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Standardschreibweise einfach erklärt: Grosse und kleine Zahlen im Griff

Eine kleine Zeitreise

Abschnitt betitelt „Eine kleine Zeitreise“

Die Notwendigkeit, sehr grosse Zahlen präzise darzustellen, ist so alt wie die Astronomie selbst. Bereits der griechische Mathematiker Archimedes (287–212 v. Chr.) erkannte das Problem. In seinem Werk Sandrechner (griechisch: Psammites) stellte er sich die Frage: Wie viele Sandkörner würden das gesamte Universum füllen? Die damals bekannte Antwort war eine unvorstellbar grosse Zahl. Archimedes entwickelte dafür ein eigenes Zahlensystem, das auf Potenzen von 10’000 basierte – ein früher Vorläufer unserer heutigen Methode.

Der eigentliche Durchbruch kam jedoch mit der Entwicklung des Dezimalsystems und der Einführung von Dezimalbrüchen im 16. und 17. Jahrhundert. Der flämische Mathematiker Simon Stevin beschrieb 1585 das Dezimalsystem systematisch. Erst dadurch wurde es möglich, auch sehr kleine Zahlen präzise zu notieren. Parallel dazu entstand die Potenzschreibweise: Der französische Philosoph und Mathematiker René Descartes führte 1637 in seiner Géométrie die hochgestellten Exponenten ein, wie wir sie heute kennen.

Die eigentliche wissenschaftliche Notation, wie wir sie heute verwenden, setzte sich im 19. und frühen 20. Jahrhundert durch. Mit dem Aufstieg der modernen Naturwissenschaften – Atomphysik, Astrophysik, Biochemie – wurde der Bedarf an einer einheitlichen, kompakten Schreibweise immer dringlicher. Physiker wie Max Planck arbeiteten mit Grössen wie dem Planckschen Wirkungsquantum h=6.626⋅10−34h = 6.626 \cdot 10^{-34} Js. Ohne eine standardisierte Notation wäre die internationale wissenschaftliche Kommunikation kaum möglich.

Heute ist die Standardschreibweise (englisch: scientific notation) in den Naturwissenschaften, der Technik und der Informatik universell akzeptiert. Sie ist auf jedem Taschenrechner und in jeder Programmiersprache integriert. Die Taste „EXP” oder „×10^x” auf deinem Taschenrechner steht direkt für dieses Prinzip. Was Archimedes mühsam mit Worten beschreiben musste, schreibst du heute in wenigen Zeichen auf.

Die Grundlagen

Abschnitt betitelt „Die Grundlagen“

Bevor du die Standardschreibweise anwendest, musst du das Werkzeug dahinter verstehen: die Zehnerpotenz. Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10. Ihr Exponent gibt an, wie oft du 10 mit sich selbst multiplizierst.

101=1010^1 = 10

102=10010^2 = 100

103=100010^3 = 1000

10−1=0.110^{-1} = 0.1

10−2=0.0110^{-2} = 0.01

10−3=0.00110^{-3} = 0.001

Das Muster ist eindeutig: Ein positiver Exponent entspricht der Anzahl der Nullen hinter der 1. Ein negativer Exponent entspricht der Anzahl der Stellen nach dem Komma bis zur 1.

Die Grundidee der Standardschreibweise ist simpel: Du trennst die „bedeutsamen Ziffern” von den „Grössenordnungs-Nullen”. Die bedeutsamen Ziffern packst du in eine übersichtliche Zahl zwischen 1 und 10. Die Nullen ersetzt du durch eine Zehnerpotenz.

Betrachte die Zahl 3000. Du kannst sie schreiben als:

3000=3⋅1000=3⋅1033000 = 3 \cdot 1000 = 3 \cdot 10^3

Die Zahl 33 ist der „interessante Teil”. Die 10310^3 sagt, dass du das Komma um 3 Stellen nach rechts verschieben musst.

Die Kernmethode

Abschnitt betitelt „Die Kernmethode“

Eine Zahl in Standardschreibweise besteht immer aus zwei Teilen: einer Mantisse und einer Zehnerpotenz.

a⋅10na \cdot 10^n

Dabei gilt:

  • aa ist eine Zahl mit genau einer Ziffer vor dem Komma: 1≤a<101 \leq a < 10
  • nn ist eine ganze Zahl, die die Grössenordnung bestimmt

Grosse Zahlen umwandeln – vier Schritte:

  1. Finde die erste Ziffer ungleich Null.
  2. Setze das Komma direkt hinter diese erste Ziffer.
  3. Zähle, um wie viele Stellen das Komma nach links wandert. Das ist dein positiver Exponent.
  4. Schreibe das Ergebnis als a⋅10na \cdot 10^n.

Kleine Zahlen umwandeln – vier Schritte:

  1. Finde die erste Ziffer ungleich Null nach dem Komma.
  2. Setze das Komma direkt hinter diese Ziffer.
  3. Zähle, um wie viele Stellen das Komma nach rechts wandert. Das ist der Betrag deines negativen Exponenten.
  4. Schreibe das Ergebnis als a⋅10−na \cdot 10^{-n}.
Beispiel:

Beispiel 1: Entfernung zum Mond

Abschnitt betitelt „Beispiel 1: Entfernung zum Mond“

Die durchschnittliche Entfernung zwischen Erde und Mond beträgt 384’400 km. Schreibe diese Zahl in Standardschreibweise.

Lösung:

Schritt 1: Erste Ziffer ist 3.

Schritt 2: Komma direkt hinter die 3 setzen → 3.844

Schritt 3: Das Komma wandert von 384’400 zu 3.844 – das sind 5 Stellen nach links.

Schritt 4: Der Exponent ist positiv, da wir eine grosse Zahl haben.

384′400 km=3.844⋅105 km384'400 \, \text{km} = 3.844 \cdot 10^5 \, \text{km}

Kontrolle: 3.844⋅100′000=384′4003.844 \cdot 100'000 = 384'400 ✓

Die Mantisse 3.844 liegt im erlaubten Bereich 1≤3.844<101 \leq 3.844 < 10. Das Ergebnis ist korrekt.

Beispiel:

Beispiel 2: Durchmesser eines Wasserstoffatoms

Abschnitt betitelt „Beispiel 2: Durchmesser eines Wasserstoffatoms“

Der Durchmesser eines Wasserstoffatoms beträgt etwa 0.000000000106 Meter. Wandle diese Zahl in die Standardschreibweise um.

Lösung:

Schritt 1: Erste Ziffer ungleich Null nach dem Komma ist 1.

Schritt 2: Komma direkt hinter die 1 setzen → 1.06

Schritt 3: Das Komma wandert 10 Stellen nach rechts.

Schritt 4: Da wir eine kleine Zahl haben, ist der Exponent negativ.

0.000000000106 m=1.06⋅10−10 m0.000000000106 \, \text{m} = 1.06 \cdot 10^{-10} \, \text{m}

Kontrolle: 1.06⋅10−10=1.06⋅0.0000000001=0.0000000001061.06 \cdot 10^{-10} = 1.06 \cdot 0.0000000001 = 0.000000000106 ✓

Diese Grössenordnung hat sogar einen eigenen Namen: Ein Ångström (1 A˚=10−10 m1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, \text{m}). In dieser Einheit hat ein Wasserstoffatom einen Durchmesser von 1.06 Å.

Die häufigsten Stolpersteine

Abschnitt betitelt „Die häufigsten Stolpersteine“
Beispiel:

Beispiel 3: Lichtgeschwindigkeit rückwärts umwandeln

Abschnitt betitelt „Beispiel 3: Lichtgeschwindigkeit rückwärts umwandeln“

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 2.998⋅108 m/s2.998 \cdot 10^8 \, \text{m/s}. Schreibe diese Zahl ohne Zehnerpotenz.

Lösung:

Der Exponent ist +8+8. Das Komma verschiebt sich 8 Stellen nach rechts.

Ausgangspunkt: 2,9982{,}998

Stelle 1: 29.98 | Stelle 2: 299.8 | Stelle 3: 2998 | Stelle 4: 29’980

Stelle 5: 299’800 | Stelle 6: 2’998’000 | Stelle 7: 29’980’000 | Stelle 8: 299’800’000

2.998⋅108 m/s=299′800′000 m/s2.998 \cdot 10^8 \, \text{m/s} = 299'800'000 \, \text{m/s}

Das sind knapp 300 Millionen Meter pro Sekunde. In einer einzigen Sekunde legt Licht die Strecke von der Erde zum Mond zurück – und noch eine gute Strecke weiter. Die Standardschreibweise macht sofort klar, dass wir hier von einer Zahl im Bereich von Hundertmillionen sprechen.

Beispiel:

Beispiel 4: Zwei Zahlen vergleichen

Abschnitt betitelt „Beispiel 4: Zwei Zahlen vergleichen“

Welche Zahl ist grösser: 8.5⋅10−48.5 \cdot 10^{-4} oder 9.2⋅10−59.2 \cdot 10^{-5}?

Lösung:

Beim Vergleichen schaust du zuerst auf den Exponenten. Hier gilt −4>−5-4 > -5. Die Zahl mit dem grösseren Exponenten ist grösser – auch bei negativen Exponenten.

Zur Kontrolle wandelst du beide in Dezimalschreibweise um:

8.5⋅10−4=0.000858.5 \cdot 10^{-4} = 0.00085

9.2⋅10−5=0.0000929.2 \cdot 10^{-5} = 0.000092

Vergleich: 0.00085>0.0000920.00085 > 0.000092

⇒8.5⋅10−4>9.2⋅10−5\Rightarrow \quad 8.5 \cdot 10^{-4} > 9.2 \cdot 10^{-5}

Merkregel: Vergleiche zuerst die Exponenten. Sind die Exponenten gleich, vergleichst du die Mantissen. Sind die Exponenten verschieden, entscheidet der Exponent – unabhängig von der Mantisse.

Vertiefung

Abschnitt betitelt „Vertiefung“

Du kannst die Standardschreibweise nicht nur zum Darstellen von Zahlen verwenden – sie erleichtert auch das Rechnen enorm. Beim Multiplizieren und Dividieren verwendest du die Potenzgesetze.

Multiplizieren: Die Mantissen werden multipliziert, die Exponenten addiert.

(a⋅10m)⋅(b⋅10n)=(a⋅b)⋅10m+n\left( a \cdot 10^m \right) \cdot \left( b \cdot 10^n \right) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}

Dividieren: Die Mantissen werden dividiert, die Exponenten subtrahiert.

a⋅10mb⋅10n=ab⋅10m−n\frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}

Wichtiger Hinweis: Nach dem Rechnen musst du prüfen, ob das Ergebnis noch in Standardschreibweise vorliegt. Wenn die neue Mantisse ausserhalb von [1,10)[1, 10) liegt, musst du anpassen.

Beispiel: (3⋅104)⋅(5⋅103)=15⋅107(3 \cdot 10^4) \cdot (5 \cdot 10^3) = 15 \cdot 10^7. Aber 15≥1015 \geq 10, also ist das noch keine Standardschreibweise. Du schreibst: 1.5⋅1081.5 \cdot 10^8.

Der Exponent der Zehnerpotenz verrät dir ausserdem sofort die Grössenordnung einer Zahl:

ExponentGrössenordnungBeispiel
101210^{12}BillionenStaatsschulden in CHF
10910^9MilliardenWeltbevölkerung
10610^6MillionenEinwohner Zürich mal 10
10310^3TausendePreis eines Gebrauchtwagens
10−310^{-3}TausendstelMillimeter in Metern
10−610^{-6}MillionstelMikrometer
10−910^{-9}MilliardstelNanometer
Beispiel:

Beispiel 5: Rechnen mit Standardschreibweise

Abschnitt betitelt „Beispiel 5: Rechnen mit Standardschreibweise“

Ein Bakterium hat eine Masse von etwa 9.5⋅10−139.5 \cdot 10^{-13} Gramm. Wie viel wiegen 1 Million solcher Bakterien?

Lösung:

Eine Million entspricht 10610^6. Wir multiplizieren:

(9.5⋅10−13)⋅106\left( 9.5 \cdot 10^{-13} \right) \cdot 10^6

Die Mantisse 9.59.5 bleibt unverändert. Die Exponenten werden addiert:

=9.5⋅10−13+6=9.5⋅10−7 g= 9.5 \cdot 10^{-13 + 6} = 9.5 \cdot 10^{-7} \, \text{g}

Kontrolle: Die Mantisse 9.5 liegt im Bereich [1,10)[1, 10) ✓

Das entspricht 0.000000950.00000095 Gramm oder 0.950.95 Mikrogramm. Selbst eine Million Bakterien wiegen also weniger als ein Millionstel Gramm. Die Standardschreibweise macht diesen erstaunlichen Fakt sofort ablesbar: Der Exponent −7-7 zeigt, dass wir uns tief im Bereich der Zehntel-Mikrogramm bewegen.

Übungen

Abschnitt betitelt „Übungen“

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit den ersten Aufgaben, um ein Gefühl für die Methode zu bekommen. Löse jede Aufgabe vollständig, bevor du zur nächsten gehst. Die ausführlichen Lösungswege findest du am Ende dieses Kapitels.

Aufgabe 1 (Grundlagen) Schreibe die Zahl 57’000 in Standardschreibweise.

Aufgabe 2 (Grundlagen) Schreibe die Zahl 0.0083 in Standardschreibweise.

Aufgabe 3 (Grundlagen) Wandle 6.1⋅1046.1 \cdot 10^4 in die Dezimalschreibweise um.

Aufgabe 4 (Grundlagen) Wandle 3.75⋅10−33.75 \cdot 10^{-3} in die Dezimalschreibweise um.

Aufgabe 5 (Mittelschwer) Welche der folgenden Darstellungen ist korrekte Standardschreibweise? (a) 0.52⋅1060.52 \cdot 10^6 (b) 5.2⋅1055.2 \cdot 10^5 (c) 52⋅10452 \cdot 10^4 (d) 5.2⋅10−55.2 \cdot 10^{-5}

Aufgabe 6 (Mittelschwer) Ordne die folgenden Zahlen der Grösse nach (von klein nach gross): 4.1⋅1034.1 \cdot 10^3, 8.9⋅1028.9 \cdot 10^2, 1.2⋅1041.2 \cdot 10^4, 6.3⋅1036.3 \cdot 10^3

Aufgabe 7 (Mittelschwer) Das Plancksche Wirkungsquantum beträgt h=0.0000000000000000000000000000000006626h = 0.0000000000000000000000000000000006626 Js. Schreibe hh in Standardschreibweise.

Aufgabe 8 (Anspruchsvoll) Berechne und gib das Ergebnis in Standardschreibweise an: (4⋅105)⋅(3⋅103)(4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^3)

Aufgabe 9 (Anspruchsvoll) Berechne und gib das Ergebnis in Standardschreibweise an: 9⋅1073⋅10−2\dfrac{9 \cdot 10^7}{3 \cdot 10^{-2}}

Aufgabe 10 (Herausforderung) Das Licht benötigt für die Strecke von der Sonne zur Erde etwa 499 Sekunden. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 3⋅108 m/s3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}. Berechne die Entfernung Erde-Sonne in Metern und gib das Ergebnis in Standardschreibweise an.

Das Wichtigste in Kürze

Abschnitt betitelt „Das Wichtigste in Kürze“
  • Die Standardschreibweise hat die Form a⋅10na \cdot 10^n mit 1≤a<101 \leq a < 10 und n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  • Die Mantisse aa enthält die bedeutsamen Ziffern der Zahl.
  • Der Exponent nn gibt die Grössenordnung an.
  • Grosse Zahlen haben positive Exponenten. Kleine Dezimalbrüche nahe Null haben negative Exponenten.
  • Zum Umwandeln zählst du die Kommaverschiebung: nach links ergibt einen positiven Exponenten, nach rechts einen negativen.
  • Beim Rechnen addierst du die Exponenten bei Multiplikation und subtrahierst sie bei Division.
  • Nach jeder Rechnung prüfst du, ob die Mantisse noch im Bereich [1,10)[1, 10) liegt.
❓ Frage: Welche Darstellung ist korrekte Standardschreibweise für die Zahl 47’200?
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Die korrekte Antwort ist 4.72⋅1044.72 \cdot 10^4. Begründung: Die Mantisse 4.72 liegt im erlaubten Bereich 1≤4.72<101 \leq 4.72 < 10. Das Komma wurde 4 Stellen nach links verschoben. Falsch wären:

  • 47.2⋅10347.2 \cdot 10^3 – Mantisse zu gross (47.2 ≥ 10)
  • 0.472⋅1050.472 \cdot 10^5 – Mantisse zu klein (0.472 < 1)
  • 4.72⋅1054.72 \cdot 10^5 – würde 472’000 ergeben, nicht 47’200 Kontrolle: 4.72⋅104=4.72⋅10′000=47′2004.72 \cdot 10^4 = 4.72 \cdot 10'000 = 47'200 ✓
❓ Frage: Schreibe die Zahl 0.0000507 in Standardschreibweise.
Lösung anzeigen

0.0000507=5.07⋅10−50.0000507 = 5.07 \cdot 10^{-5} Lösungsweg:

  1. Erste Ziffer ungleich Null: 5
  2. Komma hinter die 5 setzen: 5.07
  3. Stellen zählen: Das Komma wandert 5 Stellen nach rechts
  4. Verschiebung nach rechts → negativer Exponent Kontrolle: 5.07⋅0.00001=0.00005075.07 \cdot 0.00001 = 0.0000507 ✓ Die Mantisse 5.07 liegt im Bereich [1,10)[1, 10). Das Ergebnis ist korrekt.
❓ Frage: Welche Zahl ist grösser: 3.8⋅10−23.8 \cdot 10^{-2} oder 9.1⋅10−39.1 \cdot 10^{-3}?
Lösung anzeigen

Die grössere Zahl ist 3.8⋅10−23.8 \cdot 10^{-2}. Begründung: Der Exponent −2-2 ist grösser als der Exponent −3-3 (da −2>−3-2 > -3 auf der Zahlengeraden). Kontrolle durch Umwandlung:

  • 3.8⋅10−2=0.0383.8 \cdot 10^{-2} = 0.038
  • 9.1⋅10−3=0.00919.1 \cdot 10^{-3} = 0.0091 Und tatsächlich: 0.038>0.00910.038 > 0.0091 ✓ Wichtig: Auch wenn die Mantisse 9.1 grösser ist als 3.8, entscheidet bei verschiedenen Exponenten der Exponent.
❓ Frage: Berechne (2⋅103)⋅(4⋅105)(2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5) und gib das Ergebnis in Standardschreibweise an.
Lösung anzeigen

(2⋅103)⋅(4⋅105)=(2⋅4)⋅103+5=8⋅108\left(2 \cdot 10^3\right) \cdot \left(4 \cdot 10^5\right) = (2 \cdot 4) \cdot 10^{3+5} = 8 \cdot 10^8 Lösungsweg:

  1. Mantissen multiplizieren: 2⋅4=82 \cdot 4 = 8
  2. Exponenten addieren: 3+5=83 + 5 = 8
  3. Ergebnis prüfen: 8⋅1088 \cdot 10^8 – Mantisse 8 liegt in [1,10)[1, 10) ✓ Das Ergebnis muss nicht angepasst werden, da die Mantisse 8 bereits im erlaubten Bereich liegt. Kontrolle: 8⋅108=800′000′0008 \cdot 10^8 = 800'000'000 und 2000⋅400′000=800′000′0002000 \cdot 400'000 = 800'000'000 ✓
❓ Frage: Die Masse der Erde beträgt 5.97⋅10245.97 \cdot 10^{24} kg. Wie viele Stellen hat diese Zahl, wenn du sie vollständig ausschreibst?
Lösung anzeigen

Die Zahl 5.97⋅10245.97 \cdot 10^{24} ausgeschrieben: 5′970′000′000′000′000′000′000′000 kg5'970'000'000'000'000'000'000'000 \, \text{kg} Diese Zahl hat insgesamt 25 Stellen. Erklärung: Der Exponent 24 gibt an, wie viele Stellen nach der ersten Ziffer folgen. Die Mantisse 5.97 hat drei bedeutsame Ziffern (5, 9, 7). Also folgen nach diesen drei Ziffern noch 24−2=2224 - 2 = 22 Nullen. Gesamtanzahl der Stellen: 1+2+22=251 + 2 + 22 = 25. Dies zeigt eindrucksvoll, warum die Standardschreibweise unverzichtbar ist.

Ausblick

Abschnitt betitelt „Ausblick“

Du hast gelernt, wie du mit der Standardschreibweise sehr grosse und sehr kleine Zahlen elegant darstellst. Diese Fähigkeit ist die Grundlage für das Rechnen mit Potenzen in wissenschaftlichen Kontexten. Im nächsten Schritt lernst du die Potenzgesetze systematisch kennen: Wie multiplizierst und dividierst du (3⋅105)⋅(4⋅103)(3 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^3) schnell und sicher? Die Potenzgesetze geben dir dafür elegante Werkzeuge. Ausserdem bildet die Standardschreibweise eine wichtige Brücke zu den Logarithmen – dort lernst du, wie man aus Exponenten direkt Zahlen berechnet und umgekehrt.

Lösungen

Abschnitt betitelt „Lösungen“

Lösung zu Aufgabe 1: 57′00057'000 in Standardschreibweise

Erste Ziffer: 5. Komma setzen: 5.7. Das Komma wandert 4 Stellen nach links.

57′000=5.7⋅10457'000 = 5.7 \cdot 10^4

Kontrolle: 5.7⋅10′000=57′0005.7 \cdot 10'000 = 57'000 ✓

Lösung zu Aufgabe 2: 0.00830.0083 in Standardschreibweise

Erste Ziffer ungleich Null: 8. Komma setzen: 8.3. Das Komma wandert 3 Stellen nach rechts.

0.0083=8.3⋅10−30.0083 = 8.3 \cdot 10^{-3}

Kontrolle: 8.3⋅0.001=0.00838.3 \cdot 0.001 = 0.0083 ✓

Lösung zu Aufgabe 3: 6.1⋅1046.1 \cdot 10^4 in Dezimalschreibweise

Exponent ist +4+4, also Komma 4 Stellen nach rechts:

6.1⋅104=61′0006.1 \cdot 10^4 = 61'000

Lösung zu Aufgabe 4: 3.75⋅10−33.75 \cdot 10^{-3} in Dezimalschreibweise

Exponent ist −3-3, also Komma 3 Stellen nach links:

3.75⋅10−3=0.003753.75 \cdot 10^{-3} = 0.00375

Lösung zu Aufgabe 5: Korrekte Standardschreibweise

  • (a) 0.52⋅1060.52 \cdot 10^6: falsch, Mantisse 0.52<10.52 < 1
  • (b) 5.2⋅1055.2 \cdot 10^5: korrekt, Mantisse liegt in [1,10)[1, 10)
  • (c) 52⋅10452 \cdot 10^4: falsch, Mantisse 52≥1052 \geq 10
  • (d) 5.2⋅10−55.2 \cdot 10^{-5}: formal korrekt, aber steht für 0.0000520.000052, nicht für 520′000520'000

Die gesuchte Darstellung für 520′000520'000 ist (b) 5.2⋅1055.2 \cdot 10^5.

Lösung zu Aufgabe 6: Zahlen der Grösse nach ordnen

Umwandeln in Dezimalschreibweise:

  • 4.1⋅103=4′1004.1 \cdot 10^3 = 4'100
  • 8.9⋅102=8908.9 \cdot 10^2 = 890
  • 1.2⋅104=12′0001.2 \cdot 10^4 = 12'000
  • 6.3⋅103=6′3006.3 \cdot 10^3 = 6'300

Reihenfolge von klein nach gross:

8.9⋅102  <  4.1⋅103  <  6.3⋅103  <  1.2⋅1048.9 \cdot 10^2 \;<\; 4.1 \cdot 10^3 \;<\; 6.3 \cdot 10^3 \;<\; 1.2 \cdot 10^4

Lösung zu Aufgabe 7: Plancksches Wirkungsquantum

h=0.0000000000000000000000000000000006626h = 0.0000000000000000000000000000000006626 Js

Die erste Ziffer ungleich Null ist 6. Das Komma wandert 34 Stellen nach rechts.

h=6.626⋅10−34 Jsh = 6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}

Kontrolle: 6.626⋅10−346.626 \cdot 10^{-34} – Mantisse liegt in [1,10)[1, 10) ✓

Lösung zu Aufgabe 8: (4⋅105)⋅(3⋅103)(4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^3)

Mantissen multiplizieren: 4⋅3=124 \cdot 3 = 12

Exponenten addieren: 5+3=85 + 3 = 8

Vorläufiges Ergebnis: 12⋅10812 \cdot 10^8

Die Mantisse 12 liegt nicht in [1,10)[1, 10). Anpassung: 12=1.2⋅10112 = 1.2 \cdot 10^1

12⋅108=1.2⋅101⋅108=1.2⋅10912 \cdot 10^8 = 1.2 \cdot 10^1 \cdot 10^8 = 1.2 \cdot 10^9

⇒(4⋅105)⋅(3⋅103)=1.2⋅109\Rightarrow (4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^3) = 1.2 \cdot 10^9

Lösung zu Aufgabe 9: 9⋅1073⋅10−2\dfrac{9 \cdot 10^7}{3 \cdot 10^{-2}}

Mantissen dividieren: 9÷3=39 \div 3 = 3

Exponenten subtrahieren: 7−(−2)=7+2=97 - (-2) = 7 + 2 = 9

9⋅1073⋅10−2=3⋅109\frac{9 \cdot 10^7}{3 \cdot 10^{-2}} = 3 \cdot 10^9

Mantisse 3 liegt in [1,10)[1, 10) ✓

Kontrolle: 90′000′0000.03=3′000′000′000=3⋅109\dfrac{90'000'000}{0.03} = 3'000'000'000 = 3 \cdot 10^9 ✓

Lösung zu Aufgabe 10: Entfernung Erde-Sonne

Gegeben: Lichtgeschwindigkeit c=3⋅108 m/sc = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}, Zeit t=499 st = 499 \, \text{s}

Formel: Entfernung == Geschwindigkeit ⋅\cdot Zeit

d=c⋅t=(3⋅108 ms)⋅499 sd = c \cdot t = \left(3 \cdot 10^8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}\right) \cdot 499 \, \text{s}

=3⋅499⋅108 m= 3 \cdot 499 \cdot 10^8 \, \text{m}

=1497⋅108 m= 1497 \cdot 10^8 \, \text{m}

Mantisse 1497 anpassen: 1497=1.497⋅1031497 = 1.497 \cdot 10^3

=1.497⋅103⋅108=1.497⋅1011 m= 1.497 \cdot 10^3 \cdot 10^8 = 1.497 \cdot 10^{11} \, \text{m}

Die Entfernung Erde-Sonne beträgt ungefähr 1.497⋅10111.497 \cdot 10^{11} Meter oder rund 150 Millionen Kilometer. Dieser Wert stimmt sehr gut mit dem tatsächlichen Mittelwert von etwa 1.496⋅10111.496 \cdot 10^{11} Metern überein.