Sinussatz einfach erklärt: So löst du jedes Dreieck

Stell dir vor, du stehst am Ufer eines Sees und möchtest wissen, wie breit er ist. Hinüberschwimmen? Keine Option. Aber du hast ein Winkelmessgerät und kannst die Entfernung zu einem Baum am Ufer messen. Mit diesen wenigen Informationen lässt sich die Breite des Sees berechnen – und zwar ohne nasse Füsse zu bekommen.

Genau für solche Probleme gibt es den Sinussatz. Er ist dein Werkzeug, wenn du in einem Dreieck nicht alle Seiten und Winkel kennst, aber trotzdem fehlende Grössen berechnen möchtest. Im Gegensatz zu Sinus, Kosinus und Tangens, die nur bei rechtwinkligen Dreiecken funktionieren, hilft dir der Sinussatz bei allen Dreiecken – egal ob rechtwinklig oder nicht.

Vom Alltag zur Mathematik: Wann brauchst du den Sinussatz?

Denken wir nochmal an den See. Du stehst an Punkt $A$ und siehst zwei markante Punkte am gegenüberliegenden Ufer: einen Baum bei $B$ und einen Felsen bei $C$. Du misst den Winkel zwischen diesen beiden Richtungen. Dann gehst du entlang des Ufers zu einem anderen Punkt und misst erneut.

Was du jetzt hast, ist ein Dreieck $ABC$. Du kennst vielleicht eine Seite (die Strecke, die du gegangen bist) und zwei Winkel. Aber wie berechnest du die anderen Seiten?

Genau hier kommt der Sinussatz ins Spiel. Er verbindet Seiten und gegenüberliegende Winkel miteinander.

Die Grundidee verstehen

In jedem Dreieck gilt eine besondere Beziehung: Das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist für alle drei Seiten gleich.

Was bedeutet “gegenüberliegend”? In einem Dreieck $ABC$ liegt:

• Die Seite $a$ gegenüber dem Winkel $\alpha$ (bei Eckpunkt $A$)
• Die Seite $b$ gegenüber dem Winkel $\beta$ (bei Eckpunkt $B$)
• Die Seite $c$ gegenüber dem Winkel $\gamma$ (bei Eckpunkt $C$)

Diese Zuordnung ist entscheidend für den Sinussatz.

Der Sinussatz: Dein Werkzeug für beliebige Dreiecke

Der Sinussatz lässt sich als eine elegante Proportion schreiben. Statt einer komplizierten Formel merkst du dir einfach: Seite geteilt durch Sinus des Gegenwinkels – das ist für alle drei Paare gleich.

DEFINITION

In jedem Dreieck $ABC$ mit den Seiten $a$, $b$, $c$ und den gegenüberliegenden Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gilt:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Dabei ist:

• $a$ die Seite gegenüber dem Winkel $\alpha$
• $b$ die Seite gegenüber dem Winkel $\beta$
• $c$ die Seite gegenüber dem Winkel $\gamma$

So wendest du den Sinussatz an: Die Schritt-für-Schritt-Methode

1. Skizze zeichnen: Zeichne das Dreieck und beschrifte alle bekannten Grössen.

2. Gegenüber-Paare identifizieren: Finde heraus, welche Seite welchem Winkel gegenüberliegt.

3. Passende Gleichung aufstellen: Du brauchst immer zwei der drei Brüche. Wähle die beiden, bei denen du zusammen drei Grössen kennst und eine suchst.

4. Nach der Unbekannten umstellen: Bringe die gesuchte Grösse auf eine Seite der Gleichung.

5. Einsetzen und berechnen: Setze die bekannten Werte ein und berechne das Ergebnis.

6. Ergebnis prüfen: Macht die Antwort Sinn? Ist die berechnete Seite plausibel?

Wann kannst du den Sinussatz anwenden?

Der Sinussatz funktioniert, wenn du eine der folgenden Kombinationen kennst:

• Zwei Winkel und eine Seite (WSW oder SWW): Du kennst zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen oder eine anliegende Seite.

• Zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel (SSW): Du kennst zwei Seiten und den Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt.

Bei der zweiten Kombination (SSW) kann es manchmal zwei verschiedene Lösungen geben. Darauf gehen wir später noch ein.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Seite und Winkel falsch zugeordnet Der häufigste Fehler ist, eine Seite mit dem falschen Winkel zu kombinieren. Merke dir: Die Seite $a$ gehört IMMER zum Winkel $\alpha$, der ihr gegenüberliegt – nicht zum Winkel an derselben Ecke!

Fehler 2: Taschenrechner im falschen Modus Wenn dein Ergebnis völlig unsinnig ist, prüfe den Winkelmodus deines Taschenrechners. Für Gradangaben muss er auf DEG (Degrees) stehen, nicht auf RAD (Radians).

Fehler 3: Winkelsumme vergessen In jedem Dreieck gilt: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$. Wenn du zwei Winkel kennst, berechne den dritten zuerst – das eröffnet dir mehr Möglichkeiten für den Sinussatz.

Beispiele

Beispiel 1: Eine fehlende Seite berechnen

Gegeben: Im Dreieck $ABC$ ist $a = 8 \, \text{cm}$, $\alpha = 45°$ und $\beta = 70°$.

Gesucht: Die Seite $b$.

Lösung:

Zuerst stellen wir die passende Gleichung auf. Wir brauchen den Bruch mit $a$ und $\alpha$ sowie den Bruch mit $b$ und $\beta$:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Jetzt stellen wir nach $b$ um, indem wir beide Seiten mit $\sin(\beta)$ multiplizieren:

$b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$

Nun setzen wir die bekannten Werte ein:

$b = \frac{8 \, \text{cm} \cdot \sin(70°)}{\sin(45°)}$

Mit dem Taschenrechner berechnen wir die Sinuswerte:

• $\sin(70°) \approx 0{,}9397$
• $\sin(45°) \approx 0{,}7071$

$b = \frac{8 \, \text{cm} \cdot 0{,}9397}{0{,}7071} \approx \frac{7{,}518 \, \text{cm}}{0{,}7071} \approx 10{,}63 \, \text{cm}$

Antwort: Die Seite $b$ ist etwa $10{,}63 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Einen fehlenden Winkel berechnen

Gegeben: Im Dreieck $ABC$ ist $a = 12 \, \text{cm}$, $b = 9 \, \text{cm}$ und $\alpha = 62°$.

Gesucht: Der Winkel $\beta$.

Lösung:

Wir stellen die Gleichung mit den Paaren $(a, \alpha)$ und $(b, \beta)$ auf:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Um nach $\sin(\beta)$ umzustellen, formen wir um:

$\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a}$

Wir setzen die Werte ein:

$\sin(\beta) = \frac{9 \, \text{cm} \cdot \sin(62°)}{12 \, \text{cm}}$

Berechnung mit $\sin(62°) \approx 0{,}8829$:

$\sin(\beta) = \frac{9 \cdot 0{,}8829}{12} = \frac{7{,}946}{12} \approx 0{,}6622$

Um den Winkel zu erhalten, benutzen wir die Umkehrfunktion (Arkussinus):

$\beta = \arcsin(0{,}6622) \approx 41{,}5°$

Antwort: Der Winkel $\beta$ beträgt etwa $41{,}5°$.

Kontrolle: $\alpha + \beta = 62° + 41{,}5° = 103{,}5°$. Das ergibt für $\gamma$ etwa $76{,}5°$. Alle Winkel sind positiv und kleiner als $180°$ – das Ergebnis ist plausibel.

Beispiel 3: Vermessungsaufgabe aus der Praxis

Situation: Ein Landvermesser möchte die Breite eines Flusses bestimmen. Er steht bei Punkt $A$ am Ufer und sieht auf der anderen Seite einen Baum bei Punkt $C$. Er geht $50 \, \text{m}$ am Ufer entlang zu Punkt $B$. Von $A$ aus misst er den Winkel $\alpha = 85°$ (zwischen der Uferlinie und der Blickrichtung zum Baum). Von $B$ aus misst er den Winkel $\beta = 72°$.

Gesucht: Die Entfernung $b$ vom Punkt $A$ zum Baum $C$ (also die Strecke $\overline{AC}$).

Lösung:

Zuerst bestimmen wir den dritten Winkel $\gamma$ bei $C$:

$\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 85° - 72° = 23°$

Die Strecke $c = \overline{AB} = 50 \, \text{m}$ liegt dem Winkel $\gamma$ gegenüber. Die gesuchte Strecke $b = \overline{AC}$ liegt dem Winkel $\beta$ gegenüber.

Wir wenden den Sinussatz an:

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Umgestellt nach $b$:

$b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)}$

Einsetzen der Werte:

$b = \frac{50 \, \text{m} \cdot \sin(72°)}{\sin(23°)}$

Mit $\sin(72°) \approx 0{,}9511$ und $\sin(23°) \approx 0{,}3907$:

$b = \frac{50 \, \text{m} \cdot 0{,}9511}{0{,}3907} \approx \frac{47{,}55 \, \text{m}}{0{,}3907} \approx 121{,}7 \, \text{m}$

Antwort: Die Entfernung vom Punkt $A$ zum Baum beträgt etwa $121{,}7 \, \text{m}$.

Beispiel 4: Der mehrdeutige Fall (SSW)

Gegeben: Im Dreieck $ABC$ ist $a = 10 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$ und $\beta = 30°$.

Gesucht: Der Winkel $\alpha$.

Lösung:

Wir stellen den Sinussatz auf:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Umgestellt nach $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{10 \, \text{cm} \cdot \sin(30°)}{7 \, \text{cm}}$

Mit $\sin(30°) = 0{,}5$:

$\sin(\alpha) = \frac{10 \cdot 0{,}5}{7} = \frac{5}{7} \approx 0{,}7143$

Jetzt kommt der Knackpunkt: Die Gleichung $\sin(\alpha) = 0{,}7143$ hat zwei mögliche Lösungen im Bereich von $0°$ bis $180°$:

$\alpha_1 = \arcsin(0{,}7143) \approx 45{,}6°$

$\alpha_2 = 180° - 45{,}6° \approx 134{,}4°$

Prüfung beider Lösungen:

Für $\alpha_1 = 45{,}6°$: $\gamma = 180° - 30° - 45{,}6° = 104{,}4°$ ✓ (gültig)

Für $\alpha_2 = 134{,}4°$: $\gamma = 180° - 30° - 134{,}4° = 15{,}6°$ ✓ (auch gültig)

Antwort: Es gibt zwei mögliche Dreiecke! Der Winkel $\alpha$ kann entweder etwa $45{,}6°$ oder etwa $134{,}4°$ betragen.

Merke: Beim SSW-Fall (zwei Seiten und ein Winkel gegenüber der kürzeren Seite bekannt) kann es zwei Lösungen geben. Prüfe immer, ob die Winkelsumme für beide Möglichkeiten gültige Dreiecke ergibt.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Sinussatz gilt für alle Dreiecke, nicht nur für rechtwinklige.

• Die Formel lautet: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

• Entscheidend ist die korrekte Zuordnung: Jede Seite gehört zum gegenüberliegenden Winkel.

• Der Sinussatz ist anwendbar, wenn du zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen gegenüberliegenden Winkel kennst.

• Beim SSW-Fall können zwei verschiedene Dreiecke möglich sein – prüfe beide Lösungen mit der Winkelsumme.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Im Dreieck $ABC$ gilt: $a = 15$, $\alpha = 50°$, $\beta = 65°$. Welche Formel verwendest du, um die Seite $b$ zu berechnen?

Lösung anzeigen

Du verwendest: $b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{15 \cdot \sin(65°)}{\sin(50°)}$

Das ergibt $b \approx 17{,}74$.

❓ Frage: Warum kann der Sinussatz beim SSW-Fall manchmal zwei Lösungen liefern?

Lösung anzeigen

Die Sinusfunktion liefert für einen Wert zwischen 0 und 1 zwei verschiedene Winkel im Bereich $0°$ bis $180°$: einen spitzen Winkel $\alpha$ und den stumpfen Winkel $180° - \alpha$. Beide Winkel haben denselben Sinuswert. Ob beide Lösungen gültige Dreiecke ergeben, muss mit der Winkelsumme ($180°$) überprüft werden.

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 40°$ und $\gamma = 75°$. Die Seite $c$ (gegenüber von $\gamma$) ist $20 \, \text{cm}$ lang. Berechne die Seite $a$.

Lösung anzeigen

Zuerst bestimmst du $\beta = 180° - 40° - 75° = 65°$.

Dann wendest du den Sinussatz an:

$a = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{20 \, \text{cm} \cdot \sin(40°)}{\sin(75°)}$

$a = \frac{20 \cdot 0{,}6428}{0{,}9659} \approx 13{,}31 \, \text{cm}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt ein mächtiges Werkzeug für Dreiecke kennengelernt. Aber was machst du, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst? Oder drei Seiten, aber keinen Winkel? In diesen Fällen hilft der Sinussatz nicht weiter.

Dafür gibt es den Kosinussatz – das zweite grosse Werkzeug der Trigonometrie für beliebige Dreiecke. Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras und eröffnet dir noch mehr Möglichkeiten, Dreiecke vollständig zu berechnen.

Zusammen bilden Sinussatz und Kosinussatz ein unschlagbares Duo: Mit beiden Formeln kannst du jedes Dreieck lösen, egal welche Informationen du hast. Dieses Wissen wird dir in der Geometrie, der Physik und sogar in der Navigation noch oft begegnen.