Potenzen mit reellen Exponenten einfach erklärt: So rechnest du mit Wurzeln und Bruchexponenten

Darum geht's

Stell dir vor, du beobachtest eine Bakterienkultur unter dem Mikroskop. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Nach einer Stunde hast du doppelt so viele, nach zwei Stunden viermal so viele. Aber was passiert nach einer halben Stunde? Oder nach exakt $\sqrt{2}$ Stunden? Die Natur macht keine Sprünge – Wachstum verläuft kontinuierlich. Um solche Prozesse mathematisch zu beschreiben, reichen ganze Zahlen als Exponenten nicht mehr aus. Du brauchst Potenzen mit reellen Exponenten – ein mächtiges Werkzeug, das dir erlaubt, Wachstum und Zerfall präzise zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du mit Brüchen, Wurzeln und sogar irrationalen Zahlen als Exponenten rechnest.

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Potenzen mit reellen Exponenten ist eine Geschichte des schrittweisen Loslassens. Jede Generation von Mathematikern wagte es, den Begriff der Potenz ein Stück weiter auszudehnen.

Die Anfänge: Natürliche Exponenten

Im antiken Griechenland und im mittelalterlichen Orient arbeiteten Mathematiker ausschliesslich mit natürlichen Zahlen als Exponenten. $a^2$ bedeutete buchstäblich die Fläche eines Quadrats der Seitenlänge $a$. $a^3$ war das Volumen eines Würfels. Höhere Potenzen galten lange Zeit als abstrakt und schwer vorstellbar.

Die Entdeckung der negativen Exponenten

Im 14. Jahrhundert begann Nicole Oresme, ein französischer Bischof und Universalgelehrter, systematisch über gebrochene Potenzen nachzudenken. Er erkannte, dass $a^{\frac{1}{2}}$ als Quadratwurzel interpretiert werden kann. Das war ein revolutionärer Gedanke. Oresme schrieb seine Überlegungen in der Schrift Algorismus proportionum nieder – fast 200 Jahre, bevor die moderne Potenzschreibweise entstand.

Der Durchbruch im 17. Jahrhundert

John Wallis, ein englischer Mathematiker, formalisierte 1656 die negativen und gebrochenen Exponenten in seinem Werk Arithmetica Infinitorum. Er zeigte erstmals konsequent, dass $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ gilt. Sein Kollege Isaac Newton baute darauf auf. Newton nutzte gebrochene Exponenten in der Entwicklung seiner Binomialreihe – einem Grundstein der Analysis.

Euler und die reellen Exponenten

Der Schweizer Leonhard Euler war es schliesslich, der Mitte des 18. Jahrhunderts den Schritt zu beliebigen reellen Exponenten vollzog. In seiner Introductio in analysin infinitorum von 1748 definierte er die Exponentialfunktion $a^x$ für alle reellen Zahlen $x$ präzise über Grenzwerte. Euler erkannte auch den tiefen Zusammenhang zwischen Exponentialfunktionen und dem Logarithmus.

Warum ist das relevant für dich?

Diese Geschichte zeigt dir: Mathematik entwickelt sich. Was heute selbstverständlich wirkt, war einmal eine kühne Idee. Wenn du heute $8^{\frac{2}{3}} = 4$ berechnest, stehst du auf den Schultern von Oresme, Wallis, Newton und Euler.

Die Grundlagen

Bevor du mit reellen Exponenten arbeitest, musst du die Verbindung zwischen Potenzen und Wurzeln festigen. Diese Verbindung ist der Schlüssel zum gesamten Kapitel.

Erinnerung: Wurzeln als umgekehrtes Potenzieren

Das Quadrieren und das Wurzelziehen sind Umkehroperationen. Es gilt: $3^2 = 9$ und $\sqrt{9} = 3$. Allgemein ist $\sqrt[n]{a}$ diejenige positive Zahl, die $n$-mal mit sich selbst multipliziert $a$ ergibt.

Der entscheidende Schritt: Halbierter Exponent

Betrachte das Bakterienbeispiel erneut. Nach $n$ Stunden hast du den Faktor $2^n$. Nach einer halben Stunde suchst du eine Zahl $x$ mit:

$$x \cdot x = 2$$

Das bedeutet $x = \sqrt{2}$. Und da zwei halbe Stunden eine ganze Stunde ergeben, gilt das Potenzgesetz:

$$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^1 = 2$$

Deshalb ist die Definition $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ die einzig sinnvolle, die das Potenzgesetz erhält.

Definition

Für jede positive reelle Zahl $a > 0$ und jede natürliche Zahl $n > 0$ gilt:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

Die $n$-te Wurzel aus $a$ ist gleichbedeutend mit dem Potenzieren von $a$ mit dem Exponenten $\dfrac{1}{n}$. Diese Definition ist die einzige, die das Potenzgesetz $a^{\frac{1}{n}} \cdot a^{\frac{1}{n}} \cdots = a^1$ erhält.

Warum muss die Basis positiv sein?

Bei Bruchexponenten mit geradem Nenner entstünden sonst Probleme. Der Ausdruck $(-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}$ ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Deshalb beschränken wir uns bei reellen Exponenten auf positive Basen.

Die Kernmethode

Ein Bruchexponent verbindet zwei Operationen: Potenzieren und Wurzelziehen. Die allgemeine Formel erweitert die Grunddefinition auf beliebige Brüche.

Zähler und Nenner haben klare Rollen

Im Bruchexponenten $\dfrac{m}{n}$ übernimmt der Nenner die Rolle der Wurzel, der Zähler die Rolle der Potenz. Du kannst die Reihenfolge frei wählen – das Ergebnis ist dasselbe. Meistens ist es einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen, weil die Zwischenergebnisse kleiner werden.

Schritt-für-Schritt-Vorgehen

1. Zerlege den Bruchexponenten in Zähler $m$ und Nenner $n$.
2. Der Nenner $n$ bestimmt die $n$-te Wurzel.
3. Der Zähler $m$ bestimmt die $m$-te Potenz.
4. Ziehe zuerst die Wurzel, dann potenziere.
5. Bei negativem Exponent: Bilde am Ende den Kehrwert.

Definition

Für jede positive reelle Zahl $a > 0$, jede ganze Zahl $m \in \mathbb{Z}$ und jede natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$ mit $n > 0$ gilt:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Der Nenner $n$ bestimmt die Wurzel. Der Zähler $m$ bestimmt die Potenz. Bei negativem Exponenten gilt zusätzlich: $a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$.

Die Potenzgesetze bleiben gültig

Alle Potenzgesetze, die du aus der Mittelstufe kennst, gelten ohne Einschränkung auch für reelle Exponenten. Das ist eine grosse Erleichterung: Du lernst keine neuen Regeln. Du wendest bekannte Regeln auf einen erweiterten Zahlenbereich an.

Gesetz	Formel
Gleiche Basis, Multiplikation	$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
Gleiche Basis, Division	$\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
Potenz einer Potenz	$\left(a^r\right)^s = a^{r \cdot s}$
Gleiches Produkt	$(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$

Beispiel:

Beispiel 1: Bruchexponent ohne Taschenrechner

Berechne $27^{\frac{2}{3}}$ ohne Taschenrechner.

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere Zähler und Nenner. Der Exponent ist $\dfrac{2}{3}$: Nenner $= 3$, Zähler $= 2$.

Schritt 2: Der Nenner $3$ bedeutet: dritte Wurzel ziehen.

$$\sqrt[3]{27} = 3$$

Schritt 3: Der Zähler $2$ bedeutet: quadrieren.

$$3^2 = 9$$

Ergebnis:

$$27^{\frac{2}{3}} = 9$$

Warum zuerst Wurzel ziehen? Hättest du erst potenziert, wärst du bei $\sqrt[3]{729} = 9$ gelandet – rechnerisch aufwändiger, aber dasselbe Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 2: Negativer Bruchexponent

Berechne $16^{-\frac{3}{4}}$.

Lösung:

Schritt 1: Das Minuszeichen bedeutet Kehrwert. Schreibe um:

$$16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$$

Schritt 2: Berechne den Nenner $16^{\frac{3}{4}}$. Nenner $= 4$ (vierte Wurzel), Zähler $= 3$ (dritte Potenz).

$$\sqrt[4]{16} = 2$$

Schritt 3: Potenziere das Ergebnis.

$$2^3 = 8$$

Schritt 4: Bilde den Kehrwert.

$$16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{8}$$

Probe: $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^4 = 2^4 = 16$ ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Zähler und Nenner verwechselt

Viele Schülerinnen und Schüler berechnen $8^{\frac{2}{3}}$ fälschlicherweise als $\sqrt{8^3}$ statt als $\sqrt[3]{8^2}$.

Merke dir: Der Nenner steht im Bruch “unten” – er bestimmt die Wurzel, die ebenfalls “unten” steht (im Wurzelzeichen). Der Zähler steht “oben” – er ist die Potenz, die im Exponenten steht.

Richtig: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Achtung

Stolperstein 2: Negative Basis bei Bruchexponenten

Der Ausdruck $(-9)^{0{,}5}$ ist nicht definiert, weil $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ einen geraden Nenner hat. Es gibt keine reelle Zahl, die quadriert $-9$ ergibt.

Achtung: $(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2$ funktioniert hingegen, weil der Nenner $3$ ungerade ist. Im Schulunterricht der Klassen 9/10 beschränkt man sich aber meistens auf positive Basen, um solche Fallunterscheidungen zu vermeiden.

Achtung

Stolperstein 3: Addition mit Potenzen

Aus $a^r + a^s$ kann man nicht $a^{r+s}$ machen. Das Additionsgesetz bei Exponenten gilt nur bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis.

Falsches Beispiel: $2^3 + 2^3 \neq 2^6$

Richtig: $2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16$, aber $2^6 = 64$.

Das Gesetz $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ ist ein Multiplikationsgesetz, kein Additionsgesetz.

Achtung

Stolperstein 4: Kehrwert nur bei negativem Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert der Potenz, nicht negativer Wert.

$4^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{1}{2}$, nicht $-\dfrac{1}{2}$.

Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv – unabhängig vom Vorzeichen des Exponenten.

Beispiel:

Beispiel 3: Vereinfachen mit Potenzgesetzen

Vereinfache den Ausdruck $\dfrac{x^{1{,}5} \cdot x^{0{,}7}}{x^{0{,}2}}$ für $x > 0$.

Lösung:

Schritt 1: Wende das Multiplikationsgesetz im Zähler an. Gleiche Basis, also Exponenten addieren.

$$x^{1{,}5} \cdot x^{0{,}7} = x^{1{,}5 + 0{,}7} = x^{2{,}2}$$

Schritt 2: Wende das Divisionsgesetz an. Gleiche Basis, also Exponenten subtrahieren.

$$\frac{x^{2{,}2}}{x^{0{,}2}} = x^{2{,}2 - 0{,}2} = x^2$$

Ergebnis:

$$\frac{x^{1{,}5} \cdot x^{0{,}7}}{x^{0{,}2}} = x^2$$

Probe mit $x = 4$: $\dfrac{4^{1{,}5} \cdot 4^{0{,}7}}{4^{0{,}2}} = \dfrac{8 \cdot 4^{0{,}7}}{4^{0{,}2}} = 8 \cdot 4^{0{,}5} = 8 \cdot 2 = 16 = 4^2$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Gleichung mit Bruchexponent lösen

Löse die Gleichung $x^{\frac{2}{5}} = 4$ nach $x$ auf.

Lösung:

Schritt 1: Um den Exponenten $\dfrac{2}{5}$ zu eliminieren, potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert $\dfrac{5}{2}$.

$$\left(x^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{2}} = 4^{\frac{5}{2}}$$

Schritt 2: Vereinfache die linke Seite mit dem Gesetz “Potenz einer Potenz”.

$$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = x^1 = x$$

Schritt 3: Berechne die rechte Seite.

$$4^{\frac{5}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^5 = 2^5 = 32$$

Ergebnis: $x = 32$

Probe: $32^{\frac{2}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^2 = 2^2 = 4$ ✓

Der Kehrwert des Exponenten ist das Werkzeug, um Gleichungen dieser Art zu lösen.

Vertiefung

Du beherrschst jetzt Bruchexponenten. Der nächste Schritt sind irrationale Exponenten – Potenzen wie $2^{\sqrt{2}}$ oder $5^{\pi}$.

Was sind irrationale Exponenten?

Irrationale Zahlen wie $\sqrt{2} \approx 1{,}41421\ldots$ oder $\pi \approx 3{,}14159\ldots$ lassen sich nicht als Bruch schreiben. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Wie kannst du trotzdem $2^{\sqrt{2}}$ berechnen?

Die Idee: Annäherung durch Brüche

Du näherst die irrationale Zahl durch immer genauere Brüche an. Die zugehörigen Potenzen nähern sich dann einem festen Wert:

Näherung	Bruchdarstellung	Potenz $2^q$
$1$	$\dfrac{1}{1}$	$2{,}000$
$1{,}4$	$\dfrac{7}{5}$	$2{,}639$
$1{,}41$	$\dfrac{141}{100}$	$2{,}657$
$1{,}414$	$\dfrac{1414}{1000}$	$2{,}665$
$1{,}4142$	$\dfrac{14142}{10000}$	$2{,}665$

Die Werte stabilisieren sich. Dieser Grenzwert ist $2^{\sqrt{2}}$.

Definition

Für eine positive Basis $a > 0$ und eine irrationale Zahl $r$ ist $a^r$ definiert als der Grenzwert:

$$a^r = \lim_{q \to r,\, q \in \mathbb{Q}} a^q$$

wobei $q$ eine Folge rationaler Zahlen ist, die gegen $r$ konvergiert. Das Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Folge rationaler Näherungen.

In der Praxis: Taschenrechner

Irrationale Exponenten berechnest du in der Schule mit dem Taschenrechner. Die Taste $x^y$ oder $\wedge$ erlaubt beliebige reelle Exponenten. Das Konzept dahinter zu verstehen ist trotzdem wichtig: Du erkennst, warum das Ergebnis eindeutig ist und warum die Potenzgesetze auch hier gelten.

Anwendung: Zinseszins mit reellem Exponenten

Kapital wächst nicht nur zu ganzen Zeitpunkten. Die Zinseszinsformel $K = K_0 \cdot (1 + p)^t$ funktioniert für jeden reellen Wert $t$ – auch für $t = 2{,}5$ Jahre oder $t = \sqrt{3}$ Jahre.

Beispiel:

Beispiel 5: Zinseszins mit reellem Exponenten

Ein Kapital von $1\,000$ CHF wird mit $3\,\%$ Jahreszins angelegt. Wie viel ist es nach $2{,}5$ Jahren wert?

Lösung:

Formel: $K = K_0 \cdot (1 + p)^t$ mit $K_0 = 1\,000$ CHF, $p = 0{,}03$, $t = 2{,}5$.

Einsetzen:

$$K = 1\,000 \cdot 1{,}03^{2{,}5}$$

Berechnung mit dem Taschenrechner:

$$1{,}03^{2{,}5} \approx 1{,}07689$$

Ergebnis:

$$K \approx 1\,000 \cdot 1{,}07689 = 1\,076{,}89 \text{ CHF}$$

Nach $2{,}5$ Jahren beträgt das Kapital etwa $1\,076{,}89$ CHF.

Vergleich: Nach genau $2$ Jahren wären es $1\,060{,}90$ CHF, nach $3$ Jahren $1\,092{,}73$ CHF. Der Wert für $2{,}5$ Jahre liegt genau dazwischen – Wachstum ist ein kontinuierlicher Prozess.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben. Die Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Aufgaben 1–3 sind grundlegend, Aufgaben 4–7 sind mittelschwer, Aufgaben 8–10 sind anspruchsvoll.

Grundlegende Aufgaben

Aufgabe 1: Schreibe als Wurzel und berechne ohne Taschenrechner.

a) $25^{\frac{1}{2}}$ $\quad$ b) $64^{\frac{1}{3}}$ $\quad$ c) $81^{\frac{1}{4}}$

Aufgabe 2: Berechne ohne Taschenrechner.

a) $8^{\frac{2}{3}}$ $\quad$ b) $32^{\frac{3}{5}}$ $\quad$ c) $100^{\frac{3}{2}}$

Aufgabe 3: Schreibe als Potenz mit Bruchexponent.

a) $\sqrt[5]{a^3}$ $\quad$ b) $\dfrac{1}{\sqrt[4]{b^3}}$ $\quad$ c) $\sqrt{\sqrt[3]{c}}$

Mittelschwere Aufgaben

Aufgabe 4: Berechne ohne Taschenrechner.

a) $27^{-\frac{2}{3}}$ $\quad$ b) $16^{-\frac{3}{4}}$ $\quad$ c) $4^{-\frac{5}{2}}$

Aufgabe 5: Vereinfache für $x > 0$.

a) $x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$ $\quad$ b) $\dfrac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ $\quad$ c) $\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}}$

Aufgabe 6: Vereinfache vollständig für $a > 0$.

$$\frac{a^{2{,}5} \cdot a^{0{,}3}}{a^{1{,}8}}$$

Aufgabe 7: Löse die Gleichung nach $x$ auf.

a) $x^{\frac{1}{3}} = 5$ $\quad$ b) $x^{\frac{3}{2}} = 27$

Anspruchsvolle Aufgaben

Aufgabe 8: Vereinfache für $a > 0$, $b > 0$.

$$\frac{\left(a^2 b\right)^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}}$$

Aufgabe 9: Beweise, dass gilt:

$$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt[3]{a}} \quad \text{für } a > 0$$

Schreibe beide Seiten als Potenz mit Bruchexponent.

Aufgabe 10: Ein radioaktives Element zerfällt so, dass nach $t$ Jahren noch der Anteil $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}$ der ursprünglichen Menge vorhanden ist. Berechne den verbleibenden Anteil nach $a)$ $15$ Jahren, $b)$ $45$ Jahren, $c)$ $20$ Jahren (mit Taschenrechner, auf 4 Dezimalstellen).

Das Wichtigste in Kürze

• Bruchexponenten verbinden Potenzieren und Wurzelziehen: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
• Der Nenner des Bruchexponenten bestimmt die Wurzel. Der Zähler bestimmt die Potenz.
• Ziehe zuerst die Wurzel, dann potenziere – das vereinfacht die Rechnung.
• Negative Exponenten bedeuten Kehrwert: $a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}$.
• Irrationale Exponenten sind Grenzwerte von Bruchexponenten. Im Unterricht nutzt du den Taschenrechner.
• Alle bekannten Potenzgesetze gelten uneingeschränkt auch für reelle Exponenten.
• Die Basis muss positiv sein, wenn der Exponent eine reelle Zahl ist.
• Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv – unabhängig vom Exponenten.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welchen Wert hat $81^{\frac{3}{4}}$?

Lösung anzeigen

Lösung: $81^{\frac{3}{4}} = 27$ Rechenweg: Nenner $= 4$, also vierte Wurzel: $\sqrt[4]{81} = 3$. Dann Zähler $= 3$, also würfeln: $3^3 = 27$.

❓ Frage: Vereinfache: $\dfrac{a^{2{,}3} \cdot a^{1{,}7}}{a^{3}}$ für $a > 0$.

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Lösung: $a$ Rechenweg: Zähler: $a^{2{,}3 + 1{,}7} = a^4$. Dann Division: $\dfrac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a^1 = a$.

❓ Frage: Warum ist $(-9)^{0{,}5}$ im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

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Lösung: Der Ausdruck $(-9)^{0{,}5} = (-9)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-9}$ verlangt die Quadratwurzel einer negativen Zahl. Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert $-9$ ergibt. Erst mit komplexen Zahlen lässt sich dieses Problem lösen.

❓ Frage: Schreibe $\sqrt[5]{a^2}$ als Potenz mit Bruchexponent.

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Lösung: $a^{\frac{2}{5}}$ Begründung: Der Nenner des Bruchexponenten entspricht dem Wurzelexponenten ($5$), der Zähler entspricht dem Potenzexponenten ($2$). Also gilt $\sqrt[5]{a^2} = a^{\frac{2}{5}}$.

❓ Frage: Löse die Gleichung $x^{\frac{3}{4}} = 8$ nach $x$ auf.

Lösung anzeigen

Lösung: $x = 16$ Rechenweg: Potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert $\dfrac{4}{3}$:

$$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$$$$x = \left(\sqrt[3]{8}\right)^4 = 2^4 = 16$$

Probe: $16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$ ✓

Ausblick

Du hast jetzt ein solides Verständnis für Potenzen mit reellen Exponenten. Der nächste logische Schritt ist der Logarithmus – die Umkehroperation zum Potenzieren. Wenn du weisst, dass $2^x = 8$ gilt und $x$ gesucht ist, dann hilft dir der Logarithmus. Er beantwortet die Frage: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um einen bestimmten Wert zu erhalten?” Damit erhältst du mächtige Werkzeuge für Wachstums- und Zerfallsprozesse in Biologie, Chemie und Wirtschaft.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

a) $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

b) $64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$, denn $4^3 = 64$.

c) $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$, denn $3^4 = 81$.

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Lösung zu Aufgabe 2:

a) $8^{\frac{2}{3}}$: Nenner $= 3$, also $\sqrt[3]{8} = 2$. Zähler $= 2$, also $2^2 = 4$.

b) $32^{\frac{3}{5}}$: Nenner $= 5$, also $\sqrt[5]{32} = 2$. Zähler $= 3$, also $2^3 = 8$.

c) $100^{\frac{3}{2}}$: Nenner $= 2$, also $\sqrt{100} = 10$. Zähler $= 3$, also $10^3 = 1\,000$.

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Lösung zu Aufgabe 3:

a) $\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}$

b) $\dfrac{1}{\sqrt[4]{b^3}} = \dfrac{1}{b^{\frac{3}{4}}} = b^{-\frac{3}{4}}$

c) $\sqrt{\sqrt[3]{c}} = \left(c^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6}}$

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Lösung zu Aufgabe 4:

a) $27^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{27^{\frac{2}{3}}}$. Nun: $\sqrt[3]{27} = 3$, dann $3^2 = 9$. Also: $\dfrac{1}{9}$.

b) $16^{-\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$. Nun: $\sqrt[4]{16} = 2$, dann $2^3 = 8$. Also: $\dfrac{1}{8}$.

c) $4^{-\frac{5}{2}} = \dfrac{1}{4^{\frac{5}{2}}}$. Nun: $\sqrt{4} = 2$, dann $2^5 = 32$. Also: $\dfrac{1}{32}$.

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Lösung zu Aufgabe 5:

a) $x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = x^{\frac{4}{4}} = x^1 = x$

b) $\dfrac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x$

c) $\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = x^{\frac{6}{12}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

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Lösung zu Aufgabe 6:

$$\frac{a^{2{,}5} \cdot a^{0{,}3}}{a^{1{,}8}} = \frac{a^{2{,}5 + 0{,}3}}{a^{1{,}8}} = \frac{a^{2{,}8}}{a^{1{,}8}} = a^{2{,}8 - 1{,}8} = a^1 = a$$

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Lösung zu Aufgabe 7:

a) $x^{\frac{1}{3}} = 5$. Potenziere mit $3$: $x = 5^3 = 125$.

Probe: $125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$ ✓

b) $x^{\frac{3}{2}} = 27$. Potenziere mit $\dfrac{2}{3}$: $x = 27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$.

Probe: $9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3 = 27$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 8:

$$\frac{\left(a^2 b\right)^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}}$$

Zähler ausrechnen: $\left(a^2 b\right)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = a^1 \cdot b^{\frac{1}{2}}$.

Dann: $a \cdot b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}} = a^{1 + \frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$.

Division durch $a^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}$:

$$\frac{a^{\frac{5}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}}}{a^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{5}{2} - 2} \cdot b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^0 = \sqrt{a}$$

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Lösung zu Aufgabe 9:

Linke Seite: $\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}}$

Rechte Seite: $\sqrt{\sqrt[3]{a}} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}}$

Beide Seiten ergeben $a^{\frac{1}{6}}$. Damit ist die Gleichheit bewiesen.

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Lösung zu Aufgabe 10:

Die Formel lautet: Anteil $= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 2^{-\frac{t}{30}}$

a) $t = 15$ Jahre: $2^{-\frac{15}{30}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071$

Es sind noch etwa $70{,}71\,\%$ vorhanden.

b) $t = 45$ Jahre: $2^{-\frac{45}{30}} = 2^{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0{,}3536$

Es sind noch etwa $35{,}36\,\%$ vorhanden.

c) $t = 20$ Jahre: $2^{-\frac{20}{30}} = 2^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0{,}6300$

Es sind noch etwa $63{,}00\,\%$ vorhanden.