Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens einfach erklärt

Stell dir vor, du stehst am Fuss eines hohen Turms und möchtest wissen, wie hoch er ist – aber du hast keine Leiter und kein Messband, das lang genug wäre. Alles, was du hast, ist ein Winkelmesser und ein Massband für den Boden. Klingt unmöglich? Nicht mit Trigonometrie! Schon die alten Ägypter und Griechen nutzten dieses Wissen, um Pyramiden zu bauen und Sterne zu vermessen. In diesem Kapitel lernst du, wie du mit nur einem Winkel und einer Seitenlänge alle anderen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kannst. Du wirst verstehen, was sich hinter den geheimnisvollen Begriffen Sinus, Kosinus und Tangens verbirgt – und warum sie dir in Architektur, Navigation und sogar bei Computerspielen begegnen.

Vom Schattenspiel zur Mathematik

Kehren wir zurück zu unserem Turm. Du stellst dich in einem bestimmten Abstand auf und blickst zur Turmspitze hinauf. Der Blickwinkel zwischen dem Boden und deiner Blickrichtung ist das, was wir den Elevationswinkel nennen.

Jetzt kommt der entscheidende Gedanke: Wenn du den Abstand zum Turm kennst (das ist eine waagerechte Strecke) und den Winkel misst, dann ist die Höhe des Turms bereits festgelegt. Es gibt nur genau eine Höhe, die zu diesem Winkel und diesem Abstand passt.

Dieses Prinzip funktioniert, weil wir es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun haben:

• Die Turmhöhe bildet eine senkrechte Seite
• Dein Abstand zum Turm bildet die waagerechte Seite
• Deine Blickrichtung zur Turmspitze bildet die schräge Verbindung

Die Trigonometrie ist das mathematische Werkzeug, das den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen in solchen Dreiecken beschreibt.

Die Seiten im rechtwinkligen Dreieck benennen

Bevor wir rechnen können, müssen wir die Seiten eindeutig benennen. In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es immer drei besondere Seiten:

Die Hypotenuse ist die längste Seite. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Du erkennst sie daran, dass sie die einzige Seite ist, die den rechten Winkel nicht berührt.

Die Gegenkathete und die Ankathete sind die beiden kürzeren Seiten. Ihre Bezeichnung hängt davon ab, welchen Winkel du gerade betrachtest:

• Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel $\alpha$ direkt gegenüber
• Die Ankathete liegt direkt am betrachteten Winkel $\alpha$ an (und grenzt auch an den rechten Winkel)

Stell dir vor, du sitzt im Winkel $\alpha$. Die Ankathete ist die Seite direkt neben dir. Die Gegenkathete ist die Seite, die du anschaust, weil sie dir gegenüber liegt.

Die drei trigonometrischen Funktionen

Jetzt wird es spannend. Die Mathematiker haben herausgefunden, dass das Verhältnis bestimmter Seiten zueinander nur vom Winkel abhängt – nicht von der Grösse des Dreiecks. Ein kleines Dreieck mit einem $30°$-Winkel hat dieselben Seitenverhältnisse wie ein riesiges Dreieck mit $30°$.

Diese Verhältnisse haben Namen bekommen:

DEFINITION

Für einen Winkel $\alpha$ in einem rechtwinkligen Dreieck gelten:

$$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$$$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$$$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$

Der Sinus gibt das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur längsten Seite an. Der Kosinus gibt das Verhältnis der anliegenden Seite zur längsten Seite an. Der Tangens gibt das Verhältnis der gegenüberliegenden zur anliegenden Seite an.

Eine Eselsbrücke hilft beim Merken: GAGA HüHner HofAn steht für:

• Gegenkathete Ankathete → Gegenkathete Ankathete (Tangens)
• Hüpotenuse Hypotenuse (im Nenner bei Sin und Cos)
• Hof → Hypotenuse oben für nichts (nur zur Erinnerung an die Struktur)

Noch einfacher: SOH-CAH-TOA

• Sin = Opposite / Hypotenuse (Gegenkathete/Hypotenuse)
• Cos = Adjacent / Hypotenuse (Ankathete/Hypotenuse)
• Tan = Opposite / Adjacent (Gegenkathete/Ankathete)

Das Kochrezept: Seiten und Winkel berechnen

So gehst du bei Aufgaben systematisch vor:

1. Zeichne eine Skizze und markiere den rechten Winkel
2. Identifiziere den gegebenen Winkel $\alpha$ (nicht den rechten Winkel)
3. Benenne die Seiten aus Sicht dieses Winkels: Hypotenuse, Gegenkathete, Ankathete
4. Wähle die passende Funktion: Welche zwei Seiten sind beteiligt (eine gegeben, eine gesucht)?
5. Stelle die Gleichung auf und löse nach der Unbekannten auf
6. Berechne mit dem Taschenrechner (Achtung: Gradmodus einstellen!)

Für das Auflösen brauchst du diese umgestellten Formeln:

Wenn du eine Seite suchst:

$$\text{Gegenkathete} = \sin(\alpha) \cdot \text{Hypotenuse}$$ $$\text{Ankathete} = \cos(\alpha) \cdot \text{Hypotenuse}$$ $$\text{Gegenkathete} = \tan(\alpha) \cdot \text{Ankathete}$$

Wenn du einen Winkel suchst, verwendest du die Umkehrfunktionen:

$$\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$$ $$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$$ $$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right)$$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verwechslung von Ankathete und Gegenkathete

Viele Schüler verwechseln die beiden Katheten. Die Bezeichnung hängt immer vom betrachteten Winkel ab! Bei einem anderen Winkel im selben Dreieck tauschen Ankathete und Gegenkathete ihre Rollen. Tipp: Markiere in deiner Skizze immer zuerst den Winkel und beschrifte dann die Seiten aus seiner Perspektive.

Fehler 2: Taschenrechner im falschen Modus

Steht dein Taschenrechner auf RAD (Radiant) statt DEG (Grad), erhältst du völlig falsche Ergebnisse. Bei $\sin(30°)$ sollte $0{,}5$ herauskommen. Wenn etwas Seltsames erscheint, überprüfe den Modus!

Fehler 3: Falsche Zuordnung der Funktion

Bevor du rechnest, prüfe: Welche Seiten sind gegeben oder gesucht? Nur wenn beide zur gewählten Funktion passen, stimmt dein Ansatz. Sinus braucht Gegenkathete und Hypotenuse – wenn eine davon fehlt, brauchst du eine andere Funktion.

Fehler 4: Hypotenuse im Zähler

Die Hypotenuse steht bei Sinus und Kosinus immer im Nenner, nie im Zähler. Sie ist die längste Seite, also muss das Verhältnis kleiner als 1 sein (bei spitzen Winkeln).

Beispiele

Beispiel 1: Turmhöhe berechnen

Du stehst $50 \, \text{m}$ von einem Turm entfernt. Der Winkel zur Turmspitze beträgt $35°$. Wie hoch ist der Turm?

Schritt 1: Skizze anfertigen. Der rechte Winkel ist am Boden beim Turm.

Schritt 2: Der Winkel $\alpha = 35°$ ist bei dir am Boden.

Schritt 3: Seiten benennen:

• Gegenkathete = Turmhöhe (gesucht, nennen wir sie $h$)
• Ankathete = Abstand = $50 \, \text{m}$
• Hypotenuse = deine Blickrichtung (nicht relevant hier)

Schritt 4: Gegenkathete und Ankathete → Tangens verwenden!

Schritt 5: Gleichung aufstellen:

$$\tan(35°) = \frac{h}{50 \, \text{m}}$$

Nach $h$ auflösen:

$$h = \tan(35°) \cdot 50 \, \text{m}$$

Schritt 6: Berechnen:

$$h = 0{,}7002 \cdot 50 \, \text{m} = 35{,}01 \, \text{m}$$

Antwort: Der Turm ist etwa $35 \, \text{m}$ hoch.

Beispiel 2: Leiter an der Wand

Eine $6 \, \text{m}$ lange Leiter lehnt an einer Wand. Sie bildet mit dem Boden einen Winkel von $70°$. Wie hoch reicht die Leiter an der Wand hinauf?

Schritt 1: Die Leiter ist die Hypotenuse (längste Seite vom rechten Winkel zur Wand/Boden-Ecke aus gesehen).

Schritt 2: Der Winkel $\alpha = 70°$ ist am Boden.

Schritt 3: Seiten benennen:

• Hypotenuse = Leiter = $6 \, \text{m}$
• Gegenkathete = Höhe an der Wand (gesucht, nennen wir sie $h$)
• Ankathete = Abstand des Leiterfusses von der Wand

Schritt 4: Gegenkathete und Hypotenuse → Sinus verwenden!

Schritt 5: Gleichung aufstellen:

$$\sin(70°) = \frac{h}{6 \, \text{m}}$$

Nach $h$ auflösen:

$$h = \sin(70°) \cdot 6 \, \text{m}$$

Schritt 6: Berechnen:

$$h = 0{,}9397 \cdot 6 \, \text{m} = 5{,}64 \, \text{m}$$

Antwort: Die Leiter reicht etwa $5{,}64 \, \text{m}$ hoch an der Wand hinauf.

Beispiel 3: Winkel berechnen

Ein Dach hat eine Höhe von $4 \, \text{m}$ und eine Grundlinie (halbe Dachbreite) von $7 \, \text{m}$. Welchen Neigungswinkel hat das Dach?

Schritt 1: Das rechtwinklige Dreieck wird durch die Dachhöhe, die halbe Grundlinie und die Dachschräge gebildet.

Schritt 2: Wir suchen den Winkel $\alpha$ an der Grundlinie.

Schritt 3: Seiten benennen:

• Gegenkathete = Dachhöhe = $4 \, \text{m}$
• Ankathete = halbe Grundlinie = $7 \, \text{m}$

Schritt 4: Gegenkathete und Ankathete → Tangens verwenden!

Schritt 5: Gleichung aufstellen:

$$\tan(\alpha) = \frac{4 \, \text{m}}{7 \, \text{m}} = \frac{4}{7}$$

Winkel berechnen mit der Umkehrfunktion:

$$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{4}{7}\right)$$

Schritt 6: Berechnen:

$$\alpha = \tan^{-1}(0{,}5714) = 29{,}74°$$

Antwort: Das Dach hat einen Neigungswinkel von etwa $30°$.

Beispiel 4: Flugzeug im Landeanflug

Ein Flugzeug befindet sich in $2000 \, \text{m}$ Höhe und beginnt den Landeanflug unter einem Winkel von $3°$ zur Horizontalen. Welche Strecke legt das Flugzeug bis zur Landung zurück (Flugbahn)?

Schritt 1: Das Dreieck hat den rechten Winkel am Boden direkt unter dem Startpunkt.

Schritt 2: Der Winkel $\alpha = 3°$ ist der Sinkwinkel.

Schritt 3: Seiten benennen:

• Gegenkathete = Flughöhe = $2000 \, \text{m}$
• Hypotenuse = Flugbahn (gesucht, nennen wir sie $s$)

Schritt 4: Gegenkathete und Hypotenuse → Sinus verwenden!

Schritt 5: Gleichung aufstellen:

$$\sin(3°) = \frac{2000 \, \text{m}}{s}$$

Nach $s$ auflösen:

$$s = \frac{2000 \, \text{m}}{\sin(3°)}$$

Schritt 6: Berechnen:

$$s = \frac{2000 \, \text{m}}{0{,}0523} = 38\,240 \, \text{m} \approx 38{,}2 \, \text{km}$$

Antwort: Das Flugzeug legt etwa $38{,}2 \, \text{km}$ bis zur Landung zurück.

Besondere Winkel und ihre Werte

Einige Winkewerte solltest du auswendig kennen oder schnell herleiten können:

Winkel	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	nicht definiert

Beachte: Bei $45°$ sind Sinus und Kosinus gleich gross, weil das Dreieck dann gleichschenklig ist (beide Katheten gleich lang). Der Tangens ist dann $1$, weil gleiche Werte durcheinander geteilt werden.

Zusammenhang zwischen den Funktionen

Es gibt nützliche Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

Diese Formel ergibt sich direkt aus den Definitionen: Teilst du Sinus durch Kosinus, kürzt sich die Hypotenuse heraus, und es bleibt Gegenkathete durch Ankathete – das ist genau der Tangens.

Ausserdem gilt der trigonometrische Pythagoras:

$$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$

Diese Beziehung folgt aus dem Satz des Pythagoras und ist sehr nützlich, wenn du eine der Funktionen kennst und die andere berechnen möchtest.

Das Wichtigste in Kürze

• Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck, die nur vom Winkel abhängen
• Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite
• Ankathete und Gegenkathete werden immer vom betrachteten Winkel aus bestimmt
• Merkhilfe SOH-CAH-TOA: Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent
• Für Winkelberechnungen verwendest du die Umkehrfunktionen ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$)
• Achte immer auf den Taschenrechner-Modus (DEG für Grad)

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Dreieck hat einen rechten Winkel bei $C$. Der Winkel bei $A$ beträgt $40°$. Die Seite $a$ (gegenüber von $A$) ist $8 \, \text{cm}$ lang. Berechne die Hypotenuse $c$.

Lösung anzeigen

Die Seite $a$ ist die Gegenkathete zum Winkel bei $A$. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Wir verwenden Sinus:

$$\sin(40°) = \frac{a}{c} = \frac{8 \, \text{cm}}{c}$$

Umstellen:

$$c = \frac{8 \, \text{cm}}{\sin(40°)} = \frac{8 \, \text{cm}}{0{,}6428} \approx 12{,}4 \, \text{cm}$$

❓ Frage: Welche trigonometrische Funktion verwendest du, wenn du die Ankathete und die Hypotenuse kennst und den Winkel berechnen möchtest?

Lösung anzeigen

Du verwendest den Kosinus und seine Umkehrfunktion.

Der Kosinus ist definiert als:

$$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$

Um den Winkel zu berechnen:

$$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$$

❓ Frage: Ein Berghang hat eine Steigung von $15°$. Wenn du $500 \, \text{m}$ den Hang hinaufgehst (gemessen entlang des Hangs), wie viele Höhenmeter hast du dann überwunden?

Lösung anzeigen

Die Wegstrecke am Hang ist die Hypotenuse ($500 \, \text{m}$). Die Höhenmeter sind die Gegenkathete zum Steigungswinkel.

Wir verwenden Sinus:

$$\sin(15°) = \frac{h}{500 \, \text{m}}$$

Umstellen:

$$h = \sin(15°) \cdot 500 \, \text{m} = 0{,}2588 \cdot 500 \, \text{m} \approx 129 \, \text{m}$$

Du hast etwa 129 Höhenmeter überwunden.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck hast du ein mächtiges Werkzeug kennengelernt. Doch was ist mit Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben? Hier kommen der Sinussatz und der Kosinussatz ins Spiel. Sie erweitern die trigonometrischen Beziehungen auf beliebige Dreiecke.

Ausserdem wirst du später die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis kennenlernen. Dort sind Sinus und Kosinus nicht mehr nur für Winkel zwischen $0°$ und $90°$ definiert, sondern für alle Winkel – auch negative und solche über $360°$. Das öffnet die Tür zu Schwingungen und Wellen, die in der Physik, Musik und Elektrotechnik eine zentrale Rolle spielen.