Pythagoras an Figuren und Körpern: So wendest du den Satz in der Praxis an

Stell dir vor, du möchtest in deinem Zimmer eine neue Diagonalstange für Kleiderbügel montieren – von einer Ecke des Schranks zur gegenüberliegenden. Wie lang muss diese Stange sein? Oder denke an einen Architekten, der das Dach eines Hauses plant und die exakte Länge der Dachschräge berechnen muss. In beiden Fällen hast du es nicht mit einem einfachen flachen Dreieck zu tun, sondern mit räumlichen Strukturen und zusammengesetzten Formen.

Der Satz des Pythagoras ist dein Schlüssel zu diesen Problemen. Du kennst ihn bereits für einfache rechtwinklige Dreiecke. Jetzt lernst du, wie du ihn geschickt auf komplexere geometrische Figuren und dreidimensionale Körper anwendest. Das Geheimnis liegt darin, versteckte rechtwinklige Dreiecke zu entdecken.

Vom einfachen Dreieck zur komplexen Figur

Erinnere dich an die Grundidee des Satzes von Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt für die Katheten $a$ und $b$ sowie die Hypotenuse $c$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Bei einem einzelnen Dreieck ist die Anwendung direkt. Doch was machst du bei einem Rechteck, einem Trapez oder sogar einem Quader? Die Antwort ist überraschend einfach: Du zerlegst die komplexe Figur gedanklich in rechtwinklige Dreiecke.

Betrachte ein Rechteck mit den Seitenlängen $l$ und $b$. Die Diagonale $d$ teilt das Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die Katheten sind die Rechteckseiten, die Hypotenuse ist die Diagonale. Schon kannst du Pythagoras anwenden.

Dieses Prinzip funktioniert bei allen Figuren und Körpern: Finde das versteckte rechtwinklige Dreieck, und du kannst die gesuchte Strecke berechnen.

Die Strategie: Versteckte Dreiecke finden

Die grösste Herausforderung besteht darin, in einer komplexen Situation das richtige Dreieck zu identifizieren. Hier ist deine Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Skizziere die Figur oder den Körper und markiere alle bekannten Masse.
2. Identifiziere die gesuchte Strecke und überlege, welche anderen Strecken du dafür brauchst.
3. Suche rechte Winkel in der Figur – sie zeigen dir, wo ein rechtwinkliges Dreieck verborgen liegt.
4. Zeichne Hilfslinien ein, um das rechtwinklige Dreieck sichtbar zu machen (z. B. Höhen, Diagonalen).
5. Wende Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu berechnen.
6. Wiederhole bei Bedarf: Manchmal musst du Pythagoras mehrfach anwenden, um zum Ziel zu kommen.

DEFINITION

Um den Satz des Pythagoras auf Figuren und Körper anzuwenden, zerlegst du diese gedanklich in rechtwinklige Dreiecke. Suche nach rechten Winkeln und zeichne Hilfslinien (Höhen, Diagonalen, Mittellinien), um die versteckten Dreiecke sichtbar zu machen. Oft ist eine mehrfache Anwendung von Pythagoras notwendig.

Pythagoras bei ebenen Figuren

Das Rechteck und seine Diagonale

Das Rechteck ist der einfachste Fall. Die Diagonale $d$ eines Rechtecks mit Länge $l$ und Breite $b$ berechnest du direkt mit:

$d^2 = l^2 + b^2$

Daraus folgt:

$d = \sqrt{l^2 + b^2}$

Das gleichschenklige Dreieck und seine Höhe

Bei einem gleichschenkligen Dreieck mit Basis $g$ und Schenkellänge $s$ fällt die Höhe $h$ senkrecht auf die Mitte der Basis. Dadurch entstehen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die Katheten sind $h$ und $\frac{g}{2}$, die Hypotenuse ist $s$.

Es gilt:

$h^2 + \left(\frac{g}{2}\right)^2 = s^2$

Umgestellt nach $h$:

$h = \sqrt{s^2 - \left(\frac{g}{2}\right)^2}$

Das Trapez

Bei einem Trapez zeichnest du die Höhe von einer Ecke der kürzeren Parallelseite senkrecht auf die längere. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, das dir ermöglicht, die Schenkellänge oder die Höhe zu berechnen.

Pythagoras bei räumlichen Körpern

Bei dreidimensionalen Körpern wird es spannend: Hier musst du oft zweimal Pythagoras anwenden – einmal in der Grundfläche und einmal im Raum.

Die Raumdiagonale des Quaders

Ein Quader hat drei Kantenlängen: Länge $l$, Breite $b$ und Höhe $h$. Die Raumdiagonale $d_R$ verbindet zwei gegenüberliegende Ecken durch das Innere des Quaders.

Schritt 1: Berechne zuerst die Flächendiagonale $d_F$ der Grundfläche:

$d_F = \sqrt{l^2 + b^2}$

Schritt 2: Die Raumdiagonale bildet mit der Flächendiagonale und der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck:

$d_R^2 = d_F^2 + h^2$

Setze $d_F$ ein:

$d_R^2 = l^2 + b^2 + h^2$

Daraus folgt die Formel für die Raumdiagonale:

$d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$

Die Seitenhöhe der quadratischen Pyramide

Eine quadratische Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge $a$ und eine Körperhöhe $h_K$. Die Seitenhöhe $h_S$ ist die Höhe einer Seitenfläche – also die Strecke von der Spitze senkrecht zur Grundkante.

Schritt 1: Bestimme den Abstand vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Mitte einer Grundkante. Bei einem Quadrat ist das $\frac{a}{2}$.

Schritt 2: Die Seitenhöhe bildet mit der Körperhöhe und diesem Abstand ein rechtwinkliges Dreieck:

$h_S^2 = h_K^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$h_S = \sqrt{h_K^2 + \frac{a^2}{4}}$

Die Seitenkante der quadratischen Pyramide

Die Seitenkante $s$ verläuft von einer Ecke der Grundfläche zur Spitze.

Schritt 1: Die halbe Diagonale der Grundfläche beträgt $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Schritt 2: Diese halbe Diagonale bildet mit der Körperhöhe ein rechtwinkliges Dreieck zur Seitenkante:

$s^2 = h_K^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$s = \sqrt{h_K^2 + \frac{a^2}{2}}$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die falsche Seite als Hypotenuse wählen Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Bei Körpern ist die gesuchte Raumdiagonale oder Seitenkante meist die Hypotenuse – aber nicht immer! Prüfe stets, welche Seite dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Fehler 2: Flächendiagonale mit Raumdiagonale verwechseln Bei Quadern und Pyramiden gibt es verschiedene Diagonalen. Lies die Aufgabe genau: Ist die Diagonale der Grundfläche gesucht oder die Diagonale durch den ganzen Körper?

Fehler 3: Die Wurzel vergessen Nach der Berechnung von $c^2$ musst du noch die Wurzel ziehen, um $c$ zu erhalten. Ein häufiger Flüchtigkeitsfehler unter Zeitdruck.

Fehler 4: Seitenhöhe und Körperhöhe bei Pyramiden verwechseln Die Körperhöhe $h_K$ steht senkrecht auf der Grundfläche. Die Seitenhöhe $h_S$ liegt in einer Seitenfläche. Zeichne immer eine Skizze, um beide klar zu unterscheiden.

Beispiele

Beispiel 1: Diagonale eines Rechtecks

Aufgabe: Ein Fussballfeld ist $105 \, \text{m}$ lang und $68 \, \text{m}$ breit. Wie lang ist die Diagonale?

Lösung:

Die Diagonale $d$ teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Länge und Breite sind die Katheten.

$d^2 = 105^2 + 68^2$

$d^2 = 11025 + 4624$

$d^2 = 15649$

$d = \sqrt{15649}$

$d = 125.1 \, \text{m}$

Antwort: Die Diagonale des Fussballfelds ist etwa $125.1 \, \text{m}$ lang.

Beispiel 2: Raumdiagonale eines Quaders

Aufgabe: Ein Schrank hat die Masse $180 \, \text{cm}$ (Länge), $60 \, \text{cm}$ (Breite) und $220 \, \text{cm}$ (Höhe). Wie lang ist die Raumdiagonale?

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Flächendiagonale der Grundfläche:

$d_F^2 = 180^2 + 60^2$

$d_F^2 = 32400 + 3600 = 36000$

$d_F = \sqrt{36000} = 189.7 \, \text{cm}$

Schritt 2: Berechne die Raumdiagonale mit der Höhe:

$d_R^2 = d_F^2 + h^2$

$d_R^2 = 36000 + 220^2$

$d_R^2 = 36000 + 48400 = 84400$

$d_R = \sqrt{84400}$

$d_R = 290.5 \, \text{cm}$

Alternative: Direkt mit der Formel:

$d_R = \sqrt{180^2 + 60^2 + 220^2} = \sqrt{84400} = 290.5 \, \text{cm}$

Antwort: Die Raumdiagonale des Schranks beträgt etwa $290.5 \, \text{cm}$ oder $2.91 \, \text{m}$.

Beispiel 3: Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Basis von $12 \, \text{cm}$ und Schenkel von je $10 \, \text{cm}$. Berechne die Höhe auf die Basis.

Lösung:

Die Höhe halbiert die Basis. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit:

• Kathete 1: $h$ (gesucht)
• Kathete 2: $\frac{12}{2} = 6 \, \text{cm}$
• Hypotenuse: $10 \, \text{cm}$

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 64$

$h = 8 \, \text{cm}$

Antwort: Die Höhe beträgt $8 \, \text{cm}$.

Beispiel 4: Seitenkante einer quadratischen Pyramide

Aufgabe: Eine quadratische Pyramide hat eine Grundkante von $6 \, \text{cm}$ und eine Körperhöhe von $4 \, \text{cm}$. Berechne die Länge einer Seitenkante.

Lösung:

Die Seitenkante $s$ verbindet eine Ecke der Grundfläche mit der Spitze. Das rechtwinklige Dreieck besteht aus:

• Kathete 1: Körperhöhe $h_K = 4 \, \text{cm}$
• Kathete 2: Halbe Diagonale der Grundfläche
• Hypotenuse: Seitenkante $s$

Schritt 1: Diagonale der quadratischen Grundfläche:

$d = a \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot \sqrt{2} = 8.49 \, \text{cm}$

Halbe Diagonale:

$\frac{d}{2} = \frac{6 \cdot \sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \, \text{cm}$

Schritt 2: Pythagoras anwenden:

$s^2 = h_K^2 + \left(3\sqrt{2}\right)^2$

$s^2 = 16 + 18 = 34$

$s = \sqrt{34}$

$s = 5.83 \, \text{cm}$

Antwort: Die Seitenkante ist etwa $5.83 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 5: Praktische Anwendung – Dachschräge

Aufgabe: Ein Satteldach hat eine Spannweite von $10 \, \text{m}$ und eine Dachhöhe von $3.5 \, \text{m}$. Wie lang ist eine Dachschräge?

Lösung:

Das Dach bildet ein gleichschenkliges Dreieck. Die Dachschräge ist ein Schenkel dieses Dreiecks. Die halbe Spannweite beträgt $5 \, \text{m}$.

Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit:

• Kathete 1: Dachhöhe $= 3.5 \, \text{m}$
• Kathete 2: Halbe Spannweite $= 5 \, \text{m}$
• Hypotenuse: Dachschräge $= s$

$s^2 = 3.5^2 + 5^2$

$s^2 = 12.25 + 25$

$s^2 = 37.25$

$s = \sqrt{37.25}$

$s = 6.10 \, \text{m}$

Antwort: Die Dachschräge ist etwa $6.10 \, \text{m}$ lang.

Das Wichtigste in Kürze

• Zerlege komplexe Figuren und Körper in rechtwinklige Dreiecke, indem du Hilfslinien wie Höhen oder Diagonalen einzeichnest.
• Bei räumlichen Körpern wendest du Pythagoras oft zweimal an: einmal in der Grundfläche, einmal im Raum.
• Die Raumdiagonale eines Quaders berechnest du mit $d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$.
• Bei Pyramiden unterscheidest du Körperhöhe, Seitenhöhe und Seitenkante – jede erfordert ein anderes rechtwinkliges Dreieck.
• Eine saubere Skizze ist der wichtigste erste Schritt bei jeder Aufgabe.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Würfel hat eine Kantenlänge von $5 \, \text{cm}$. Wie lang ist seine Raumdiagonale?

Lösung anzeigen

Die Raumdiagonale eines Würfels mit Kante $a$ ist:

$d_R = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Einsetzen:

$d_R = 5 \cdot \sqrt{3} = 8.66 \, \text{cm}$

❓ Frage: Eine quadratische Pyramide hat eine Körperhöhe von $12 \, \text{cm}$ und eine Seitenkante von $13 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Grundkante?

Lösung anzeigen

Die halbe Diagonale der Grundfläche berechnet sich aus dem rechtwinkligen Dreieck:

$s^2 = h_K^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

$13^2 = 12^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

$169 = 144 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

$\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 25$

$\frac{d}{2} = 5 \, \text{cm}$

Die Diagonale ist $d = 10 \, \text{cm}$.

Für ein Quadrat gilt $d = a\sqrt{2}$, also:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} = 7.07 \, \text{cm}$

❓ Frage: Warum muss man bei der Berechnung der Raumdiagonale eines Quaders den Satz des Pythagoras zweimal anwenden?

Lösung anzeigen

Die Raumdiagonale liegt nicht in einer Ebene mit nur zwei Kanten des Quaders. Zuerst berechnet man die Flächendiagonale in der Grundfläche (erstes rechtwinkliges Dreieck mit Länge und Breite). Diese Flächendiagonale bildet dann mit der Höhe des Quaders ein zweites rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Raumdiagonale ist. Alternativ kann man die Formel $d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ direkt verwenden, die aus der zweimaligen Anwendung hergeleitet wurde.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast nun gelernt, den Satz des Pythagoras auf komplexe ebene Figuren und räumliche Körper anzuwenden. Der nächste logische Schritt in der Trigonometrie führt dich zu den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Mit diesen Werkzeugen kannst du nicht nur Seitenlängen berechnen, sondern auch Winkel bestimmen – selbst wenn du nur zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst. Diese Funktionen erweitern deine Möglichkeiten enorm und sind fundamental für Physik, Technik und Navigation.