Potenzen mit ganzen Exponenten einfach erklärt: Negative Hochzahlen verstehen

Darum geht's

Stell dir vor, du faltest ein Blatt Papier. Mit jeder Faltung verdoppelt sich die Dicke: 1, 2, 4, 8, 16 Schichten. Das ist explosives Wachstum durch wiederholtes Verdoppeln. Was passiert aber, wenn du das Blatt nicht faltest, sondern “entfaltest”? Dann halbierst du die Dicke: 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25 Schichten. Genau diese beiden Richtungen – explosives Wachsen und schrumpfendes Verkleinern – beschreiben Potenzen mit positiven und negativen ganzen Exponenten. In diesem Kapitel lernst du, wie du mit allen ganzzahligen Hochzahlen rechnest und dabei typische Stolperfallen sicher umgehst.

Eine kleine Zeitreise

Potenzen sind keine Erfindung des 20. Jahrhunderts. Menschen haben schon vor über 4000 Jahren mit wiederholten Multiplikationen gerechnet – nur ohne unsere heutige Schreibweise.

Die Babylonier (ca. 2000 v. Chr.) kannten bereits Tafeln mit Quadratzahlen und Kubikzahlen. Sie benutzten diese Tafeln, um Flächen und Volumina zu berechnen. Das Wort “Potenz” oder eine Schreibweise wie $2^3$ gab es damals noch nicht. Stattdessen schrieben sie “zwei mal zwei mal zwei”.

Archimedes (ca. 250 v. Chr.) machte einen grossen Sprung. Er wollte ausdrücken, wie viele Sandkörner ins Universum passen. Dafür entwickelte er ein System, das grossen Zahlen – quasi Potenzen von 10 000 – eine kompakte Darstellung gab. Seine Schrift “Der Sandrechner” gilt als früher Vorläufer der wissenschaftlichen Notation.

Nicolas Chuquet (1484) war einer der ersten Mathematiker, der Exponenten als hochgestellte Zahlen verwendete. In seinem Manuskript “Triparty” schrieb er Ausdrücke, die unseren heutigen Potenzen sehr ähnlich sahen. Allerdings verstand er negative Exponenten noch nicht vollständig.

René Descartes (1637) prägte die Schreibweise, die wir heute kennen. In seinem Werk “La Géométrie” schrieb er $a^3$ für “a hoch drei”. Diese Notation setzte sich in ganz Europa durch.

Die negative Exponenten wurden erst später systematisch behandelt. John Wallis (1656) und Isaac Newton erkannten, dass man die Potenzregeln elegant auf negative Zahlen ausdehnen kann. Newton schrieb in seinen Briefen $a^{-1}$ für $\frac{1}{a}$ und $a^{-2}$ für $\frac{1}{a^2}$.

Heute verwendet die ganze Welt diese Schreibweise. Ohne sie wäre die Physik kaum beschreibbar. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$. Die Masse eines Elektrons liegt bei $9.11 \cdot 10^{-31} \, \text{kg}$. Negative Exponenten machen winzige Zahlen handhabbar.

Die Grundlagen

Potenzen sind eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation. Statt $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ zu schreiben, notierst du $2^4$. Die Zahl unten heisst Basis. Die hochgestellte Zahl heisst Exponent oder Hochzahl.

Eine Wertetabelle zeigt das zentrale Muster. Beobachte, was passiert, wenn du den Exponenten von 4 auf −3 senkst:

Exponent	Potenz	Berechnung	Ergebnis
4	$2^4$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	16
3	$2^3$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	8
2	$2^2$	$2 \cdot 2$	4
1	$2^1$	$2$	2
0	$2^0$	?	1
−1	$2^{-1}$	?	0.5
−2	$2^{-2}$	?	0.25
−3	$2^{-3}$	?	0.125

Bei jedem Schritt nach unten teilst du durch 2. Von 16 zu 8 teilst du durch 2. Von 8 zu 4 teilst du durch 2. Dieses Muster hört nicht bei 1 auf. Es setzt sich nahtlos fort. So ergibt sich $2^0 = 1$ und $2^{-1} = 0.5$ ganz natürlich aus dem Muster – ohne eine separate Regel auswendig lernen zu müssen.

Definition

Für jede Basis $a \neq 0$ und jeden ganzen Exponenten $n$ gilt:

Positive Exponenten: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$

Exponent Null: $a^0 = 1$

Negative Exponenten: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Der Exponent gibt an, wie oft du die Basis multiplizierst (positiv) oder durch die Basis teilst (negativ). Für $a = 0$ sind negative Exponenten und der Exponent 0 nicht definiert, da Division durch 0 verboten ist.

Die Kernmethode

Du kennst nun die Definitionen. Jetzt lernst du die fünf Rechenregeln, die dir ermöglichen, Ausdrücke mit Potenzen systematisch zu vereinfachen.

Definition

Diese Regeln gelten für alle ganzen Exponenten – positive, negative und null.

Regel 1 – Gleiche Basis multiplizieren: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Du hängst die Faktoren aneinander. Die Exponenten addieren sich.

Regel 2 – Gleiche Basis dividieren: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Faktoren im Zähler kürzen sich mit Faktoren im Nenner. Die Exponenten subtrahieren sich.

Regel 3 – Potenz einer Potenz: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ Du potenzierst eine Potenz. Die Exponenten multiplizieren sich.

Regel 4 – Potenz eines Produkts: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ Jeder Faktor erhält den Exponenten einzeln.

Regel 5 – Potenz eines Quotienten: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ Zähler und Nenner werden einzeln potenziert.

Alle fünf Regeln funktionieren auch mit negativen Exponenten. Das ist der entscheidende Vorteil der neuen Definition. Du brauchst keine separaten Regeln für negative Exponenten.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Potenz mit negativem Exponenten

Berechne $4^{-2}$.

Lösung:

Schritt 1: Erkenne den negativen Exponenten. Er bedeutet “Kehrwert bilden”.

Schritt 2: Wende die Definition an. $4^{-2} = \frac{1}{4^2}$

Schritt 3: Berechne die Potenz im Nenner. $\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Ergebnis: $4^{-2} = \dfrac{1}{16} = 0.0625$

Merkregel: Ein negativer Exponent verschiebt die Basis in den Nenner. Die Basis selbst bleibt positiv. Das Minuszeichen verschwindet, sobald du den Bruch gebildet hast.

Beispiel:

Beispiel 2: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Vereinfache $3^4 \cdot 3^{-6}$ und berechne das Ergebnis.

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die Regel. Beide Faktoren haben die gleiche Basis 3. Du darfst die Exponenten addieren.

Schritt 2: Addiere die Exponenten. $3^4 \cdot 3^{-6} = 3^{4 + (-6)} = 3^{-2}$

Schritt 3: Schreibe das Ergebnis als Bruch. $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ergebnis: $3^4 \cdot 3^{-6} = \dfrac{1}{9}$

Kontrolle: Du kannst auch direkt ausrechnen: $3^4 = 81$ und $3^6 = 729$. Dann ist $\frac{81}{729} = \frac{1}{9}$. Das stimmt überein.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Negative Basis vs. negativer Exponent

Diese beiden Ausdrücke sehen ähnlich aus, bedeuten aber etwas völlig anderes.

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$. Die negative Zahl wird quadriert. Das Ergebnis ist positiv.

$3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$. Der Kehrwert der Potenz. Das Ergebnis ist ein positiver Bruch.

Achte immer darauf, wo das Minuszeichen steht – bei der Basis oder beim Exponenten.

Achtung

Stolperstein 2: Negativer Exponent ist keine Multiplikation

Viele verwechseln den negativen Exponenten mit einer Multiplikation.

Falsch: $5^{-2} = 5 \cdot (-2) = -10$

Richtig: $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$

Der Exponent sagt dir, wie oft du multiplizierst oder durch die Basis teilst. Er ist keine eigenständige Zahl, mit der du rechnest.

Achtung

Stolperstein 3: Klammern bei negativen Basen vergessen

Ohne Klammer bezieht sich der Exponent nur auf die Zahl direkt davor – nicht auf das Minuszeichen.

$-2^4 = -(2^4) = -(16) = -16$. Zuerst wird $2^4$ berechnet, dann wird das Minus davor gesetzt.

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$. Die gesamte Zahl $-2$ wird viermal multipliziert.

Die Klammer entscheidet. Schreibe sie immer, wenn du eine negative Zahl potenzierst.

Achtung

Stolperstein 4: Vorzeichen bei ungeradem vs. geradem Exponenten

Wenn du eine negative Basis mit einem ganzzahligen Exponenten potenzierst, gilt:

• Gerader Exponent → Ergebnis ist positiv: $(-2)^4 = 16$
• Ungerader Exponent → Ergebnis ist negativ: $(-2)^3 = -8$

Prüfe vor der Berechnung, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Das sagt dir das Vorzeichen des Ergebnisses.

Beispiel:

Beispiel 3: Potenz eines Bruchs mit negativem Exponenten

Berechne $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}$.

Lösung:

Schritt 1: Ein negativer Exponent bei einem Bruch bedeutet: Kehrwert des Bruchs bilden und den Exponenten positiv machen.

$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^{3}$

Schritt 2: Potenziere Zähler und Nenner einzeln.

$\left(\frac{5}{2}\right)^{3} = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$

Ergebnis: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3} = \dfrac{125}{8} = 15.625$

Warum funktioniert das? Wende Regel 5 und die Definition an: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{2^{-3}}{5^{-3}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{125}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{125}{1} = \frac{125}{8}$ Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 4: Komplexen Bruch mit Potenzen vereinfachen

Vereinfache $\dfrac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4}$.

Lösung:

Schritt 1: Vereinfache zuerst den Zähler. Addiere die Exponenten (Regel 1). $2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2$

Schritt 2: Dividiere durch den Nenner. Subtrahiere die Exponenten (Regel 2). $\frac{2^2}{2^4} = 2^{2 - 4} = 2^{-2}$

Schritt 3: Schreibe als Bruch. $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ergebnis: $\dfrac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4} = \dfrac{1}{4}$

Alternativweg: Du kannst alle Exponenten direkt zusammenrechnen: $5 + (-3) - 4 = -2$. Das ergibt sofort $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$.

Vertiefung

Du beherrschst die Grundregeln. Jetzt verbindest du mehrere Regeln und erkennst, wie Potenzen mit ganzen Exponenten in anderen Themenbereichen auftauchen.

Wissenschaftliche Notation ist die direkteste Anwendung. Sehr grosse und sehr kleine Zahlen werden als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben.

$6.022 \cdot 10^{23} \quad \text{(Avogadro-Zahl: Anzahl Moleküle in 1 Mol)}$ $1.6 \cdot 10^{-19} \quad \text{(Elementarladung in Coulomb)}$

Negative Exponenten stehen für sehr kleine Zahlen. Positive Exponenten für sehr grosse. Das Rechnen mit wissenschaftlicher Notation folgt genau den Potenzregeln.

Verbindung zu Logarithmen: Potenzen und Logarithmen sind Umkehroperationen. Wenn $2^3 = 8$, dann ist $\log_2 8 = 3$. Der Logarithmus beantwortet die Frage: “Welchen Exponenten brauche ich?” Negative Exponenten spielen auch dort eine Rolle: $\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3$, denn $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

Definition

Für zwei Zahlen in wissenschaftlicher Notation gilt:

$a \cdot 10^m \cdot b \cdot 10^n = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}$

$\frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}$

Falls das Ergebnis von $a \cdot b$ nicht zwischen 1 und 10 liegt, musst du anpassen. Zum Beispiel: $5 \cdot 10^3 \cdot 3 \cdot 10^4 = 15 \cdot 10^7 = 1.5 \cdot 10^8$.

Verbindung zu Wachstum und Zerfall: In der 10. Klasse lernst du Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a \cdot b^x$. Für $x < 0$ brauchst du negative Exponenten. Beispielsweise beschreibt radioaktiver Zerfall Situationen, bei denen $x$ negative Werte annimmt.

Beispiel:

Beispiel 5: Wissenschaftliche Notation und Potenzen kombinieren

Das Licht legt in einer Sekunde $3 \cdot 10^8 \, \text{m}$ zurück. Ein Proton hat einen Radius von $8.5 \cdot 10^{-16} \, \text{m}$. Wie viele Proton-Radien entsprechen einer Lichtsekunde?

Lösung:

Schritt 1: Teile die Lichtgeschwindigkeit durch den Protonradius.

$\frac{3 \cdot 10^8}{8.5 \cdot 10^{-16}}$

Schritt 2: Trenne die Zahlen von den Zehnerpotenzen.

$\frac{3}{8.5} \cdot \frac{10^8}{10^{-16}} = \frac{3}{8.5} \cdot 10^{8-(-16)}$

Schritt 3: Berechne den Exponenten.

$8 - (-16) = 8 + 16 = 24$

Schritt 4: Berechne den Zahlenanteil und runde.

$\frac{3}{8.5} \approx 0.353 = 3.53 \cdot 10^{-1}$

Schritt 5: Kombiniere.

$3.53 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{24} = 3.53 \cdot 10^{23}$

Ergebnis: Eine Lichtsekunde entspricht etwa $3.53 \cdot 10^{23}$ Proton-Radien. Das zeigt, wie mächtig negative Exponenten bei kleinen Grössen sind.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Niveau 1: Grundlagen

Aufgabe 1: Berechne die folgenden Potenzen ohne Taschenrechner. a) $3^{-1}$ b) $10^{-2}$ c) $5^0$ d) $2^{-4}$

Aufgabe 2: Entscheide, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe deine Antwort. a) $(-2)^3 = 8$ b) $-3^2 = -9$ c) $4^{-1} = -4$ d) $7^0 = 0$

Aufgabe 3: Schreibe als Potenz mit negativem Exponenten. a) $\dfrac{1}{6^3}$ b) $\dfrac{1}{100}$ c) $\dfrac{1}{7^5}$

Niveau 2: Rechenregeln anwenden

Aufgabe 4: Vereinfache zu einer einzigen Potenz. a) $5^3 \cdot 5^{-5}$ b) $\dfrac{4^{-2}}{4^{-5}}$ c) $(3^{-2})^3$ d) $\dfrac{7^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-3}}$

Aufgabe 5: Berechne den Wert des Ausdrucks. a) $2^{-3} \cdot 2^5$ b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$ c) $\dfrac{6^3}{6^5}$

Niveau 3: Kombinierte Aufgaben

Aufgabe 6: Vereinfache vollständig. $\frac{a^3 \cdot a^{-5}}{a^{-4}} \quad (a \neq 0)$

Aufgabe 7: Bestimme den Exponenten $x$, der die Gleichung erfüllt. a) $2^x = 32$ b) $3^x = \dfrac{1}{27}$ c) $5^x = 1$

Aufgabe 8: Schreibe in wissenschaftlicher Notation. a) $0.00045$ b) $31\,500\,000$ c) $\dfrac{8 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-2}}$

Niveau 4: Transferaufgaben

Aufgabe 9: Ein Bakterium hat einen Durchmesser von $2 \cdot 10^{-6} \, \text{m}$. Ein Haar ist $0.00007 \, \text{m}$ dick. Wie viele Bakterien würden nebeneinander in die Dicke eines Haares passen?

Aufgabe 10: Zeige durch Umformung, dass folgende Aussage wahr ist: $\frac{x^{-2} \cdot x^5}{x^{-1} \cdot x^2} = x^2 \quad (x \neq 0)$

Das Wichtigste in Kürze

• Exponent Null: $a^0 = 1$ für alle $a \neq 0$.
• Negativer Exponent: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ – der Kehrwert der Potenz.
• Gleiche Basis multiplizieren: Exponenten addieren: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• Gleiche Basis dividieren: Exponenten subtrahieren: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
• Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• Vorzeichen beachten: $(-a)^n$ und $-a^n$ sind verschieden!
• Wissenschaftliche Notation nutzt Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten für sehr kleine Zahlen.

❓ Frage: Was ergibt $5^{-2}$?

Lösung anzeigen

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ Ein negativer Exponent bedeutet, dass du den Kehrwert der Potenz bildest. Du rechnest also $\frac{1}{5^2}$ und nicht $5 \cdot (-2)$.

❓ Frage: Vereinfache $2^3 \cdot 2^{-5} \cdot 2^2$ zu einer einzigen Potenz und berechne das Ergebnis.

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$2^3 \cdot 2^{-5} \cdot 2^2 = 2^{3 + (-5) + 2} = 2^0 = 1$ Bei gleicher Basis addierst du alle Exponenten: $3 - 5 + 2 = 0$. Jede Zahl (ausser 0) hoch 0 ergibt 1.

❓ Frage: Was ist der Unterschied zwischen $-4^2$ und $(-4)^2$?

Lösung anzeigen

$-4^2 = -(4^2) = -(16) = -16$ Hier wird zuerst $4^2 = 16$ berechnet. Das Minuszeichen steht davor und wird am Ende angehängt. $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$ Hier wird die gesamte Zahl $-4$ quadriert. Minus mal Minus ergibt Plus. Die Klammer macht den entscheidenden Unterschied.

❓ Frage: Vereinfache $\dfrac{a^{-3} \cdot a^7}{a^2}$ für $a \neq 0$.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Vereinfache den Zähler. $a^{-3} \cdot a^7 = a^{-3+7} = a^4$ Schritt 2: Dividiere durch den Nenner. $\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2$ Ergebnis: $\dfrac{a^{-3} \cdot a^7}{a^2} = a^2$ Alle Schritte folgen aus Regel 1 (Exponenten addieren) und Regel 2 (Exponenten subtrahieren).

❓ Frage: Welchen Exponenten $x$ brauchst du, damit $4^x = \dfrac{1}{64}$ gilt?

Lösung anzeigen

Schreibe $\dfrac{1}{64}$ als Potenz von 4. Es gilt $4^3 = 64$. $\frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3}$ Also muss $x = -3$ sein. Kontrolle: $4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}$. ✓ Negative Exponenten entstehen genau dann, wenn das Ergebnis kleiner als 1 ist (bei Basen grösser als 1).

Ausblick

Du beherrschst jetzt Potenzen mit ganzen Exponenten. Der nächste Schritt sind rationale Exponenten – also Brüche als Hochzahlen. Was bedeutet $8^{\frac{1}{3}}$? Es ist die dritte Wurzel von 8, also 2. Danach kommt der Logarithmus – die Umkehrung des Potenzierens. Er beantwortet Fragen wie: “Welchen Exponenten brauche ich, damit $2^x = 32$?” Diese Werkzeuge sind fundamental für Exponentialfunktionen und für Anwendungen in Naturwissenschaften, Informatik und Wirtschaft.

Lösungen

Aufgabe 1:

a) $3^{-1} = \dfrac{1}{3^1} = \dfrac{1}{3}$

b) $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0.01$

c) $5^0 = 1$ (jede Zahl ausser 0, hoch 0, ergibt 1)

d) $2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16} = 0.0625$

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Aufgabe 2:

a) $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$. Die Aussage ist falsch. Bei ungeradem Exponenten bleibt das negative Vorzeichen erhalten.

b) $-3^2 = -(3^2) = -(9) = -9$. Die Aussage ist wahr. Ohne Klammer gilt der Exponent nur für die 3.

c) $4^{-1} = \dfrac{1}{4}$, nicht $-4$. Die Aussage ist falsch. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, kein Vorzeichen.

d) $7^0 = 1$, nicht 0. Die Aussage ist falsch.

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Aufgabe 3:

a) $\dfrac{1}{6^3} = 6^{-3}$

b) $\dfrac{1}{100} = \dfrac{1}{10^2} = 10^{-2}$

c) $\dfrac{1}{7^5} = 7^{-5}$

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Aufgabe 4:

a) $5^3 \cdot 5^{-5} = 5^{3+(-5)} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$

b) $\dfrac{4^{-2}}{4^{-5}} = 4^{-2-(-5)} = 4^{-2+5} = 4^3 = 64$

c) $(3^{-2})^3 = 3^{(-2) \cdot 3} = 3^{-6} = \dfrac{1}{729}$

d) Zähler zuerst: $7^4 \cdot 7^{-6} = 7^{4+(-6)} = 7^{-2}$. Dann: $\dfrac{7^{-2}}{7^{-3}} = 7^{-2-(-3)} = 7^{-2+3} = 7^1 = 7$

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Aufgabe 5:

a) $2^{-3} \cdot 2^5 = 2^{-3+5} = 2^2 = 4$

b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{4^2}{3^2} = \dfrac{16}{9}$

c) $\dfrac{6^3}{6^5} = 6^{3-5} = 6^{-2} = \dfrac{1}{36}$

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Aufgabe 6:

Zähler zuerst: $a^3 \cdot a^{-5} = a^{3+(-5)} = a^{-2}$

Dann: $\dfrac{a^{-2}}{a^{-4}} = a^{-2-(-4)} = a^{-2+4} = a^2$

Ergebnis: $a^2$

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Aufgabe 7:

a) $2^x = 32 = 2^5$, also $x = 5$

b) $3^x = \dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{-3}$, also $x = -3$

c) $5^x = 1 = 5^0$, also $x = 0$

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Aufgabe 8:

a) $0.00045 = 4.5 \cdot 10^{-4}$ (Komma wird um 4 Stellen nach rechts verschoben)

b) $31\,500\,000 = 3.15 \cdot 10^7$ (Komma wird um 7 Stellen nach links verschoben)

c) $\dfrac{8 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-2}} = \dfrac{8}{4} \cdot 10^{3-(-2)} = 2 \cdot 10^5 = 200\,000$

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Aufgabe 9:

Haardurchmesser in wissenschaftlicher Notation: $0.00007 \, \text{m} = 7 \cdot 10^{-5} \, \text{m}$

Anzahl Bakterien = Haardurchmesser / Bakteriendurchmesser:

$\frac{7 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot 10^{-6}} = \frac{7}{2} \cdot 10^{-5-(-6)} = 3.5 \cdot 10^1 = 35$

Ergebnis: Es passen etwa 35 Bakterien nebeneinander in die Dicke eines Haares.

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Aufgabe 10:

Linke Seite vereinfachen:

Schritt 1: Zähler vereinfachen: $x^{-2} \cdot x^5 = x^{-2+5} = x^3$

Schritt 2: Nenner vereinfachen: $x^{-1} \cdot x^2 = x^{-1+2} = x^1 = x$

Schritt 3: Dividieren: $\frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2$

Das stimmt mit der rechten Seite überein. Die Aussage ist wahr. $\square$