Potenzen mit ganzen Exponenten einfach erklärt: Negative Hochzahlen verstehen

Stell dir vor, du faltest ein Blatt Papier. Mit jeder Faltung verdoppelt sich die Dicke: 1, 2, 4, 8, 16 Schichten. Das ist explosives Wachstum durch wiederholtes Verdoppeln. Aber was passiert, wenn du das Blatt nicht faltest, sondern “entfaltest”? Dann halbierst du die Dicke: 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25 Schichten. Genau diese beiden Richtungen – explosives Wachsen und schrumpfendes Verkleinern – beschreiben Potenzen mit positiven und negativen ganzen Exponenten. In diesem Kapitel lernst du, wie du mit allen ganzzahligen Hochzahlen rechnest und dabei typische Stolperfallen vermeidest.

Von der wiederholten Multiplikation zur Potenz

Wenn du $2 \cdot 2 \cdot 2$ schreibst, ist das umständlich. Deshalb kürzen wir ab: $2^3$. Die kleine Zahl oben rechts heisst Exponent oder Hochzahl. Sie sagt dir, wie oft du die Basis mit sich selbst multiplizierst.

$$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$

Das funktioniert für jeden positiven ganzzahligen Exponenten. Aber was bedeutet $2^0$? Oder $2^{-3}$? Hier wird es spannend.

Die Bedeutung des Exponenten verstehen

Eine Wertetabelle hilft dir, das Muster zu erkennen. Schau dir an, was passiert, wenn du den Exponenten schrittweise verkleinerst:

Exponent	Potenz	Berechnung	Ergebnis
4	$2^4$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	16
3	$2^3$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	8
2	$2^2$	$2 \cdot 2$	4
1	$2^1$	$2$	2
0	$2^0$	?	1
-1	$2^{-1}$	?	0.5
-2	$2^{-2}$	?	0.25
-3	$2^{-3}$	?	0.125

Erkennst du das Muster? Bei jedem Schritt nach unten teilst du durch 2. Von 16 zu 8 teilst du durch 2. Von 8 zu 4 teilst du durch 2. Das Muster setzt sich fort – auch über die Null hinaus.

Die drei Grundregeln für ganze Exponenten

DEFINITION

Für jede Basis $a \neq 0$ und jeden ganzen Exponenten $n$ gilt:

Positive Exponenten: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$

Exponent Null: $a^0 = 1$

Negative Exponenten: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Der Exponent gibt an, wie oft du die Basis multiplizierst (positiv) oder durch die Basis teilst (negativ).

Warum ist $a^0 = 1$?

Das ergibt sich aus dem Muster der Division. Wenn du $a^1$ durch $a$ teilst, erhältst du $a^0$:

$$a^0 = \frac{a^1}{a} = \frac{a}{a} = 1$$

Das gilt für jede Zahl ausser Null. Der Ausdruck $0^0$ ist nicht definiert.

Warum bedeutet ein negativer Exponent “Kehrwert”?

Setze das Muster fort. Wenn du $a^0 = 1$ durch $a$ teilst, erhältst du $a^{-1}$:

$$a^{-1} = \frac{a^0}{a} = \frac{1}{a}$$

Teilst du nochmals durch $a$, erhältst du $a^{-2}$:

$$a^{-2} = \frac{a^{-1}}{a} = \frac{1}{a \cdot a} = \frac{1}{a^2}$$

Ein negativer Exponent “schiebt” die Potenz also in den Nenner eines Bruchs.

Rechenregeln für Potenzen

Diese Regeln gelten für alle ganzen Exponenten – positive, negative und null.

Regel 1: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Du addierst die Exponenten. Das funktioniert, weil du die Faktoren aneinanderhängst.

Regel 2: Potenzen mit gleicher Basis dividieren

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Du subtrahierst die Exponenten. Faktoren im Zähler und Nenner kürzen sich weg.

Regel 3: Potenz einer Potenz

$$\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}$$

Du multiplizierst die Exponenten. Das entspricht wiederholtem Potenzieren.

Regel 4: Potenz eines Produkts

$$\left( a \cdot b \right)^n = a^n \cdot b^n$$

Jeder Faktor wird einzeln potenziert.

Regel 5: Potenz eines Quotienten

$$\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Zähler und Nenner werden einzeln potenziert.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Negative Basis vs. negativer Exponent verwechseln

$(-3)^2 = 9$ bedeutet: Die negative Zahl wird quadriert. $3^{-2} = \frac{1}{9}$ bedeutet: Der Kehrwert der Potenz.

Achte genau auf die Position des Minuszeichens!

Fehler 2: Bei negativem Exponenten mit Null multiplizieren

Falsch: $5^{-2} = 5 \cdot (-2) = -10$ Richtig: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Der Exponent ist keine Multiplikation!

Fehler 3: Klammern vergessen bei negativen Basen

$-2^4 = -(2^4) = -16$ (nur die 2 wird potenziert) $(-2)^4 = 16$ (die ganze Zahl $-2$ wird potenziert)

Ohne Klammer bezieht sich der Exponent nur auf die Zahl direkt davor.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Potenzen mit negativem Exponenten

Berechne $4^{-2}$.

Schritt 1: Erkenne den negativen Exponenten. Er bedeutet “Kehrwert”.

Schritt 2: Wende die Regel an.

$$4^{-2} = \frac{1}{4^2}$$

Schritt 3: Berechne die Potenz im Nenner.

$$\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$$

Ergebnis: $4^{-2} = \frac{1}{16} = 0.0625$

Beispiel 2: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Vereinfache $3^4 \cdot 3^{-6}$.

Schritt 1: Identifiziere die Regel. Gleiche Basis bedeutet: Exponenten addieren.

Schritt 2: Addiere die Exponenten.

$$3^4 \cdot 3^{-6} = 3^{4 + (-6)} = 3^{-2}$$

Schritt 3: Schreibe das Ergebnis als Bruch.

$$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$

Ergebnis: $3^4 \cdot 3^{-6} = \frac{1}{9}$

Beispiel 3: Potenz eines Bruchs mit negativem Exponenten

Berechne $\left( \frac{2}{5} \right)^{-3}$.

Schritt 1: Ein negativer Exponent bei einem Bruch bedeutet: Kehrwert bilden und den Exponenten positiv machen.

$$\left( \frac{2}{5} \right)^{-3} = \left( \frac{5}{2} \right)^{3}$$

Schritt 2: Potenziere Zähler und Nenner einzeln.

$$\left( \frac{5}{2} \right)^{3} = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$$

Ergebnis: $\left( \frac{2}{5} \right)^{-3} = \frac{125}{8} = 15.625$

Beispiel 4: Komplexer Ausdruck vereinfachen

Vereinfache $\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4}$.

Schritt 1: Vereinfache zuerst den Zähler. Addiere die Exponenten.

$$2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2$$

Schritt 2: Dividiere durch den Nenner. Subtrahiere die Exponenten.

$$\frac{2^2}{2^4} = 2^{2-4} = 2^{-2}$$

Schritt 3: Schreibe als Bruch.

$$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$

Ergebnis: $\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4} = \frac{1}{4}$

Beispiel 5: Negative Basis mit geradem und ungeradem Exponenten

Berechne $(-3)^4$ und $(-3)^{-3}$.

Teil A: $(-3)^4$

Der Exponent ist gerade. Gerade Exponenten “neutralisieren” das Minuszeichen.

$$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$$

Teil B: $(-3)^{-3}$

Schritt 1: Negativer Exponent bedeutet Kehrwert.

$$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3}$$

Schritt 2: Der Exponent ist ungerade. Das Minuszeichen bleibt erhalten.

$$(-3)^3 = -27$$

Schritt 3: Setze ein.

$$\frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$$

Ergebnis: $(-3)^4 = 81$ und $(-3)^{-3} = -\frac{1}{27}$

Beispiel 6: Anwendung in der Physik – Lichtgeschwindigkeit

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt etwa $c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$. Wie lange braucht Licht für $1 \, \text{m}$?

Schritt 1: Zeit = Strecke / Geschwindigkeit

$$t = \frac{1 \, \text{m}}{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}$$

Schritt 2: Trenne Zahl und Zehnerpotenz.

$$t = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10^8} \, \text{s}$$

Schritt 3: Wende die Regel für negative Exponenten an.

$$\frac{1}{10^8} = 10^{-8}$$

Schritt 4: Berechne.

$$t = \frac{1}{3} \cdot 10^{-8} \, \text{s} \approx 3.33 \cdot 10^{-9} \, \text{s}$$

Ergebnis: Licht braucht etwa $3.33$ Nanosekunden für einen Meter.

Das Wichtigste in Kürze

• Exponent Null: $a^0 = 1$ für alle $a \neq 0$.
• Negativer Exponent: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ – der Kehrwert der Potenz.
• Gleiche Basis multiplizieren: Exponenten addieren ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
• Gleiche Basis dividieren: Exponenten subtrahieren ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
• Vorzeichen beachten: $(-a)^n$ und $-a^n$ sind unterschiedlich!

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ergibt $5^{-2}$?

Lösung anzeigen

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ein negativer Exponent bedeutet, dass du den Kehrwert der Potenz bildest.

❓ Frage: Vereinfache $2^3 \cdot 2^{-5} \cdot 2^2$ zu einer einzigen Potenz und berechne das Ergebnis.

Lösung anzeigen

$$2^3 \cdot 2^{-5} \cdot 2^2 = 2^{3 + (-5) + 2} = 2^0 = 1$$

Bei gleicher Basis addierst du alle Exponenten: $3 - 5 + 2 = 0$.

❓ Frage: Was ist der Unterschied zwischen $-4^2$ und $(-4)^2$?

Lösung anzeigen

$-4^2 = -(4^2) = -16$

Hier wird zuerst $4^2 = 16$ berechnet, dann das Minuszeichen davor gesetzt.

$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$

Hier wird die gesamte negative Zahl quadriert. Minus mal minus ergibt plus.

Die Klammer macht den entscheidenden Unterschied!

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt Potenzen mit ganzen Exponenten. Der nächste logische Schritt sind rationale Exponenten – also Brüche als Hochzahlen. Was bedeutet $8^{\frac{1}{3}}$? Spoiler: Es ist die dritte Wurzel von 8. Danach wirst du den Logarithmus kennenlernen, die Umkehrung des Potenzierens. Er beantwortet Fragen wie: “Welchen Exponenten brauche ich, damit $2^x = 32$?” Diese Werkzeuge sind fundamental für Exponentialfunktionen und viele Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik.