Erwartungswert berechnen: So findest du den Durchschnitt bei Zufallsexperimenten

Stell dir vor, du spielst auf dem Jahrmarkt ein Glücksrad. Der Betreiber verspricht dir: “Im Durchschnitt gewinnst du 5 CHF pro Spiel!” Aber stimmt das wirklich? Oder ist das nur ein Trick, um dich zum Spielen zu bewegen?

Genau hier kommt der Erwartungswert ins Spiel. Er ist wie ein mathematischer Lügendetektor für Glücksspiele und Zufallsexperimente. Mit ihm kannst du herausfinden, was du “auf lange Sicht” erwarten kannst – ob bei Glücksrädern, Würfelspielen oder sogar bei Versicherungen. Am Ende dieser Seite wirst du selbst berechnen können, ob sich ein Spiel lohnt oder ob du lieber dein Geld behältst.

Vom Jahrmarkt zur Mathematik

Kehren wir zum Glücksrad zurück. Das Rad hat vier gleich grosse Felder:

• Feld 1: Du gewinnst 10 CHF
• Feld 2: Du gewinnst 2 CHF
• Feld 3: Du gewinnst 0 CHF
• Feld 4: Du verlierst 4 CHF (also -4 CHF)

Jedes Feld hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$. Aber was gewinnst du “im Durchschnitt”?

Die naive Idee wäre, einfach alle Gewinne zu addieren und durch 4 zu teilen:

$\frac{10 + 2 + 0 + (-4)}{4} = \frac{8}{4} = 2 \, \text{CHF}$

Das funktioniert hier zufällig – aber nur, weil alle Wahrscheinlichkeiten gleich sind! Was passiert, wenn die Felder unterschiedlich gross sind? Dann brauchen wir eine allgemeinere Methode.

Die Idee hinter dem Erwartungswert

Der Erwartungswert berücksichtigt, dass manche Ergebnisse wahrscheinlicher sind als andere. Die Grundidee ist simpel: Jedes mögliche Ergebnis wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet.

Stell dir vor, du spielst das Glücksrad 100-mal. Bei vier gleich grossen Feldern erwartest du ungefähr:

• 25-mal den Gewinn von 10 CHF
• 25-mal den Gewinn von 2 CHF
• 25-mal den Gewinn von 0 CHF
• 25-mal den Verlust von 4 CHF

Dein Gesamtgewinn wäre etwa:

$25 \cdot 10 + 25 \cdot 2 + 25 \cdot 0 + 25 \cdot (-4) = 250 + 50 + 0 - 100 = 200 \, \text{CHF}$

Pro Spiel also $\frac{200}{100} = 2 \, \text{CHF}$. Das ist der Erwartungswert!

So berechnest du den Erwartungswert

Hier ist die Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Liste alle möglichen Werte der Zufallsgrösse auf (das sind die Zahlen $x_1, x_2, \ldots, x_n$).
2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert (das sind $P(X = x_1), P(X = x_2), \ldots$).
3. Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
4. Addiere alle diese Produkte.

DEFINITION

Der Erwartungswert $E(X)$ (auch $\mu$ genannt) einer Zufallsgrösse $X$ ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte. Die Formel lautet:

$E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + \ldots + x_n \cdot P(X = x_n)$

Kurz geschrieben:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$

Dabei ist $x_i$ der $i$-te mögliche Wert und $P(X = x_i)$ die Wahrscheinlichkeit, dass genau dieser Wert eintritt.

Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert du im Durchschnitt erwartest, wenn du das Zufallsexperiment sehr oft wiederholst. Er muss selbst kein mögliches Ergebnis sein – beim Würfel ist der Erwartungswert 3,5, obwohl du nie 3,5 würfeln kannst!

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Einfacher Durchschnitt statt gewichteter Durchschnitt

Viele Schüler berechnen $\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ und ignorieren die Wahrscheinlichkeiten. Das funktioniert nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind! Bei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten musst du immer gewichten.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeiten addieren sich nicht zu 1

Bevor du rechnest, prüfe: Ergeben alle Wahrscheinlichkeiten zusammen genau 1 (oder 100%)? Falls nicht, hast du entweder einen Wert vergessen oder dich verrechnet.

Fehler 3: Vorzeichen vergessen

Bei Verlusten oder negativen Auszahlungen musst du mit negativen Zahlen rechnen. Ein Verlust von 5 CHF ist $x = -5$, nicht $x = 5$.

Beispiele

Beispiel 1: Das Glücksrad vom Jahrmarkt

Wir berechnen den Erwartungswert für unser Glücksrad mit vier gleich grossen Feldern.

Schritt 1: Mögliche Werte auflisten

Wert $x_i$	10 CHF	2 CHF	0 CHF	-4 CHF
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

Schritt 2: Jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren

$10 \cdot \frac{1}{4} = 2{,}5$

$2 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}5$

$0 \cdot \frac{1}{4} = 0$

$(-4) \cdot \frac{1}{4} = -1$

Schritt 3: Alle Produkte addieren

$E(X) = 2{,}5 + 0{,}5 + 0 + (-1) = 2 \, \text{CHF}$

Interpretation: Im Durchschnitt gewinnst du 2 CHF pro Spiel. Wenn der Einsatz mehr als 2 CHF beträgt, lohnt sich das Spiel für dich nicht!

Beispiel 2: Unfaires Glücksrad

Jetzt ist das Glücksrad manipuliert. Das Feld mit 0 CHF ist doppelt so gross wie die anderen.

Wert $x_i$	10 CHF	2 CHF	0 CHF	-4 CHF
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

Kontrolliere: $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$ ✓

Berechnung:

$E(X) = 10 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot \frac{2}{5} + (-4) \cdot \frac{1}{5}$

$E(X) = 2 + 0{,}4 + 0 - 0{,}8 = 1{,}6 \, \text{CHF}$

Interpretation: Durch das grössere “Nieten-Feld” sinkt der Erwartungswert auf 1,6 CHF. Das Spiel ist für dich weniger vorteilhaft geworden.

Beispiel 3: Der faire Würfel

Ein Standardwürfel zeigt die Zahlen 1 bis 6. Jede Zahl erscheint mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.

Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Augenzahl $x_i$	1	2	3	4	5	6
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Berechnung:

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$

Interpretation: Im Durchschnitt würfelst du eine 3,5. Natürlich kannst du nie genau 3,5 würfeln – der Erwartungswert ist ein theoretischer Mittelwert, der sich nach sehr vielen Würfen als Durchschnitt einstellt.

Beispiel 4: Lohnt sich die Versicherung?

Eine Handyversicherung kostet 60 CHF pro Jahr. Dein Handy ist 800 CHF wert. Du schätzt die Wahrscheinlichkeiten so ein:

• Wahrscheinlichkeit für Totalschaden: 5%
• Wahrscheinlichkeit für Reparatur (Kosten 200 CHF): 10%
• Wahrscheinlichkeit für keinen Schaden: 85%

Ohne Versicherung – was ist dein erwarteter Verlust?

Schaden $x_i$	800 CHF	200 CHF	0 CHF
$P(X = x_i)$	0,05	0,10	0,85

$E(X) = 800 \cdot 0{,}05 + 200 \cdot 0{,}10 + 0 \cdot 0{,}85$

$E(X) = 40 + 20 + 0 = 60 \, \text{CHF}$

Analyse: Dein erwarteter Verlust ohne Versicherung beträgt 60 CHF – genau so viel wie die Versicherung kostet! Rein mathematisch ist es also egal, ob du die Versicherung abschliesst oder nicht.

In der Praxis spielen aber andere Faktoren eine Rolle: Könntest du 800 CHF auf einmal verkraften? Falls nicht, kann die Versicherung trotzdem sinnvoll sein, auch wenn der Erwartungswert neutral ist.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Erwartungswert $E(X)$ ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse einer Zufallsgrösse.
• Die Formel lautet: $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$ – jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann addiert.
• Der Erwartungswert muss kein tatsächlich mögliches Ergebnis sein (z.B. 3,5 beim Würfel).
• Er gibt an, was du im Durchschnitt bei vielen Wiederholungen erwarten kannst.
• Bei der Berechnung immer prüfen: Summieren sich alle Wahrscheinlichkeiten zu 1?

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Glücksspiel hat folgende Auszahlungen: 20 CHF mit Wahrscheinlichkeit 0,1 und 0 CHF mit Wahrscheinlichkeit 0,9. Wie hoch ist der Erwartungswert?

Lösung anzeigen

$E(X) = 20 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}9 = 2 + 0 = 2 \, \text{CHF}$

Der Erwartungswert beträgt 2 CHF. Wenn du also mehr als 2 CHF Einsatz zahlen müsstest, wäre das Spiel auf lange Sicht ein Verlustgeschäft für dich.

❓ Frage: Warum ist der Erwartungswert eines fairen Würfels gleich 3,5, obwohl man nie 3,5 würfeln kann?

Lösung anzeigen

Der Erwartungswert ist ein theoretischer Durchschnittswert, nicht ein mögliches Einzelergebnis. Er beschreibt, welchen Mittelwert du erhältst, wenn du den Würfel sehr oft wirfst und alle Ergebnisse aufsummierst und durch die Anzahl der Würfe teilst.

Würfest du beispielsweise 1000-mal, wirst du ungefähr 167-mal jede Zahl werfen. Die Summe aller Würfe geteilt durch 1000 nähert sich dann 3,5 an.

❓ Frage: Bei einem Spiel gewinnst du 50 CHF mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{10}$, verlierst 10 CHF mit Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{10}$ und gewinnst nichts mit Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{10}$. Berechne den Erwartungswert und entscheide: Lohnt sich das Spiel, wenn der Einsatz 2 CHF beträgt?

Lösung anzeigen

Berechnung:

$E(X) = 50 \cdot \frac{1}{10} + (-10) \cdot \frac{3}{10} + 0 \cdot \frac{6}{10}$

$E(X) = 5 - 3 + 0 = 2 \, \text{CHF}$

Entscheidung: Der Erwartungswert beträgt genau 2 CHF. Bei einem Einsatz von 2 CHF ist das Spiel fair – du gewinnst und verlierst auf lange Sicht nichts. Kostet der Einsatz mehr als 2 CHF, lohnt sich das Spiel nicht. Kostet er weniger, ist es vorteilhaft für dich.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du kannst jetzt den Erwartungswert berechnen – den “Durchschnitt” einer Zufallsgrösse. Aber wie stark schwanken die Ergebnisse um diesen Durchschnitt? Beim Würfel weisst du, dass du im Schnitt 3,5 würfelst. Aber wie weit liegen die einzelnen Würfe typischerweise davon entfernt?

Diese Frage beantwortet die Varianz und die Standardabweichung. Sie messen die Streuung der Werte um den Erwartungswert. Je grösser die Varianz, desto “unberechenbarer” ist das Zufallsexperiment. Das ist besonders wichtig, wenn du Risiken einschätzen willst – denn zwei Spiele mit gleichem Erwartungswert können völlig unterschiedliche Risiken bergen!