Fläche eines Dreiecks berechnen: Mit Trigonometrie zum Ziel

Stell dir vor, du möchtest ein dreieckiges Blumenbeet in deinem Garten anlegen. Du kennst die Längen der drei Seiten und einen Winkel – aber wie viel Erde brauchst du? Die klassische Formel verlangt die Höhe, doch die zu messen ist im Garten ziemlich mühsam. Hier kommt die Trigonometrie ins Spiel: Sie ermöglicht dir, die Fläche eines Dreiecks direkt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel zu berechnen – ganz ohne Höhe. In diesem Artikel lernst du diese elegante Methode Schritt für Schritt kennen.

Von der Grundformel zur Trigonometrie

Du kennst sicher die Grundformel für die Fläche eines Dreiecks:

$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Dabei ist $g$ die Grundseite und $h$ die zugehörige Höhe. Diese Formel funktioniert immer – vorausgesetzt, du kennst die Höhe. Doch was, wenn du nur die Seitenlängen und Winkel gegeben hast?

Genau hier setzt die trigonometrische Flächenformel an. Sie nutzt eine geniale Idee: Die Höhe lässt sich mithilfe des Sinus aus einer Seite und einem Winkel berechnen.

Die Höhe als Schlüssel

Betrachten wir ein Dreieck $ABC$ mit den Seiten $a$, $b$ und $c$. Die Höhe $h_c$ steht senkrecht auf der Seite $c$ und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke.

Im rechtwinkligen Teildreieck gilt:

$\sin(\alpha) = \frac{h_c}{b}$

Umgestellt nach der Höhe ergibt sich:

$h_c = b \cdot \sin(\alpha)$

Diese Erkenntnis ist der Durchbruch: Wir können die Höhe durch bekannte Grössen ausdrücken.

Die trigonometrische Flächenformel

Setzen wir unsere Erkenntnis in die Grundformel ein. Mit $g = c$ und $h = h_c = b \cdot \sin(\alpha)$ erhalten wir:

$A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Diese Formel lässt sich für jede Kombination aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel aufstellen.

DEFINITION

Die Fläche eines beliebigen Dreiecks berechnet sich aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

Dabei sind $a$ und $b$ zwei beliebige Seiten des Dreiecks und $\gamma$ der Winkel, der von diesen beiden Seiten eingeschlossen wird. Die Formel gilt analog für alle anderen Seitenkombinationen:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta)$

So wendest du die Formel an

Folge diesem Vorgehen, um die Fläche sicher zu berechnen:

1. Identifiziere die gegebenen Grössen: Welche zwei Seiten und welcher Winkel sind bekannt?
2. Prüfe den eingeschlossenen Winkel: Der gegebene Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen.
3. Setze in die Formel ein: Verwende $A = \frac{1}{2} \cdot \text{Seite}_1 \cdot \text{Seite}_2 \cdot \sin(\text{Winkel})$.
4. Berechne den Sinus: Stelle deinen Taschenrechner auf den richtigen Modus (DEG für Grad, RAD für Bogenmass).
5. Führe die Multiplikation durch: Vergiss nicht, durch 2 zu teilen.
6. Gib die Einheit an: Die Fläche hat immer eine quadratische Einheit (z.B. $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Falscher Winkel gewählt Der Winkel muss zwischen den beiden verwendeten Seiten liegen. Wenn du die Seiten $a$ und $b$ verwendest, brauchst du den Winkel $\gamma$ – nicht $\alpha$ oder $\beta$. Zeichne im Zweifel eine Skizze und markiere den eingeschlossenen Winkel.

Fehler 2: Taschenrechner im falschen Modus Ein Winkel von $30°$ im Bogenmass-Modus (RAD) liefert ein völlig falsches Ergebnis. Kontrolliere vor jeder Rechnung: Ist der Taschenrechner auf DEG eingestellt?

Fehler 3: Division durch 2 vergessen Die Formel enthält den Faktor $\frac{1}{2}$. Ohne ihn berechnest du die Fläche eines Parallelogramms – das ist doppelt so gross wie das Dreieck.

Fehler 4: Einheiten nicht angepasst Wenn die Seiten in Zentimetern gegeben sind, ist die Fläche in Quadratzentimetern. Achte auf konsistente Einheiten und wandle bei Bedarf vorher um.

Beispiele

Beispiel 1: Grundlegende Anwendung

Gegeben: Ein Dreieck mit $a = 8 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$ und $\gamma = 45°$.

Gesucht: Die Fläche $A$.

Lösung:

Der Winkel $\gamma$ liegt zwischen den Seiten $a$ und $b$ – perfekt für unsere Formel.

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(45°)$

Mit $\sin(45°) \approx 0{,}7071$ folgt:

$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot 0{,}7071$

$A = \frac{1}{2} \cdot 33{,}94$

$A \approx 16{,}97 \, \text{cm}^2$

Antwort: Die Fläche des Dreiecks beträgt etwa $16{,}97 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 2: Stumpfer Winkel

Gegeben: Ein Dreieck mit $b = 12 \, \text{m}$, $c = 9 \, \text{m}$ und $\alpha = 120°$.

Gesucht: Die Fläche $A$.

Lösung:

Der Winkel $\alpha$ liegt gegenüber der Seite $a$, also zwischen den Seiten $b$ und $c$. Wir verwenden:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)$

$A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \sin(120°)$

Der Sinus eines stumpfen Winkels ist positiv. Es gilt $\sin(120°) = \sin(180° - 120°) = \sin(60°) \approx 0{,}866$.

$A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot 0{,}866$

$A = \frac{1}{2} \cdot 93{,}53$

$A \approx 46{,}77 \, \text{m}^2$

Antwort: Die Fläche beträgt etwa $46{,}77 \, \text{m}^2$.

Beispiel 3: Anwendung im Alltag – Grundstücksvermessung

Situation: Ein Vermesser misst ein dreieckiges Grundstück. Er bestimmt zwei Seiten mit $a = 25 \, \text{m}$ und $b = 32 \, \text{m}$ sowie den eingeschlossenen Winkel $\gamma = 72°$. Der Quadratmeterpreis beträgt CHF 450.

Gesucht: Die Fläche des Grundstücks und der Gesamtpreis.

Lösung:

Schritt 1: Fläche berechnen

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

$A = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 32 \cdot \sin(72°)$

Mit $\sin(72°) \approx 0{,}951$ erhalten wir:

$A = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 32 \cdot 0{,}951$

$A = \frac{1}{2} \cdot 760{,}8$

$A \approx 380{,}4 \, \text{m}^2$

Schritt 2: Preis berechnen

$\text{Preis} = 380{,}4 \cdot 450 = 171\,180 \, \text{CHF}$

Antwort: Das Grundstück hat eine Fläche von etwa $380{,}4 \, \text{m}^2$ und kostet CHF 171’180.

Beispiel 4: Rückwärts rechnen – Winkel gesucht

Gegeben: Ein Dreieck mit $a = 10 \, \text{cm}$, $b = 14 \, \text{cm}$ und einer Fläche von $A = 56 \, \text{cm}^2$.

Gesucht: Der eingeschlossene Winkel $\gamma$.

Lösung:

Wir stellen die Flächenformel nach $\sin(\gamma)$ um:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

$56 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 \cdot \sin(\gamma)$

$56 = 70 \cdot \sin(\gamma)$

$\sin(\gamma) = \frac{56}{70} = 0{,}8$

Mit der Umkehrfunktion des Sinus:

$\gamma = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13°$

Antwort: Der eingeschlossene Winkel $\gamma$ beträgt etwa $53{,}13°$.

Hinweis: Da $\sin(\gamma) = 0{,}8$ auch für $\gamma = 180° - 53{,}13° = 126{,}87°$ gilt, gibt es theoretisch zwei Lösungen. Welche zutrifft, hängt vom konkreten Dreieck ab.

Spezialfall: Das rechtwinklige Dreieck

Beim rechtwinkligen Dreieck vereinfacht sich die Formel erheblich. Ist $\gamma = 90°$, so gilt $\sin(90°) = 1$:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(90°) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Die beiden Seiten $a$ und $b$ sind hier die Katheten. Das entspricht genau der bekannten Formel für rechtwinklige Dreiecke, bei der eine Kathete als Grundseite und die andere als Höhe dient.

Warum funktioniert die Formel auch für stumpfwinklige Dreiecke?

Bei stumpfwinkligen Dreiecken fällt die Höhe ausserhalb des Dreiecks. Trotzdem bleibt die trigonometrische Flächenformel gültig. Der Grund: Der Sinus eines stumpfen Winkels ist positiv. Für einen Winkel $\alpha$ zwischen $90°$ und $180°$ gilt:

$\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha)$

Die Formel liefert also automatisch das richtige Ergebnis – unabhängig davon, ob das Dreieck spitz-, recht- oder stumpfwinklig ist.

Zusammenhang mit dem Flächeninhalt eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm lässt sich durch eine Diagonale in zwei kongruente Dreiecke teilen. Die Fläche des Parallelogramms beträgt daher:

$A_{\text{Parallelogramm}} = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

Das Dreieck hat genau die halbe Fläche – daher der Faktor $\frac{1}{2}$ in unserer Formel. Diese Verbindung hilft dir, die Formel besser zu verstehen und zu behalten.

Das Wichtigste in Kürze

• Die trigonometrische Flächenformel lautet $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$.
• Du benötigst zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel.
• Die Formel funktioniert für alle Dreieckstypen: spitzwinklig, rechtwinklig und stumpfwinklig.
• Achte auf den richtigen Taschenrechnermodus (DEG für Grad) und vergiss die Division durch 2 nicht.
• Die Fläche hat immer eine quadratische Einheit ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ etc.).

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 5 \, \text{cm}$ und $b = 8 \, \text{cm}$ mit dem eingeschlossenen Winkel $\gamma = 30°$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

Mit der Formel $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ erhalten wir:

$A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin(30°)$

Da $\sin(30°) = 0{,}5$:

$A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \, \text{cm}^2$

❓ Frage: Welchen Winkel musst du verwenden, wenn du die Fläche mit den Seiten $b$ und $c$ berechnen willst?

Lösung anzeigen

Du musst den Winkel $\alpha$ verwenden. Er ist der Winkel, der von den Seiten $b$ und $c$ eingeschlossen wird. Die Formel lautet dann:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)$

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Fläche $A = 30 \, \text{cm}^2$. Die Seiten $a = 10 \, \text{cm}$ und $b = 12 \, \text{cm}$ sind bekannt. Berechne den eingeschlossenen Winkel $\gamma$.

Lösung anzeigen

Wir stellen die Formel um:

$30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(\gamma)$

$30 = 60 \cdot \sin(\gamma)$

$\sin(\gamma) = \frac{30}{60} = 0{,}5$

$\gamma = \arcsin(0{,}5) = 30°$

Der eingeschlossene Winkel beträgt $30°$ (oder $150°$, falls das Dreieck stumpfwinklig ist).

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit der trigonometrischen Flächenformel hast du ein mächtiges Werkzeug kennengelernt. Als Nächstes wirst du den Sinussatz und den Kosinussatz entdecken. Diese Sätze ermöglichen dir, in beliebigen Dreiecken fehlende Seiten und Winkel zu berechnen – selbst wenn kein rechter Winkel vorhanden ist. Damit kannst du dann auch komplexere Vermessungsaufgaben und Anwendungen in Physik und Technik lösen.