Katheten- und Höhensatz einfach erklärt: Die Geheimformeln im rechtwinkligen Dreieck

Stell dir vor, du stehst vor einem riesigen Kirchturm und möchtest seine Höhe messen. Ein Klettern ist ausgeschlossen, ein Messband reicht nicht so weit. Doch du hast einen cleveren Trick: Du spannst ein Seil vom Boden zur Turmspitze und misst nur den Abstand zu einem bestimmten Punkt am Boden. Mit den richtigen mathematischen Werkzeugen kannst du daraus die Turmhöhe berechnen – ganz ohne Leiter.

Genau solche Probleme lösen der Kathetensatz und der Höhensatz. Diese beiden Sätze sind wie Spezialwerkzeuge in deinem mathematischen Werkzeugkasten. Sie helfen dir, unbekannte Strecken in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wenn der Satz des Pythagoras allein nicht ausreicht.

Das rechtwinklige Dreieck und seine besonderen Strecken

Bevor wir in die Sätze eintauchen, müssen wir die Bausteine verstehen. Ein rechtwinkliges Dreieck hat drei Seiten: zwei Katheten und eine Hypotenuse. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite – sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Jetzt kommt der entscheidende Schritt: Wir zeichnen die Höhe auf die Hypotenuse. Diese Höhe $h$ fällt vom rechten Winkel senkrecht auf die Hypotenuse und teilt sie in zwei Abschnitte. Diese Abschnitte nennen wir $p$ und $q$.

Stell dir das so vor: Die Hypotenuse $c$ ist wie ein Lineal, das in zwei Teile zerschnitten wird. Der linke Teil heisst $p$, der rechte Teil heisst $q$. Zusammen ergeben sie wieder die ganze Hypotenuse:

$c = p + q$

Die beiden Katheten bezeichnen wir mit $a$ und $b$. Dabei liegt:

• Die Kathete $a$ über dem Hypotenusenabschnitt $p$
• Die Kathete $b$ über dem Hypotenusenabschnitt $q$

Diese Zuordnung ist extrem wichtig. Merke dir: Jede Kathete “gehört” zu ihrem Hypotenusenabschnitt, der direkt unter ihr liegt.

Der Kathetensatz: Das Quadrat wird zum Rechteck

Der Kathetensatz beschreibt eine verblüffende Beziehung. Er sagt uns, wie die Katheten mit den Hypotenusenabschnitten zusammenhängen.

Stell dir ein Quadrat vor, das auf einer Kathete errichtet wird. Dieses Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie ein bestimmtes Rechteck. Welches Rechteck? Eines mit den Seitenlängen $c$ (die ganze Hypotenuse) und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt.

DEFINITION

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

$a^2 = c \cdot p$

$b^2 = c \cdot q$

Dabei ist $a$ die Kathete über $p$, $b$ die Kathete über $q$, und $c$ die Hypotenuse.

Warum funktioniert das?

Der Kathetensatz lässt sich aus dem Satz des Pythagoras und ähnlichen Dreiecken herleiten. Wenn wir die Höhe $h$ auf die Hypotenuse fällen, entstehen zwei kleinere Dreiecke. Diese sind beide ähnlich zum grossen Dreieck. Aus der Ähnlichkeit folgen Verhältnisse, die zum Kathetensatz führen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Kathetensatz

1. Identifiziere die gegebenen Grössen: Welche Werte kennst du? Katheten, Hypotenuse, Hypotenusenabschnitte?
2. Wähle die richtige Formel: Verwende $a^2 = c \cdot p$ für die Kathete $a$ oder $b^2 = c \cdot q$ für die Kathete $b$.
3. Setze die bekannten Werte ein.
4. Löse nach der gesuchten Grösse auf.
5. Ziehe die Wurzel, falls du eine Länge suchst.

Der Höhensatz: Die Höhe als geometrisches Mittel

Der Höhensatz dreht sich um die Höhe $h$ auf die Hypotenuse. Er zeigt eine elegante Beziehung zwischen dieser Höhe und den beiden Hypotenusenabschnitten.

DEFINITION

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat über der Höhe auf die Hypotenuse ist flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

$h^2 = p \cdot q$

Die Höhe $h$ ist somit das geometrische Mittel der Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$.

Was bedeutet “geometrisches Mittel”?

Das geometrische Mittel von zwei Zahlen ist die Wurzel aus ihrem Produkt. Für die Höhe bedeutet das:

$h = \sqrt{p \cdot q}$

Während das arithmetische Mittel (der Durchschnitt) die Zahlen addiert und teilt, multipliziert das geometrische Mittel und zieht die Wurzel. In der Geometrie taucht dieses Konzept häufig auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Höhensatz

1. Identifiziere die gegebenen Grössen: Kennst du $h$, $p$ oder $q$?
2. Setze in die Formel ein: Verwende $h^2 = p \cdot q$.
3. Löse nach der gesuchten Grösse auf.
4. Berechne das Ergebnis.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verwechslung von $p$ und $q$ Viele Schüler vertauschen die Zuordnung der Hypotenusenabschnitte. Merke dir: Der Abschnitt $p$ liegt unter der Kathete $a$, der Abschnitt $q$ unter der Kathete $b$. Zeichne immer eine saubere Skizze und beschrifte alle Strecken!

Fehler 2: Quadrat vergessen Die Formeln enthalten Quadrate: $a^2$, $b^2$, $h^2$. Ein häufiger Fehler ist, diese zu vergessen und stattdessen $a = c \cdot p$ zu schreiben. Das ist falsch! Prüfe immer, ob links und rechts dieselben Einheiten stehen.

Fehler 3: Falscher Satz gewählt Nicht jede Aufgabe lässt sich mit dem gleichen Satz lösen. Frage dich: “Suche ich eine Kathete? Dann Kathetensatz. Suche ich die Höhe? Dann Höhensatz.” Lies die Aufgabe genau und identifiziere, welche Strecke gesucht ist.

Beispiele

Beispiel 1: Kathete mit dem Kathetensatz berechnen

Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $c = 10 \, \text{cm}$ lang. Der Hypotenusenabschnitt $p = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Kathete $a$.

Lösung:

Wir verwenden den Kathetensatz für $a$:

$a^2 = c \cdot p$

Werte einsetzen:

$a^2 = 10 \cdot 4$

$a^2 = 40$

Wurzel ziehen:

$a = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32 \, \text{cm}$

Antwort: Die Kathete $a$ ist etwa $6{,}32 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Höhe mit dem Höhensatz berechnen

Aufgabe: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks wird durch die Höhe in die Abschnitte $p = 3 \, \text{cm}$ und $q = 12 \, \text{cm}$ geteilt. Wie lang ist die Höhe $h$?

Lösung:

Wir verwenden den Höhensatz:

$h^2 = p \cdot q$

Werte einsetzen:

$h^2 = 3 \cdot 12$

$h^2 = 36$

Wurzel ziehen:

$h = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}$

Antwort: Die Höhe $h$ beträgt $6 \, \text{cm}$.

Beispiel 3: Hypotenusenabschnitt berechnen

Aufgabe: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete $b = 8 \, \text{cm}$ und die Hypotenuse $c = 10 \, \text{cm}$. Berechne den Hypotenusenabschnitt $q$.

Lösung:

Wir verwenden den Kathetensatz für $b$:

$b^2 = c \cdot q$

Nach $q$ auflösen:

$q = \frac{b^2}{c}$

Werte einsetzen:

$q = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6{,}4 \, \text{cm}$

Antwort: Der Hypotenusenabschnitt $q$ ist $6{,}4 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 4: Kombination beider Sätze – Alle Strecken berechnen

Aufgabe: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit $p = 5 \, \text{cm}$ und $q = 20 \, \text{cm}$. Berechne die Hypotenuse $c$, die Höhe $h$ und beide Katheten $a$ und $b$.

Lösung:

Schritt 1: Hypotenuse berechnen

$c = p + q = 5 + 20 = 25 \, \text{cm}$

Schritt 2: Höhe mit dem Höhensatz

$h^2 = p \cdot q = 5 \cdot 20 = 100$

$h = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}$

Schritt 3: Kathete $a$ mit dem Kathetensatz

$a^2 = c \cdot p = 25 \cdot 5 = 125$

$a = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18 \, \text{cm}$

Schritt 4: Kathete $b$ mit dem Kathetensatz

$b^2 = c \cdot q = 25 \cdot 20 = 500$

$b = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \approx 22{,}36 \, \text{cm}$

Antwort: $c = 25 \, \text{cm}$, $h = 10 \, \text{cm}$, $a \approx 11{,}18 \, \text{cm}$, $b \approx 22{,}36 \, \text{cm}$.

Beispiel 5: Anwendung in der Praxis – Dachneigung

Aufgabe: Ein Dach hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Dachschräge (Hypotenuse) ist $13 \, \text{m}$ lang. Der Fussboden des Dachbodens (Kathete $b$) misst $12 \, \text{m}$. Wie hoch ist das Dach an der höchsten Stelle (Kathete $a$)?

Lösung:

Hier können wir zunächst den Satz des Pythagoras verwenden, um $a$ zu finden:

$c^2 = a^2 + b^2$

Nach $a$ auflösen:

$a^2 = c^2 - b^2$

Werte einsetzen:

$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$a = \sqrt{25} = 5 \, \text{m}$

Zusatzfrage: Wie lang ist die Höhe auf die Hypotenuse?

Dazu brauchen wir erst einen Hypotenusenabschnitt. Mit dem Kathetensatz:

$b^2 = c \cdot q$

$q = \frac{b^2}{c} = \frac{144}{13} \approx 11{,}08 \, \text{m}$

Dann:

$p = c - q = 13 - 11{,}08 \approx 1{,}92 \, \text{m}$

Höhensatz:

$h^2 = p \cdot q = 1{,}92 \cdot 11{,}08 \approx 21{,}27$

$h \approx 4{,}61 \, \text{m}$

Antwort: Das Dach ist $5 \, \text{m}$ hoch. Die Höhe auf die Dachschräge beträgt etwa $4{,}61 \, \text{m}$.

Der Zusammenhang zwischen den Sätzen und Pythagoras

Du fragst dich vielleicht, wie Kathetensatz, Höhensatz und der Satz des Pythagoras zusammenhängen. Tatsächlich bilden sie eine Familie von Aussagen über rechtwinklige Dreiecke.

Wenn du beide Kathetensätze addierst, erhältst du:

$a^2 + b^2 = c \cdot p + c \cdot q = c \cdot (p + q) = c \cdot c = c^2$

Das ist genau der Satz des Pythagoras! Die Kathetensätze sind also eine “Zerlegung” des Satzes von Pythagoras in zwei Teile.

Auch der Höhensatz lässt sich aus dem Pythagoras herleiten. Alle drei Sätze sind eng miteinander verknüpft und beschreiben verschiedene Aspekte desselben geometrischen Sachverhalts.

Das Wichtigste in Kürze

• Kathetensatz: $a^2 = c \cdot p$ und $b^2 = c \cdot q$. Das Kathetenquadrat entspricht dem Rechteck aus Hypotenuse und anliegendem Abschnitt.
• Höhensatz: $h^2 = p \cdot q$. Das Quadrat der Höhe entspricht dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
• Zuordnung beachten: Die Kathete $a$ gehört zum Abschnitt $p$, die Kathete $b$ zum Abschnitt $q$.
• Skizze anfertigen: Zeichne immer das Dreieck mit allen beschrifteten Strecken, bevor du rechnest.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt $c = 15 \, \text{cm}$ und $p = 5 \, \text{cm}$. Wie gross ist $a^2$?

Lösung anzeigen

Nach dem Kathetensatz gilt $a^2 = c \cdot p$.

$a^2 = 15 \cdot 5 = 75 \, \text{cm}^2$

❓ Frage: Die Hypotenusenabschnitte eines rechtwinkligen Dreiecks sind $p = 2 \, \text{cm}$ und $q = 8 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Höhe $h$?

Lösung anzeigen

Nach dem Höhensatz gilt $h^2 = p \cdot q$.

$h^2 = 2 \cdot 8 = 16$

$h = \sqrt{16} = 4 \, \text{cm}$

❓ Frage: Warum gilt $a^2 + b^2 = c^2$ aus den beiden Kathetensätzen?

Lösung anzeigen

Addiere die beiden Kathetensätze:

$a^2 + b^2 = c \cdot p + c \cdot q$

Klammere $c$ aus:

$a^2 + b^2 = c \cdot (p + q)$

Da $p + q = c$:

$a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$

Das ist der Satz des Pythagoras!

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast nun zwei mächtige Werkzeuge für rechtwinklige Dreiecke kennengelernt. Der nächste Schritt in der Trigonometrie führt dich zu den Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus und Tangens. Mit diesen kannst du nicht nur Seitenlängen, sondern auch Winkel in rechtwinkligen Dreiecken berechnen. Die Winkelfunktionen bauen auf dem Verständnis der Seitenverhältnisse auf – genau das, was du mit Katheten- und Höhensatz trainiert hast. Du bist also bestens vorbereitet!