Häufigkeitsbäume einfach erklärt: So behältst du den Überblick bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Stell dir vor, du bist Trainer einer Fussballmannschaft. Du hast 20 Spieler im Kader. Einige sind Stürmer, andere Verteidiger. Manche Stürmer sind Rechtsfüsser, andere Linksfüsser. Wie behältst du den Überblick, wenn du wissen willst, wie viele linksfüssige Stürmer du hast?

Du könntest alle 20 Spieler einzeln durchgehen. Oder du zeichnest ein Diagramm, das die Gruppen sauber aufteilt. Genau das macht ein Häufigkeitsbaum in der Mathematik. Er hilft dir, absolute Häufigkeiten übersichtlich zu ordnen – besonders wenn du mehrere Merkmale gleichzeitig betrachtest.

Vom Fussballkader zum Häufigkeitsbaum

Bleiben wir beim Fussball-Beispiel. Du hast 20 Spieler. Davon sind 8 Stürmer und 12 Verteidiger. Von den 8 Stürmern sind 5 Rechtsfüsser und 3 Linksfüsser. Von den 12 Verteidigern sind 9 Rechtsfüsser und 3 Linksfüsser.

Wie stellst du das übersichtlich dar? Du zeichnest einen Baum:

• Du startest mit der Gesamtzahl: 20 Spieler.
• Dann teilst du auf: 8 Stürmer und 12 Verteidiger.
• Jede Gruppe teilst du weiter auf: Rechtsfüsser und Linksfüsser.

Am Ende siehst du auf einen Blick: Es gibt genau 3 linksfüssige Stürmer. Diese Struktur nennt man Häufigkeitsbaum.

Was ist ein Häufigkeitsbaum?

Ein Häufigkeitsbaum ist ein Baumdiagramm, das mit absoluten Häufigkeiten arbeitet. Er zeigt, wie sich eine Gesamtmenge schrittweise in Teilgruppen aufteilt.

Der Baum besteht aus:

• Wurzel: Die Gesamtzahl aller Objekte steht ganz links.
• Verzweigungen: An jedem Knoten teilt sich die Gruppe nach einem Merkmal auf.
• Blätter: Die Endpunkte zeigen die Häufigkeiten der kleinsten Teilgruppen.

Das Besondere: An jeder Verzweigung muss die Summe der Teilgruppen gleich der Ausgangszahl sein. Im Fussball-Beispiel: $8 + 12 = 20$ und $5 + 3 = 8$.

DEFINITION

Ein Häufigkeitsbaum ist ein Baumdiagramm, das absolute Häufigkeiten darstellt. Er beginnt mit der Gesamtanzahl und verzweigt sich bei jedem Merkmal in Teilgruppen. Die Summe der Teilgruppen ergibt immer die Ausgangszahl des vorherigen Knotens.

So erstellst du einen Häufigkeitsbaum – Schritt für Schritt

Wenn du einen Häufigkeitsbaum zeichnen sollst, gehe immer nach diesem Schema vor:

1. Gesamtzahl ermitteln: Wie viele Objekte oder Personen hast du insgesamt?
2. Erstes Merkmal identifizieren: Nach welchem Merkmal teilst du zuerst auf?
3. Teilgruppen eintragen: Schreibe die Häufigkeiten der ersten Aufteilung an die Äste.
4. Zweites Merkmal anwenden: Teile jede Teilgruppe nach dem zweiten Merkmal weiter auf.
5. Summenprobe machen: Prüfe an jeder Verzweigung, ob die Teilsummen stimmen.

Tipp: Zeichne den Baum von links nach rechts. Die Gesamtzahl steht links, die kleinsten Gruppen rechts.

Häufigkeitsbaum und Vierfeldertafel – Zwei Seiten einer Medaille

Du kennst vielleicht schon die Vierfeldertafel. Sie zeigt dieselben Informationen wie ein Häufigkeitsbaum – nur in Tabellenform.

Beim Fussball-Beispiel sähe die Vierfeldertafel so aus:

	Rechtsfuss	Linksfuss	Summe
Stürmer	5	3	8
Verteidiger	9	3	12
Summe	14	6	20

Der Häufigkeitsbaum und die Vierfeldertafel enthalten exakt dieselben Zahlen. Der Baum zeigt die Struktur besser. Die Tabelle eignet sich besser zum schnellen Ablesen.

Du kannst jederzeit zwischen beiden Darstellungen wechseln. Oft ist es sinnvoll, die Aufgabe mit einem Baum zu lösen und das Ergebnis in einer Tabelle zusammenzufassen.

Vom Häufigkeitsbaum zur Wahrscheinlichkeit

Häufigkeitsbäume sind nicht nur für absolute Zahlen nützlich. Du kannst aus ihnen auch Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Die Formel lautet:

$$P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Gesamtzahl}}$$

Im Fussball-Beispiel: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spieler ein linksfüssiger Stürmer ist?

$$P(\text{linksfüssiger Stürmer}) = \frac{3}{20}$$

Das entspricht $0{,}15$ oder $15\%$.

Mit dem Häufigkeitsbaum findest du die Anzahl der günstigen Fälle sofort: Du schaust einfach auf das passende Blatt.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Summenprobe vergessen An jeder Verzweigung muss die Summe der Teilgruppen gleich der Ausgangszahl sein. Wenn $8 + 12 = 20$ nicht stimmt, hast du dich verrechnet. Prüfe das immer!

Fehler 2: Relative und absolute Häufigkeiten verwechseln Ein Häufigkeitsbaum arbeitet mit absoluten Zahlen (z.B. 8 Stürmer). Wenn in der Aufgabe Prozentangaben stehen, musst du diese zuerst in absolute Häufigkeiten umrechnen.

Fehler 3: Die falsche Reihenfolge der Merkmale Die Reihenfolge der Merkmale beeinflusst nicht das Endergebnis, aber sie muss konsequent sein. Wenn du zuerst nach Position (Stürmer/Verteidiger) aufteilst, muss das für alle Äste gelten.

Fehler 4: Blätter falsch ablesen Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein kombiniertes Ereignis (z.B. linksfüssiger Stürmer) suchst, schau auf das richtige Blatt. Verwechsle es nicht mit der Summe einer Zeile oder Spalte.

Beispiele

Beispiel 1: Umfrage in einer Schulklasse

In einer Klasse mit 30 Schülern wird gefragt, ob sie ein Haustier haben. 18 Schüler haben ein Haustier, 12 nicht. Von den 18 Schülern mit Haustier haben 11 einen Hund und 7 ein anderes Tier.

Schritt 1: Zeichne die Wurzel mit 30.

Schritt 2: Erste Verzweigung nach “Haustier ja/nein”:

• Haustier: 18
• Kein Haustier: 12

Schritt 3: Zweite Verzweigung (nur bei “Haustier”):

• Hund: 11
• Anderes Tier: 7

Summenprobe: $18 + 12 = 30$ ✓ und $11 + 7 = 18$ ✓

Frage: Wie viele Schüler haben einen Hund? Antwort: 11 Schüler

Beispiel 2: Qualitätskontrolle in einer Fabrik

Eine Fabrik produziert 500 Bauteile pro Tag. Davon kommen 300 von Maschine A und 200 von Maschine B. Bei Maschine A sind 15 Bauteile fehlerhaft. Bei Maschine B sind 20 Bauteile fehlerhaft.

Der Häufigkeitsbaum:

• Wurzel: 500
• Maschine A: 300 → fehlerfrei: 285, fehlerhaft: 15
• Maschine B: 200 → fehlerfrei: 180, fehlerhaft: 20

Frage 1: Wie viele fehlerhafte Bauteile gibt es insgesamt?

$$15 + 20 = 35$$

Frage 2: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Bauteil von Maschine B und fehlerhaft ist?

$$P(\text{B und fehlerhaft}) = \frac{20}{500} = \frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$$

Beispiel 3: Sportverein mit Mitgliederbefragung

Ein Sportverein hat 240 Mitglieder. 140 sind männlich, 100 weiblich. Von den männlichen Mitgliedern sind 90 aktive Wettkampfsportler und 50 Freizeitsportler. Von den weiblichen Mitgliedern sind 60 aktive Wettkampfsportler und 40 Freizeitsportler.

Aufgabe: Erstelle den Häufigkeitsbaum und beantworte die Fragen.

Häufigkeitsbaum:

• Wurzel: 240
• Männlich: 140 → Wettkampf: 90, Freizeit: 50
• Weiblich: 100 → Wettkampf: 60, Freizeit: 40

Summenprobe:

• $140 + 100 = 240$ ✓
• $90 + 50 = 140$ ✓
• $60 + 40 = 100$ ✓

Frage 1: Wie viele Wettkampfsportler gibt es insgesamt?

$$90 + 60 = 150$$

Frage 2: Ein Mitglied wird zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine weibliche Freizeitsportlerin handelt?

$$P(\text{weiblich und Freizeit}) = \frac{40}{240} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \approx 16{,}7\%$$

Frage 3: Von allen Wettkampfsportlern wird einer zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser männlich ist?

Hier ändert sich die Grundgesamtheit! Es gibt 150 Wettkampfsportler, davon 90 männlich.

$$P(\text{männlich} \mid \text{Wettkampf}) = \frac{90}{150} = \frac{3}{5} = 0{,}6 = 60\%$$

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Häufigkeitsbaum stellt absolute Häufigkeiten als Baumdiagramm dar.
• Die Wurzel enthält die Gesamtzahl. An jeder Verzweigung teilt sich die Gruppe nach einem Merkmal auf.
• Die Summenprobe ist Pflicht: Die Teilgruppen müssen sich zur Ausgangszahl addieren.
• Aus dem Häufigkeitsbaum lassen sich Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem du die günstige Anzahl durch die Gesamtzahl teilst.
• Häufigkeitsbaum und Vierfeldertafel zeigen dieselben Informationen in unterschiedlicher Form.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einer Schule gibt es 400 Schüler. 250 davon sind in der Oberstufe, 150 in der Unterstufe. Wie lautet die Zahl an der Wurzel des Häufigkeitsbaums?

Lösung anzeigen

Die Wurzel enthält immer die Gesamtzahl: 400

Summenprobe: $250 + 150 = 400$ ✓

❓ Frage: Von 200 Befragten trinken 120 regelmässig Kaffee. Von diesen 120 Kaffeetrinkern bevorzugen 80 Filterkaffee. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person Filterkaffee-Trinker ist?

Lösung anzeigen

Die Anzahl der Filterkaffee-Trinker ist 80. Die Gesamtzahl der Befragten ist 200.

$$P(\text{Filterkaffee}) = \frac{80}{200} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\%$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 40%.

❓ Frage: Ein Händler hat 60 Äpfel und 40 Birnen. Von den Äpfeln sind 12 bio, von den Birnen sind 8 bio. Erstelle eine Vierfeldertafel aus diesen Angaben.

Lösung anzeigen

Zuerst berechnest du die fehlenden Werte:

• Äpfel konventionell: $60 - 12 = 48$
• Birnen konventionell: $40 - 8 = 32$

	Bio	Konventionell	Summe
Äpfel	12	48	60
Birnen	8	32	40
Summe	20	80	100

Summenprobe: $12 + 48 = 60$ ✓, $8 + 32 = 40$ ✓, $60 + 40 = 100$ ✓

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt Häufigkeitsbäume mit absoluten Zahlen. Der nächste Schritt ist der Wahrscheinlichkeitsbaum. Dort arbeitest du nicht mehr mit Anzahlen, sondern direkt mit Wahrscheinlichkeiten an den Ästen.

Du lernst, wie du die Pfadregeln anwendest:

• Die Produktregel für die Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
• Die Summenregel für die Wahrscheinlichkeit mehrerer Pfade.

Mit diesen Werkzeugen kannst du auch dann Wahrscheinlichkeiten berechnen, wenn du keine absoluten Häufigkeiten kennst. Das ist besonders nützlich bei Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und mehrstufigen Zufallsexperimenten.