Potenzgesetze einfach erklärt: So rechnest du sicher mit Potenzen

Stell dir vor, du stapelst Legosteine. Ein Turm aus 2 Steinen, dann noch mal 2 drauf, und noch mal 2. Wie beschreibst du das am kürzesten? Genau so funktionieren Potenzen: Sie sind eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation. Und die Potenzgesetze? Das sind die Spielregeln, mit denen du diese Kurzschreibweise clever nutzen kannst. Statt lange Rechnungen auszuführen, vereinfachst du sie in Sekundenschnelle. In diesem Artikel lernst du alle wichtigen Potenzgesetze kennen und wirst sie sicher anwenden können.

Von Legotürmen zu Potenzen

Bleiben wir beim Legoturm-Beispiel. Du baust einen Turm mit 2 Steinen. Dann baust du einen zweiten Turm mit 2 Steinen. Und einen dritten. Wie viele Steine hast du insgesamt?

Du rechnest: $2 + 2 + 2 = 6$ Steine.

Jetzt ändern wir das Spiel. Du nimmst 2 Steine und verdoppelst sie. Dann verdoppelst du das Ergebnis wieder. Und noch einmal.

Du rechnest: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Steine.

Diese wiederholte Multiplikation schreibst du kürzer als Potenz:

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Hier ist $2$ die Basis und $3$ der Exponent. Der Exponent sagt dir, wie oft du die Basis mit sich selbst multiplizierst.

Eine Wertetabelle zeigt dir den Zusammenhang:

Potenz	Bedeutung	Ergebnis
$2^1$	$2$	$2$
$2^2$	$2 \cdot 2$	$4$
$2^3$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	$8$
$2^4$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$16$
$2^5$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$32$

Wenn du jetzt $2^3 \cdot 2^2$ rechnen sollst, könntest du alles ausschreiben:

$2^3 \cdot 2^2 = \left(2 \cdot 2 \cdot 2\right) \cdot \left(2 \cdot 2\right) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$

Aber das ist mühsam. Die Potenzgesetze geben dir Abkürzungen für solche Rechnungen.

Die fünf Potenzgesetze im Überblick

Hier sind die fünf wichtigsten Potenzgesetze. Lerne sie als dein “Werkzeugkasten” für alle Potenzrechnungen.

Gesetz 1: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Warum funktioniert das?

Schreibe es aus: $a^m$ bedeutet ”$a$ wird $m$-mal multipliziert”. Und $a^n$ bedeutet ”$a$ wird $n$-mal multipliziert”. Zusammen wird $a$ also $\left(m + n\right)$-mal multipliziert.

Gesetz 2: Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst, subtrahierst du die Exponenten.

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Warum funktioniert das?

Division ist das Gegenteil von Multiplikation. Du “streichst” sozusagen $n$ Faktoren aus dem Zähler.

Gesetz 3: Potenz einer Potenz

Wenn du eine Potenz potenzierst, multiplizierst du die Exponenten.

$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$

Warum funktioniert das?

$\left(a^m\right)^n$ bedeutet: Du multiplizierst $a^m$ insgesamt $n$-mal mit sich selbst. Das sind $m \cdot n$ Faktoren von $a$.

Gesetz 4: Produkt potenzieren

Eine Potenz eines Produkts ist das Produkt der Potenzen.

$\left(a \cdot b\right)^n = a^n \cdot b^n$

Warum funktioniert das?

$\left(a \cdot b\right)^n$ bedeutet: Du multiplizierst $\left(a \cdot b\right)$ insgesamt $n$-mal. Wegen des Kommutativgesetzes kannst du alle $a$ und alle $b$ zusammenfassen.

Gesetz 5: Quotient potenzieren

Eine Potenz eines Quotienten ist der Quotient der Potenzen.

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Warum funktioniert das?

Analog zu Gesetz 4: Du potenzierst Zähler und Nenner jeweils einzeln.

DEFINITION

1. Multiplikation: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — Exponenten addieren
2. Division: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — Exponenten subtrahieren
3. Potenz einer Potenz: $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ — Exponenten multiplizieren
4. Produkt potenzieren: $\left(a \cdot b\right)^n = a^n \cdot b^n$ — Potenz auf beide Faktoren
5. Quotient potenzieren: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ — Potenz auf Zähler und Nenner

Spezialfälle: Null und negative Exponenten

Zwei Sonderfälle musst du kennen:

Der Exponent 0

Was ergibt $a^0$? Nutze Gesetz 2:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

Da jede Zahl durch sich selbst $1$ ergibt, gilt:

$a^0 = 1 \quad \text{(für } a \neq 0 \text{)}$

Negative Exponenten

Was bedeutet $a^{-n}$? Nutze wieder Gesetz 2:

$\frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}$

Da $a^0 = 1$:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Ein negativer Exponent bedeutet also: Nimm den Kehrwert.

Potenz	Bedeutung	Ergebnis
$2^{-1}$	$\frac{1}{2^1}$	$\frac{1}{2}$
$2^{-2}$	$\frac{1}{2^2}$	$\frac{1}{4}$
$2^{-3}$	$\frac{1}{2^3}$	$\frac{1}{8}$
$3^{-2}$	$\frac{1}{3^2}$	$\frac{1}{9}$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Exponenten bei unterschiedlichen Basen addieren

Falsch: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ ❌

Richtig: $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ ✓

Die Potenzgesetze für Multiplikation und Division gelten nur bei gleicher Basis!

Fehler 2: Exponenten multiplizieren statt addieren

Falsch: $a^3 \cdot a^4 = a^{12}$ ❌

Richtig: $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$ ✓

Bei Multiplikation von Potenzen addierst du die Exponenten. Nur bei “Potenz einer Potenz” multiplizierst du.

Fehler 3: Negative Exponenten falsch interpretieren

Falsch: $2^{-3} = -8$ ❌

Richtig: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ ✓

Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ. Er bedeutet “Kehrwert”.

Fehler 4: Summen potenzieren

Falsch: $\left(a + b\right)^2 = a^2 + b^2$ ❌

Richtig: $\left(a + b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ✓

Gesetz 4 gilt nur für Produkte, nicht für Summen! Für Summen brauchst du die binomischen Formeln.

Beispiele

Beispiel 1: Potenzen multiplizieren

Aufgabe: Vereinfache $5^4 \cdot 5^3$.

Lösung:

Beide Potenzen haben die gleiche Basis $5$. Wende Gesetz 1 an:

$5^4 \cdot 5^3 = 5^{4+3} = 5^7$

Wenn du das Ergebnis als Zahl brauchst: $5^7 = 78125$.

Beispiel 2: Potenzen dividieren

Aufgabe: Vereinfache $\frac{x^8}{x^3}$.

Lösung:

Beide Potenzen haben die gleiche Basis $x$. Wende Gesetz 2 an:

$\frac{x^8}{x^3} = x^{8-3} = x^5$

Beispiel 3: Potenz einer Potenz

Aufgabe: Vereinfache $\left(3^2\right)^4$.

Lösung:

Wende Gesetz 3 an. Multipliziere die Exponenten:

$\left(3^2\right)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$

Als Zahl: $3^8 = 6561$.

Beispiel 4: Produkt potenzieren

Aufgabe: Vereinfache $\left(2x\right)^3$.

Lösung:

Wende Gesetz 4 an. Potenziere beide Faktoren:

$\left(2x\right)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$

Beispiel 5: Quotient potenzieren

Aufgabe: Vereinfache $\left(\frac{a}{4}\right)^2$.

Lösung:

Wende Gesetz 5 an. Potenziere Zähler und Nenner:

$\left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4^2} = \frac{a^2}{16}$

Beispiel 6: Kombination mehrerer Gesetze

Aufgabe: Vereinfache $\frac{x^5 \cdot x^3}{\left(x^2\right)^3}$.

Lösung:

Schritt 1: Vereinfache den Zähler mit Gesetz 1.

$x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8$

Schritt 2: Vereinfache den Nenner mit Gesetz 3.

$\left(x^2\right)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Schritt 3: Dividiere mit Gesetz 2.

$\frac{x^8}{x^6} = x^{8-6} = x^2$

Beispiel 7: Negative Exponenten

Aufgabe: Schreibe $\frac{3}{a^4}$ als Potenz mit negativem Exponenten.

Lösung:

Der Term $\frac{1}{a^4}$ entspricht $a^{-4}$.

Daher:

$\frac{3}{a^4} = 3 \cdot a^{-4}$

Oft schreibt man auch $3a^{-4}$.

Beispiel 8: Komplexer Term mit verschiedenen Basen

Aufgabe: Vereinfache $\frac{12a^5b^3}{4a^2b}$.

Lösung:

Schritt 1: Teile die Koeffizienten.

$\frac{12}{4} = 3$

Schritt 2: Wende Gesetz 2 auf die Variable $a$ an.

$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$

Schritt 3: Wende Gesetz 2 auf die Variable $b$ an. Beachte: $b = b^1$.

$\frac{b^3}{b^1} = b^{3-1} = b^2$

Ergebnis:

$\frac{12a^5b^3}{4a^2b} = 3a^3b^2$

Das Wichtigste in Kürze

• Gleiche Basis, Multiplikation: Exponenten addieren — $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Gleiche Basis, Division: Exponenten subtrahieren — $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren — $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$
• Produkt/Quotient potenzieren: Potenz auf jeden Faktor anwenden
• Spezialfälle: $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• Achtung: Die Gesetze 1 und 2 gelten nur bei gleicher Basis!

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Wie lautet das Ergebnis von $4^3 \cdot 4^5$?

Lösung anzeigen

Nach Gesetz 1 addierst du die Exponenten:

$4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8$

Als Zahl: $4^8 = 65536$.

❓ Frage: Vereinfache den Term $\left(2^3\right)^2 \cdot 2^4$.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Wende Gesetz 3 an.

$\left(2^3\right)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$

Schritt 2: Wende Gesetz 1 an.

$2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$

Ergebnis: $2^{10} = 1024$

❓ Frage: Was ist der Fehler in dieser Rechnung? $3^2 \cdot 2^3 = 6^5$

Lösung anzeigen

Der Fehler: Die Basen $3$ und $2$ sind unterschiedlich.

Das Potenzgesetz $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ gilt nur für gleiche Basen.

Richtige Lösung:

$3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72$

Es gibt keine Vereinfachung mit Potenzgesetzen. Du musst die Werte ausrechnen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten. Der nächste Schritt sind rationale Exponenten. Was bedeutet zum Beispiel $a^{\frac{1}{2}}$?

Diese Schreibweise führt dich zu den Wurzeln. Du wirst lernen, dass $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ gilt. Mit diesem Wissen kannst du dann auch Terme wie $a^{\frac{3}{4}}$ vereinfachen. Die Potenzgesetze bleiben dabei exakt dieselben — sie funktionieren auch mit Brüchen als Exponenten.

Danach folgt der Logarithmus. Er ist die Umkehrung des Potenzierens. Wenn du weisst, dass $2^x = 8$, dann ist $x = \log_2 8 = 3$. Logarithmen nutzen die Potenzgesetze “rückwärts” und sind ein mächtiges Werkzeug für Gleichungen mit unbekannten Exponenten.