Exponentielles Wachstum einfach erklärt: So verstehst du explosive Wachstumsvorgänge

Stell dir vor, du teilst ein Gerücht mit zwei Freunden. Jeder dieser Freunde erzählt es am nächsten Tag wieder zwei weiteren Personen. Und diese acht Personen erzählen es am übernächsten Tag jeweils zwei neuen Leuten. Nach einer Woche wissen plötzlich hunderte Menschen Bescheid – obwohl am Anfang nur du davon wusstest.

Dieses Phänomen kennst du vielleicht von viralen Videos, die innerhalb weniger Tage Millionen Klicks erreichen. Oder von Bakterien, die sich in deinem Körper rasend schnell vermehren. Oder vom Zinseszins, der dein Erspartes über Jahrzehnte vervielfacht.

All diese Vorgänge haben eines gemeinsam: Sie wachsen nicht gleichmässig, sondern immer schneller. Die Mathematik nennt das exponentielles Wachstum. In diesem Artikel lernst du, wie du solche Wachstumsvorgänge erkennst, berechnest und von anderen Wachstumsarten unterscheidest.

Vom Gerücht zur Mathematik: Was macht Wachstum exponentiell?

Kehren wir zu unserem Gerücht zurück und schauen uns die Zahlen genauer an. Am Tag 0 weisst nur du Bescheid – das ist 1 Person. Am Tag 1 sind es bereits 2 Personen (deine zwei Freunde). Am Tag 2 wissen 4 Personen Bescheid, am Tag 3 sind es 8.

Lass uns das in einer Tabelle festhalten:

Tag	Personen	Berechnung
0	1	Startwert
1	2	$1 \cdot 2$
2	4	$2 \cdot 2$
3	8	$4 \cdot 2$
4	16	$8 \cdot 2$
5	32	$16 \cdot 2$

Erkennst du das Muster? Bei jedem Schritt wird der vorherige Wert mit 2 multipliziert. Das ist der entscheidende Unterschied zum linearen Wachstum, bei dem immer der gleiche Wert addiert wird.

Beim linearen Wachstum würde die Anzahl so aussehen: 1, 3, 5, 7, 9, 11 (immer +2). Beim exponentiellen Wachstum sieht sie so aus: 1, 2, 4, 8, 16, 32 (immer $\cdot 2$).

Die Zahl, mit der wir multiplizieren, nennen wir Wachstumsfaktor. In unserem Beispiel ist der Wachstumsfaktor $q = 2$.

Die Formel für exponentielles Wachstum

Um den Wert nach einer beliebigen Anzahl von Schritten zu berechnen, brauchst du nicht jeden einzelnen Schritt durchrechnen. Es gibt eine elegante Formel, die dir direkt das Ergebnis liefert.

DEFINITION

Der Bestand $B(t)$ nach $t$ Zeiteinheiten berechnet sich durch:

$B(t) = B_0 \cdot q^t$

Dabei bedeuten:

• $B(t)$ = Bestand zum Zeitpunkt $t$ (das, was du suchst)
• $B_0$ = Anfangsbestand zum Zeitpunkt $t = 0$ (der Startwert)
• $q$ = Wachstumsfaktor (die Zahl, mit der pro Zeiteinheit multipliziert wird)
• $t$ = Anzahl der Zeiteinheiten (Tage, Jahre, Stunden, …)

Die Formel sagt: Nimm den Startwert und multipliziere ihn $t$-mal mit dem Wachstumsfaktor. Das ist genau das, was wir in der Tabelle gemacht haben – nur in kompakter Form.

So wendest du die Formel Schritt für Schritt an

1. Identifiziere den Startwert $B_0$: Wie gross ist der Bestand am Anfang?
2. Bestimme den Wachstumsfaktor $q$: Um welchen Faktor wächst der Bestand pro Zeiteinheit?
3. Lege die Zeit $t$ fest: Nach wie vielen Zeiteinheiten fragst du?
4. Setze in die Formel ein: Berechne $B(t) = B_0 \cdot q^t$.

Der Wachstumsfaktor bei Prozentangaben

Oft wird das Wachstum nicht als Faktor, sondern als Prozentzahl angegeben. Zum Beispiel: “Die Bevölkerung wächst um 3% pro Jahr.” Wie rechnest du das in einen Wachstumsfaktor um?

Wenn etwas um $p\%$ wächst, dann ist der neue Wert das Alte plus $p\%$ vom Alten:

$q = 1 + \frac{p}{100}$

Bei 3% Wachstum: $q = 1 + \frac{3}{100} = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$

Bei 15% Wachstum: $q = 1 + \frac{15}{100} = 1 + 0{,}15 = 1{,}15$

Bei 100% Wachstum (Verdopplung): $q = 1 + \frac{100}{100} = 1 + 1 = 2$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Wachstumsfaktor mit Wachstumsrate verwechseln

Viele Schüler setzen bei “5% Wachstum” den Wert $q = 5$ oder $q = 0{,}05$ ein. Richtig ist aber $q = 1{,}05$. Der Faktor 1 steht für den Erhalt des Bestands, die 0,05 für den Zuwachs.

Fehler 2: Die Zeit $t$ falsch zählen

Wenn du den Anfangswert für $t = 0$ hast und nach 5 Jahren fragst, dann ist $t = 5$ (nicht 6). Zähle immer die Zeitspanne, nicht die Anzahl der Messpunkte.

Fehler 3: Exponentielles und lineares Wachstum verwechseln

Bei exponentiellem Wachstum wird multipliziert, bei linearem Wachstum wird addiert. Achte auf Schlüsselwörter: “verdoppelt sich”, “wächst um 10%” → exponentiell. “Steigt um 50 Stück pro Tag” → linear.

Beispiele

Beispiel 1: Bakterienwachstum im Labor

In einem Labor wird eine Bakterienkultur untersucht. Zu Beginn der Messung ($t = 0$) sind 500 Bakterien vorhanden. Die Bakterien verdoppeln sich jede Stunde.

Frage: Wie viele Bakterien sind nach 6 Stunden vorhanden?

Lösung:

Schritt 1: Startwert identifizieren $B_0 = 500$

Schritt 2: Wachstumsfaktor bestimmen Die Bakterien verdoppeln sich, also: $q = 2$

Schritt 3: Zeit festlegen $t = 6 \text{ Stunden}$

Schritt 4: In die Formel einsetzen $B(6) = 500 \cdot 2^6$ $B(6) = 500 \cdot 64$ $B(6) = 32'000$

Antwort: Nach 6 Stunden sind 32’000 Bakterien vorhanden.

Beispiel 2: Wertsteigerung einer Aktie

Lena kauft eine Aktie für 80 CHF. Die Aktie steigt jährlich um 8% im Wert.

Frage: Wie viel ist die Aktie nach 10 Jahren wert?

Lösung:

Schritt 1: Startwert identifizieren $B_0 = 80 \, \text{CHF}$

Schritt 2: Wachstumsfaktor aus der Prozentangabe berechnen $q = 1 + \frac{8}{100} = 1{,}08$

Schritt 3: Zeit festlegen $t = 10 \text{ Jahre}$

Schritt 4: In die Formel einsetzen $B(10) = 80 \cdot 1{,}08^{10}$

Jetzt musst du $1{,}08^{10}$ berechnen. Mit dem Taschenrechner: $1{,}08^{10} \approx 2{,}159$

Also: $B(10) = 80 \cdot 2{,}159 \approx 172{,}72 \, \text{CHF}$

Antwort: Die Aktie ist nach 10 Jahren etwa 172.70 CHF wert. Sie hat sich mehr als verdoppelt!

Beispiel 3: Bevölkerungswachstum einer Stadt

Eine Stadt hat aktuell 25’000 Einwohner. Die Bevölkerung wächst jährlich um 2,5%.

Frage a) Wie viele Einwohner hat die Stadt in 20 Jahren? Frage b) Nach wie vielen Jahren überschreitet die Einwohnerzahl 40’000?

Lösung a):

$B_0 = 25'000$ $q = 1 + \frac{2{,}5}{100} = 1{,}025$ $t = 20$

$B(20) = 25'000 \cdot 1{,}025^{20}$

Mit dem Taschenrechner: $1{,}025^{20} \approx 1{,}639$

$B(20) = 25'000 \cdot 1{,}639 \approx 40'975$

Antwort a): In 20 Jahren hat die Stadt etwa 41’000 Einwohner.

Lösung b):

Hier musst du die Gleichung umstellen. Du suchst $t$, für das gilt:

$40'000 = 25'000 \cdot 1{,}025^t$

Teile beide Seiten durch 25’000: $\frac{40'000}{25'000} = 1{,}025^t$ $1{,}6 = 1{,}025^t$

Um $t$ zu finden, brauchst du den Logarithmus: $t = \frac{\log(1{,}6)}{\log(1{,}025)}$

Mit dem Taschenrechner: $t = \frac{0{,}204}{0{,}0107} \approx 19{,}0$

Antwort b): Nach etwa 19 Jahren überschreitet die Einwohnerzahl 40’000.

Beispiel 4: Radioaktiver Zerfall (Exponentielle Abnahme)

Ein radioaktives Präparat hat eine Anfangsmasse von 200 g. Pro Jahr zerfallen 12% der vorhandenen Masse.

Frage: Wie viel Masse ist nach 5 Jahren noch vorhanden?

Lösung:

Hier liegt eine Abnahme vor, kein Wachstum. Die Formel bleibt gleich, aber der Wachstumsfaktor ist kleiner als 1.

$B_0 = 200 \, \text{g}$

Wenn 12% zerfallen, bleiben 88% übrig: $q = 1 - \frac{12}{100} = 0{,}88$

$t = 5 \text{ Jahre}$

$B(5) = 200 \cdot 0{,}88^5$ $B(5) = 200 \cdot 0{,}528$ $B(5) \approx 105{,}6 \, \text{g}$

Antwort: Nach 5 Jahren sind noch etwa 105,6 g des Präparats vorhanden.

Merke: Bei exponentiellem Wachstum ist $q > 1$, bei exponentiellem Zerfall (Abnahme) ist $0 < q < 1$.

Woran erkennst du exponentielles Wachstum?

Im Alltag und in Textaufgaben gibt es typische Hinweise, die auf exponentielles Wachstum hindeuten:

Hinweis in der Aufgabe	Was es bedeutet
”verdoppelt sich alle…"	$q = 2$
"verdreifacht sich alle…"	$q = 3$
"wächst um …% pro Zeiteinheit"	$q = 1 + \frac{p}{100}$
"nimmt um …% ab"	$q = 1 - \frac{p}{100}$
"vervierfacht sich"	$q = 4$
"halbiert sich”	$q = 0{,}5$

Der Graph einer exponentiellen Funktion ist keine Gerade, sondern eine Kurve, die immer steiler wird (bei Wachstum) oder sich der x-Achse annähert (bei Zerfall).

Exponentielles vs. lineares Wachstum im Vergleich

Um den Unterschied wirklich zu verstehen, vergleichen wir zwei Szenarien:

Szenario A (Linear): Du bekommst jeden Tag 10 CHF Taschengeld. Szenario B (Exponentiell): Du startest mit 1 CHF, und der Betrag verdoppelt sich täglich.

Tag	Linear (CHF)	Exponentiell (CHF)
1	10	1
2	20	2
3	30	4
5	50	16
10	100	512
15	150	16’384
20	200	524’288

Am Anfang scheint das lineare Wachstum besser zu sein. Doch spätestens ab Tag 10 überholt das exponentielle Wachstum – und zieht dann unaufhaltsam davon. Nach 20 Tagen hättest du im exponentiellen Fall über eine halbe Million CHF!

Diese “Überholwirkung” ist der Grund, warum exponentielles Wachstum so mächtig ist – und warum es in der Natur (Epidemien, Bevölkerungswachstum) und in der Wirtschaft (Zinseszins) eine so grosse Rolle spielt.

Das Wichtigste in Kürze

• Exponentielles Wachstum bedeutet, dass ein Bestand pro Zeiteinheit mit einem festen Faktor multipliziert wird (nicht addiert wie beim linearen Wachstum).
• Die Grundformel lautet: $B(t) = B_0 \cdot q^t$, wobei $B_0$ der Startwert, $q$ der Wachstumsfaktor und $t$ die Zeit ist.
• Bei einer Wachstumsrate von $p\%$ gilt: $q = 1 + \frac{p}{100}$ (Wachstum) oder $q = 1 - \frac{p}{100}$ (Abnahme).
• Exponentielles Wachstum startet langsam, beschleunigt aber immer mehr und überholt langfristig jedes lineare Wachstum.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Eine Algenart verdoppelt ihre Fläche alle 3 Tage. Zu Beginn bedeckt sie 2 m² eines Teiches. Wie lautet die Formel für die Fläche $A(t)$ nach $t$ Zeitabschnitten von je 3 Tagen?

Lösung anzeigen

Die Formel lautet: $A(t) = 2 \cdot 2^t$

Erklärung: Der Startwert ist $B_0 = 2 \, \text{m}^2$. Da sich die Fläche verdoppelt, ist $q = 2$. Die Variable $t$ zählt die Anzahl der 3-Tages-Abschnitte.

❓ Frage: Der Wert eines Autos sinkt jährlich um 15%. Das Auto kostete neu 40’000 CHF. Wie viel ist es nach 4 Jahren noch wert? (Runde auf ganze CHF.)

Lösung anzeigen

Das Auto ist nach 4 Jahren noch 20’880 CHF wert.

Rechnung:

• $B_0 = 40'000$
• $q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$
• $t = 4$
• $B(4) = 40'000 \cdot 0{,}85^4 = 40'000 \cdot 0{,}522 \approx 20'880 \, \text{CHF}$

❓ Frage: Welcher der folgenden Vorgänge beschreibt KEIN exponentielles Wachstum? a) Ein Sparbuch mit 2% Zinsen pro Jahr b) Ein Wasserhahn, der pro Minute 5 Liter Wasser in eine Badewanne füllt c) Eine Krankheit, bei der jeder Infizierte täglich zwei weitere Personen ansteckt d) Eine Bakterienkultur, die sich alle 20 Minuten verdoppelt

Lösung anzeigen

Richtige Antwort: b) Der Wasserhahn

Erklärung: Beim Wasserhahn werden pro Zeiteinheit immer gleich viele Liter addiert (lineares Wachstum). Bei allen anderen Beispielen wird der Bestand mit einem Faktor multipliziert:

• Sparbuch: Faktor 1,02 pro Jahr
• Krankheit: Faktor ca. 3 pro Tag (man selbst + 2 neue)
• Bakterien: Faktor 2 alle 20 Minuten

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Fundament für exponentielles Wachstum gelegt. Im nächsten Schritt wirst du die Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$ genauer untersuchen. Du lernst, wie ihr Graph aussieht, wie du ihn verschieben und strecken kannst und wie du die Umkehrfunktion – den Logarithmus – nutzt, um Gleichungen wie $1{,}025^t = 1{,}6$ elegant zu lösen.

Ausserdem wirst du die berühmte Eulersche Zahl $e \approx 2{,}718$ kennenlernen, die in der Natur überall auftaucht und die Basis für “natürliches” exponentielles Wachstum bildet. Mit diesem Wissen kannst du dann auch komplexere Wachstumsmodelle verstehen – etwa warum sich Epidemien anfangs exponentiell ausbreiten, aber irgendwann abflachen.