Pfadregeln einfach erklärt: So berechnest du Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Stell dir vor, du spielst ein Brettspiel und musst zweimal hintereinander würfeln. Beim ersten Wurf brauchst du eine 6, um ins Ziel zu kommen. Beim zweiten Wurf musst du dann noch eine gerade Zahl würfeln, um zu gewinnen. Wie wahrscheinlich ist es, dass du beide Würfe schaffst?

Oder denk an einen Fussballspieler, der zwei Elfmeter schiessen darf. Er trifft normalerweise 80% seiner Schüsse. Wie gross ist die Chance, dass er mindestens einmal trifft?

Solche Fragen, bei denen mehrere Zufallsereignisse nacheinander passieren, begegnen uns ständig. Um sie zu beantworten, brauchst du die Pfadregeln – das sind zwei einfache Rechenregeln, mit denen du Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen berechnen kannst.

Vom Baumdiagramm zu den Pfadregeln

Du kennst bereits Baumdiagramme aus früheren Klassenstufen. Sie helfen dir, mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darzustellen. Jeder Ast im Baum zeigt eine mögliche Entwicklung – einen sogenannten Pfad.

Nehmen wir ein einfaches Beispiel: Du wirfst eine Münze zweimal. Bei jedem Wurf kann “Kopf” oder “Zahl” erscheinen. Das Baumdiagramm sieht so aus:

Start
├── Kopf (0.5)
│   ├── Kopf (0.5)
│   └── Zahl (0.5)
└── Zahl (0.5)
    ├── Kopf (0.5)
    └── Zahl (0.5)

Jetzt stellen sich zwei zentrale Fragen:

1. Wie wahrscheinlich ist ein bestimmter Pfad, z.B. “erst Kopf, dann Zahl”?
2. Wie wahrscheinlich ist es, dass eines von mehreren Ergebnissen eintritt, z.B. “genau einmal Kopf”?

Genau dafür gibt es die beiden Pfadregeln.

Die erste Pfadregel: Multiplikationsregel

Die erste Pfadregel beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist ein einzelner Pfad?

Stell dir einen Pfad wie eine Reise vor. Du startest oben im Baum und gehst Ast für Ast nach unten. An jedem Ast steht eine Wahrscheinlichkeit. Um ans Ziel zu kommen, musst du jeden Ast “schaffen”.

Die Logik dahinter: Wenn du eine 6 würfeln musst (Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$) UND danach eine gerade Zahl (Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$), dann wird es unwahrscheinlicher, dass beides klappt. Die Gesamtwahrscheinlichkeit wird kleiner.

So gehst du vor:

1. Folge dem gewünschten Pfad von der Wurzel bis zum Ende.
2. Notiere alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
3. Multipliziere alle diese Wahrscheinlichkeiten miteinander.

DEFINITION

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.

$P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Stufe}) \cdot P(\text{2. Stufe}) \cdot P(\text{3. Stufe}) \cdot \ldots$

Diese Regel gilt, weil die einzelnen Stufen des Experiments unabhängig voneinander sind.

Warum funktioniert das?

Die Multiplikation ergibt sich aus der bedingten Wahrscheinlichkeit. Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ unabhängig sind, gilt:

$P(A \text{ und } B) = P(A) \cdot P(B)$

Im Baumdiagramm folgen wir einem Pfad, der mehrere unabhängige Ereignisse verbindet. Deshalb multiplizieren wir.

Die zweite Pfadregel: Additionsregel

Die zweite Pfadregel beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist es, dass eines von mehreren Ergebnissen eintritt?

Manchmal interessiert uns nicht ein einzelner Pfad, sondern mehrere Pfade, die alle zum gewünschten Ergebnis führen. Zum Beispiel: “Wie wahrscheinlich ist genau einmal Kopf bei zwei Münzwürfen?”

Dieses Ergebnis kann auf zwei Wegen entstehen:

• Erst Kopf, dann Zahl
• Erst Zahl, dann Kopf

Diese beiden Pfade schliessen sich gegenseitig aus – du kannst nicht gleichzeitig “erst Kopf, dann Zahl” UND “erst Zahl, dann Kopf” haben.

So gehst du vor:

1. Identifiziere alle Pfade, die zum gewünschten Ergebnis führen.
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Pfades (mit der ersten Pfadregel).
3. Addiere alle Pfadwahrscheinlichkeiten.

DEFINITION

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

$P(\text{Ereignis}) = P(\text{Pfad}_1) + P(\text{Pfad}_2) + P(\text{Pfad}_3) + \ldots$

Diese Regel gilt, weil sich die verschiedenen Pfade gegenseitig ausschliessen.

Warum funktioniert das?

Wenn sich Ereignisse gegenseitig ausschliessen (man sagt auch: sie sind disjunkt), dann gilt:

$P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)$

Da jeder Pfad ein eigenes, eindeutiges Ergebnis beschreibt, können wir die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren.

Die Pfadregeln in Kombination anwenden

In der Praxis verwendest du fast immer beide Regeln zusammen:

1. Erst multiplizieren: Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes relevanten Pfades.
2. Dann addieren: Zähle die Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen, wenn mehrere Pfade zum gewünschten Ergebnis führen.

Diese Kombination ermöglicht es dir, auch komplexe Fragen zu beantworten.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Addieren statt Multiplizieren entlang eines Pfades

Viele Schüler addieren die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Das ist falsch! Entlang eines Pfades wird immer multipliziert. Die Addition kommt erst zum Einsatz, wenn du verschiedene Pfade zusammenzählst.

Merkregel: ENTLANG = MULTIPLIZIEREN, ZWISCHEN = ADDIEREN

Fehler 2: Nicht alle relevanten Pfade berücksichtigen

Bei Fragen wie “mindestens einmal” oder “höchstens zweimal” vergessen Schüler oft Pfade. Zeichne immer das vollständige Baumdiagramm und markiere systematisch alle Pfade, die zur Frage passen.

Fehler 3: Wahrscheinlichkeiten der Stufen verwechseln

Achte genau darauf, welche Wahrscheinlichkeit zu welcher Stufe gehört. Wenn sich die Bedingungen ändern (z.B. Ziehen ohne Zurücklegen), ändern sich auch die Wahrscheinlichkeiten auf den späteren Stufen.

Fehler 4: Das Gegenereignis vergessen

Manchmal ist es viel einfacher, das Gegenereignis zu berechnen. Statt “mindestens einmal Treffer” direkt zu berechnen, kannst du auch rechnen: $1 - P(\text{kein Treffer})$. Das spart oft viel Arbeit.

Beispiele

Beispiel 1: Zweimal Münze werfen

Aufgabe: Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für “genau einmal Kopf”.

Lösung:

Zuerst identifizieren wir alle Pfade, die zu “genau einmal Kopf” führen:

• Pfad 1: Kopf → Zahl
• Pfad 2: Zahl → Kopf

Jetzt wenden wir die erste Pfadregel an und berechnen die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades:

$P(\text{Kopf} \to \text{Zahl}) = P(\text{Kopf}) \cdot P(\text{Zahl}) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$

$P(\text{Zahl} \to \text{Kopf}) = P(\text{Zahl}) \cdot P(\text{Kopf}) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$

Nun wenden wir die zweite Pfadregel an und addieren:

$P(\text{genau einmal Kopf}) = 0.25 + 0.25 = 0.5$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit für genau einmal Kopf beträgt $0.5$ oder $50\%$.

Beispiel 2: Glücksrad mit Farben

Aufgabe: Ein Glücksrad hat drei gleich grosse Felder: Rot, Blau und Grün. Das Rad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Rot erscheint.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einem Dreh beträgt $\frac{1}{3}$.

Methode 1: Alle passenden Pfade zählen

Pfade mit mindestens einmal Rot:

• Rot → Rot: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
• Rot → Blau: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
• Rot → Grün: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
• Blau → Rot: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
• Grün → Rot: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

$P(\text{mindestens einmal Rot}) = 5 \cdot \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$

Methode 2: Gegenereignis nutzen (eleganter)

Das Gegenereignis zu “mindestens einmal Rot” ist “kein Rot”, also nur Blau oder Grün.

$P(\text{kein Rot}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$P(\text{mindestens einmal Rot}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{5}{9} \approx 55.6\%$.

Beispiel 3: Defekte Produkte in der Qualitätskontrolle

Aufgabe: In einer Fabrik sind erfahrungsgemäss $10\%$ der produzierten Teile defekt. Drei Teile werden zufällig ausgewählt und geprüft (mit Zurücklegen). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Teil defekt ist.

Lösung:

Wir bezeichnen:

• D = defekt, mit $P(D) = 0.1$
• I = intakt, mit $P(I) = 0.9$

Für “genau ein defekt” gibt es drei Pfade:

Pfad 1: D → I → I $P = 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 0.081$

Pfad 2: I → D → I $P = 0.9 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.081$

Pfad 3: I → I → D $P = 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.081$

Jetzt addieren wir (zweite Pfadregel):

$P(\text{genau ein defekt}) = 0.081 + 0.081 + 0.081 = 0.243$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Teil defekt ist, beträgt $24.3\%$.

Beispiel 4: Elfmeter im Fussball

Aufgabe: Ein Fussballer hat eine Trefferquote von $75\%$ bei Elfmetern. Er schiesst drei Elfmeter. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens zweimal trifft?

Lösung:

Wir bezeichnen:

• T = Treffer, mit $P(T) = 0.75$
• N = Nicht-Treffer, mit $P(N) = 0.25$

“Mindestens zweimal treffen” bedeutet: genau zweimal ODER dreimal treffen.

Genau dreimal treffen (1 Pfad): $P(T \to T \to T) = 0.75 \cdot 0.75 \cdot 0.75 = 0.421875$

Genau zweimal treffen (3 Pfade):

$P(T \to T \to N) = 0.75 \cdot 0.75 \cdot 0.25 = 0.140625$

$P(T \to N \to T) = 0.75 \cdot 0.25 \cdot 0.75 = 0.140625$

$P(N \to T \to T) = 0.25 \cdot 0.75 \cdot 0.75 = 0.140625$

$P(\text{genau zweimal}) = 3 \cdot 0.140625 = 0.421875$

Gesamtwahrscheinlichkeit:

$P(\text{mindestens zweimal}) = 0.421875 + 0.421875 = 0.84375$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer beträgt $84.375\%$.

Beispiel 5: Ziehen ohne Zurücklegen

Aufgabe: In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, ohne die erste zurückzulegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen.

Lösung:

Hier ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach dem ersten Zug!

Erste Stufe:

• $P(\text{rot}_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Zweite Stufe (nachdem eine rote gezogen wurde):

• Es sind noch 3 rote und 6 blaue Kugeln in der Urne, also 9 Kugeln insgesamt.
• $P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Pfadwahrscheinlichkeit:

$P(\text{rot} \to \text{rot}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt $\frac{2}{15} \approx 13.3\%$.

Das Wichtigste in Kürze

• Erste Pfadregel (Multiplikationsregel): Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades erhältst du, indem du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.

• Zweite Pfadregel (Additionsregel): Wenn mehrere Pfade zum gewünschten Ergebnis führen, addierst du ihre Einzelwahrscheinlichkeiten.

• Kombination: Bei den meisten Aufgaben nutzt du beide Regeln zusammen – erst multiplizieren (für jeden Pfad), dann addieren (für alle relevanten Pfade).

• Gegenereignis-Trick: Bei “mindestens einmal”-Aufgaben ist es oft einfacher, $1 - P(\text{nie})$ zu rechnen.

• Ziehen ohne Zurücklegen: Achte darauf, dass sich die Wahrscheinlichkeiten auf den späteren Stufen verändern können.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal Kopf zu erhalten?

Lösung anzeigen

Wir wenden die erste Pfadregel an:

$P(\text{Kopf} \to \text{Kopf} \to \text{Kopf}) = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{8}$ oder $12.5\%$.

❓ Frage: Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit für “Gewinn” $\frac{1}{4}$. Das Rad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit für “mindestens einmal Gewinn”.

Lösung anzeigen

Wir nutzen das Gegenereignis:

$P(\text{kein Gewinn}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

$P(\text{mindestens einmal Gewinn}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} = 43.75\%$

Alternativ: Die drei günstigen Pfade (GG, GN, NG) haben zusammen die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{7}{16}$.

❓ Frage: Erkläre in eigenen Worten: Warum multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, aber addiert die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade?

Lösung anzeigen

Multiplikation entlang eines Pfades: Entlang eines Pfades müssen alle Ereignisse eintreten – das erste UND das zweite UND das dritte usw. Bei unabhängigen Ereignissen verringert jede zusätzliche Bedingung die Gesamtwahrscheinlichkeit. Deshalb multiplizieren wir.

Addition verschiedener Pfade: Verschiedene Pfade schliessen sich gegenseitig aus – entweder passiert Pfad 1 ODER Pfad 2. Wenn mehrere Wege zum Ziel führen, erhöht sich die Gesamtwahrscheinlichkeit. Deshalb addieren wir.

Kurzform: UND → multiplizieren, ODER → addieren.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Die Pfadregeln sind die Grundlage für viele weitere Themen der Stochastik. In den kommenden Klassenstufen wirst du damit folgende Konzepte kennenlernen:

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Was passiert, wenn die Wahrscheinlichkeit auf einer Stufe davon abhängt, was auf der vorherigen Stufe passiert ist? Das hast du beim “Ziehen ohne Zurücklegen” bereits kurz gesehen.

Binomialverteilung: Wenn du ein Experiment mit nur zwei Ausgängen (Erfolg/Misserfolg) sehr oft wiederholst, gibt es eine elegante Formel, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen – ohne jeden einzelnen Pfad aufzuschreiben.

Erwartungswert: Wie viele Treffer kannst du “im Durchschnitt” erwarten, wenn du ein Experiment oft wiederholst?

Die Pfadregeln bleiben dabei immer dein zuverlässiges Werkzeug, um auch komplexe Wahrscheinlichkeiten systematisch zu berechnen.