Potenzgleichungen lösen: Dein Leitfaden für Gleichungen mit Unbekannten im Exponenten

Darum geht's

Stell dir vor, du legst 1000 CHF auf ein Sparkonto mit festem Zinssatz. Die Bank verspricht dir, dass sich dein Geld irgendwann verdoppelt. Aber wann genau? Nach 5 Jahren? Nach 10? Nach 20? Du kennst den Zinssatz, du kennst das Ziel – die Anzahl der Jahre bleibt ein Rätsel.

Genau solche Fragen führen uns zu Potenzgleichungen. Die Unbekannte versteckt sich nicht als Faktor vor einem $x$, sondern ganz oben im Exponenten. In diesem Kapitel lernst du, wie du solche Gleichungen systematisch löst, welche Werkzeuge du brauchst und wo die häufigsten Fallen lauern.

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Potenzgleichungen ist eng mit einem der faszinierendsten mathematischen Werkzeuge überhaupt verknüpft: dem Logarithmus. Um zu verstehen, warum der Logarithmus so revolutionär war, musst du dir die Welt der Mathematiker vor dem Jahr 1600 vorstellen.

Damals gab es keine Taschenrechner. Astronomen und Seefahrer mussten riesige Zahlen multiplizieren, um Planetenbahnen oder Schiffskurse zu berechnen. Eine einzige Multiplikation von siebenstelligen Zahlen dauerte Stunden. Fehler waren unvermeidlich.

Der schottische Mathematiker John Napier (1550–1617) stellte sich eine verblüffende Frage: Gibt es einen Weg, Multiplikationen in Additionen umzuwandeln? Addition ist nämlich viel einfacher. Sein Gedankengang war brilliant. Er erkannte, dass beim Potenzieren mit gleicher Basis gilt:

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

Das Multiplizieren der Potenzen entspricht dem Addieren der Exponenten. Wenn man also alle Zahlen als Potenzen einer bestimmten Basis ausdrücken könnte, wäre Multiplizieren plötzlich so einfach wie Addieren.

Nach jahrelanger Arbeit veröffentlichte Napier 1614 seine “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” – die Beschreibung der wunderbaren Logarithmentafel. Das Wort Logarithmus leitet sich aus dem Griechischen ab: logos (Verhältnis) und arithmos (Zahl).

Kurz darauf verfeinerte der Schweizer Mathematiker Jost Bürgi (1552–1632) unabhängig davon ein ähnliches System. Der englische Mathematiker Henry Briggs (1561–1630) entwickelte schliesslich die dekadischen Logarithmen zur Basis 10, die bis ins 20. Jahrhundert in Rechentabellen verwendet wurden.

Für über 350 Jahre waren Logarithmentafeln das wichtigste Rechenwerkzeug der Wissenschaft. Erst mit dem Taschenrechner in den 1970er-Jahren wurden sie überflüssig. Heute begegnet dir der Logarithmus nicht mehr als Rechenhilfe, sondern als elegantes Werkzeug zum Lösen von Potenzgleichungen – und dafür ist er unersetzlich.

Die Grundlagen

Bevor du Potenzgleichungen löst, lohnt sich ein kurzer Blick auf das Fundament.

Eine Potenz hat die Form $a^n$. Dabei nennt man $a$ die Basis und $n$ den Exponenten. Der Exponent sagt dir, wie oft du die Basis mit sich selbst multiplizierst.

Bei einer gewöhnlichen linearen Gleichung wie $3x = 12$ steht die Unbekannte als Faktor. Du dividierst und erhältst $x = 4$.

Bei einer Potenzgleichung liegt der Fall anders.

Definition

Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung der Form

$a^x = b$

dabei gilt:

• $a$ ist die Basis mit $a > 0$ und $a \neq 1$
• $x$ ist die gesuchte Unbekannte im Exponenten
• $b$ ist der Zielwert mit $b > 0$

Eine Lösung existiert genau dann, wenn $b > 0$. Ist $b \leq 0$, hat die Gleichung keine reelle Lösung.

Das ist der entscheidende Unterschied zur Potenzfunktion $y = x^n$, bei der die Unbekannte die Basis ist. Bei der Potenzgleichung $a^x = b$ sitzt die Unbekannte im Exponenten. Diesen Unterschied musst du im Hinterkopf behalten.

Zwei Grundfälle lassen sich sofort lösen:

Fall 1: Gleiche Basis. Bei $3^x = 3^5$ gilt sofort $x = 5$. Gleiche Basen bedeuten gleiche Exponenten.

Fall 2: Bekannte Potenz. Bei $2^x = 32$ erkennst du $32 = 2^5$, also $x = 5$.

Für alle anderen Fälle brauchst du den Logarithmus.

Die Kernmethode

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Er beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis $a$ potenzieren, um den Wert $b$ zu erhalten?

Definition

Für $a > 0$, $a \neq 1$ und $b > 0$ gilt:

$a^x = b \iff x = \log_a(b)$

Für die Berechnung mit dem Taschenrechner verwendest du den natürlichen Logarithmus $\ln$:

$x = \log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$

Diese Formel nennt man den Basiswechselsatz. Sie gilt für jeden beliebigen Logarithmus, nicht nur für $\ln$.

Das Lösungsrezept für jede Potenzgleichung folgt stets denselben Schritten:

1. Isolieren: Bringe die Potenz allein auf eine Seite.
2. Logarithmieren: Wende $\ln$ auf beide Seiten an.
3. Umformen: Hole den Exponenten als Faktor heraus. Es gilt: $\ln(a^x) = x \cdot \ln(a)$.
4. Auflösen: Löse die entstandene Gleichung nach $x$ auf.
5. Prüfen: Setze das Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein.

Diese fünf Schritte funktionieren bei jeder Potenzgleichung. Lerne sie auswendig.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg – Gleiche Basis erkennen

Löse die Gleichung $4^{2x-1} = 64$.

Lösung:

Schritt 1: Gleiche Basis herstellen

Erkenne: $64 = 4^3$. Du schreibst beide Seiten als Potenzen zur Basis 4:

$4^{2x-1} = 4^3$

Schritt 2: Exponenten gleichsetzen

Da die Basen identisch und positiv sind, gilt:

$2x - 1 = 3$

Schritt 3: Auflösen

$2x = 4 \implies x = 2$

Schritt 4: Probe

$4^{2 \cdot 2 - 1} = 4^3 = 64 \checkmark$

Merke: Wann immer du beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben kannst, sparst du dir den Taschenrechner. Das Gleichsetzen der Exponenten ergibt eine einfache lineare Gleichung.

Beispiel:

Beispiel 2: Potenzgleichung mit Vorfaktor

Löse die Gleichung $5 \cdot 2^x = 160$.

Lösung:

Schritt 1: Potenz isolieren

Dividiere beide Seiten durch 5:

$2^x = \frac{160}{5} = 32$

Schritt 2: Gleiche Basis erkennen

Da $32 = 2^5$ gilt:

$2^x = 2^5 \implies x = 5$

Alternativ mit Logarithmus:

$x = \frac{\ln(32)}{\ln(2)} = \frac{3{,}466\ldots}{0{,}693\ldots} = 5$

Schritt 3: Probe

$5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160 \checkmark$

Merke: Der Vorfaktor (hier die 5) steht vor der Potenz, nicht im Exponenten. Er wird durch Division entfernt, bevor du logarithmierst. Viele Fehler entstehen, weil dieser Schritt übersprungen wird.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Potenz nicht isoliert

Viele logarithmieren sofort, ohne die Potenz vorher allein zu stellen. Bei $3 \cdot 2^x = 24$ gilt:

Falsch: $x \cdot \ln(3 \cdot 2) = \ln(24)$

Richtig: Erst dividieren: $2^x = 8$, dann logarithmieren: $x = \dfrac{\ln(8)}{\ln(2)} = 3$

Achtung

Stolperstein 2: Logarithmus einer Summe

Das Logarithmusgesetz gilt nur für Produkte, nicht für Summen.

Es gilt: $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$

Es gilt nicht: $\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)$

Wenn in einer Gleichung eine Summe unter dem Logarithmus entsteht, kannst du diese nicht weiter aufteilen.

Achtung

Stolperstein 3: Negative Zahlen oder Null im Logarithmus

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Bei der Gleichung $2^x = -8$ gibt es keine reelle Lösung. Die Exponentialfunktion $a^x$ mit $a > 0$ liefert ausnahmslos positive Werte.

Prüfe deshalb immer: Ist die rechte Seite positiv? Falls nicht, brich sofort ab und schreibe: “Keine reelle Lösung.”

Achtung

Stolperstein 4: Basis vergessen zu prüfen

Damit $a^x = b$ lösbar ist, muss $a > 0$ und $a \neq 1$ gelten. Bei $a = 1$ ergibt jede Potenz den Wert 1. Die Gleichung $1^x = 5$ hat keine Lösung. Die Gleichung $1^x = 1$ ist für jedes $x$ wahr – also unendlich viele Lösungen.

Beispiel:

Beispiel 3: Potenzgleichung mit unrundem Ergebnis

Löse die Gleichung $7^x = 200$.

Lösung:

Schritt 1: Potenz isolieren

Die Potenz steht bereits allein. Ein Basiswechsel ist hier nicht möglich, da 200 keine ganzzahlige Potenz von 7 ist.

Schritt 2: Logarithmieren beider Seiten

$\ln(7^x) = \ln(200)$

Schritt 3: Exponent herausziehen

$x \cdot \ln(7) = \ln(200)$

Schritt 4: Nach $x$ auflösen

$x = \frac{\ln(200)}{\ln(7)} = \frac{5{,}2983\ldots}{1{,}9459\ldots} \approx 2{,}72$

Schritt 5: Probe

$7^{2{,}72} \approx 199{,}5 \approx 200 \checkmark$

Die kleine Differenz entsteht durch Runden. Mit mehr Dezimalstellen wird das Ergebnis genauer.

Merke: Nicht jede Potenzgleichung hat eine elegante Lösung. Wenn kein Basiswechsel möglich ist, logarithmierst du und rechnest mit dem Taschenrechner.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Das Sparkonto-Problem

Du legst 1000 CHF zu einem Zinssatz von 3% pro Jahr an. Nach wie vielen Jahren hat sich dein Guthaben verdoppelt?

Lösung:

Gleichung aufstellen:

Das Guthaben nach $n$ Jahren berechnet sich mit dem Zinsfaktor $1{,}03$:

$K(n) = 1000 \cdot 1{,}03^n$

Gesucht ist $n$, für das $K(n) = 2000$ gilt:

$2000 = 1000 \cdot 1{,}03^n$

Schritt 1: Potenz isolieren

$1{,}03^n = \frac{2000}{1000} = 2$

Schritt 2: Logarithmieren

$n \cdot \ln(1{,}03) = \ln(2)$

Schritt 3: Auflösen

$n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}03)} = \frac{0{,}6931\ldots}{0{,}02956\ldots} \approx 23{,}4$

Antwort: Nach etwa 24 Jahren hat sich das Guthaben verdoppelt (da Zinsen nur jährlich gutgeschrieben werden).

Hinweis: Die sogenannte 72er-Regel gibt eine schnelle Schätzung: $72 \div 3 = 24$. Diese Faustformel liefert bei kleinen Zinssätzen sehr gute Näherungen.

Vertiefung

Du beherrschst jetzt die grundlegende Methode. Es gibt jedoch Potenzgleichungen, die auf den ersten Blick komplizierter wirken. Mit einer cleveren Strategie lassen sie sich trotzdem lösen.

Potenzgleichungen mit verschiedenen Basen

Bei der Gleichung $3^{x+2} = 5^x$ stehen auf beiden Seiten Potenzen mit verschiedenen Basen. Ein direkter Basiswechsel ist unmöglich. Du logarithmierst beide Seiten und nutzt das Potenzgesetz des Logarithmus.

Potenzgleichungen durch Substitution

Manche Gleichungen sehen wie quadratische Gleichungen aus. Zum Beispiel:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Erkenne: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Mit der Substitution $u = 2^x$ entsteht:

$u^2 - 5u + 4 = 0$

Diese quadratische Gleichung löst du mit der Lösungsformel. Anschliessend löst du $2^x = u_1$ und $2^x = u_2$ jeweils als Potenzgleichung.

Definition

Wenn eine Gleichung der Form

$a^{2x} + p \cdot a^x + q = 0$

vorliegt, wähle die Substitution $u = a^x$. Es entsteht die quadratische Gleichung:

$u^2 + p \cdot u + q = 0$

Nach dem Lösen für $u$ bestimmst du $x$ durch Rücksubstitution: $a^x = u$ ergibt $x = \dfrac{\ln(u)}{\ln(a)}$.

Beachte: Nur positive Lösungen $u > 0$ sind zulässig, da $a^x > 0$ für alle $x$.

Ein weiterer wichtiger Zusammenhang: Potenzgleichungen und Logarithmusgleichungen sind zwei Seiten derselben Medaille. Die Gleichung $a^x = b$ und die Gleichung $\log_a(b) = x$ beschreiben exakt dasselbe. Du wechselst nur die Perspektive.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Potenzgleichung durch Substitution

Löse die Gleichung $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung vereinfachen

Erkenne: $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Setze $u = 3^x$:

$u^2 - 10u + 9 = 0$

Schritt 2: Quadratische Gleichung lösen

$u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}$

$u_1 = \frac{18}{2} = 9 \qquad u_2 = \frac{2}{2} = 1$

Schritt 3: Rücksubstitution

Für $u_1 = 9$: $\quad 3^x = 9 = 3^2 \implies x_1 = 2$

Für $u_2 = 1$: $\quad 3^x = 1 = 3^0 \implies x_2 = 0$

Schritt 4: Probe

$x_1 = 2$: $\quad 9^2 - 10 \cdot 3^2 + 9 = 81 - 90 + 9 = 0 \checkmark$

$x_2 = 0$: $\quad 9^0 - 10 \cdot 3^0 + 9 = 1 - 10 + 9 = 0 \checkmark$

Antwort: Die Lösungen sind $x_1 = 2$ und $x_2 = 0$.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind aufsteigend nach Schwierigkeit geordnet. Versuche, jede Aufgabe selbst zu lösen, bevor du in den Lösungen nachschaust.

Niveau 1 – Direkt lösbar

Aufgabe 1: Löse $2^x = 16$.

Aufgabe 2: Löse $5^x = 125$.

Aufgabe 3: Löse $3^x = \dfrac{1}{9}$.

Niveau 2 – Potenz isolieren

Aufgabe 4: Löse $4 \cdot 3^x = 108$.

Aufgabe 5: Löse $2 \cdot 5^x - 10 = 240$.

Aufgabe 6: Löse $\dfrac{6^x}{3} = 12$.

Niveau 3 – Logarithmus erforderlich

Aufgabe 7: Löse $5^x = 80$. Runde auf zwei Dezimalstellen.

Aufgabe 8: Löse $1{,}06^n = 3$. Runde auf zwei Dezimalstellen.

Niveau 4 – Linearer Term im Exponenten

Aufgabe 9: Löse $2^{3x-1} = 32$.

Aufgabe 10: Löse $3^{x+2} = 5^x$. Runde auf zwei Dezimalstellen.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Potenzgleichung hat die Form $a^x = b$ – die Unbekannte $x$ steht im Exponenten.
• Lösung: Zuerst die Potenz isolieren, dann logarithmieren. Die Formel lautet $x = \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)}$.
• Können beide Seiten als Potenzen dergleichen Basis geschrieben werden, setzt du die Exponenten gleich – kein Taschenrechner nötig.
• Eine reelle Lösung existiert nur, wenn $b > 0$. Bei $b \leq 0$ gibt es keine Lösung.
• Komplexere Gleichungen lassen sich mit Substitution auf quadratische Gleichungen zurückführen.
• Die Probe durch Einsetzen ist unverzichtbar.

❓ Frage: Löse $2^x = 64$. Welchen Wert hat $x$?

Lösung anzeigen

$x = 6$ Da $64 = 2^6$ gilt, folgt aus $2^x = 2^6$ direkt $x = 6$. Probe: $2^6 = 64$ ✓

❓ Frage: Hat die Gleichung $5^x = -25$ eine reelle Lösung? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein, diese Gleichung hat keine reelle Lösung. Die Exponentialfunktion $5^x$ ist für alle reellen Zahlen $x$ stets positiv. Der Wert $-25$ liegt ausserhalb des Wertebereichs. Da der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist, lässt sich die Gleichung nicht lösen.

❓ Frage: Löse $4 \cdot 3^x = 324$. Gib den vollständigen Rechenweg an.

Lösung anzeigen

$x = 4$ Rechenweg:

1. Potenz isolieren: $3^x = \dfrac{324}{4} = 81$
2. Gleiche Basis herstellen: $81 = 3^4$
3. Exponenten gleichsetzen: $3^x = 3^4 \implies x = 4$ Probe: $4 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$ ✓

❓ Frage: Bei $1{,}05^n = 2$: Was bedeutet diese Gleichung in einem Sachkontext, und wie lautet die Lösung (auf ganze Zahlen gerundet)?

Lösung anzeigen

Diese Gleichung beschreibt eine Verdoppelung bei einem Zinssatz von 5% pro Jahr. Lösung: $n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} = \frac{0{,}6931\ldots}{0{,}04879\ldots} \approx 14{,}2$ Gerundet: Nach 15 Jahren hat sich das Kapital mehr als verdoppelt. Die 72er-Regel bestätigt: $72 \div 5 = 14{,}4$ – eine sehr gute Näherung.

❓ Frage: Löse $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ mithilfe einer Substitution.

Lösung anzeigen

Setze $u = 3^x$. Da $9^x = (3^x)^2 = u^2$ gilt: $u^2 - 4u + 3 = 0$ $u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$ $u_1 = 3 \qquad u_2 = 1$ Rücksubstitution: $3^x = 3 \implies x_1 = 1$ $3^x = 1 = 3^0 \implies x_2 = 0$ Probe für $x_1 = 1$: $9 - 12 + 3 = 0$ ✓ Probe für $x_2 = 0$: $1 - 4 + 3 = 0$ ✓

Ausblick

Du besitzt jetzt ein solides Werkzeug für Potenzgleichungen. Der nächste logische Schritt sind Logarithmusgleichungen. Dort steht die Unbekannte nicht im Exponenten, sondern im Argument eines Logarithmus – also in $\log_a(x) = b$. Du wendest dann die Umkehrfunktion in die andere Richtung an: statt zu logarithmieren, potenzierst du. Mit diesen beiden Techniken bist du gut vorbereitet für die Exponentialfunktion in der Oberstufe sowie für Anwendungen in Physik, Biologie und Wirtschaft.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1: $2^x = 16$

Erkenne $16 = 2^4$. Also $2^x = 2^4 \implies x = 4$.

Probe: $2^4 = 16$ ✓

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Lösung Aufgabe 2: $5^x = 125$

Erkenne $125 = 5^3$. Also $5^x = 5^3 \implies x = 3$.

Probe: $5^3 = 125$ ✓

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Lösung Aufgabe 3: $3^x = \dfrac{1}{9}$

Erkenne $\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}$. Also $3^x = 3^{-2} \implies x = -2$.

Probe: $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ ✓

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Lösung Aufgabe 4: $4 \cdot 3^x = 108$

Schritt 1: Potenz isolieren: $3^x = \dfrac{108}{4} = 27$

Schritt 2: Erkenne $27 = 3^3$. Also $3^x = 3^3 \implies x = 3$.

Probe: $4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$ ✓

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Lösung Aufgabe 5: $2 \cdot 5^x - 10 = 240$

Schritt 1: Umformen: $2 \cdot 5^x = 250$

Schritt 2: Potenz isolieren: $5^x = 125$

Schritt 3: Erkenne $125 = 5^3 \implies x = 3$.

Probe: $2 \cdot 5^3 - 10 = 2 \cdot 125 - 10 = 250 - 10 = 240$ ✓

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Lösung Aufgabe 6: $\dfrac{6^x}{3} = 12$

Schritt 1: Potenz isolieren: $6^x = 36$

Schritt 2: Erkenne $36 = 6^2 \implies x = 2$.

Probe: $\dfrac{6^2}{3} = \dfrac{36}{3} = 12$ ✓

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Lösung Aufgabe 7: $5^x = 80$

Kein Basiswechsel möglich. Logarithmieren:

$x = \frac{\ln(80)}{\ln(5)} = \frac{4{,}3820\ldots}{1{,}6094\ldots} \approx 2{,}72$

Probe: $5^{2{,}72} \approx 79{,}9 \approx 80$ ✓

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Lösung Aufgabe 8: $1{,}06^n = 3$

Schritt 1: Logarithmieren beider Seiten:

$\ln(1{,}06^n) = \ln(3)$

Schritt 2: Exponent herausziehen:

$n \cdot \ln(1{,}06) = \ln(3)$

Schritt 3: Auflösen:

$n = \frac{\ln(3)}{\ln(1{,}06)} = \frac{1{,}0986\ldots}{0{,}05827\ldots} \approx 18{,}85$

Antwort: Nach etwa 18,85 Jahren hat sich der Wert verdreifacht.

Probe: $1{,}06^{18{,}85} \approx 3{,}00$ ✓

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Lösung Aufgabe 9: $2^{3x-1} = 32$

Schritt 1: Erkenne $32 = 2^5$.

Schritt 2: Gleichsetzen: $2^{3x-1} = 2^5$

Schritt 3: Exponenten gleichsetzen: $3x - 1 = 5$

Schritt 4: Auflösen: $3x = 6 \implies x = 2$

Probe: $2^{3 \cdot 2 - 1} = 2^5 = 32$ ✓

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Lösung Aufgabe 10: $3^{x+2} = 5^x$

Schritt 1: Logarithmieren beider Seiten:

$\ln(3^{x+2}) = \ln(5^x)$

Schritt 2: Exponenten herausziehen:

$(x + 2) \cdot \ln(3) = x \cdot \ln(5)$

Schritt 3: Ausmultiplizieren:

$x \cdot \ln(3) + 2 \cdot \ln(3) = x \cdot \ln(5)$

Schritt 4: Terme mit $x$ sammeln:

$2 \cdot \ln(3) = x \cdot \ln(5) - x \cdot \ln(3) = x \cdot \bigl(\ln(5) - \ln(3)\bigr)$

Schritt 5: Auflösen:

$x = \frac{2 \cdot \ln(3)}{\ln(5) - \ln(3)} = \frac{2 \cdot 1{,}0986\ldots}{1{,}6094\ldots - 1{,}0986\ldots} = \frac{2{,}1972\ldots}{0{,}5108\ldots} \approx 4{,}30$

Probe:

$3^{4{,}30 + 2} = 3^{6{,}30} \approx 941$ und $5^{4{,}30} \approx 943$

Die kleine Differenz entsteht durch Runden. ✓