{k}{n} \cdot 100 \, \%$

Wichtige Eigenschaften

Die relative Häufigkeit hat drei zentrale Eigenschaften, die du kennen solltest:

• Wertebereich: Sie liegt immer zwischen 0 (Ereignis tritt nie ein) und 1 (Ereignis tritt immer ein).
• Summenregel: Wenn du alle möglichen Ergebnisse eines Versuchs betrachtest, addieren sich ihre relativen Häufigkeiten zu 1.
• Stabilisierung: Je mehr Versuche du durchführst, desto stabiler wird die relative Häufigkeit. Sie nähert sich einem festen Wert – der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

Diese letzte Eigenschaft ist besonders wichtig. Sie verbindet die beobachtete relative Häufigkeit mit der “wahren” Wahrscheinlichkeit, die du in der Theorie berechnest.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Absolute und relative Häufigkeit verwechseln Die absolute Häufigkeit zählt nur (“5 Sechsen”), die relative Häufigkeit setzt ins Verhältnis (“5 von 30 Würfen = 0,167”). Achte immer darauf, was gefragt ist.

Fehler 2: Zähler und Nenner vertauschen Die Formel lautet $\frac{k}{n}$, nicht $\frac{n}{k}$. Die Anzahl der Ereignisse steht im Zähler, die Gesamtzahl im Nenner. Merke dir: Das Kleine wird durch das Grosse geteilt.

Fehler 3: Ergebnis grösser als 1 Wenn dein Ergebnis grösser als 1 (oder grösser als 100 %) ist, hast du Zähler und Nenner vertauscht oder dich verrechnet. Die relative Häufigkeit kann niemals grösser als 1 sein.

Fehler 4: Prozent und Dezimalzahl durcheinanderbringen $0{,}25$ ist dasselbe wie $25 \, \%$. Achte darauf, die richtige Darstellung zu verwenden, je nachdem was verlangt ist.

Beispiele

Beispiel 1: Münzwurf im Experiment

Du wirfst eine Münze 80-mal und notierst die Ergebnisse. Dabei fällt 47-mal “Kopf” und 33-mal “Zahl”.

Gesucht: Die relative Häufigkeit für das Ereignis “Kopf”.

Lösung:

Gegeben sind:

• Absolute Häufigkeit von “Kopf”: $k = 47$
• Gesamtzahl der Würfe: $n = 80$

Einsetzen in die Formel:

$h_{80}(\text{Kopf}) = \frac{47}{80} = 0{,}5875$

In Prozent: $0{,}5875 \cdot 100 \, \% = 58{,}75 \, \%$

Antwort: Die relative Häufigkeit für “Kopf” beträgt $0{,}5875$ oder $58{,}75 \, \%$.

Bemerkung: Theoretisch erwarten wir bei einer fairen Münze $50 \, \%$. Die Abweichung ist bei 80 Würfen normal. Je öfter du wirfst, desto näher wird das Ergebnis an $50 \, \%$ liegen.

Beispiel 2: Qualitätskontrolle in einer Fabrik

Eine Fabrik produziert Smartphones. Bei einer Qualitätskontrolle werden 500 Geräte überprüft. Dabei werden 12 defekte Geräte gefunden.

Gesucht: a) Die relative Häufigkeit für defekte Geräte. b) Die relative Häufigkeit für einwandfreie Geräte.

Lösung zu a):

Gegeben sind:

• Absolute Häufigkeit defekter Geräte: $k = 12$
• Gesamtzahl der überprüften Geräte: $n = 500$

$h_{500}(\text{defekt}) = \frac{12}{500} = 0{,}024$

In Prozent: $0{,}024 \cdot 100 \, \% = 2{,}4 \, \%$

Lösung zu b):

Einwandfreie Geräte: $500 - 12 = 488$

$h_{500}(\text{einwandfrei}) = \frac{488}{500} = 0{,}976$

In Prozent: $97{,}6 \, \%$

Kontrolle: $0{,}024 + 0{,}976 = 1$ ✓

Die relativen Häufigkeiten aller möglichen Ereignisse addieren sich zu 1.

Antwort: Die relative Häufigkeit für defekte Geräte beträgt $2{,}4 \, \%$, für einwandfreie Geräte $97{,}6 \, \%$.

Beispiel 3: Umfrage in der Schule

In einer Umfrage wurden 240 Schülerinnen und Schüler nach ihrem Lieblingsfach gefragt. Die Ergebnisse:

Fach	Absolute Häufigkeit
Mathematik	54
Deutsch	36
Englisch	48
Sport	72
Andere	30

Gesucht: Die relativen Häufigkeiten aller Fächer.

Lösung:

Die Gesamtzahl beträgt $n = 240$. Für jedes Fach berechnen wir $h = \frac{k}{240}$:

Mathematik: $h_{240}(\text{Mathe}) = \frac{54}{240} = 0{,}225 = 22{,}5 \, \%$

Deutsch: $h_{240}(\text{Deutsch}) = \frac{36}{240} = 0{,}15 = 15 \, \%$

Englisch: $h_{240}(\text{Englisch}) = \frac{48}{240} = 0{,}2 = 20 \, \%$

Sport: $h_{240}(\text{Sport}) = \frac{72}{240} = 0{,}3 = 30 \, \%$

Andere: $h_{240}(\text{Andere}) = \frac{30}{240} = 0{,}125 = 12{,}5 \, \%$

Kontrolle: $0{,}225 + 0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}125 = 1 \checkmark$

Antwort: Sport ist mit $30 \, \%$ das beliebteste Fach, gefolgt von Mathematik mit $22{,}5 \, \%$.

Beispiel 4: Würfelexperiment mit Tabelle

Ein Würfel wird 150-mal geworfen. Die Ergebnisse werden notiert:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Absolute Häufigkeit	23	28	25	26	24	24

Gesucht: a) Die relative Häufigkeit für jede Augenzahl. b) Ist der Würfel fair?

Lösung zu a):

Gesamtzahl: $n = 150$

$h_{150}(1) = \frac{23}{150} \approx 0{,}153$

$h_{150}(2) = \frac{28}{150} \approx 0{,}187$

$h_{150}(3) = \frac{25}{150} \approx 0{,}167$

$h_{150}(4) = \frac{26}{150} \approx 0{,}173$

$h_{150}(5) = \frac{24}{150} = 0{,}16$

$h_{150}(6) = \frac{24}{150} = 0{,}16$

Lösung zu b):

Bei einem fairen Würfel erwarten wir für jede Augenzahl die theoretische Wahrscheinlichkeit:

$P(\text{Augenzahl}) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Die beobachteten relativen Häufigkeiten liegen zwischen $0{,}153$ und $0{,}187$. Diese Abweichungen sind bei 150 Würfen normal und sprechen nicht gegen einen fairen Würfel.

Antwort: Die relativen Häufigkeiten liegen alle nahe bei $\frac{1}{6} \approx 16{,}7 \, \%$. Der Würfel scheint fair zu sein.

Das Gesetz der grossen Zahlen

Ein faszinierendes Phänomen zeigt sich, wenn du sehr viele Versuche durchführst: Die relative Häufigkeit stabilisiert sich und nähert sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

Stell dir vor, du wirfst eine faire Münze:

• Nach 10 Würfen: vielleicht $60 \, \%$ Kopf
• Nach 100 Würfen: vielleicht $53 \, \%$ Kopf
• Nach 1000 Würfen: vielleicht $50{,}4 \, \%$ Kopf
• Nach 10’000 Würfen: vielleicht $50{,}08 \, \%$ Kopf

Je mehr Würfe, desto näher kommt die relative Häufigkeit an die theoretische Wahrscheinlichkeit von $50 \, \%$. Dieses Phänomen nennt man das Gesetz der grossen Zahlen.

Deshalb ist die relative Häufigkeit so wichtig: Sie liefert bei genügend vielen Versuchen einen guten Schätzwert für die wahre Wahrscheinlichkeit. In der Praxis nutzt man das ständig – von Umfragen über Qualitätskontrollen bis hin zu medizinischen Studien.

Das Wichtigste in Kürze

• Die relative Häufigkeit setzt die Anzahl eines Ereignisses ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche: $h_n(E) = \frac{k}{n}$
• Sie liegt immer zwischen 0 und 1 (oder zwischen $0 \, \%$ und $100 \, \%$).
• Die absolute Häufigkeit zählt nur, die relative Häufigkeit vergleicht.
• Alle relativen Häufigkeiten zusammen ergeben stets 1.
• Bei vielen Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit der theoretischen Wahrscheinlichkeit (Gesetz der grossen Zahlen).

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Glücksrad wird 200-mal gedreht. Dabei landet der Zeiger 52-mal auf “Gewinn”. Berechne die relative Häufigkeit für “Gewinn”.

Lösung anzeigen

Die relative Häufigkeit beträgt:

$h_{200}(\text{Gewinn}) = \frac{52}{200} = 0{,}26 = 26 \, \%$

Bei 200 Drehungen landete der Zeiger in $26 \, \%$ der Fälle auf “Gewinn”.

❓ Frage: Bei einer Befragung gaben 180 von 450 Personen an, regelmässig Sport zu treiben. Wie hoch ist die relative Häufigkeit? Gib das Ergebnis als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl an.

Lösung anzeigen

Als Bruch: $h = \frac{180}{450} = \frac{2}{5}$

Als Dezimalzahl: $\frac{180}{450} = 0{,}4$

Als Prozentzahl: $0{,}4 \cdot 100 \, \% = 40 \, \%$

40 % der befragten Personen treiben regelmässig Sport.

❓ Frage: In einer Klasse mit 25 Schülerinnen und Schülern haben 8 die Note 6, 10 die Note 5 und 7 die Note 4 erhalten. Berechne die relativen Häufigkeiten und prüfe, ob sie sich zu 1 addieren.

Lösung anzeigen

Note 6: $h_{25}(6) = \frac{8}{25} = 0{,}32$

Note 5: $h_{25}(5) = \frac{10}{25} = 0{,}4$

Note 4: $h_{25}(4) = \frac{7}{25} = 0{,}28$

Kontrolle: $0{,}32 + 0{,}4 + 0{,}28 = 1 \checkmark$

Die Summe ergibt 1, da alle Schülerinnen und Schüler genau eine der drei Noten erhalten haben.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt verstanden, wie man aus beobachteten Daten relative Häufigkeiten berechnet. Im nächsten Schritt lernst du die Wahrscheinlichkeit kennen – also wie man berechnet, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, bevor man es beobachtet hat.

Dabei wirst du den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit vertiefen. Du lernst, wie man mit dem Laplace-Experiment theoretische Wahrscheinlichkeiten berechnet und warum die relative Häufigkeit bei genügend Versuchen einen guten Schätzwert für die wahre Wahrscheinlichkeit liefert.

Ausserdem wirst du Baumdiagramme und Vierfeldertafeln kennenlernen – mächtige Werkzeuge, um auch komplexere Wahrscheinlichkeitsprobleme zu lösen.