Sinus, Kosinus und Tangens einfach erklärt: Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck meistern

Stell dir vor, du stehst vor einem hohen Gebäude und fragst dich: Wie hoch ist das wohl? Du hast kein Messband, das bis zur Spitze reicht. Aber du kannst den Abstand zum Gebäude messen und den Winkel, unter dem du nach oben schaust. Mit diesen zwei Informationen kannst du die Höhe berechnen – ganz ohne hinaufzuklettern.

Genau das ist die Magie der Trigonometrie. Sie verbindet Winkel und Seitenlängen in Dreiecken miteinander. Architekten, Ingenieure, Vermessungstechniker und sogar Spieleentwickler nutzen diese Zusammenhänge täglich. In dieser Lektion lernst du die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen kennen: Sinus, Kosinus und Tangens. Nach diesem Kapitel wirst du verstehen, wie Winkel und Seiten zusammenhängen – und wie du fehlende Grössen berechnen kannst.

Das rechtwinklige Dreieck als Grundlage

Bevor wir in die Trigonometrie eintauchen, müssen wir das rechtwinklige Dreieck genau verstehen. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau $90°$. Dieser rechte Winkel ist unser Ausgangspunkt für alles Weitere.

Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heisst Hypotenuse. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Die beiden anderen Seiten nennen wir Katheten. Doch welche Kathete ist welche? Das hängt davon ab, aus welchem Blickwinkel wir schauen.

Nehmen wir einen der beiden spitzen Winkel – nennen wir ihn $\alpha$. Von diesem Winkel aus betrachtet gibt es:

• Die Ankathete: Das ist die Kathete, die direkt an $\alpha$ anliegt (also den Winkel “berührt”).
• Die Gegenkathete: Das ist die Kathete, die $\alpha$ gegenüberliegt.

Diese Benennung ist entscheidend. Wenn du den Blickwinkel wechselst, wechseln auch Ankathete und Gegenkathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt aber immer die Hypotenuse.

Die drei trigonometrischen Funktionen

Jetzt kommt der Kern der Trigonometrie. Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie hängen vom betrachteten Winkel ab.

Sinus – Das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse

Der Sinus eines Winkels $\alpha$ gibt das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse an:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Kosinus – Das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse

Der Kosinus eines Winkels $\alpha$ beschreibt das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Tangens – Das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete

Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

DEFINITION

Im rechtwinkligen Dreieck gelten für jeden spitzen Winkel $\alpha$ die Beziehungen:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Diese Verhältnisse sind konstant für jeden Winkel – egal wie gross das Dreieck ist.

Die Eselsbrücke: SOHCAHTOA

Um dir die Formeln zu merken, gibt es eine bewährte Eselsbrücke: SOHCAHTOA. Sprich es aus wie ein Fantasiewort: “So-ka-to-a”.

• SOH: Sinus = Opposite (Gegenkathete) / Hypotenuse
• CAH: Cosinus = Adjacent (Ankathete) / Hypotenuse
• TOA: Tangens = Opposite (Gegenkathete) / Adjacent (Ankathete)

Eine deutsche Alternative lautet: “GAGA HühnerHof”

• Gegenkathete Ankathete Gegenkathete Ankathete für die Zähler
• Hypotenuse, Hypotenuse, Ankathete für die Nenner
• Reihenfolge: Sinus, Kosinus, Tangens

Wähle die Eselsbrücke, die dir besser gefällt. Hauptsache, du kannst die Zuordnung sicher abrufen.

So gehst du bei Aufgaben vor

Hier ist deine Schritt-für-Schritt-Anleitung für trigonometrische Berechnungen:

1. Zeichne das Dreieck (falls nicht gegeben) und markiere den rechten Winkel.
2. Identifiziere den gegebenen oder gesuchten Winkel $\alpha$.
3. Benenne die Seiten aus Sicht dieses Winkels: Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse.
4. Wähle die passende Funktion: Überlege, welche zwei Seiten in der Aufgabe vorkommen (gegeben oder gesucht).
5. Stelle die Gleichung auf und löse nach der gesuchten Grösse auf.
6. Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner.

Welche Funktion wähle ich?

Das hängt davon ab, welche Seiten du kennst oder suchst:

Gegebene/gesuchte Seiten	Funktion
Gegenkathete und Hypotenuse	Sinus
Ankathete und Hypotenuse	Kosinus
Gegenkathete und Ankathete	Tangens

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Seiten falsch benennen Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Ankathete und Gegenkathete. Denke daran: Die Benennung hängt immer vom betrachteten Winkel ab. Zeichne dir den Winkel ein und frage: Welche Kathete liegt an ihm an? Das ist die Ankathete. Die andere ist die Gegenkathete.

Fehler 2: Taschenrechner im falschen Modus Dein Taschenrechner kann mit verschiedenen Winkelmassen rechnen: Grad (DEG), Radiant (RAD) und Gon (GRAD). In der Schule arbeitest du fast immer mit Grad. Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf DEG eingestellt ist.

Fehler 3: Sinus und Kosinus vertauschen Bei $\sin$ steht die Gegenkathete im Zähler, bei $\cos$ die Ankathete. Nutze konsequent deine Eselsbrücke, um Verwechslungen zu vermeiden.

Fehler 4: Umkehrfunktionen falsch anwenden Wenn du den Winkel suchst, brauchst du die Umkehrfunktionen: $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$ (auf dem Taschenrechner oft als “arcsin”, “arccos”, “arctan” bezeichnet). Vergiss nicht, diese zu verwenden, wenn du vom Seitenverhältnis zum Winkel kommen willst.

Beispiele

Beispiel 1: Eine Seite berechnen (Grundaufgabe)

Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Winkel $\alpha = 35°$. Die Hypotenuse ist $c = 12 \, \text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Gegenkathete $a$.

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die gegebenen Grössen.

• Winkel: $\alpha = 35°$
• Hypotenuse: $c = 12 \, \text{cm}$
• Gesucht: Gegenkathete $a$

Schritt 2: Wähle die passende Funktion. Gegenkathete und Hypotenuse – das ist Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}$

Schritt 3: Setze ein und löse nach $a$ auf.

$\sin(35°) = \frac{a}{12}$

$a = 12 \cdot \sin(35°)$

Schritt 4: Berechne mit dem Taschenrechner.

$a = 12 \cdot 0{,}574 = 6{,}88 \, \text{cm}$

Antwort: Die Gegenkathete ist etwa $6{,}88 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Einen Winkel berechnen

Aufgabe: Eine Leiter lehnt an einer Wand. Die Leiter ist $5 \, \text{m}$ lang und ihr Fusspunkt steht $2 \, \text{m}$ von der Wand entfernt. Unter welchem Winkel $\alpha$ steht die Leiter zum Boden?

Lösung:

Schritt 1: Zeichne die Situation und identifiziere das Dreieck.

• Die Leiter ist die Hypotenuse: $c = 5 \, \text{m}$
• Der Abstand zur Wand ist die Ankathete (liegt am Winkel zum Boden an): $b = 2 \, \text{m}$
• Gesucht: Winkel $\alpha$ zwischen Leiter und Boden

Schritt 2: Wähle die passende Funktion. Ankathete und Hypotenuse – das ist Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$

Schritt 3: Setze ein.

$\cos(\alpha) = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Schritt 4: Wende die Umkehrfunktion an.

$\alpha = \cos^{-1}(0{,}4)$

Schritt 5: Berechne mit dem Taschenrechner.

$\alpha = 66{,}42°$

Antwort: Die Leiter steht unter einem Winkel von etwa $66{,}4°$ zum Boden.

Beispiel 3: Praktische Anwendung – Höhe eines Baumes

Aufgabe: Du stehst $25 \, \text{m}$ von einem Baum entfernt. Wenn du zur Spitze schaust, misst du einen Steigungswinkel von $32°$. Deine Augenhöhe beträgt $1{,}60 \, \text{m}$. Wie hoch ist der Baum?

Lösung:

Schritt 1: Skizziere die Situation. Der horizontale Abstand zum Baum bildet die Ankathete. Die Höhe vom Augenpunkt bis zur Baumspitze ist die Gegenkathete. Diese musst du berechnen und dann die Augenhöhe addieren.

Schritt 2: Identifiziere die Grössen.

• Winkel: $\alpha = 32°$
• Ankathete: $b = 25 \, \text{m}$
• Gesucht: Gegenkathete $a$ (Höhe über Augenhöhe)

Schritt 3: Wähle die passende Funktion. Gegenkathete und Ankathete – das ist Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}$

Schritt 4: Setze ein und löse nach $a$ auf.

$\tan(32°) = \frac{a}{25}$

$a = 25 \cdot \tan(32°)$

Schritt 5: Berechne mit dem Taschenrechner.

$a = 25 \cdot 0{,}625 = 15{,}62 \, \text{m}$

Schritt 6: Addiere die Augenhöhe.

$\text{Gesamthöhe} = 15{,}62 + 1{,}60 = 17{,}22 \, \text{m}$

Antwort: Der Baum ist etwa $17{,}2 \, \text{m}$ hoch.

Beispiel 4: Zwei unbekannte Seiten berechnen

Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel $\beta = 48°$ und die Ankathete zur $\beta$ misst $a = 7 \, \text{cm}$. Berechne die Hypotenuse $c$ und die Gegenkathete $b$.

Lösung:

Teil A: Berechnung der Hypotenuse $c$

Ankathete und Hypotenuse – das ist Kosinus.

$\cos(\beta) = \frac{a}{c}$

$\cos(48°) = \frac{7}{c}$

$c = \frac{7}{\cos(48°)}$

$c = \frac{7}{0{,}669} = 10{,}46 \, \text{cm}$

Teil B: Berechnung der Gegenkathete $b$

Hier gibt es zwei Möglichkeiten:

Möglichkeit 1: Mit Tangens

$\tan(\beta) = \frac{b}{a}$

$b = a \cdot \tan(48°)$

$b = 7 \cdot 1{,}111 = 7{,}78 \, \text{cm}$

Möglichkeit 2: Mit Sinus (und der berechneten Hypotenuse)

$\sin(\beta) = \frac{b}{c}$

$b = c \cdot \sin(48°)$

$b = 10{,}46 \cdot 0{,}743 = 7{,}77 \, \text{cm}$

Antwort: Die Hypotenuse ist etwa $10{,}46 \, \text{cm}$ lang, die Gegenkathete etwa $7{,}78 \, \text{cm}$.

Besondere Winkel und ihre Werte

Für einige Winkel solltest du die trigonometrischen Werte auswendig kennen oder schnell ableiten können:

Winkel	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\frac{1}{2} = 0{,}5$	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$	$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$
$45°$	$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$	$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$	$\frac{1}{2} = 0{,}5$	$\sqrt{3} \approx 1{,}732$
$90°$	$1$	$0$	nicht definiert

Beachte: Bei $45°$ sind Sinus und Kosinus gleich gross. Der Tangens ist dort genau $1$, weil Gegenkathete und Ankathete gleich lang sind.

Der Zusammenhang zwischen den Funktionen

Die drei trigonometrischen Funktionen sind nicht unabhängig voneinander. Es gibt wichtige Beziehungen:

Tangens als Quotient

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Dies folgt direkt aus den Definitionen:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \tan(\alpha)$

Der trigonometrische Pythagoras

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Diese Beziehung folgt aus dem Satz des Pythagoras. Sie ist nützlich, wenn du einen Wert kennst und den anderen berechnen willst.

Das Wichtigste in Kürze

• Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse zwischen Seiten im rechtwinkligen Dreieck, abhängig vom betrachteten Winkel.
• Die Eselsbrücke SOHCAHTOA hilft dir, die Zuordnungen zu merken: Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse, Kosinus = Ankathete/Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete/Ankathete.
• Seiten berechnen: Stelle die passende Gleichung auf und löse nach der gesuchten Seite auf.
• Winkel berechnen: Berechne das Seitenverhältnis und wende die Umkehrfunktion ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$) an.
• Achte immer darauf, die Seiten korrekt zu benennen – Ankathete und Gegenkathete wechseln je nach Betrachtungswinkel.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Winkel $\alpha = 40°$ und die Hypotenuse ist $c = 10 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Ankathete $b$?

Lösung anzeigen

Ankathete und Hypotenuse – verwende Kosinus:

$\cos(40°) = \frac{b}{10}$

$b = 10 \cdot \cos(40°) = 10 \cdot 0{,}766 = 7{,}66 \, \text{cm}$

❓ Frage: Die Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks misst $6 \, \text{cm}$, die Ankathete $8 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Winkel $\alpha$?

Lösung anzeigen

Gegenkathete und Ankathete – verwende Tangens:

$\tan(\alpha) = \frac{6}{8} = 0{,}75$

$\alpha = \tan^{-1}(0{,}75) = 36{,}87°$

Der Winkel beträgt etwa $36{,}9°$.

❓ Frage: Welche trigonometrische Funktion verwendet die Hypotenuse im Nenner und die Ankathete im Zähler?

Lösung anzeigen

Das ist der Kosinus.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Die Eselsbrücke: CAH in SOHCAHTOA – Cosinus = Adjacent / Hypotenuse.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit Sinus, Kosinus und Tangens hast du die Grundlagen der Trigonometrie gemeistert. Doch das rechtwinklige Dreieck ist nur der Anfang.

Im nächsten Schritt wirst du den Sinussatz und den Kosinussatz kennenlernen. Diese ermöglichen es dir, auch in beliebigen Dreiecken – also solchen ohne rechten Winkel – Seiten und Winkel zu berechnen. Damit erschliesst sich dir eine noch grössere Welt geometrischer Probleme.

Später in der Schullaufbahn wirst du sehen, dass Sinus und Kosinus auch als Funktionen verstanden werden können, die über das Dreieck hinausgehen. Sie beschreiben Schwingungen, Wellen und periodische Vorgänge – von Musik über Elektrizität bis hin zur Astronomie.