Lineares Wachstum einfach erklärt: Konstante Veränderung verstehen und anwenden

Stell dir vor, du sparst jeden Monat genau 50 CHF für ein neues Smartphone. Im Januar hast du 50 CHF, im Februar 100 CHF, im März 150 CHF. Egal ob Sommer oder Winter, egal ob du gerade knapp bei Kasse bist – du legst stur jeden Monat denselben Betrag zur Seite. Nach einem Jahr weisst du genau, wie viel auf deinem Konto liegt: 600 CHF. Diese vorhersehbare, gleichmässige Entwicklung begegnet dir überall im Alltag: beim Wachsen von Pflanzen unter konstanten Bedingungen, beim Befüllen einer Badewanne oder beim Abbezahlen eines Kredits. In der Mathematik nennen wir dieses Phänomen lineares Wachstum – und es ist eines der grundlegendsten Werkzeuge, um Veränderungen in der Welt zu beschreiben und vorherzusagen.

Vom Sparschwein zur Mathematik

Kehren wir zu deinem Sparplan zurück. Du startest mit 0 CHF und legst jeden Monat 50 CHF dazu. Wie können wir diesen Vorgang mathematisch erfassen?

Zunächst halten wir die Werte in einer Tabelle fest:

Monat $t$	0	1	2	3	4	5
Guthaben $y$ in CHF	0	50	100	150	200	250

Fällt dir etwas auf? Der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten ist immer gleich: 50 CHF. Diese konstante Differenz ist das Herzstück des linearen Wachstums.

Jetzt übersetzen wir das in eine Formel. Wenn wir wissen wollen, wie viel Geld du nach $t$ Monaten hast, rechnen wir:

$$y = 50 \cdot t$$

Das Guthaben $y$ ergibt sich aus der monatlichen Sparrate multipliziert mit der Anzahl der Monate $t$. Hättest du zu Beginn bereits 200 CHF auf dem Konto gehabt, sähe die Formel so aus:

$$y = 200 + 50 \cdot t$$

Du siehst: Wir addieren den Startwert zum wachsenden Anteil. Genau dieses Prinzip steckt hinter jeder linearen Funktion.

Die Formel für lineares Wachstum

Lineares Wachstum lässt sich immer durch eine Geradengleichung beschreiben. Du kennst diese Form vielleicht schon aus der Funktionenlehre:

$$y = m \cdot x + b$$

Bei Wachstumsvorgängen schreiben wir oft:

$$y(t) = a + d \cdot t$$

Dabei steht $t$ für die Zeit (Tage, Monate, Jahre), $y(t)$ für den Wert zum Zeitpunkt $t$, $a$ für den Anfangswert und $d$ für die konstante Änderungsrate pro Zeiteinheit.

DEFINITION

Ein Vorgang heisst linear wachsend, wenn sich der Bestand in gleichen Zeitabständen um denselben absoluten Betrag verändert. Die allgemeine Formel lautet:

$$y(t) = a + d \cdot t$$

Dabei ist $a$ der Anfangswert (Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$) und $d$ die Änderungsrate (Zunahme oder Abnahme pro Zeiteinheit). Ist $d > 0$, wächst der Bestand. Ist $d < 0$, nimmt er ab (lineares Abnehmen).

Die Schritte zur Lösung

Wenn du eine Aufgabe zum linearen Wachstum lösen möchtest, gehst du systematisch vor:

1. Identifiziere den Anfangswert $a$: Welcher Bestand liegt zu Beginn vor (bei $t = 0$)?
2. Bestimme die Änderungsrate $d$: Um wie viel ändert sich der Bestand pro Zeiteinheit?
3. Stelle die Funktionsgleichung auf: Setze $a$ und $d$ in die Formel $y(t) = a + d \cdot t$ ein.
4. Beantworte die Fragestellung: Setze den gegebenen Wert ein und löse nach der gesuchten Grösse auf.

Dieses Vorgehen funktioniert bei praktisch jeder Aufgabe zum linearen Wachstum.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Anfangswert vergessen Viele Schüler schreiben $y(t) = d \cdot t$ und vergessen den Startwert $a$. Das stimmt nur, wenn der Anfangswert tatsächlich 0 ist. Prüfe immer: Was ist der Bestand bei $t = 0$?

Fehler 2: Verwechslung von absolutem und prozentualem Wachstum Beim linearen Wachstum ist die absolute Änderung konstant (z.B. +50 CHF pro Monat). Beim exponentiellen Wachstum ist die prozentuale Änderung konstant (z.B. +5% pro Monat). Achte genau auf die Formulierung in der Aufgabe.

Fehler 3: Falsche Zeiteinheit Wenn die Änderungsrate pro Monat gegeben ist, musst du auch die Zeit in Monaten einsetzen. Gibst du Jahre ein, erhältst du ein falsches Ergebnis. Halte die Einheiten konsistent.

Fehler 4: Vorzeichen bei Abnahme Bei abnehmendem Bestand ist $d$ negativ. Vergiss nicht das Minuszeichen. Wenn ein Wassertank pro Stunde 15 Liter verliert, ist $d = -15$.

Beispiele

Beispiel 1: Das Sparguthaben

Lisa hat zu Beginn des Jahres 120 CHF auf ihrem Sparkonto. Sie spart jeden Monat 40 CHF dazu. Wie viel Geld hat sie nach 9 Monaten?

Lösung:

1. Anfangswert: $a = 120 \, \text{CHF}$
2. Änderungsrate: $d = 40 \, \text{CHF pro Monat}$
3. Funktionsgleichung:

$$y(t) = 120 + 40 \cdot t$$

4. Einsetzen von $t = 9$:

$$y(9) = 120 + 40 \cdot 9 = 120 + 360 = 480$$

Antwort: Nach 9 Monaten hat Lisa 480 CHF auf ihrem Konto.

Beispiel 2: Der Wassertank

Ein Wassertank enthält 800 Liter Wasser. Durch ein Leck verliert er pro Stunde 12 Liter. Nach wie vielen Stunden ist der Tank leer?

Lösung:

1. Anfangswert: $a = 800 \, \text{Liter}$
2. Änderungsrate: $d = -12 \, \text{Liter pro Stunde}$ (negativ, da Abnahme)
3. Funktionsgleichung:

$$y(t) = 800 + \left(-12\right) \cdot t = 800 - 12 \cdot t$$

4. Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem $y(t) = 0$:

$$0 = 800 - 12 \cdot t$$$$12 \cdot t = 800$$$$t = \frac{800}{12} = 66{,}\overline{6}$$

Antwort: Nach etwa 66 Stunden und 40 Minuten ist der Tank leer. In der Praxis würde man aufrunden: Nach 67 Stunden.

Beispiel 3: Zwei Sparkonten vergleichen

Marco startet mit 500 CHF und spart monatlich 30 CHF. Nina startet mit 200 CHF und spart monatlich 50 CHF. Wann haben beide gleich viel Geld?

Lösung:

Zunächst stellen wir beide Funktionsgleichungen auf:

$$y_{\text{Marco}}(t) = 500 + 30 \cdot t$$$$y_{\text{Nina}}(t) = 200 + 50 \cdot t$$

Gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu finden:

$$500 + 30 \cdot t = 200 + 50 \cdot t$$$$500 - 200 = 50 \cdot t - 30 \cdot t$$$$300 = 20 \cdot t$$$$t = \frac{300}{20} = 15$$

Zur Kontrolle berechnen wir den Betrag:

$$y_{\text{Marco}}(15) = 500 + 30 \cdot 15 = 500 + 450 = 950$$$$y_{\text{Nina}}(15) = 200 + 50 \cdot 15 = 200 + 750 = 950$$

Antwort: Nach 15 Monaten haben Marco und Nina beide 950 CHF.

Beispiel 4: Änderungsrate aus zwei Werten berechnen

Ein Baum war vor 5 Jahren 180 cm hoch. Heute misst er 230 cm. Berechne die jährliche Wachstumsrate und sage voraus, wie hoch der Baum in 8 Jahren sein wird, wenn er linear weiterwächst.

Lösung:

Gegeben sind zwei Zeitpunkte:

• $t_1 = 0$ (vor 5 Jahren): $y_1 = 180 \, \text{cm}$
• $t_2 = 5$ (heute): $y_2 = 230 \, \text{cm}$

Die Änderungsrate $d$ berechnen wir aus der Differenz:

$$d = \frac{y_2 - y_1}{t_2 - t_1} = \frac{230 - 180}{5 - 0} = \frac{50}{5} = 10 \, \text{cm pro Jahr}$$

Die Funktionsgleichung (mit dem Zeitpunkt vor 5 Jahren als $t = 0$):

$$y(t) = 180 + 10 \cdot t$$

In 8 Jahren (ab heute) entspricht das $t = 5 + 8 = 13$:

$$y(13) = 180 + 10 \cdot 13 = 180 + 130 = 310$$

Antwort: Der Baum wächst pro Jahr um 10 cm. In 8 Jahren wird er voraussichtlich 310 cm hoch sein.

Der Graph des linearen Wachstums

Zeichnest du die Wertepaare $(t, y)$ in ein Koordinatensystem ein, erhältst du immer eine Gerade. Daher der Name “lineares” Wachstum (von lat. linea = Linie).

Die Steigung dieser Geraden entspricht der Änderungsrate $d$:

• Positive Steigung ($d > 0$): Die Gerade steigt von links nach rechts – der Bestand wächst.
• Negative Steigung ($d < 0$): Die Gerade fällt von links nach rechts – der Bestand nimmt ab.
• Steigung null ($d = 0$): Die Gerade verläuft horizontal – der Bestand bleibt konstant.

Der y-Achsenabschnitt der Geraden ist der Anfangswert $a$. Hier schneidet die Gerade die y-Achse.

Diese grafische Interpretation hilft dir, Ergebnisse zu überprüfen. Wenn deine berechnete Gerade nicht zu den gegebenen Informationen passt, hast du vermutlich einen Fehler gemacht.

Abgrenzung zu anderen Wachstumsarten

Lineares Wachstum ist nur eine von mehreren Wachstumsformen. Um sie nicht zu verwechseln, hier eine Übersicht:

Wachstumsart	Kennzeichen	Beispiel
Linear	Konstante absolute Änderung	Sparplan mit fester Rate
Exponentiell	Konstante prozentuale Änderung	Zinseszins, Bakterienwachstum
Beschränkt	Wachstum nähert sich einem Grenzwert	Sättigung bei Lernkurven

Das Erkennungsmerkmal für lineares Wachstum in Aufgaben sind Formulierungen wie:

• “…um denselben Betrag pro…”
• “…konstante Zunahme von…”
• “…gleichmässig…”
• “…jede Woche / jeden Monat genau…”

Sobald von “Prozent pro Zeiteinheit” oder “Verdopplung” die Rede ist, handelt es sich meist um exponentielles Wachstum.

Anwendungen im Alltag

Lineares Wachstum begegnet dir häufiger als du denkst:

Finanzen: Ratenzahlungen und Sparpläne mit festen Beträgen folgen linearem Wachstum. Wenn du einen Kredit von 3000 CHF aufnimmst und monatlich 150 CHF zurückzahlst (ohne Zinsen), beschreibt $y(t) = 3000 - 150 \cdot t$ die Restschuld.

Technik: Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h. Die zurückgelegte Strecke $s(t) = 80 \cdot t$ wächst linear mit der Zeit.

Naturwissenschaft: Unter konstanten Bedingungen wachsen bestimmte Pflanzen oder Kristalle gleichmässig. Auch das Auffüllen oder Entleeren von Behältern mit konstantem Durchfluss ist lineares Wachstum.

Soziales: Wenn eine Stadt jedes Jahr um genau 500 Einwohner wächst (nicht prozentual, sondern absolut), ist das lineares Wachstum.

Das Wichtigste in Kürze

• Lineares Wachstum bedeutet: Der Bestand ändert sich in gleichen Zeitabständen um denselben absoluten Betrag.
• Die Formel lautet $y(t) = a + d \cdot t$, wobei $a$ der Anfangswert und $d$ die konstante Änderungsrate ist.
• Im Koordinatensystem ergibt lineares Wachstum immer eine Gerade. Die Steigung ist $d$, der y-Achsenabschnitt ist $a$.
• Bei Abnahme ist $d$ negativ. Vergiss das Minuszeichen nicht.
• Achte auf die Einheiten: Zeit und Änderungsrate müssen zusammenpassen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Aquarium enthält 150 Liter Wasser. Pro Minute fliessen 6 Liter hinzu. Wie lautet die Funktionsgleichung für den Wasserstand $y(t)$ in Litern nach $t$ Minuten?

Lösung anzeigen

Die Funktionsgleichung lautet:

$$y(t) = 150 + 6 \cdot t$$

Der Anfangswert ist $a = 150$ Liter, die Änderungsrate ist $d = 6$ Liter pro Minute.

❓ Frage: Ein Kerze ist zu Beginn 24 cm hoch und brennt pro Stunde um 3 cm ab. Nach wie vielen Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt?

Lösung anzeigen

Funktionsgleichung: $y(t) = 24 - 3 \cdot t$

Setze $y(t) = 0$:

$$0 = 24 - 3 \cdot t$$$$3 \cdot t = 24$$$$t = 8$$

Die Kerze ist nach 8 Stunden vollständig abgebrannt.

❓ Frage: Zwei Wassertanks: Tank A enthält 500 Liter und wird mit 20 Litern pro Minute befüllt. Tank B enthält 800 Liter und wird mit 10 Litern pro Minute befüllt. Nach wie vielen Minuten enthalten beide Tanks gleich viel Wasser?

Lösung anzeigen

Funktionsgleichungen:

$$y_A(t) = 500 + 20 \cdot t$$$$y_B(t) = 800 + 10 \cdot t$$

Gleichsetzen:

$$500 + 20 \cdot t = 800 + 10 \cdot t$$$$10 \cdot t = 300$$$$t = 30$$

Nach 30 Minuten enthalten beide Tanks gleich viel Wasser (nämlich jeweils 1100 Liter).

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das lineare Wachstum gemeistert – eine Wachstumsform, bei der die absolute Änderung konstant bleibt. In der Realität begegnen dir jedoch oft Situationen, in denen nicht der absolute Betrag, sondern der prozentuale Anteil konstant ist. Denk an Zinsen auf einem Sparkonto: Je mehr Geld darauf liegt, desto mehr Zinsen bekommst du – der Zuwachs wird immer grösser.

Dieses Phänomen nennt sich exponentielles Wachstum. Es ist das nächste grosse Thema in der Wachstumslehre. Du wirst lernen, wie Bakterienpopulationen explodieren, wie radioaktive Stoffe zerfallen und warum der Zinseszins-Effekt so mächtig ist. Die mathematischen Werkzeuge, die du gerade kennengelernt hast – Wertetabellen, Funktionsgleichungen, grafische Darstellung – werden dir auch dort helfen. Der grosse Unterschied: Statt einer Geraden erhältst du eine gekrümmte Kurve, und statt Addition kommt Multiplikation ins Spiel.