Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck: Längen und Winkel berechnen leicht gemacht

Stell dir vor, du stehst am Fuss eines hohen Kirchturms und fragst dich: “Wie hoch ist dieser Turm eigentlich?” Du hast kein Messband, das bis zur Spitze reicht. Aber du hast etwas viel Mächtigeres: einen Winkelmesser und dein Wissen über Dreiecke. Du misst den Winkel zur Turmspitze, schreitest die Entfernung zum Turm ab – und schon kannst du die Höhe berechnen, ohne auch nur einen Meter klettern zu müssen. Genau das ist die Magie der Trigonometrie. Sie verwandelt Winkel in Längen und Längen in Winkel. In diesem Kapitel lernst du die drei Werkzeuge kennen, die das möglich machen: Sinus, Kosinus und Tangens.

Vom Kirchturm zum Dreieck

Kehren wir zum Kirchturm zurück. Wenn du eine Linie von deinem Standpunkt zur Turmspitze ziehst und eine weitere Linie horizontal zum Turm, entsteht ein Dreieck. Der Turm selbst bildet die dritte Seite. Das Besondere: Der Winkel zwischen Boden und Turm beträgt genau $90°$. Du hast ein rechtwinkliges Dreieck vor dir.

Rechtwinklige Dreiecke sind der Schlüssel zur Trigonometrie. Der rechte Winkel gibt uns einen festen Bezugspunkt. Von diesem aus können wir die anderen Winkel und Seiten systematisch beschreiben. Bevor wir rechnen können, müssen wir aber die Sprache lernen, mit der wir über diese Dreiecke sprechen.

Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks benennen

In jedem rechtwinkligen Dreieck gibt es drei Seiten mit speziellen Namen. Diese Namen hängen davon ab, welchen Winkel du gerade betrachtest.

Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Hypotenuse ist immer gleich, egal welchen der beiden spitzen Winkel du betrachtest.

Die Gegenkathete ist die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, den du gerade untersuchst. Sie “schaut” den Winkel sozusagen an.

Die Ankathete ist die Seite, die am Winkel “anliegt” – also eine der beiden Seiten, die den Winkel einschliessen. Achtung: Die Hypotenuse liegt zwar auch am Winkel an, zählt aber nie als Ankathete.

Stell dir vor, du stehst im Winkel $\alpha$ und schaust ins Dreieck hinein. Die Seite direkt vor dir ist die Gegenkathete. Die Seite unter deinen Füssen (die nicht die Hypotenuse ist) ist die Ankathete. Die lange Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse.

Häufiger Fehler: Seiten verwechseln

Viele Schüler vertauschen Ankathete und Gegenkathete. Der Trick: Frag dich immer zuerst, welchen Winkel du betrachtest. Die Benennung der Katheten ändert sich, wenn du den Winkel wechselst! Die Hypotenuse bleibt aber immer die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel.

Die drei trigonometrischen Verhältnisse

Jetzt kommt der geniale Teil. Mathematiker haben entdeckt, dass in rechtwinkligen Dreiecken ein fester Zusammenhang zwischen den Winkeln und den Seitenverhältnissen besteht. Egal wie gross oder klein das Dreieck ist: Wenn der Winkel gleich bleibt, bleiben auch die Verhältnisse der Seiten gleich.

Diese Verhältnisse haben Namen: Sinus, Kosinus und Tangens.

DEFINITION

Für einen spitzen Winkel $\alpha$ in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Diese drei Formeln verbinden jeden Winkel mit einem bestimmten Seitenverhältnis.

Eine Eselsbrücke hilft beim Merken: GAGA HühnerHof

• Gegenkathete Ankathete Gegenkathete Ankathete
• Hypotenuse Hypotenuse

Lies es so: Sinus = G/H, Kosinus = A/H, Tangens = G/A.

Oder noch kürzer: “SoH CaH ToA” (Sinus = opposite/hypotenuse, Cosinus = adjacent/hypotenuse, Tangens = opposite/adjacent).

Die richtige Formel auswählen

Bei jeder Aufgabe stehen dir drei Grössen zur Verfügung: zwei kennst du, eine suchst du. Deine Aufgabe ist es, die passende Formel zu finden.

Schritt 1: Identifiziere die bekannten und gesuchten Grössen.

Schritt 2: Benenne die Seiten relativ zum gegebenen oder gesuchten Winkel.

Schritt 3: Wähle die Formel, die genau diese Grössen enthält.

Wenn du zum Beispiel die Gegenkathete und die Hypotenuse kennst und den Winkel suchst, brauchst du den Sinus. Wenn du die Ankathete und die Gegenkathete kennst, brauchst du den Tangens.

Häufiger Fehler: Falsche Formel gewählt

Bevor du rechnest, schreib dir auf: “Ich kenne … und … und suche …”. Dann prüfe, welche der drei Formeln genau diese drei Grössen enthält. Viele Fehler passieren, weil Schüler einfach drauflosrechnen, ohne die Formel bewusst auszuwählen.

Winkel berechnen mit dem Taschenrechner

Die trigonometrischen Funktionen liefern dir zu jedem Winkel ein Verhältnis. Aber manchmal brauchst du den umgekehrten Weg: Du kennst das Verhältnis und suchst den Winkel.

Dafür gibt es die Umkehrfunktionen: $\arcsin$, $\arccos$ und $\arctan$ (auf dem Taschenrechner oft als $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ geschrieben).

Wenn $\sin(\alpha) = 0.5$ ist, dann ist $\alpha = \arcsin(0.5) = 30°$.

Wichtig: Stelle deinen Taschenrechner auf “DEG” (Grad), nicht auf “RAD” (Radiant). Sonst erhältst du falsche Ergebnisse.

Beispiele

Beispiel 1: Seitenlänge mit Sinus berechnen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel $\alpha = 35°$ und die Hypotenuse $c = 12 \, \text{cm}$. Berechne die Länge der Gegenkathete $a$.

Lösung:

Die Gegenkathete und die Hypotenuse sind beteiligt. Das ist der Sinus.

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Wir lösen nach $a$ auf:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

$a = 12 \, \text{cm} \cdot \sin(35°)$

$a = 12 \, \text{cm} \cdot 0.574$

$a \approx 6.88 \, \text{cm}$

Die Gegenkathete ist etwa $6.88 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Winkel mit Tangens berechnen

Eine Leiter lehnt an einer Wand. Der Fuss der Leiter steht $2.5 \, \text{m}$ von der Wand entfernt. Die Leiter erreicht die Wand in einer Höhe von $4 \, \text{m}$. In welchem Winkel $\alpha$ steht die Leiter zum Boden?

Lösung:

Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel ist dort, wo Boden und Wand aufeinandertreffen. Die Gegenkathete (bezogen auf $\alpha$) ist die Höhe an der Wand: $4 \, \text{m}$. Die Ankathete ist der Abstand zum Wandfuss: $2.5 \, \text{m}$.

Wir haben beide Katheten, also brauchen wir den Tangens.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

$\tan(\alpha) = \frac{4}{2.5}$

$\tan(\alpha) = 1.6$

Jetzt benutzen wir die Umkehrfunktion:

$\alpha = \arctan(1.6)$

$\alpha \approx 58°$

Die Leiter steht in einem Winkel von etwa $58°$ zum Boden.

Beispiel 3: Unbekannte Seite mit Kosinus und anschliessend Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist $\beta = 42°$ und die Ankathete (bezogen auf $\beta$) beträgt $b = 7 \, \text{cm}$. Berechne die Hypotenuse $c$ und die Gegenkathete $a$.

Lösung Teil 1: Hypotenuse berechnen

Die Ankathete und die Hypotenuse sind beteiligt. Das ist der Kosinus.

$\cos(\beta) = \frac{b}{c}$

Wir lösen nach $c$ auf:

$c = \frac{b}{\cos(\beta)}$

$c = \frac{7 \, \text{cm}}{\cos(42°)}$

$c = \frac{7 \, \text{cm}}{0.743}$

$c \approx 9.42 \, \text{cm}$

Lösung Teil 2: Gegenkathete berechnen

Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten. Wir können den Sinus verwenden oder den Satz des Pythagoras.

Variante mit Sinus:

$\sin(\beta) = \frac{a}{c}$

$a = c \cdot \sin(\beta)$

$a = 9.42 \, \text{cm} \cdot \sin(42°)$

$a = 9.42 \, \text{cm} \cdot 0.669$

$a \approx 6.30 \, \text{cm}$

Variante mit Pythagoras (zur Kontrolle):

$a^2 + b^2 = c^2$

$a^2 = c^2 - b^2$

$a^2 = (9.42)^2 - 7^2$

$a^2 = 88.74 - 49$

$a^2 = 39.74$

$a \approx 6.30 \, \text{cm}$

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. Die Gegenkathete ist etwa $6.30 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 4: Höhe eines Baums bestimmen (Anwendungsaufgabe)

Förster Müller möchte die Höhe einer alten Eiche bestimmen. Er stellt sich $25 \, \text{m}$ vom Stamm entfernt auf und misst mit einem Klinometer den Winkel zur Baumspitze: $52°$. Die Messung erfolgt aus einer Augenhöhe von $1.70 \, \text{m}$. Wie hoch ist die Eiche?

Lösung:

Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck zwischen Förster, Baumspitze und einem Punkt am Stamm auf Augenhöhe.

Die Ankathete (Abstand zum Baum) ist $25 \, \text{m}$. Die Gegenkathete ist der Teil des Baums über Augenhöhe. Der Winkel beträgt $52°$.

Wir suchen die Gegenkathete und haben die Ankathete. Das ist der Tangens.

$\tan(52°) = \frac{\text{Gegenkathete}}{25 \, \text{m}}$

$\text{Gegenkathete} = 25 \, \text{m} \cdot \tan(52°)$

$\text{Gegenkathete} = 25 \, \text{m} \cdot 1.28$

$\text{Gegenkathete} \approx 32.0 \, \text{m}$

Das ist nur der Teil über Augenhöhe. Die gesamte Baumhöhe:

$\text{Höhe} = 32.0 \, \text{m} + 1.70 \, \text{m} = 33.70 \, \text{m}$

Die Eiche ist etwa $33.70 \, \text{m}$ hoch.

Häufiger Fehler: Augenhöhe vergessen

Bei praktischen Messaufgaben wird oft aus Augenhöhe gemessen. Diese Höhe musst du am Ende addieren. Zeichne immer eine Skizze, dann siehst du sofort, welche Teile du berücksichtigen musst.

Das Wichtigste in Kürze

• In rechtwinkligen Dreiecken gibt es drei spezielle Seitenverhältnisse: Sinus (Gegenkathete/Hypotenuse), Kosinus (Ankathete/Hypotenuse) und Tangens (Gegenkathete/Ankathete).
• Die Benennung von Ankathete und Gegenkathete hängt vom betrachteten Winkel ab. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel.
• Wähle die Formel, die genau die gegebenen und gesuchten Grössen enthält.
• Mit den Umkehrfunktionen ($\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$) berechnest du Winkel aus Seitenverhältnissen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Winkel $\alpha = 30°$ und die Hypotenuse ist $10 \, \text{cm}$ lang. Wie lang ist die Gegenkathete?

Lösung anzeigen

$\sin(30°) = \frac{a}{10}$

$a = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0.5 = 5 \, \text{cm}$

Die Gegenkathete ist $5 \, \text{cm}$ lang.

❓ Frage: Die Gegenkathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist $6 \, \text{cm}$, die Ankathete ist $8 \, \text{cm}$. Berechne den Winkel $\alpha$.

Lösung anzeigen

$\tan(\alpha) = \frac{6}{8} = 0.75$

$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87°$

Der Winkel $\alpha$ beträgt etwa $37°$.

❓ Frage: Welche Formel verwendest du, wenn du die Ankathete und die Hypotenuse kennst und den Winkel suchst?

Lösung anzeigen

Du verwendest den Kosinus, denn:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Um den Winkel zu finden, berechnest du $\alpha = \arccos\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Werkzeug, um in rechtwinkligen Dreiecken alle Seiten und Winkel zu berechnen. Aber was ist mit Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben? Im nächsten Kapitel lernst du den Sinussatz und den Kosinussatz kennen. Mit diesen beiden Sätzen kannst du beliebige Dreiecke berechnen – ganz ohne rechten Winkel. Die trigonometrischen Funktionen bleiben dabei deine treuen Begleiter.