Beschränktes Wachstum einfach erklärt: Wenn Wachstum an seine Grenzen stösst

Stell dir vor, du giesst eine Tasse heissen Tee ein und stellst sie auf den Küchentisch. Was passiert? Der Tee kühlt ab – aber nicht endlos. Irgendwann erreicht er die Raumtemperatur und kühlt dann nicht mehr weiter ab. Oder denk an einen Fisch in einem Aquarium: Er wächst sein Leben lang, aber er wird niemals grösser als das Aquarium es zulässt. Es gibt eine natürliche Obergrenze.

Genau dieses Phänomen – Wachstum, das auf eine Grenze zusteuert und dort “eingebremst” wird – nennen wir in der Mathematik beschränktes Wachstum. Es beschreibt unzählige Vorgänge in der Natur, Technik und im Alltag. Nach dieser Lektion wirst du verstehen, wie du solche Prozesse mathematisch beschreiben und berechnen kannst.

Vom Alltag zur Mathematik: Warum Wachstum Grenzen hat

Erinnern wir uns an den heissen Tee. Am Anfang, wenn der Temperaturunterschied zwischen Tee und Raum gross ist, kühlt der Tee schnell ab. Je näher die Teetemperatur der Raumtemperatur kommt, desto langsamer verläuft die Abkühlung. Der Tee nähert sich der Raumtemperatur immer mehr an, erreicht sie aber theoretisch nie ganz.

Dieses Verhalten unterscheidet sich grundlegend vom exponentiellen Wachstum, das du vielleicht schon kennst. Beim exponentiellen Wachstum verdoppelt sich eine Grösse in regelmässigen Abständen – es gibt keine Obergrenze. Beim beschränkten Wachstum hingegen existiert eine Schranke (auch Sättigungsgrenze genannt), die nicht überschritten werden kann.

Lass uns diese Idee in eine mathematische Sprache übersetzen. Dazu betrachten wir, wie sich eine Grösse $B(t)$ über die Zeit $t$ verändert, wenn sie auf eine Schranke $S$ zusteuert.

Die Änderungsrate: Der Schlüssel zum beschränkten Wachstum

Beim beschränkten Wachstum gilt ein einfaches Prinzip: Je näher du der Schranke bist, desto langsamer wächst du.

Mathematisch ausgedrückt: Die Änderung pro Zeitschritt ist proportional zum Sättigungsmanko. Das Sättigungsmanko ist der Abstand zwischen dem aktuellen Bestand und der Schranke.

$$\text{Sättigungsmanko} = S - B(t)$$

Wenn du weit von der Schranke entfernt bist, ist das Sättigungsmanko gross – du wächst schnell. Wenn du fast an der Schranke bist, ist das Sättigungsmanko klein – du wächst nur noch langsam.

Die Änderung von einem Zeitschritt zum nächsten berechnet sich so:

$$B(t+1) - B(t) = k \cdot \left( S - B(t) \right)$$

Hierbei ist $k$ die Wachstumskonstante (ein Wert zwischen 0 und 1), die angibt, wie schnell der Prozess abläuft.

Die rekursive Formel: Schritt für Schritt zum Ziel

Aus der obigen Gleichung können wir direkt die rekursive Formel für beschränktes Wachstum ableiten. Sie zeigt dir, wie du den Bestand im nächsten Zeitschritt aus dem aktuellen Bestand berechnest.

DEFINITION $$B(t+1) = B(t) + k \cdot \left( S - B(t) \right)$$

Dabei bedeuten:

• $B(t)$: Bestand zum Zeitpunkt $t$
• $B(t+1)$: Bestand zum Zeitpunkt $t+1$
• $S$: Schranke (Sättigungsgrenze)
• $k$: Wachstumskonstante mit $0 < k < 1$
• $S - B(t)$: Sättigungsmanko (Abstand zur Schranke)

Diese Formel ist dein “Kochrezept” für alle Berechnungen. Du kannst sie Schritt für Schritt anwenden:

1. Bestimme die Ausgangssituation: Welchen Wert hat $B(0)$?
2. Berechne das Sättigungsmanko: $S - B(t)$
3. Berechne die Änderung: $k \cdot \left( S - B(t) \right)$
4. Addiere die Änderung zum aktuellen Bestand: $B(t+1) = B(t) + \text{Änderung}$
5. Wiederhole für den nächsten Zeitschritt.

Die explizite Formel: Direkter Zugriff auf jeden Zeitpunkt

Die rekursive Formel ist praktisch, aber was, wenn du den Bestand nach 50 Zeitschritten wissen möchtest? Dann ist es mühsam, 50 Mal zu rechnen. Dafür gibt es die explizite Formel.

DEFINITION $$B(t) = S - \left( S - B(0) \right) \cdot (1-k)^t$$

Dabei bedeuten:

• $B(t)$: Bestand zum Zeitpunkt $t$
• $B(0)$: Anfangsbestand
• $S$: Schranke (Sättigungsgrenze)
• $k$: Wachstumskonstante mit $0 < k < 1$
• $t$: Anzahl der Zeitschritte

Mit dieser Formel springst du direkt zu jedem beliebigen Zeitpunkt $t$, ohne alle Zwischenschritte berechnen zu müssen.

Woher kommt diese Formel?

Der Term $(S - B(0))$ ist das anfängliche Sättigungsmanko – also wie weit du zu Beginn von der Schranke entfernt bist. Dieser Abstand wird mit jedem Zeitschritt um den Faktor $(1-k)$ kleiner. Nach $t$ Zeitschritten ist der verbleibende Abstand zur Schranke also $(S - B(0)) \cdot (1-k)^t$. Ziehst du diesen verbleibenden Abstand von der Schranke $S$ ab, erhältst du den aktuellen Bestand.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verwechslung von $k$ und $(1-k)$ In der rekursiven Formel verwendest du $k$ direkt. In der expliziten Formel taucht $(1-k)$ auf. Achte genau darauf, welche Formel du benutzt. Ein $k = 0{,}2$ bedeutet in der expliziten Formel einen Faktor von $(1-0{,}2) = 0{,}8$.

Fehler 2: Falsches Vorzeichen beim Sättigungsmanko Das Sättigungsmanko ist immer $S - B(t)$, nicht $B(t) - S$. Bei Wachstum gegen eine obere Schranke ist $S > B(t)$, also ist das Manko positiv. Vertauschst du die Reihenfolge, erhältst du negative Werte und falsche Ergebnisse.

Fehler 3: Vergessen, dass $B(t)$ die Schranke nie erreicht Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Bestand der Schranke immer weiter an, erreicht sie aber theoretisch nie exakt. Der Grenzwert für $t \to \infty$ ist $S$, aber für jeden endlichen Zeitpunkt gilt $B(t) < S$.

Beispiele

Beispiel 1: Abkühlung einer Tasse Tee

Eine Tasse Tee hat eine Anfangstemperatur von $90°\text{C}$. Die Raumtemperatur beträgt $20°\text{C}$. Pro Minute kühlt der Tee um $10\%$ des Temperaturunterschieds zur Raumtemperatur ab.

Gegeben:

• $B(0) = 90$ (Anfangstemperatur in °C)
• $S = 20$ (Raumtemperatur in °C)
• $k = 0{,}1$ (10% pro Minute)

Gesucht: Temperatur nach 5 Minuten

Lösung mit der rekursiven Formel:

$t = 0$: $B(0) = 90$

$t = 1$: $B(1) = 90 + 0{,}1 \cdot (20 - 90) = 90 + 0{,}1 \cdot (-70) = 90 - 7 = 83$

$t = 2$: $B(2) = 83 + 0{,}1 \cdot (20 - 83) = 83 + 0{,}1 \cdot (-63) = 83 - 6{,}3 = 76{,}7$

$t = 3$: $B(3) = 76{,}7 + 0{,}1 \cdot (20 - 76{,}7) = 76{,}7 - 5{,}67 = 71{,}03$

$t = 4$: $B(4) = 71{,}03 + 0{,}1 \cdot (20 - 71{,}03) = 71{,}03 - 5{,}103 = 65{,}927$

$t = 5$: $B(5) = 65{,}927 + 0{,}1 \cdot (20 - 65{,}927) = 65{,}927 - 4{,}5927 \approx 61{,}33$

Kontrolle mit der expliziten Formel:

$$B(5) = 20 - (20 - 90) \cdot (1 - 0{,}1)^5 = 20 - (-70) \cdot 0{,}9^5$$$$B(5) = 20 + 70 \cdot 0{,}59049 = 20 + 41{,}33 = 61{,}33$$

Antwort: Nach 5 Minuten hat der Tee eine Temperatur von etwa $61{,}33°\text{C}$.

Beispiel 2: Verbreitung einer App

Eine neue App wird veröffentlicht. In einer Schule mit 500 Schülern laden zunächst 20 Schüler die App herunter. Jeden Tag installieren weitere $25\%$ derjenigen, die die App noch nicht haben, die App.

Gegeben:

• $B(0) = 20$ (Anfangsnutzer)
• $S = 500$ (maximale Nutzerzahl)
• $k = 0{,}25$ (25% pro Tag)

Gesucht: a) Wie viele Nutzer gibt es nach 3 Tagen? b) Wie viele Nutzer gibt es nach 10 Tagen?

Lösung Teil a) – rekursiv:

$t = 0$: $B(0) = 20$

$t = 1$: $B(1) = 20 + 0{,}25 \cdot (500 - 20) = 20 + 0{,}25 \cdot 480 = 20 + 120 = 140$

$t = 2$: $B(2) = 140 + 0{,}25 \cdot (500 - 140) = 140 + 0{,}25 \cdot 360 = 140 + 90 = 230$

$t = 3$: $B(3) = 230 + 0{,}25 \cdot (500 - 230) = 230 + 0{,}25 \cdot 270 = 230 + 67{,}5 = 297{,}5$

Antwort a): Nach 3 Tagen haben etwa 298 Schüler die App.

Lösung Teil b) – explizit:

$$B(10) = 500 - (500 - 20) \cdot (1 - 0{,}25)^{10}$$$$B(10) = 500 - 480 \cdot 0{,}75^{10}$$$$B(10) = 500 - 480 \cdot 0{,}0563 \approx 500 - 27{,}03 \approx 472{,}97$$

Antwort b): Nach 10 Tagen haben etwa 473 Schüler die App installiert.

Beispiel 3: Medikamentenkonzentration im Blut

Ein Patient erhält täglich eine Tablette, die den Wirkstoffspiegel im Blut erhöht. Die maximale Konzentration, die erreicht werden kann, beträgt $80 \, \text{mg/l}$. Zu Beginn ist die Konzentration $0 \, \text{mg/l}$. Täglich wird $30\%$ des noch fehlenden Betrags zur Maximalkonzentration aufgebaut.

Gegeben:

• $B(0) = 0$ (Anfangskonzentration)
• $S = 80$ (Maximalkonzentration in mg/l)
• $k = 0{,}3$ (30% pro Tag)

Gesucht: a) Nach wie vielen Tagen ist die Konzentration erstmals über $60 \, \text{mg/l}$? b) Welche Konzentration wird langfristig erreicht?

Lösung Teil a):

Wir suchen das kleinste $t$, für das $B(t) > 60$ gilt.

Mit der expliziten Formel:

$$B(t) = 80 - (80 - 0) \cdot (1 - 0{,}3)^t = 80 - 80 \cdot 0{,}7^t$$

Wir setzen $B(t) > 60$:

$$80 - 80 \cdot 0{,}7^t > 60$$$$-80 \cdot 0{,}7^t > -20$$$$0{,}7^t < 0{,}25$$

Wir probieren einige Werte:

• $0{,}7^3 = 0{,}343$
• $0{,}7^4 = 0{,}2401$

Da $0{,}7^4 = 0{,}2401 < 0{,}25$, ist $t = 4$ der erste Tag.

Kontrolle: $B(4) = 80 - 80 \cdot 0{,}2401 = 80 - 19{,}21 = 60{,}79$

Antwort a): Nach 4 Tagen ist die Konzentration erstmals über $60 \, \text{mg/l}$.

Lösung Teil b):

Langfristig bedeutet $t \to \infty$. Dann gilt $(1-k)^t = 0{,}7^t \to 0$.

$$\lim_{t \to \infty} B(t) = 80 - 80 \cdot 0 = 80$$

Antwort b): Langfristig nähert sich die Konzentration dem Wert $80 \, \text{mg/l}$ an (erreicht ihn aber nie exakt).

Das Wichtigste in Kürze

• Beschränktes Wachstum beschreibt Prozesse, die sich einer Schranke (Sättigungsgrenze) $S$ annähern, diese aber nie erreichen.
• Das Sättigungsmanko $S - B(t)$ gibt an, wie weit der aktuelle Bestand noch von der Schranke entfernt ist.
• Die rekursive Formel lautet: $B(t+1) = B(t) + k \cdot (S - B(t))$
• Die explizite Formel lautet: $B(t) = S - (S - B(0)) \cdot (1-k)^t$
• Je näher der Bestand an der Schranke liegt, desto langsamer wird das Wachstum.
• Typische Anwendungen: Abkühlung, Erwärmung, Lernkurven, Verbreitung von Produkten, Medikamentenwirkung.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Eine Badewanne mit $40°\text{C}$ warmem Wasser steht in einem Raum mit $22°\text{C}$. Die Wachstumskonstante beträgt $k = 0{,}15$. Berechne die Wassertemperatur nach 2 Stunden mit der rekursiven Formel.

Lösung anzeigen

Gegeben: $B(0) = 40$, $S = 22$, $k = 0{,}15$

$t = 1$: $B(1) = 40 + 0{,}15 \cdot (22 - 40) = 40 + 0{,}15 \cdot (-18) = 40 - 2{,}7 = 37{,}3$

$t = 2$: $B(2) = 37{,}3 + 0{,}15 \cdot (22 - 37{,}3) = 37{,}3 + 0{,}15 \cdot (-15{,}3) = 37{,}3 - 2{,}295 = 35{,}005$

Antwort: Nach 2 Stunden beträgt die Wassertemperatur etwa $35°\text{C}$.

❓ Frage:

Bei beschränktem Wachstum mit $B(0) = 10$, $S = 100$ und $k = 0{,}2$: Wie gross ist der Faktor $(1-k)$, und was bedeutet er im Zusammenhang mit dem Sättigungsmanko?

Lösung anzeigen

Der Faktor beträgt $(1-k) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

Bedeutung: In jedem Zeitschritt verringert sich das Sättigungsmanko auf $80\%$ seines vorherigen Wertes. Anders gesagt: Der Abstand zur Schranke schrumpft pro Zeitschritt um $20\%$.

❓ Frage:

Ein Teich kann maximal 2000 Fische beherbergen. Aktuell leben 500 Fische darin. Die Population wächst mit $k = 0{,}1$ pro Monat gemäss beschränktem Wachstum. Berechne mit der expliziten Formel, wie viele Fische nach 12 Monaten im Teich leben.

Lösung anzeigen

Gegeben: $B(0) = 500$, $S = 2000$, $k = 0{,}1$, $t = 12$

$$B(12) = 2000 - (2000 - 500) \cdot (1 - 0{,}1)^{12}$$$$B(12) = 2000 - 1500 \cdot 0{,}9^{12}$$$$B(12) = 2000 - 1500 \cdot 0{,}2824 \approx 2000 - 423{,}6 \approx 1576{,}4$$

Antwort: Nach 12 Monaten leben etwa 1576 Fische im Teich.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast nun beschränktes Wachstum verstanden – einen Prozess, bei dem sich eine Grösse einer Obergrenze annähert. Im nächsten Schritt wirst du das logistische Wachstum kennenlernen. Beim logistischen Wachstum startet der Prozess langsam, beschleunigt dann stark und bremst schliesslich wieder ab, wenn die Sättigungsgrenze erreicht wird. Die berühmte S-Kurve beschreibt zum Beispiel das Wachstum von Tierpopulationen oder die Ausbreitung von Epidemien. Das logistische Wachstum kombiniert Elemente des exponentiellen und des beschränkten Wachstums zu einem noch realistischeren Modell.