Kosinussatz einfach erklärt: So berechnest du jedes Dreieck

Stell dir vor, du stehst auf einem Fussballfeld und willst wissen, wie weit der Ball vom Tor entfernt ist. Du kennst deinen Abstand zum Ball, deinen Abstand zum Tor und den Winkel, unter dem du auf beide schaust. Aber die direkte Strecke zwischen Ball und Tor? Die kannst du nicht einfach abmessen.

Genau hier kommt der Kosinussatz ins Spiel. Er ist wie ein mathematischer Detektiv, der fehlende Informationen in Dreiecken aufspürt – auch wenn kein rechter Winkel vorhanden ist.

Vom Satz des Pythagoras zum Kosinussatz

Du kennst bereits den Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$. Dieser gilt allerdings nur für rechtwinklige Dreiecke. Was aber, wenn dein Dreieck keinen rechten Winkel hat?

Der Kosinussatz ist die Erweiterung des Pythagoras für alle Dreiecke. Er funktioniert immer – egal welche Winkel das Dreieck hat.

Schauen wir uns ein allgemeines Dreieck an. Es hat drei Seiten $a$, $b$ und $c$ sowie drei Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. Dabei liegt jeder Winkel der gleichnamigen Seite gegenüber:

• Winkel $\alpha$ liegt gegenüber von Seite $a$
• Winkel $\beta$ liegt gegenüber von Seite $b$
• Winkel $\gamma$ liegt gegenüber von Seite $c$

Der Kosinussatz – Das Werkzeug für beliebige Dreiecke

Der Kosinussatz verbindet drei Seiten eines Dreiecks mit einem Winkel. Du kannst ihn in drei Varianten aufschreiben:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta)$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)$$

Das Muster ist immer gleich: Eine Seite im Quadrat ergibt sich aus der Summe der anderen beiden Seitenquadrate, minus einem Korrekturterm mit dem Kosinus des gegenüberliegenden Winkels.

DEFINITION

Der Kosinussatz lautet: $a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$

Er gilt für jedes Dreieck und verknüpft drei Seiten mit dem Winkel, der der gesuchten Seite gegenüberliegt. Der Term $-2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$ ist der “Korrekturterm”, der den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke erweitert.

Warum funktioniert der Kosinussatz?

Bei einem rechten Winkel ist $\cos(90°) = 0$. Der gesamte Korrekturterm fällt dann weg, und du erhältst den bekannten Satz des Pythagoras zurück.

Bei spitzen Winkeln ist der Kosinus positiv. Der Korrekturterm wird abgezogen, die gesuchte Seite wird kürzer.

Bei stumpfen Winkeln ist der Kosinus negativ. Minus mal negativ ergibt plus – der Term wird also addiert, und die gesuchte Seite wird länger.

Wann brauchst du den Kosinussatz?

Du verwendest den Kosinussatz in zwei Situationen:

1. Du kennst zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) und suchst die dritte Seite.

2. Du kennst alle drei Seiten (SSS) und suchst einen Winkel.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Falscher Winkel verwendet Der Winkel im Kosinussatz liegt immer der gesuchten Seite gegenüber. Wenn du Seite $a$ berechnest, brauchst du Winkel $\alpha$ – nicht $\beta$ oder $\gamma$.

Fehler 2: Taschenrechner auf falschem Modus Der Taschenrechner muss auf “DEG” (Grad) eingestellt sein, nicht auf “RAD” (Radiant). Kontrolliere das vor jeder Rechnung.

Fehler 3: Quadratwurzel vergessen Der Kosinussatz liefert $a^2$, nicht $a$. Am Ende musst du noch die Quadratwurzel ziehen.

Fehler 4: Vorzeichen beim Korrekturterm Es heisst $-2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$. Das Minus gehört zur Formel. Bei stumpfen Winkeln wird $\cos(\alpha)$ selbst negativ, sodass sich insgesamt ein Plus ergibt.

Beispiele

Beispiel 1: Dritte Seite berechnen (Grundaufgabe)

Gegeben: In einem Dreieck gilt $b = 7 \, \text{cm}$, $c = 9 \, \text{cm}$ und $\alpha = 60°$.

Gesucht: Die Seite $a$.

Schritt 1: Passende Formel auswählen. Da wir $a$ suchen und $\alpha$ gegeben ist, verwenden wir:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$$

Schritt 2: Werte einsetzen.

$$a^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(60°)$$

Schritt 3: Berechnen.

$$a^2 = 49 + 81 - 126 \cdot 0{,}5$$$$a^2 = 130 - 63$$$$a^2 = 67$$

Schritt 4: Quadratwurzel ziehen.

$$a = \sqrt{67} \approx 8{,}19 \, \text{cm}$$

Antwort: Die Seite $a$ ist etwa $8{,}19 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Winkel berechnen (Umstellen erforderlich)

Gegeben: Ein Dreieck mit $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 8 \, \text{cm}$ und $c = 10 \, \text{cm}$.

Gesucht: Der Winkel $\alpha$.

Schritt 1: Formel nach $\cos(\alpha)$ umstellen. Wir starten mit:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$$

Umgestellt ergibt sich:

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}$$

Schritt 2: Werte einsetzen.

$$\cos(\alpha) = \frac{8^2 + 10^2 - 5^2}{2 \cdot 8 \cdot 10}$$

Schritt 3: Berechnen.

$$\cos(\alpha) = \frac{64 + 100 - 25}{160}$$$$\cos(\alpha) = \frac{139}{160}$$$$\cos(\alpha) = 0{,}86875$$

Schritt 4: Winkel bestimmen mit der Umkehrfunktion.

$$\alpha = \cos^{-1}(0{,}86875)$$$$\alpha \approx 29{,}7°$$

Antwort: Der Winkel $\alpha$ beträgt etwa $29{,}7°$.

Beispiel 3: Anwendungsaufgabe mit stumpfem Winkel

Situation: Zwei Wanderwege führen von einer Hütte aus. Der eine Weg ist $4 \, \text{km}$ lang, der andere $6 \, \text{km}$. Der Winkel zwischen den beiden Wegen beträgt $120°$. Wie weit sind die Endpunkte der Wege voneinander entfernt?

Gegeben: $b = 4 \, \text{km}$, $c = 6 \, \text{km}$, $\alpha = 120°$

Gesucht: Die Seite $a$ (Abstand der Endpunkte).

Schritt 1: Formel aufstellen.

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$$

Schritt 2: Werte einsetzen.

$$a^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120°)$$

Schritt 3: Kosinus von 120° bestimmen.

$$\cos(120°) = -0{,}5$$

Schritt 4: Berechnen.

$$a^2 = 16 + 36 - 48 \cdot (-0{,}5)$$$$a^2 = 52 - (-24)$$$$a^2 = 52 + 24$$$$a^2 = 76$$

Schritt 5: Quadratwurzel ziehen.

$$a = \sqrt{76} \approx 8{,}72 \, \text{km}$$

Antwort: Die Endpunkte der Wanderwege sind etwa $8{,}72 \, \text{km}$ voneinander entfernt.

Beachte: Weil der Winkel stumpf ist (grösser als $90°$), ist der Kosinus negativ. Dadurch wird aus dem Minus in der Formel ein Plus, und die gesuchte Seite wird länger als bei einem spitzen Winkel.

Beispiel 4: Alle drei Winkel eines Dreiecks berechnen

Gegeben: Ein Dreieck mit $a = 6 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$ und $c = 8 \, \text{cm}$.

Gesucht: Alle drei Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.

Winkel α berechnen:

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c} = \frac{49 + 64 - 36}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{77}{112} \approx 0{,}6875$$$$\alpha = \cos^{-1}(0{,}6875) \approx 46{,}6°$$

Winkel β berechnen:

$$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \frac{36 + 64 - 49}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{51}{96} \approx 0{,}5313$$$$\beta = \cos^{-1}(0{,}5313) \approx 57{,}9°$$

Winkel γ berechnen: Da die Winkelsumme im Dreieck $180°$ beträgt:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 46{,}6° - 57{,}9° = 75{,}5°$$

Probe mit Kosinussatz:

$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b} = \frac{36 + 49 - 64}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{21}{84} = 0{,}25$$$$\gamma = \cos^{-1}(0{,}25) \approx 75{,}5° \quad \checkmark$$

Antwort: $\alpha \approx 46{,}6°$, $\beta \approx 57{,}9°$, $\gamma \approx 75{,}5°$

Das Wichtigste in Kürze

• Der Kosinussatz lautet $a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$ und gilt für alle Dreiecke.

• Der Winkel in der Formel liegt immer der gesuchten Seite gegenüber.

• Verwende den Kosinussatz, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst (SWS) oder alle drei Seiten gegeben sind (SSS).

• Bei rechten Winkeln ($\cos(90°) = 0$) geht der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras über.

• Achte auf den Taschenrechner-Modus: Grad (DEG), nicht Radiant (RAD).

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einem Dreieck sind $b = 5$, $c = 8$ und $\alpha = 90°$ gegeben. Wie lang ist $a$?

Lösung anzeigen

Da $\cos(90°) = 0$, vereinfacht sich der Kosinussatz zu:

$$a^2 = b^2 + c^2 = 25 + 64 = 89$$$$a = \sqrt{89} \approx 9{,}43$$

Das ist genau der Satz des Pythagoras.

❓ Frage: Du kennst in einem Dreieck die Seiten $a = 10$, $b = 12$ und $c = 15$. Welche Formel verwendest du, um den Winkel $\gamma$ zu berechnen?

Lösung anzeigen

Da $\gamma$ gegenüber von $c$ liegt, verwendest du:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)$$

Umgestellt nach $\cos(\gamma)$:

$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}$$

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 7 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$ und den eingeschlossenen Winkel $\gamma = 60°$. Berechne die Seite $c$.

Lösung anzeigen

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)$$$$c^2 = 49 + 49 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(60°)$$$$c^2 = 98 - 98 \cdot 0{,}5 = 98 - 49 = 49$$$$c = \sqrt{49} = 7 \, \text{cm}$$

Das Dreieck ist gleichseitig.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit dem Kosinussatz hast du ein mächtiges Werkzeug kennengelernt. Als nächstes wirst du den Sinussatz entdecken. Dieser verknüpft die Seiten eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Winkeln auf eine andere Weise:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$

Der Sinussatz ist besonders nützlich, wenn du einen Winkel und die gegenüberliegende Seite kennst. Zusammen mit dem Kosinussatz kannst du dann wirklich jedes Dreieck vollständig berechnen – egal welche Kombinationen von Seiten und Winkeln gegeben sind.

Später in der Oberstufe wirst du diese Sätze auf dreidimensionale Probleme anwenden und sogar Vektoren verwenden, um räumliche Figuren zu analysieren.