Potenzgleichungen lösen: Dein Leitfaden für Gleichungen mit Unbekannten im Exponenten

Stell dir vor, du legst 1000 CHF auf ein Sparkonto mit festem Zinssatz. Die Bank verspricht dir, dass sich dein Geld bei diesem Zins irgendwann verdoppelt. Aber wann genau? Nach 5 Jahren? Nach 10? Nach 20? Du kennst den Zinssatz, du kennst das Ziel – aber die Anzahl der Jahre ist ein Rätsel.

Genau solche Fragen führen uns zu einer besonderen Art von Gleichungen. Bei diesen Gleichungen versteckt sich die Unbekannte nicht wie gewohnt als Faktor vor einem $x$, sondern ganz oben – im Exponenten. Diese Gleichungen nennen wir Potenzgleichungen. In diesem Kapitel lernst du, wie du solche Gleichungen systematisch knackst und die versteckte Unbekannte ans Licht holst.

Was macht Potenzgleichungen besonders?

Erinnern wir uns kurz an das Sparkonto-Beispiel. Wenn du 1000 CHF zu einem Zinssatz von 5% pro Jahr anlegst, berechnet sich dein Guthaben nach $n$ Jahren so:

$K = 1000 \cdot 1{,}05^n$

Du möchtest wissen, wann dein Guthaben 2000 CHF erreicht. Also setzt du $K = 2000$ ein:

$2000 = 1000 \cdot 1{,}05^n$

Schau dir diese Gleichung genau an. Das $n$ sitzt im Exponenten. Du kannst die Gleichung nicht einfach nach $n$ auflösen, indem du durch etwas dividierst oder eine Wurzel ziehst – zumindest nicht direkt. Hier beginnt das Abenteuer der Potenzgleichungen.

Was ist eine Potenzgleichung?

Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Exponenten einer Potenz steht. Die allgemeine Form sieht so aus:

$a^x = b$

Dabei ist $a$ die Basis (eine positive Zahl, $a \neq 1$), $x$ die gesuchte Unbekannte und $b$ das Ergebnis.

DEFINITION

Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung der Form $a^x = b$, bei der die Unbekannte $x$ im Exponenten steht. Um sie zu lösen, benötigst du den Logarithmus als Umkehrfunktion der Potenz. Die Lösung lautet:

$x = \log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$

Der Logarithmus: Dein Werkzeug zum Lösen

Der Logarithmus ist genau das Werkzeug, das wir brauchen. Er beantwortet die Frage: “Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?”

Wenn $2^x = 8$ ist, dann fragst du: “Hoch welche Zahl ergibt 2 das Ergebnis 8?” Die Antwort ist 3, denn $2^3 = 8$. Mathematisch schreibst du das so:

$x = \log_2(8) = 3$

Für Gleichungen, die sich nicht so schön im Kopf lösen lassen, verwendest du den natürlichen Logarithmus $\ln$ und die Umrechnungsformel:

$x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$

Diese Formel funktioniert für alle Potenzgleichungen und lässt sich leicht in den Taschenrechner eintippen.

Potenzgleichungen lösen: Die Schritt-für-Schritt-Methode

Hier ist dein “Kochrezept” für das Lösen von Potenzgleichungen:

1. Isolieren: Bringe die Potenz allein auf eine Seite der Gleichung.
2. Logarithmieren: Wende den Logarithmus auf beide Seiten an.
3. Umformen: Nutze die Logarithmusgesetze, um den Exponenten “herunterzuholen”.
4. Auflösen: Löse die entstandene Gleichung nach der Unbekannten auf.
5. Überprüfen: Setze dein Ergebnis zur Kontrolle in die Ursprungsgleichung ein.

Schauen wir uns diese Schritte an einem konkreten Beispiel an.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vergessen, die Potenz zuerst zu isolieren

Viele Schüler logarithmieren sofort, ohne die Potenz vorher allein zu stellen. Bei $3 \cdot 2^x = 24$ musst du zuerst durch 3 dividieren, um $2^x = 8$ zu erhalten. Erst dann darfst du logarithmieren.

Fehler 2: Den Logarithmus falsch anwenden

Der Logarithmus einer Summe ist NICHT die Summe der Logarithmen! Es gilt: $\ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b)$. Das Logarithmusgesetz $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$ gilt nur für Produkte.

Fehler 3: Negative Zahlen oder Null im Logarithmus

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Wenn du bei einer Gleichung wie $5^x = -3$ landest, gibt es keine reelle Lösung. Prüfe immer, ob das Argument des Logarithmus positiv ist.

Beispiele

Beispiel 1: Eine einfache Potenzgleichung

Löse die Gleichung $3^x = 81$.

Schritt 1: Potenz isolieren Die Potenz steht bereits allein auf der linken Seite.

Schritt 2: Erkennen oder Logarithmieren Hier kannst du erkennen, dass $81 = 3^4$ ist. Also:

$3^x = 3^4$

Da die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein:

$x = 4$

Alternative mit Logarithmus:

$x = \frac{\ln(81)}{\ln(3)} = \frac{4{,}394...}{1{,}099...} = 4$

Probe: $3^4 = 81$ ✓

Beispiel 2: Potenzgleichung mit Vorfaktor

Löse die Gleichung $5 \cdot 2^x = 160$.

Schritt 1: Potenz isolieren Dividiere beide Seiten durch 5:

$2^x = \frac{160}{5} = 32$

Schritt 2: Logarithmieren Wende den Logarithmus an:

$x = \frac{\ln(32)}{\ln(2)}$

Schritt 3: Berechnen

$x = \frac{3{,}466...}{0{,}693...} = 5$

Probe: $5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160$ ✓

Beispiel 3: Potenzgleichung mit linearem Term im Exponenten

Löse die Gleichung $4^{2x-1} = 64$.

Schritt 1: Potenz isolieren Die Potenz steht bereits allein.

Schritt 2: Gleiche Basis herstellen oder logarithmieren Erkenne: $64 = 4^3$. Also:

$4^{2x-1} = 4^3$

Schritt 3: Exponenten gleichsetzen Da die Basen gleich sind:

$2x - 1 = 3$

Schritt 4: Nach $x$ auflösen

$2x = 4$

$x = 2$

Probe: $4^{2 \cdot 2 - 1} = 4^3 = 64$ ✓

Beispiel 4: Potenzgleichung mit unschönem Ergebnis

Löse die Gleichung $7^x = 200$.

Schritt 1: Potenz isolieren Die Potenz steht bereits allein.

Schritt 2: Logarithmieren Hier gibt es keine ganzzahlige Lösung. Wende den Logarithmus an:

$\ln(7^x) = \ln(200)$

Schritt 3: Logarithmusgesetz anwenden Der Exponent wird zum Faktor:

$x \cdot \ln(7) = \ln(200)$

Schritt 4: Nach $x$ auflösen

$x = \frac{\ln(200)}{\ln(7)} = \frac{5{,}298...}{1{,}946...} \approx 2{,}72$

Probe: $7^{2{,}72} \approx 199{,}5 \approx 200$ ✓

Beispiel 5: Das Sparkonto-Problem (Anwendung)

Du legst 1000 CHF zu einem Zinssatz von 3% pro Jahr an. Nach wie vielen Jahren hat sich dein Guthaben verdoppelt?

Aufstellen der Gleichung:

$2000 = 1000 \cdot 1{,}03^n$

Schritt 1: Potenz isolieren Dividiere durch 1000:

$2 = 1{,}03^n$

Schritt 2: Logarithmieren

$\ln(2) = \ln(1{,}03^n)$

Schritt 3: Logarithmusgesetz anwenden

$\ln(2) = n \cdot \ln(1{,}03)$

Schritt 4: Nach $n$ auflösen

$n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}03)} = \frac{0{,}693...}{0{,}0296...} \approx 23{,}4$

Antwort: Nach etwa 23 bis 24 Jahren hat sich dein Guthaben verdoppelt.

Beispiel 6: Exponentialgleichung mit verschiedenen Basen

Löse die Gleichung $3^{x+2} = 5^x$.

Schritt 1: Logarithmieren beider Seiten

$\ln(3^{x+2}) = \ln(5^x)$

Schritt 2: Logarithmusgesetz anwenden

$(x + 2) \cdot \ln(3) = x \cdot \ln(5)$

Schritt 3: Ausmultiplizieren

$x \cdot \ln(3) + 2 \cdot \ln(3) = x \cdot \ln(5)$

Schritt 4: Terme mit $x$ auf eine Seite bringen

$x \cdot \ln(3) - x \cdot \ln(5) = -2 \cdot \ln(3)$

Schritt 5: $x$ ausklammern

$x \cdot \left(\ln(3) - \ln(5)\right) = -2 \cdot \ln(3)$

Schritt 6: Nach $x$ auflösen

$x = \frac{-2 \cdot \ln(3)}{\ln(3) - \ln(5)} = \frac{-2 \cdot 1{,}099...}{1{,}099... - 1{,}609...}$

$x = \frac{-2{,}197...}{-0{,}511...} \approx 4{,}30$

Probe: $3^{4{,}30 + 2} = 3^{6{,}30} \approx 941$ und $5^{4{,}30} \approx 943$ ✓ (kleine Rundungsdifferenz)

Besondere Fälle und Lösungsstrategien

Wenn die Basen gleich gemacht werden können

Manchmal lassen sich Potenzgleichungen eleganter lösen, ohne den Taschenrechner zu bemühen. Der Trick: Drücke beide Seiten als Potenzen derselben Basis aus.

Bei $8^x = 32$ erkennst du:

• $8 = 2^3$
• $32 = 2^5$

Also wird aus der Gleichung:

$(2^3)^x = 2^5$

$2^{3x} = 2^5$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Wenn keine Lösung existiert

Nicht jede Potenzgleichung hat eine Lösung. Bei $2^x = -4$ gibt es keine reelle Lösung, da jede Potenz mit positiver Basis immer ein positives Ergebnis liefert. Die Exponentialfunktion erreicht niemals negative Werte oder die Null.

Das Wichtigste in Kürze

• Potenzgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht, z.B. $a^x = b$.
• Der Logarithmus ist das Werkzeug zum Lösen: $x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$.
• Isoliere immer zuerst die Potenz, bevor du logarithmierst.
• Prüfe, ob du die Basen angleichen kannst – das spart oft den Taschenrechner.
• Keine Lösung gibt es, wenn das Ergebnis negativ oder null ist.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Löse die Gleichung $2^x = 64$. Wie lautet $x$?

Lösung anzeigen

$x = 6$

Begründung: $64 = 2^6$, also $2^x = 2^6$, woraus $x = 6$ folgt.

❓ Frage: Bei der Gleichung $5^x = -25$: Hat diese Gleichung eine reelle Lösung? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein, diese Gleichung hat keine reelle Lösung.

Begründung: Die Exponentialfunktion $5^x$ liefert für alle reellen Werte von $x$ nur positive Ergebnisse. Der Wert $-25$ kann niemals erreicht werden.

❓ Frage: Welchen Wert hat $x$ in der Gleichung $3 \cdot 4^x = 192$? Gib den Rechenweg an.

Lösung anzeigen

$x = 3$

Rechenweg:

1. Potenz isolieren: $4^x = \frac{192}{3} = 64$
2. Erkennen: $64 = 4^3$
3. Gleichsetzen: $4^x = 4^3$, also $x = 3$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Handwerkszeug, um Potenzgleichungen zu lösen. Im nächsten Schritt wirst du Logarithmusgleichungen kennenlernen. Dabei steht die Unbekannte nicht mehr im Exponenten, sondern im Argument eines Logarithmus – also in der Klammer von $\log(x)$ oder $\ln(x)$. Du wirst sehen, dass die Strategien ähnlich sind, aber du die Umkehrfunktion in die andere Richtung anwendest: Statt zu logarithmieren, wirst du “entlogarithmieren”, also die Exponentialfunktion anwenden. Mit diesen beiden Werkzeugen – Potenzgleichungen und Logarithmusgleichungen – bist du bestens gerüstet für die Differential- und Integralrechnung, die in der Oberstufe auf dich wartet.