Pythagoras in 3D einfach erklärt: So berechnest du Raumdiagonalen

Stell dir vor, du stehst in deinem Zimmer und möchtest wissen, wie lang der kürzeste Weg von einer Ecke am Boden zur gegenüberliegenden Ecke an der Decke ist. Nicht entlang der Wände, sondern schnurgerade durch die Luft – wie ein unsichtbarer Laserstrahl. Diese Strecke nennt man die Raumdiagonale. Du könntest jetzt ein sehr langes Massband nehmen und versuchen, diagonal durch dein Zimmer zu messen. Aber das ist unpraktisch. Viel eleganter ist es, diese Länge einfach zu berechnen. Und genau dafür brauchst du den Satz des Pythagoras – aber diesmal nicht nur in der flachen Ebene, sondern erweitert auf den dreidimensionalen Raum.

Vom Rechteck zum Quader: Der Sprung in die dritte Dimension

Du kennst den Satz des Pythagoras bereits aus der Ebene. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Kathetenquadrate ergibt das Hypotenusenquadrat. Oder als Formel: $a^2 + b^2 = c^2$.

In einem Rechteck kannst du damit die Diagonale berechnen. Wenn das Rechteck die Seitenlängen $a$ und $b$ hat, dann ist die Diagonale $d$ einfach:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Aber was passiert, wenn wir aus dem flachen Rechteck einen räumlichen Quader machen? Plötzlich kommt eine dritte Dimension hinzu – die Höhe. Und statt einer flachen Diagonale suchen wir jetzt die Raumdiagonale.

Stell dir deinen Schuhkarton vor. Er hat eine Länge $a$, eine Breite $b$ und eine Höhe $c$. Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken, die am weitesten voneinander entfernt sind. Um diese Strecke zu berechnen, wenden wir den Satz des Pythagoras zweimal hintereinander an.

Die Raumdiagonale berechnen: Schritt für Schritt

Das Geheimnis liegt darin, das Problem in zwei Schritte zu zerlegen. Wir nutzen den Satz des Pythagoras erst in der Grundfläche und dann im Raum.

Schritt 1: Flächendiagonale der Grundfläche berechnen

Die Grundfläche des Quaders ist ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$. Die Diagonale dieser Grundfläche nennen wir $d_G$ (Grundflächendiagonale):

$d_G = \sqrt{a^2 + b^2}$

Schritt 2: Raumdiagonale mit der Höhe kombinieren

Jetzt bilden die Grundflächendiagonale $d_G$ und die Höhe $c$ des Quaders wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse dieses Dreiecks ist unsere gesuchte Raumdiagonale $d_R$:

$d_R = \sqrt{d_G^2 + c^2}$

Schritt 3: Beide Formeln zusammenführen

Wenn wir $d_G^2 = a^2 + b^2$ in die zweite Formel einsetzen, erhalten wir:

$d_R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Das ist die Formel für die Raumdiagonale im Quader.

DEFINITION

In einem Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ gilt für die Raumdiagonale $d_R$:

$d_R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quaders. Sie ist die längste gerade Strecke, die vollständig im Quader liegt.

Der Würfel als Spezialfall

Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Bei ihm sind alle Kanten gleich lang. Wenn wir die Kantenlänge $a$ nennen, dann gilt $a = b = c$.

Die Formel für die Raumdiagonale vereinfacht sich dann zu:

$d_R = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a \cdot \sqrt{3}$

Die Raumdiagonale eines Würfels ist also immer das $\sqrt{3}$-fache seiner Kantenlänge. Da $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ ist, ist die Raumdiagonale etwa 1,73-mal so lang wie eine Kante.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Flächendiagonale mit der Raumdiagonale verwechseln

Viele Schüler berechnen nur $\sqrt{a^2 + b^2}$ und vergessen die Höhe $c$. Das ergibt aber nur die Diagonale der Grundfläche, nicht die Raumdiagonale. Achte darauf, dass du alle drei Dimensionen einbeziehst.

Fehler 2: Die Quadrate falsch addieren

Es gilt $d_R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, aber NICHT $d_R = \sqrt{a + b + c}$. Du musst zuerst jede Kantenlänge quadrieren und dann die Summe bilden.

Fehler 3: Das Wurzelziehen vergessen

Nach dem Addieren der Quadrate musst du am Ende die Wurzel ziehen. Das Ergebnis $a^2 + b^2 + c^2$ ist das Quadrat der Raumdiagonale, nicht die Raumdiagonale selbst.

Beispiele

Beispiel 1: Raumdiagonale eines Schuhkartons

Ein Schuhkarton hat die Masse $30 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm} \times 12 \, \text{cm}$. Berechne die Raumdiagonale.

Lösung:

Gegeben: $a = 30 \, \text{cm}$, $b = 20 \, \text{cm}$, $c = 12 \, \text{cm}$

Gesucht: Raumdiagonale $d_R$

Wir setzen in die Formel ein:

$d_R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

$d_R = \sqrt{30^2 + 20^2 + 12^2}$

$d_R = \sqrt{900 + 400 + 144}$

$d_R = \sqrt{1444}$

$d_R = 38 \, \text{cm}$

Die Raumdiagonale des Schuhkartons beträgt exakt $38 \, \text{cm}$.

Beispiel 2: Raumdiagonale eines Würfels

Ein Würfel hat eine Kantenlänge von $5 \, \text{m}$. Wie lang ist seine Raumdiagonale?

Lösung:

Gegeben: $a = 5 \, \text{m}$

Gesucht: Raumdiagonale $d_R$

Da alle Kanten gleich lang sind, verwenden wir die vereinfachte Formel:

$d_R = a \cdot \sqrt{3}$

$d_R = 5 \cdot \sqrt{3}$

$d_R = 5 \cdot 1{,}732...$

$d_R \approx 8{,}66 \, \text{m}$

Die Raumdiagonale des Würfels beträgt etwa $8{,}66 \, \text{m}$.

Beispiel 3: Passt der Stab in die Kiste?

Eine Transportkiste hat die Innenmasse $80 \, \text{cm} \times 60 \, \text{cm} \times 40 \, \text{cm}$. Passt ein gerader Stab von $1{,}10 \, \text{m}$ Länge vollständig in die Kiste, wenn man ihn diagonal legt?

Lösung:

Gegeben: $a = 80 \, \text{cm}$, $b = 60 \, \text{cm}$, $c = 40 \, \text{cm}$, Stablänge $= 110 \, \text{cm}$

Gesucht: Ist $d_R \geq 110 \, \text{cm}$?

Wir berechnen die Raumdiagonale:

$d_R = \sqrt{80^2 + 60^2 + 40^2}$

$d_R = \sqrt{6400 + 3600 + 1600}$

$d_R = \sqrt{11600}$

$d_R \approx 107{,}7 \, \text{cm}$

Die Raumdiagonale beträgt etwa $107{,}7 \, \text{cm}$. Der Stab ist $110 \, \text{cm}$ lang.

Antwort: Nein, der Stab passt nicht in die Kiste. Er ist etwa $2{,}3 \, \text{cm}$ zu lang.

Beispiel 4: Kantenlänge aus der Raumdiagonale bestimmen

Die Raumdiagonale eines Würfels beträgt $12 \, \text{cm}$. Berechne die Kantenlänge des Würfels.

Lösung:

Gegeben: $d_R = 12 \, \text{cm}$

Gesucht: Kantenlänge $a$

Wir kennen die Formel $d_R = a \cdot \sqrt{3}$ und lösen nach $a$ auf:

$a = \frac{d_R}{\sqrt{3}}$

$a = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Wir rationalisieren den Nenner:

$a = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

$a = 4 \cdot 1{,}732... \approx 6{,}93 \, \text{cm}$

Die Kantenlänge des Würfels beträgt $4\sqrt{3} \, \text{cm}$ oder etwa $6{,}93 \, \text{cm}$.

Anwendungen im Alltag und in der Technik

Der Satz des Pythagoras in 3D begegnet dir häufiger, als du vielleicht denkst:

Verpackung und Transport: Spediteure müssen wissen, ob ein langer Gegenstand diagonal in einen Container passt. Möbelhäuser berechnen, ob Regale oder Schränke durch Treppenhäuser passen.

Architektur und Handwerk: Zimmermänner berechnen die Länge von Dachsparren. Elektriker müssen wissen, wie viel Kabel sie für eine diagonale Verlegung durch einen Raum brauchen.

Computergrafik und Spiele: In 3D-Spielen wird ständig der Abstand zwischen Objekten im Raum berechnet. Die Formel für den Abstand zweier Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem basiert auf genau diesem Prinzip.

Mathematik und Physik: In der Vektorrechnung entspricht die Raumdiagonale dem Betrag eines Vektors. Die Formel $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ist nichts anderes als unser 3D-Pythagoras.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Raumdiagonale eines Quaders verbindet zwei gegenüberliegende Ecken und ist die längste Strecke im Quader.
• Die Formel lautet: $d_R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, wobei $a$, $b$ und $c$ die drei Kantenlängen sind.
• Beim Würfel mit Kantenlänge $a$ vereinfacht sich die Formel zu: $d_R = a \cdot \sqrt{3}$.
• Der Satz des Pythagoras wird zweimal angewendet: erst in der Grundfläche, dann im Raum.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Quader hat die Kantenlängen $6 \, \text{cm}$, $8 \, \text{cm}$ und $10 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Raumdiagonale? Gib das exakte Ergebnis an.

Lösung anzeigen

$d_R = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, \text{cm} \approx 14{,}14 \, \text{cm}$

❓ Frage: Die Raumdiagonale eines Würfels ist doppelt so lang wie seine Kantenlänge. Stimmt diese Aussage?

Lösung anzeigen

Nein, die Aussage ist falsch. Die Raumdiagonale eines Würfels ist $\sqrt{3} \approx 1{,}73$-mal so lang wie die Kantenlänge, nicht doppelt so lang. Die Formel lautet $d_R = a \cdot \sqrt{3}$.

❓ Frage: Ein Zimmer ist $4 \, \text{m}$ lang, $3 \, \text{m}$ breit und $2{,}5 \, \text{m}$ hoch. Eine Stange von $5{,}5 \, \text{m}$ Länge soll diagonal von einer Bodenecke zur gegenüberliegenden Deckenecke gespannt werden. Ist das möglich?

Lösung anzeigen

Wir berechnen die Raumdiagonale: $d_R = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{16 + 9 + 6{,}25} = \sqrt{31{,}25} \approx 5{,}59 \, \text{m}$

Die Raumdiagonale beträgt etwa $5{,}59 \, \text{m}$. Die Stange ist $5{,}5 \, \text{m}$ lang.

Ja, die Stange passt. Sie ist sogar etwa $9 \, \text{cm}$ kürzer als die Raumdiagonale.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, wie der Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum funktioniert. Das ist eine wichtige Grundlage für viele weitere Themen. In der Vektorrechnung wirst du diese Idee wieder aufgreifen, wenn du den Betrag von Vektoren und Abstände zwischen Punkten im Raum berechnest. Auch die Trigonometrie lässt sich auf den Raum erweitern. Dort berechnest du dann Winkel zwischen Geraden und Ebenen oder zwischen zwei Ebenen. Der nächste logische Schritt in der Geometrie führt dich zu Körperberechnungen wie Oberflächen und Volumina von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln. In all diesen Bereichen wird der erweiterte Satz des Pythagoras ein zuverlässiges Werkzeug in deinem mathematischen Werkzeugkasten sein.