Erwartungswert berechnen und anwenden: So modellierst du Zufallsexperimente

Darum geht's

Stell dir vor, du betreibst einen Glücksradstand auf dem Schulhausfest. Die Schüler zahlen 2 CHF pro Dreh und können Preise im Wert von 0 bis 10 CHF gewinnen. Am Ende des Abends zählst du deine Einnahmen – aber hättest du schon vorher wissen können, ob sich das Ganze lohnt? Oder nimm ein Versicherungsunternehmen: Wie kann es Prämien festlegen, ohne zu wissen, welche Kunden tatsächlich einen Schaden haben werden? Die Antwort auf beide Fragen liegt in einem mächtigen mathematischen Werkzeug: dem Erwartungswert. Er erlaubt dir, das Verhalten von Zufallsexperimenten auf lange Sicht vorherzusagen – und genau das lernst du auf dieser Seite.

Vom Glücksrad zur Mathematik

Kehren wir zu deinem Glücksradstand zurück. Das Rad hat fünf gleich grosse Felder mit folgenden Gewinnen:

Feld	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
1	0 CHF	$\frac{1}{5}$
2	1 CHF	$\frac{1}{5}$
3	2 CHF	$\frac{1}{5}$
4	3 CHF	$\frac{1}{5}$
5	10 CHF	$\frac{1}{5}$

Wenn 100 Personen drehen, wie viel Gewinn gibst du dann ungefähr aus? Du könntest schätzen: Bei 100 Drehungen landet das Rad etwa 20-mal auf jedem Feld. Also zahlst du ungefähr:

$20 \cdot 0 + 20 \cdot 1 + 20 \cdot 2 + 20 \cdot 3 + 20 \cdot 10 = 320 \, \text{CHF}$

Pro Person gibst du also im Durchschnitt $\frac{320}{100} = 3{,}20 \, \text{CHF}$ aus. Dieser Wert – der durchschnittliche Gewinn pro Dreh auf lange Sicht – ist der Erwartungswert. Er verrät dir, dass du bei einem Einsatz von 2 CHF pro Dreh langfristig Verlust machst.

Der Erwartungswert als Planungswerkzeug

Der Erwartungswert ist kein Ergebnis, das du bei einem einzelnen Versuch erhältst. Du kannst beim Glücksrad nicht “3,20 CHF” gewinnen. Stattdessen beschreibt er den theoretischen Durchschnitt über viele Wiederholungen. Je öfter das Experiment durchgeführt wird, desto näher kommt der tatsächliche Durchschnitt dem Erwartungswert.

Die Formel für den Erwartungswert

Die Berechnung folgt einem klaren Prinzip: Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alle Produkte.

Definition

Für eine Zufallsvariable $X$ mit den möglichen Werten $x_1, x_2, \ldots, x_n$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P(X = x_1), P(X = x_2), \ldots, P(X = x_n)$ gilt:

$E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + \ldots + x_n \cdot P(X = x_n)$

Der Erwartungswert $E(X)$ gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable im Mittel annimmt, wenn das Experiment sehr oft wiederholt wird.

Für unser Glücksrad rechnen wir:

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 10 \cdot \frac{1}{5}$

$E(X) = \frac{0 + 1 + 2 + 3 + 10}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2$

Der Erwartungswert beträgt 3,20 CHF pro Dreh.

Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung

1. Alle möglichen Werte auflisten: Welche Ergebnisse kann das Zufallsexperiment liefern?
2. Wahrscheinlichkeiten bestimmen: Wie wahrscheinlich ist jedes einzelne Ergebnis?
3. Produkte bilden: Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
4. Summe berechnen: Addiere alle Produkte – das Ergebnis ist der Erwartungswert.
5. Ergebnis interpretieren: Was bedeutet dieser Wert im Kontext der Aufgabe?

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Erwartungswert mit möglichem Ergebnis verwechseln Der Erwartungswert muss kein Wert sein, der tatsächlich eintreten kann. Bei einem Würfel ist $E(X) = 3{,}5$ – obwohl du nie eine 3,5 würfeln kannst. Der Erwartungswert ist ein theoretischer Durchschnitt.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeiten vergessen zu prüfen Bevor du rechnest, kontrolliere: Addieren sich alle Wahrscheinlichkeiten zu 1? Falls nicht, hast du entweder einen Wert vergessen oder einen Fehler in den Wahrscheinlichkeiten.

Fehler 3: Gewinn und Einsatz vermischen Bei Glücksspielen unterscheide klar zwischen dem Gewinn (was du zurückbekommst) und dem Nettogewinn (Gewinn minus Einsatz). Wenn du 2 CHF zahlst und 5 CHF gewinnst, ist dein Nettogewinn 3 CHF.

Was bedeutet “Modellieren” mit dem Erwartungswert?

Modellieren bedeutet, eine reale Situation in ein mathematisches Modell zu übersetzen. Beim Erwartungswert heisst das: Du definierst eine Zufallsvariable, bestimmst ihre möglichen Werte und Wahrscheinlichkeiten und berechnest dann den Erwartungswert, um Vorhersagen zu treffen oder Entscheidungen zu begründen.

Typische Anwendungsbereiche

• Glücksspiele: Ist ein Spiel fair? Wer profitiert langfristig?
• Versicherungen: Wie hoch muss eine Prämie sein, damit die Versicherung keinen Verlust macht?
• Wirtschaft: Welchen Umsatz kann ein Unternehmen im Durchschnitt erwarten?
• Qualitätskontrolle: Wie viele fehlerhafte Produkte fallen durchschnittlich pro Tag an?

Beispiele

Beispiel 1: Der faire Würfel

Aufgabe: Berechne den Erwartungswert für einen fairen sechsseitigen Würfel.

Lösung: Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die gewürfelte Augenzahl. Jede Zahl von 1 bis 6 tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ auf.

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$

Interpretation: Auf lange Sicht beträgt die durchschnittliche Augenzahl 3,5.

Beispiel 2: Das Losverkaufs-Problem

Aufgabe: Bei einer Tombola werden 500 Lose verkauft. Es gibt folgende Gewinne:

• 1 Hauptpreis (Wert: 200 CHF)
• 4 zweite Preise (je 50 CHF)
• 20 Trostpreise (je 10 CHF)
• 475 Nieten

Ein Los kostet 5 CHF. Berechne den erwarteten Gewinn pro Los und entscheide, ob das Spiel für den Käufer fair ist.

Lösung: Zuerst definieren wir die Zufallsvariable $X$ als den Gewinnwert eines Loses.

Gewinn	Anzahl	Wahrscheinlichkeit
200 CHF	1	$\frac{1}{500}$
50 CHF	4	$\frac{4}{500}$
10 CHF	20	$\frac{20}{500}$
0 CHF	475	$\frac{475}{500}$

Berechnung des Erwartungswerts:

$E(X) = 200 \cdot \frac{1}{500} + 50 \cdot \frac{4}{500} + 10 \cdot \frac{20}{500} + 0 \cdot \frac{475}{500}$

$E(X) = \frac{200}{500} + \frac{200}{500} + \frac{200}{500} + 0 = \frac{600}{500} = 1{,}20 \, \text{CHF}$

Der erwartete Gewinn beträgt 1,20 CHF pro Los.

Nettogewinn: Da ein Los 5 CHF kostet, ist der erwartete Nettogewinn:

$E(\text{Nettogewinn}) = 1{,}20 - 5 = -3{,}80 \, \text{CHF}$

Interpretation: Im Durchschnitt verliert ein Käufer 3,80 CHF pro Los. Das Spiel ist nicht fair – der Veranstalter macht langfristig Gewinn.

Beispiel 3: Versicherungsmodell

Aufgabe: Eine Hausratversicherung analysiert ihre Daten. Pro Jahr tritt bei einem Kunden mit folgenden Wahrscheinlichkeiten ein Schaden ein:

• Kein Schaden: 94%
• Kleiner Schaden (500 CHF): 4%
• Mittlerer Schaden (2’000 CHF): 1,5%
• Grosser Schaden (10’000 CHF): 0,5%

Wie hoch muss die jährliche Prämie mindestens sein, damit die Versicherung keinen Verlust macht?

Lösung: Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Schadenshöhe pro Kunde und Jahr.

Schaden	Wahrscheinlichkeit
0 CHF	0,94
500 CHF	0,04
2’000 CHF	0,015
10’000 CHF	0,005

Kontrolle: $0{,}94 + 0{,}04 + 0{,}015 + 0{,}005 = 1$ ✓

Berechnung des erwarteten Schadens:

$E(X) = 0 \cdot 0{,}94 + 500 \cdot 0{,}04 + 2000 \cdot 0{,}015 + 10000 \cdot 0{,}005$

$E(X) = 0 + 20 + 30 + 50 = 100 \, \text{CHF}$

Interpretation: Die Versicherung muss pro Kunde im Durchschnitt 100 CHF für Schäden aufwenden. Die Prämie muss also mindestens 100 CHF betragen, um langfristig keinen Verlust zu machen. In der Realität wird sie höher angesetzt, um Verwaltungskosten zu decken und Gewinn zu erzielen.

Beispiel 4: Spielshow-Entscheidung

Aufgabe: In einer Spielshow darfst du wählen: Entweder nimmst du sicher 500 CHF mit nach Hause, oder du spielst weiter. Beim Weiterspielen drehst du an einem Rad mit folgenden Feldern:

• 3 Felder: 0 CHF (du verlierst alles)
• 2 Felder: 500 CHF
• 2 Felder: 800 CHF
• 1 Feld: 2’000 CHF

Für welche Option solltest du dich rein mathematisch entscheiden?

Lösung: Das Rad hat 8 gleich grosse Felder. Wir berechnen den Erwartungswert des Spiels.

$E(X) = 0 \cdot \frac{3}{8} + 500 \cdot \frac{2}{8} + 800 \cdot \frac{2}{8} + 2000 \cdot \frac{1}{8}$

$E(X) = 0 + \frac{1000}{8} + \frac{1600}{8} + \frac{2000}{8} = \frac{4600}{8} = 575 \, \text{CHF}$

Vergleich:

• Sichere Option: 500 CHF
• Erwartungswert beim Spielen: 575 CHF

Interpretation: Rein mathematisch betrachtet ist Weiterspielen die bessere Wahl, da der Erwartungswert (575 CHF) höher ist als die sichere Auszahlung (500 CHF). Allerdings: Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{3}{8} = 37{,}5\%$ gehst du komplett leer aus. Die Entscheidung hängt also auch davon ab, wie risikofreudig du bist.

Eigenschaften des Erwartungswerts

Der Erwartungswert hat zwei wichtige Eigenschaften, die dir das Rechnen erleichtern:

Linearität bei Addition: Wenn $X$ und $Y$ Zufallsvariablen sind, gilt: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Linearität bei Skalierung: Für eine Konstante $a$ gilt: $E(a \cdot X) = a \cdot E(X)$

Praktisches Beispiel: Du wirfst zwei Würfel und addierst die Augenzahlen. Der Erwartungswert der Summe ist: $E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$

Faires Spiel – was bedeutet das?

Ein Spiel heisst fair, wenn der erwartete Nettogewinn gleich null ist. Das bedeutet: Auf lange Sicht gewinnt niemand – weder der Spieler noch der Veranstalter.

Mathematisch ausgedrückt: $E(\text{Nettogewinn}) = E(\text{Gewinn}) - \text{Einsatz} = 0$

Also: $E(\text{Gewinn}) = \text{Einsatz}$

Bei unserem Glücksradbeispiel vom Anfang müsste der Einsatz 3,20 CHF betragen, damit das Spiel fair wäre.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Erwartungswert $E(X)$ gibt den theoretischen Durchschnitt einer Zufallsvariable über viele Wiederholungen an.
• Die Formel lautet: Jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alle Produkte addieren.
• Der Erwartungswert muss kein mögliches Ergebnis des Experiments sein (z.B. 3,5 beim Würfel).
• Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Nettogewinn null ist.
• Modellieren bedeutet, reale Situationen in mathematische Modelle zu übersetzen, um Vorhersagen zu treffen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Glücksrad hat vier gleich grosse Felder mit den Werten 0, 2, 4 und 6 CHF. Wie gross ist der Erwartungswert?

Lösung anzeigen

Der Erwartungswert berechnet sich als: $E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{4} = 3 \, \text{CHF}$

❓ Frage: Bei einem Spiel beträgt der erwartete Gewinn 4 CHF. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?

Lösung anzeigen

Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Nettogewinn null ist. Das bedeutet: $E(\text{Gewinn}) - \text{Einsatz} = 0$ Also muss der Einsatz ebenfalls 4 CHF betragen.

❓ Frage: Erkläre in einem Satz, warum der Erwartungswert beim Würfel 3,5 beträgt, obwohl man nie eine 3,5 würfeln kann.

Lösung anzeigen

Der Erwartungswert ist kein einzelnes Ergebnis, sondern der theoretische Durchschnitt aller Würfe über sehr viele Wiederholungen – und der Mittelwert von 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ist mathematisch 3,5.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Nachdem du den Erwartungswert verstanden hast, wirst du im nächsten Schritt lernen, wie stark die tatsächlichen Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen können. Dieses Mass heisst Varianz und Standardabweichung. Damit kannst du nicht nur den Durchschnitt vorhersagen, sondern auch einschätzen, wie “riskant” oder “streuend” ein Zufallsexperiment ist. Ausserdem wirst du die Binomialverteilung kennenlernen – ein wichtiges Werkzeug für Experimente mit genau zwei möglichen Ausgängen (Erfolg oder Misserfolg), wie Münzwürfe oder Multiple-Choice-Tests.