Satz des Pythagoras einfach erklärt: Die Formel für rechtwinklige Dreiecke

Stell dir vor, du stehst auf einem grossen Sportplatz. Du läufst zuerst 30 Meter geradeaus nach Osten. Dann drehst du dich um 90 Grad und läufst 40 Meter nach Norden. Jetzt möchtest du auf dem kürzesten Weg zurück zu deinem Startpunkt. Wie weit ist das?

Du könntest natürlich ein langes Massband nehmen und nachmessen. Aber es gibt einen eleganteren Weg. Vor über 2500 Jahren entdeckte ein griechischer Mathematiker namens Pythagoras eine Formel, mit der du diese Distanz exakt berechnen kannst – ganz ohne zu messen. Diese Formel funktioniert immer dann, wenn ein rechter Winkel im Spiel ist. Und rechte Winkel findest du überall: in Zimmerecken, bei Leitern an der Wand, auf Fussballfeldern. Der Satz des Pythagoras ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Geometrie.

Vom Sportplatz zum Dreieck

Lass uns das Sportplatz-Beispiel genauer anschauen. Wenn du deine Laufstrecke von oben betrachtest, erkennst du eine interessante Form. Der Weg nach Osten bildet eine horizontale Strecke. Der Weg nach Norden bildet eine vertikale Strecke. Diese beiden Strecken stehen im rechten Winkel zueinander. Der direkte Rückweg zum Startpunkt verbindet die beiden Endpunkte.

Was du siehst, ist ein Dreieck. Aber nicht irgendein Dreieck. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck. Das bedeutet: Einer der drei Winkel beträgt genau 90 Grad.

In jedem rechtwinkligen Dreieck haben die drei Seiten besondere Namen:

• Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschliessen, heissen Katheten.
• Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heisst Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite.

In unserem Sportplatz-Beispiel sind die 30 Meter und die 40 Meter die beiden Katheten. Der direkte Rückweg ist die Hypotenuse.

Der Satz des Pythagoras: Die Grundformel

Pythagoras entdeckte einen erstaunlichen Zusammenhang. Wenn du die Längen der beiden Katheten kennst, kannst du die Länge der Hypotenuse berechnen. Und umgekehrt: Wenn du die Hypotenuse und eine Kathete kennst, findest du die andere Kathete.

Hier ist die Methode in klaren Schritten:

1. Identifiziere den rechten Winkel im Dreieck.
2. Benenne die Seiten: Die Hypotenuse (nennen wir sie $c$) liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten (nennen wir sie $a$ und $b$) schliessen den rechten Winkel ein.
3. Setze in die Formel ein und löse nach der gesuchten Grösse auf.

DEFINITION

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

$a^2 + b^2 = c^2$

Dabei sind $a$ und $b$ die Längen der beiden Katheten. Die Variable $c$ bezeichnet die Länge der Hypotenuse. Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

Was bedeutet diese Formel konkret? Stell dir vor, du baust auf jeder Seite des Dreiecks ein Quadrat. Das Quadrat auf der Seite $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$. Das Quadrat auf der Seite $b$ hat den Flächeninhalt $b^2$. Das Quadrat auf der Hypotenuse $c$ hat den Flächeninhalt $c^2$.

Der Satz des Pythagoras sagt: Die Fläche des grossen Quadrats (auf der Hypotenuse) ist genauso gross wie die Summe der Flächen der beiden kleinen Quadrate.

Umstellen der Formel: Alle drei Varianten

Die Grundformel $a^2 + b^2 = c^2$ lässt sich nach jeder Variablen umstellen. Je nachdem, welche Seite du suchst, brauchst du eine andere Version.

Wenn du die Hypotenuse $c$ suchst:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Du quadrierst beide Katheten, addierst sie und ziehst die Wurzel.

Wenn du eine Kathete $a$ suchst (und $b$ sowie $c$ kennst):

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Du quadrierst die Hypotenuse, subtrahierst das Quadrat der bekannten Kathete und ziehst die Wurzel.

Wenn du die andere Kathete $b$ suchst (und $a$ sowie $c$ kennst):

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Das Prinzip ist identisch zur vorherigen Variante.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Hypotenuse wird mit einer Kathete verwechselt. Die Hypotenuse ist IMMER die längste Seite und liegt IMMER gegenüber dem rechten Winkel. Wenn du unsicher bist, markiere zuerst den rechten Winkel. Die Seite, die diesen Winkel nicht berührt, ist die Hypotenuse.

Fehler 2: Die Formel wird falsch umgestellt. Viele Schüler rechnen $a = \sqrt{c^2 + b^2}$ wenn sie eine Kathete suchen. Das ist falsch! Bei der Berechnung einer Kathete musst du subtrahieren, nicht addieren. Merke: Nur bei der Hypotenuse addierst du die Quadrate.

Fehler 3: Die Wurzel wird vergessen. Nach dem Einsetzen erhältst du zum Beispiel $c^2 = 25$. Das bedeutet $c = 5$, nicht $c = 25$. Das Ergebnis der Addition oder Subtraktion ist das Quadrat der gesuchten Seite. Du musst noch die Wurzel ziehen.

Fehler 4: Der Satz wird auf nicht-rechtwinklige Dreiecke angewendet. Der Satz des Pythagoras funktioniert ausschliesslich bei rechtwinkligen Dreiecken. Bei anderen Dreiecken brauchst du den Kosinussatz.

Beispiele

Beispiel 1: Die Hypotenuse berechnen

Zurück zu unserem Sportplatz. Du läufst 30 Meter nach Osten und 40 Meter nach Norden. Wie lang ist der direkte Rückweg?

Gegeben: $a = 30 \, \text{m}$, $b = 40 \, \text{m}$

Gesucht: Hypotenuse $c$

Lösung:

Wir setzen in die Grundformel ein:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 30^2 + 40^2$

$c^2 = 900 + 1600$

$c^2 = 2500$

$c = \sqrt{2500}$

$c = 50$

Antwort: Der direkte Rückweg ist 50 Meter lang.

Interessanterweise sind 30, 40 und 50 ein sogenanntes pythagoräisches Tripel. Das sind drei natürliche Zahlen, die den Satz des Pythagoras exakt erfüllen. Das bekannteste Tripel ist 3, 4, 5. Unser Beispiel ist einfach das Zehnfache davon.

Beispiel 2: Eine Kathete berechnen

Eine Leiter ist 5 Meter lang. Sie lehnt an einer Wand und reicht bis zu einer Höhe von 4 Metern. Wie weit steht der Fuss der Leiter von der Wand entfernt?

Skizze: Die Wand und der Boden bilden einen rechten Winkel. Die Leiter ist die Hypotenuse des entstehenden Dreiecks.

Gegeben: Hypotenuse $c = 5 \, \text{m}$, eine Kathete (Höhe) $b = 4 \, \text{m}$

Gesucht: Die andere Kathete $a$ (Abstand zur Wand)

Lösung:

Wir stellen die Formel nach $a$ um:

$a^2 = c^2 - b^2$

$a^2 = 5^2 - 4^2$

$a^2 = 25 - 16$

$a^2 = 9$

$a = \sqrt{9}$

$a = 3$

Antwort: Der Fuss der Leiter steht 3 Meter von der Wand entfernt.

Beispiel 3: Anwendung mit Dezimalzahlen

Ein Fernseher hat eine Bildschirmdiagonale von 55 Zoll. Das Seitenverhältnis beträgt 16:9. Das bedeutet, dass die Breite zur Höhe im Verhältnis 16 zu 9 steht. Berechne die Breite und Höhe des Bildschirms.

Analyse: Die Diagonale ist die Hypotenuse. Breite und Höhe sind die Katheten. Das Verhältnis 16:9 bedeutet: Wenn die Höhe $9k$ beträgt, dann ist die Breite $16k$ für einen bestimmten Faktor $k$.

Gegeben: $c = 55 \, \text{Zoll}$, Breite $= 16k$, Höhe $= 9k$

Gesucht: Breite und Höhe in Zoll

Lösung:

Wir setzen in die Pythagoras-Formel ein:

$(16k)^2 + (9k)^2 = 55^2$

$256k^2 + 81k^2 = 3025$

$337k^2 = 3025$

$k^2 = \frac{3025}{337}$

$k^2 \approx 8{,}977$

$k \approx 2{,}996$

Jetzt berechnen wir die Masse:

$\text{Breite} = 16 \cdot 2{,}996 \approx 47{,}9 \, \text{Zoll}$

$\text{Höhe} = 9 \cdot 2{,}996 \approx 27{,}0 \, \text{Zoll}$

Antwort: Der Bildschirm ist etwa 47,9 Zoll breit und 27,0 Zoll hoch.

Beispiel 4: Prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist

Ein Dreieck hat die Seitenlängen $a = 7 \, \text{cm}$, $b = 24 \, \text{cm}$ und $c = 25 \, \text{cm}$. Ist es rechtwinklig?

Strategie: Wenn die drei Seiten den Satz des Pythagoras erfüllen, ist das Dreieck rechtwinklig. Die längste Seite muss dann die Hypotenuse sein.

Lösung:

Die längste Seite ist $c = 25 \, \text{cm}$. Wir prüfen, ob $a^2 + b^2 = c^2$ gilt:

$a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$c^2 = 25^2 = 625$

Da $625 = 625$, ist die Gleichung erfüllt.

Antwort: Ja, das Dreieck ist rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt bei der Ecke, die $c$ gegenüberliegt.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
• Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten.
• Die Grundformel lautet $a^2 + b^2 = c^2$, wobei $c$ die Hypotenuse ist.
• Zum Berechnen einer Kathete subtrahierst du die Quadrate: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.
• Du kannst mit dem Satz auch überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a = 5 \, \text{cm}$ und $b = 12 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Hypotenuse $c$?

Lösung anzeigen

$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}$

Die Hypotenuse ist 13 cm lang. Übrigens: 5, 12, 13 ist ein weiteres pythagoräisches Tripel.

❓ Frage:

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 cm lang. Eine Kathete misst 6 cm. Berechne die Länge der anderen Kathete.

Lösung anzeigen

$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}$

Die andere Kathete ist 8 cm lang. Hier siehst du das Tripel 6, 8, 10 – das ist das Doppelte von 3, 4, 5.

❓ Frage:

Ein Dreieck hat die Seiten 8 cm, 15 cm und 17 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.

Lösung anzeigen

Wir prüfen: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ und $17^2 = 289$.

Da $289 = 289$, ist das Dreieck rechtwinklig. Die längste Seite (17 cm) ist die Hypotenuse, der rechte Winkel liegt ihr gegenüber.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt ein mächtiges Werkzeug für rechtwinklige Dreiecke kennengelernt. Aber was, wenn du nicht nur die Seitenlängen, sondern auch die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen möchtest? Oder umgekehrt: Was, wenn du einen Winkel und eine Seite kennst und die anderen Seiten suchst?

Dafür lernst du als Nächstes die trigonometrischen Funktionen: Sinus, Kosinus und Tangens. Diese drei Funktionen beschreiben den Zusammenhang zwischen den Winkeln und den Seitenverhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken. Mit ihnen kannst du zum Beispiel berechnen, unter welchem Winkel die Leiter an der Wand lehnt. Oder wie hoch ein Turm ist, wenn du nur den Abstand und den Blickwinkel zur Spitze kennst.

Der Satz des Pythagoras und die trigonometrischen Funktionen ergänzen sich perfekt. Gemeinsam bilden sie das Fundament für alle weiteren Berechnungen in Dreiecken – und später auch für Vektoren, Koordinatengeometrie und vieles mehr.