Negative Exponenten einfach erklärt: Potenzen mit negativen Hochzahlen verstehen

Darum geht's

Stell dir vor, du teilst einen Kuchen immer wieder in zwei gleiche Hälften. Erst hast du einen ganzen Kuchen. Dann eine Hälfte. Dann ein Viertel. Dann ein Achtel. Mit jedem Schnitt wird das Stück kleiner – aber es verschwindet nie ganz. Genau dieses Prinzip steckt hinter negativen Exponenten. Während positive Exponenten Zahlen vergrössern, führen uns negative Exponenten in die Welt der Brüche und sehr kleiner Zahlen. Du wirst sehen: Negative Exponenten sind keine komplizierten Monster. Sie sind elegante Werkzeuge, die in Physik, Chemie und Informatik täglich gebraucht werden.

Eine kleine Zeitreise

Negative Exponenten tauchen in der Mathematikgeschichte erstmals im 14. Jahrhundert auf. Allerdings dauerte es noch lange, bis sie wirklich verstanden und akzeptiert wurden.

Der erste Schritt: Nicole Oresme

Der französische Bischof und Mathematiker Nicole Oresme (1323–1382) war einer der ersten, der systematisch über gebrochene Exponenten nachdachte. Er erkannte, dass Potenzen ein kohärentes System bilden. Doch er drückte seine Ideen noch nicht in moderner Notation aus.

Der entscheidende Durchbruch: John Wallis

Der englische Mathematiker John Wallis (1616–1703) führte 1655 als Erster eine konsistente Notation für negative und gebrochene Exponenten ein. In seinem Werk Arithmetica Infinitorum schrieb er $x^{-1}$ für $\dfrac{1}{x}$ und $x^{-2}$ für $\dfrac{1}{x^2}$. Das war ein revolutionärer Schritt. Zuvor hatten Mathematiker für jeden solchen Ausdruck umständliche Bruchschreibweisen verwendet.

Isaac Newton baut darauf auf

Isaac Newton (1643–1727) übernahm Wallis’ Notation sofort. Er verwendete negative Exponenten intensiv in seiner Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Für Newton waren negative Exponenten ein selbstverständliches Werkzeug, um Kurven und Funktionen zu beschreiben.

Die moderne Schreibweise entsteht

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) und später Leonhard Euler (1707–1783) vereinheitlichten die Notation weiter. Euler begründete in seinem Lehrbuch Introductio in analysin infinitorum (1748) die moderne Sicht auf Exponenten systematisch. Er zeigte, warum die Definition $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ die einzig logisch konsistente Wahl ist.

Warum die Geschichte wichtig ist

Diese Geschichte zeigt dir etwas Wichtiges: Negative Exponenten wurden nicht willkürlich erfunden. Kluge Mathematiker erkannten, dass die Potenzgesetze eine einheitliche Definition erfordern. Die Definition folgt zwingend aus der Logik der Mathematik selbst. Das wirst du im nächsten Abschnitt selbst nachvollziehen.

Die Grundlagen

Beginnen wir mit dem, was du bereits weisst. Bei positiven Exponenten multiplizierst du die Basis mehrfach mit sich selbst:

$$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$ $$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$$ $$2^1 = 2$$ $$2^0 = 1$$

Jedes Mal, wenn der Exponent um 1 sinkt, wird die Zahl durch 2 geteilt. Von $2^3 = 8$ zu $2^2 = 4$: geteilt durch 2. Von $2^2 = 4$ zu $2^1 = 2$: geteilt durch 2. Von $2^1 = 2$ zu $2^0 = 1$: geteilt durch 2.

Was passiert, wenn wir dieses Muster fortsetzen?

$$2^{-1} = \frac{1}{2}$$ $$2^{-2} = \frac{1}{4}$$ $$2^{-3} = \frac{1}{8}$$

Das Muster ist eindeutig. Negative Exponenten entstehen, wenn man den Schritt von $2^0 = 1$ nach links weiterführt. Jeder Schritt bedeutet: wieder durch 2 teilen.

Definition

Für jede Zahl $a \neq 0$ und jeden positiven ganzzahligen Exponenten $n$ gilt:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Der negative Exponent verwandelt die Potenz in einen Kehrwert. Die Basis $a$ darf nicht null sein, weil Division durch null verboten ist.

Merksatz: Ein negativer Exponent bedeutet immer “Kehrwert bilden”. Er macht eine Zahl kleiner – aber niemals negativ.

Die Kernmethode

Du weisst jetzt, was negative Exponenten bedeuten. Aber warum sind sie genau so definiert? Die Antwort liegt in den Potenzgesetzen.

Das Produktgesetz lautet:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Dieses Gesetz soll für alle ganzen Zahlen gelten – auch für negative Exponenten. Teste es mit $m = 3$ und $n = -3$:

$$a^3 \cdot a^{-3} = a^{3+(-3)} = a^0 = 1$$

Das bedeutet: $a^{-3}$ muss die Zahl sein, mit der man $a^3$ multiplizieren muss, um 1 zu erhalten. Genau das ist der Kehrwert $\dfrac{1}{a^3}$.

Die Definition folgt also zwingend aus dem Wunsch, dass das Potenzgesetz ohne Ausnahmen gilt.

Definition

Alle Potenzgesetze gelten auch für negative Exponenten:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$$$(a \cdot b)^{-n} = a^{-n} \cdot b^{-n} = \frac{1}{a^n \cdot b^n}$$$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}$$

Das letzte Gesetz ist besonders praktisch: Bei einem Bruch mit negativem Exponenten tauschen Zähler und Nenner die Plätze.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache negative Exponenten berechnen

Berechne $4^{-2}$ und $10^{-3}$.

Lösung:

Teilaufgabe a) $4^{-2}$

Schritt 1: Negativen Exponenten als Kehrwert schreiben.

$$4^{-2} = \frac{1}{4^2}$$

Schritt 2: Den Nenner berechnen.

$$4^2 = 16$$

Schritt 3: Ergebnis aufschreiben.

$$4^{-2} = \frac{1}{16}$$

Teilaufgabe b) $10^{-3}$

Schritt 1: Kehrwert bilden.

$$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$$

Merke: Die Basis 10 ist besonders nützlich. $10^{-3}$ entspricht genau einer Tausendstel. Der Exponent gibt direkt die Anzahl der Nullen nach dem Komma an. Das ist die Grundlage der wissenschaftlichen Notation.

Beispiel:

Beispiel 2: Brüche mit negativen Exponenten

Berechne $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}$ und $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$.

Lösung:

Teilaufgabe a) $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}$

Schritt 1: Bei einem Bruch mit negativem Exponenten tauschen Zähler und Nenner die Plätze.

$$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3$$

Schritt 2: Den positiven Exponenten anwenden.

$$\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$$

Teilaufgabe b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$

Bruch umkehren, dann potenzieren:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$

Das Ergebnis $\dfrac{16}{9}$ ist grösser als 1. Das ergibt Sinn: Der ursprüngliche Bruch $\dfrac{3}{4}$ ist kleiner als 1. Sein negativer Exponent macht ihn grösser als 1.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Negatives Vorzeichen versus negativer Exponent

Viele verwechseln $a^{-n}$ mit $-a^n$. Das sind völlig verschiedene Ausdrücke:

$$2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125 \quad \text{(positiv, kleiner als 1)}$$$$-2^3 = -8 \quad \text{(negativ, betragsmässig gross)}$$

Das Minuszeichen im Exponenten macht die Zahl kleiner, nicht negativ. Schreibe den Ausdruck genau hin und prüfe, wo das Minuszeichen steht.

Achtung

Stolperstein 2: Die Basis null verwenden

Der Ausdruck $0^{-2}$ ist nicht definiert. Das siehst du sofort:

$$0^{-2} = \frac{1}{0^2} = \frac{1}{0} \quad \text{(nicht erlaubt!)}$$

Division durch null ist in der Mathematik verboten. Negative Exponenten funktionieren nur mit Basen ungleich null. Prüfe immer: Kann die Basis null werden?

Achtung

Stolperstein 3: Den Kehrwert bei Brüchen falsch bilden

Bei $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$ wird oft nur ein Teil umgekehrt:

Falsch: $\dfrac{2^{-2}}{3} = \dfrac{1}{4 \cdot 3} = \dfrac{1}{12}$

Richtig: Der gesamte Bruch wird umgekehrt, dann potenziert:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$

Der negative Exponent gilt für den ganzen Bruch als Einheit – nicht nur für Zähler oder Nenner.

Achtung

Stolperstein 4: Falsche Addition beim Produktgesetz

Beim Vereinfachen von $a^{-2} \cdot a^{-3}$ wird oft falsch addiert:

Falsch: $a^{-2} \cdot a^{-3} = a^{(-2) \cdot (-3)} = a^6$

Richtig: Beim Produktgesetz werden Exponenten addiert, nicht multipliziert:

$$a^{-2} \cdot a^{-3} = a^{-2+(-3)} = a^{-5} = \frac{1}{a^5}$$

Multiplikation der Exponenten gilt nur beim Gesetz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Beispiel:

Beispiel 3: Terme mit negativen Exponenten vereinfachen

Vereinfache $\dfrac{x^3 \cdot x^{-5}}{x^{-2}}$ für $x \neq 0$.

Lösung:

Schritt 1: Die Potenzen im Zähler zusammenfassen. Exponenten addieren, da gleiche Basis.

$$x^3 \cdot x^{-5} = x^{3+(-5)} = x^{-2}$$

Schritt 2: Die Division durchführen. Exponenten subtrahieren.

$$\frac{x^{-2}}{x^{-2}} = x^{-2-(-2)} = x^{-2+2} = x^0 = 1$$

Das Ergebnis ist $1$.

Kontrolle: Dieser Term vereinfacht sich vollständig zu 1, egal welchen Wert $x$ hat (solange $x \neq 0$).

Alternative Methode: Du kannst die negativen Exponenten zuerst in Brüche umschreiben.

$$\frac{x^3 \cdot \frac{1}{x^5}}{\frac{1}{x^2}} = \frac{\frac{x^3}{x^5}}{\frac{1}{x^2}} = \frac{x^3}{x^5} \cdot x^2 = \frac{x^3 \cdot x^2}{x^5} = \frac{x^5}{x^5} = 1$$

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 4: Anwendung in der Wissenschaft

In der Chemie beschreibt der pH-Wert die Säure einer Lösung. Bei reinem Wasser beträgt die Konzentration der Wasserstoffionen $10^{-7}$ mol/Liter. Das entspricht einem pH-Wert von 7. Schreibe diese Konzentration als Dezimalzahl und erkläre, warum negative Exponenten hier unverzichtbar sind.

Lösung:

$$10^{-7} = \frac{1}{10^7} = \frac{1}{10\,000\,000} = 0{,}0000001 \text{ mol/L}$$

Die Dezimalzahl $0{,}0000001$ ist schwer lesbar. Man muss die Nullen sorgfältig zählen. Ein Schreibfehler verändert den Wert um den Faktor 10.

Die wissenschaftliche Notation $10^{-7}$ ist:

• Kompakt: Wenige Zeichen statt vieler Nullen.
• Fehlersicher: Der Exponent gibt die genaue Grössenordnung an.
• Rechenfreundlich: Potenzgesetze ermöglichen einfaches Multiplizieren und Dividieren.

Vergleich zweier Konzentrationen: Eine Lösung mit $10^{-3}$ mol/L ist $10^{-3-(-7)} = 10^4 = 10\,000$ mal konzentrierter als reines Wasser. Diese Rechnung mit Dezimalzahlen wäre sehr fehleranfällig.

Vertiefung

Negative Exponenten sind nicht nur eine Schreibvereinfachung. Sie verbinden verschiedene Bereiche der Mathematik auf elegante Weise.

Zusammenhang mit rationalen Funktionen

Die Funktion $f(x) = x^{-2}$ ist gleichbedeutend mit $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$. Das ist eine rationale Funktion. Ihr Graph ist eine sogenannte Hyperbel. Sie nähert sich der x-Achse an, berührt sie aber nie. Das erklärt sich direkt aus der Definition: $x^{-2}$ kann nur dann null werden, wenn $\dfrac{1}{x^2} = 0$ gilt – und das passiert nie.

Zusammenhang mit Logarithmen

Hier wird es besonders interessant. Es gilt:

$$\log(a^{-n}) = -n \cdot \log(a)$$

Der Logarithmus eines negativen Exponenten ergibt eine negative Zahl. Das ist die Grundlage für die Berechnung sehr kleiner Grössen. Der pH-Wert aus Beispiel 4 lautet:

$$\text{pH} = -\log(c) = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$$

Das Minuszeichen im pH-Wert-Ausdruck und der negative Exponent heben sich auf. Negative Exponenten liefern positive pH-Werte.

Definition

Für $a > 0$, $a \neq 1$ und $n \in \mathbb{Z}$ gilt:

$$\log_a(b^{-n}) = -n \cdot \log_a(b)$$

Speziell für die Basis 10:

$$\log(10^{-n}) = -n$$

Das bedeutet: Der Exponent einer Potenz zur Basis 10 ist der dekadische Logarithmus dieser Potenz. Negative Exponenten und Logarithmen sind eng verwandt.

Zusammenhang mit Wurzeln

Rationale Exponenten verbinden Potenzen und Wurzeln:

$$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, \quad a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$$

Ein negativer gebrochener Exponent kombiniert Wurzelziehen und Kehrwertbildung. Das zeigt, wie weit das Konzept der negativen Exponenten reicht. Es ist nicht auf ganze Zahlen beschränkt.

Beispiel:

Beispiel 5: Terme ohne negative Exponenten schreiben

Schreibe den Ausdruck $\dfrac{a^{-2} \cdot b^3}{a^4 \cdot b^{-1}}$ ohne negative Exponenten.

Lösung:

Schritt 1: Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen. Dazu nutzt du das Divisionsgesetz für jeden Buchstaben separat.

Für $a$: Der Exponent im Zähler ist $-2$, im Nenner ist $4$.

$$a^{-2-4} = a^{-6}$$

Für $b$: Der Exponent im Zähler ist $3$, im Nenner ist $-1$.

$$b^{3-(-1)} = b^{3+1} = b^4$$

Schritt 2: Zwischenergebnis aufschreiben.

$$\frac{a^{-2} \cdot b^3}{a^4 \cdot b^{-1}} = a^{-6} \cdot b^4$$

Schritt 3: Negativen Exponenten eliminieren. $a^{-6}$ wandert in den Nenner.

$$a^{-6} \cdot b^4 = \frac{b^4}{a^6}$$

Das Endergebnis ohne negative Exponenten lautet $\dfrac{b^4}{a^6}$.

Probe: Setze $a = 2$ und $b = 2$ ein. Original: $\dfrac{2^{-2} \cdot 2^3}{2^4 \cdot 2^{-1}} = \dfrac{\frac{1}{4} \cdot 8}{16 \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$. Ergebnis: $\dfrac{2^4}{2^6} = \dfrac{16}{64} = \dfrac{1}{4}$. Passt.

Übungen

Die Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst zu lösen. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Grundaufgaben

Aufgabe 1: Berechne die folgenden Ausdrücke als Brüche.

a) $3^{-2}$ b) $5^{-1}$ c) $2^{-4}$ d) $10^{-4}$

Aufgabe 2: Berechne die folgenden Ausdrücke mit Brüchen als Basis.

a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$ b) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$ c) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-1}$

Aufgabe 3: Ordne die folgenden Ausdrücke der Grösse nach (von klein nach gross).

$2^{-4}, \quad 3^{-3}, \quad 4^{-2}, \quad 5^{-1}$

Mittlere Aufgaben

Aufgabe 4: Vereinfache die folgenden Ausdrücke. Schreibe das Ergebnis ohne negative Exponenten.

a) $a^{-3} \cdot a^5$ b) $\dfrac{x^{-2}}{x^3}$ c) $(y^{-4})^{-2}$

Aufgabe 5: Vereinfache und schreibe ohne negative Exponenten.

$\frac{2^{-3} \cdot 4^2}{2^{-1}}$

Aufgabe 6: Welcher Wert macht die Gleichung wahr?

a) $2^x = \dfrac{1}{32}$ b) $3^x = \dfrac{1}{81}$ c) $5^x = \dfrac{1}{5}$

Schwierigere Aufgaben

Aufgabe 7: Vereinfache vollständig.

$\frac{x^{-3} \cdot y^2 \cdot x^4}{y^{-1} \cdot x^2 \cdot y^3}$

Aufgabe 8: Schreibe mit ausschliesslich positiven Exponenten.

$\left(\frac{a^{-2} \cdot b}{a \cdot b^{-3}}\right)^{-2}$

Aufgabe 9 (Anwendung): Das Licht einer Taschenlampe hat eine Wellenlänge von $4{,}5 \cdot 10^{-7}$ m. Die Breite eines menschlichen Haares beträgt $7 \cdot 10^{-5}$ m. Wie oft passt die Wellenlänge in die Haarbreite? Schreibe das Ergebnis in wissenschaftlicher Notation.

Aufgabe 10 (Knobeln): Zeige, dass gilt:

$\frac{1}{a^{-n}} = a^n$

Begründe den Schritt von links nach rechts mit der Definition des negativen Exponenten.

Das Wichtigste in Kürze

Negative Exponenten beruhen auf einem einfachen Prinzip: Sie bilden den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$$

Diese Definition folgt zwingend aus dem Wunsch, dass das Potenzgesetz $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ohne Ausnahmen gilt. Alle anderen Potenzgesetze bleiben unverändert gültig.

Wichtige Merkpunkte:

• Negativer Exponent = Kehrwert, nicht negative Zahl
• Die Basis darf nie null sein
• Bei Brüchen mit negativem Exponenten tauschen Zähler und Nenner
• Negative Exponenten machen Zahlen kleiner – aber nie negativ
• In Naturwissenschaften ermöglichen sie das Schreiben sehr kleiner Grössen

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ist der Wert von $5^{-2}$? Schreibe das Ergebnis als Bruch und als Dezimalzahl.

Lösung anzeigen

$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04$$

Der Kehrwert von $5^2 = 25$ ist $\dfrac{1}{25}$. Als Dezimalzahl: $25 \cdot 0{,}04 = 1$, also ist $0{,}04$ korrekt.

❓ Frage: Vereinfache $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$ und gib das Ergebnis als Bruch an.

Lösung anzeigen

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$

Bei negativem Exponenten wird der Bruch umgekehrt. Dann wird der positive Exponent angewendet. Zähler: $4^2 = 16$. Nenner: $3^2 = 9$.

❓ Frage: Welcher Ausdruck ist grösser: $2^{-3}$ oder $3^{-2}$? Begründe deine Antwort mit Berechnung.

Lösung anzeigen

$$2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$$$$3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111$$

Da $\dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{9}$, ist $2^{-3}$ grösser als $3^{-2}$. Merksatz: Je grösser der Nenner, desto kleiner der Bruch. $9 > 8$, also $\dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{8}$.

❓ Frage: Stimmt diese Aussage? “Der Ausdruck $(-3)^{-2}$ ergibt eine negative Zahl.” Begründe.

Lösung anzeigen

Die Aussage ist falsch.

$$(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$$

Erklärung: $(-3)^2 = 9$ (negativ mal negativ ergibt positiv). Der Kehrwert davon ist $\dfrac{1}{9}$, also eine positive Zahl. Negative Exponenten erzeugen niemals negative Ergebnisse – nur kleinere positive Zahlen.

❓ Frage: Vereinfache $\dfrac{a^{-3} \cdot a^7}{a^{-2}}$ für $a \neq 0$.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Zähler vereinfachen.

$$a^{-3} \cdot a^7 = a^{-3+7} = a^4$$

Schritt 2: Division durchführen.

$$\frac{a^4}{a^{-2}} = a^{4-(-2)} = a^{4+2} = a^6$$

Das Ergebnis ist $a^6$. Kontrolle mit $a = 2$: $\dfrac{2^{-3} \cdot 2^7}{2^{-2}} = \dfrac{\frac{1}{8} \cdot 128}{\frac{1}{4}} = \dfrac{16}{\frac{1}{4}} = 64 = 2^6$. Korrekt.

Ausblick

Du beherrschst jetzt negative Exponenten. Der nächste Schritt führt dich zu rationalen Exponenten – also Exponenten als Brüche. Was bedeutet $8^{\frac{1}{3}}$? Das ist gleichbedeutend mit $\sqrt[3]{8} = 2$. Potenzen und Wurzeln sind also zwei Seiten derselben Medaille. Ausserdem bilden negative Exponenten die Grundlage für Logarithmen: Der pH-Wert, die Dezibel-Skala in der Akustik und die Richterskala für Erdbeben – alle nutzen Logarithmen. Und Logarithmen bauen direkt auf dem Konzept der Exponenten auf, das du hier gelernt hast.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

a) $3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$

b) $5^{-1} = \dfrac{1}{5^1} = \dfrac{1}{5}$

c) $2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}$

d) $10^{-4} = \dfrac{1}{10^4} = \dfrac{1}{10\,000} = 0{,}0001$

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Lösung zu Aufgabe 2:

a) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = \left(\dfrac{2}{1}\right)^3 = 2^3 = 8$

b) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$

c) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{5}$

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Lösung zu Aufgabe 3:

Berechnung aller Werte:

$2^{-4} = \frac{1}{16} \approx 0{,}063$

$3^{-3} = \frac{1}{27} \approx 0{,}037$

$4^{-2} = \frac{1}{16} \approx 0{,}063$

$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$

Reihenfolge von klein nach gross: $3^{-3} < 2^{-4} = 4^{-2} < 5^{-1}$

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Lösung zu Aufgabe 4:

a) $a^{-3} \cdot a^5 = a^{-3+5} = a^2$

b) $\dfrac{x^{-2}}{x^3} = x^{-2-3} = x^{-5} = \dfrac{1}{x^5}$

c) $(y^{-4})^{-2} = y^{(-4) \cdot (-2)} = y^8$

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Lösung zu Aufgabe 5:

Zunächst $4^2$ als Potenz von 2 schreiben: $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$

$\frac{2^{-3} \cdot 2^4}{2^{-1}} = \frac{2^{-3+4}}{2^{-1}} = \frac{2^1}{2^{-1}} = 2^{1-(-1)} = 2^2 = 4$

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Lösung zu Aufgabe 6:

a) $2^x = \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5}$, also $x = -5$

b) $3^x = \dfrac{1}{81} = \dfrac{1}{3^4} = 3^{-4}$, also $x = -4$

c) $5^x = \dfrac{1}{5} = 5^{-1}$, also $x = -1$

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Lösung zu Aufgabe 7:

Schritt 1: Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen.

Für $x$: Im Zähler $-3 + 4 = 1$. Im Nenner $2$. Gesamt: $x^{1-2} = x^{-1}$.

Für $y$: Im Zähler $2$. Im Nenner $-1 + 3 = 2$. Gesamt: $y^{2-2} = y^0 = 1$.

$\frac{x^{-3} \cdot y^2 \cdot x^4}{y^{-1} \cdot x^2 \cdot y^3} = x^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{x}$

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Lösung zu Aufgabe 8:

Schritt 1: Exponenten im inneren Bruch vereinfachen.

Für $a$: $\dfrac{a^{-2}}{a} = a^{-2-1} = a^{-3}$

Für $b$: $\dfrac{b}{b^{-3}} = b^{1-(-3)} = b^4$

Schritt 2: Inneren Bruch aufschreiben.

$\frac{a^{-2} \cdot b}{a \cdot b^{-3}} = a^{-3} \cdot b^4$

Schritt 3: Äusseren Exponenten $-2$ anwenden.

$(a^{-3} \cdot b^4)^{-2} = a^{(-3) \cdot (-2)} \cdot b^{4 \cdot (-2)} = a^6 \cdot b^{-8} = \frac{a^6}{b^8}$

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Lösung zu Aufgabe 9:

Division der wissenschaftlichen Zahlen:

$\frac{7 \cdot 10^{-5}}{4{,}5 \cdot 10^{-7}} = \frac{7}{4{,}5} \cdot 10^{-5-(-7)} = \frac{7}{4{,}5} \cdot 10^2 \approx 1{,}556 \cdot 10^2 \approx 1{,}6 \cdot 10^2$

Die Wellenlänge passt etwa $1{,}6 \cdot 10^2 = 160$ mal in die Haarbreite.

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Lösung zu Aufgabe 10:

Zu zeigen: $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$

Schritt 1: Definition des negativen Exponenten auf $a^{-n}$ anwenden.

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Schritt 2: In den ursprünglichen Ausdruck einsetzen.

$\frac{1}{a^{-n}} = \frac{1}{\frac{1}{a^n}}$

Schritt 3: Division durch einen Bruch umschreiben (Kehrwert mal Zähler).

$\frac{1}{\frac{1}{a^n}} = 1 \cdot \frac{a^n}{1} = a^n$

Damit gilt $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$.

Diese Eigenschaft lässt sich auch mit dem Potenzgesetz begründen: $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^0 \cdot (a^{-n})^{-1} = a^{0 \cdot (-1)} \cdot a^{(-n) \cdot (-1)} = a^n$. Oder direkt: $\dfrac{1}{a^{-n}} = (a^{-n})^{-1} = a^{(-n) \cdot (-1)} = a^n$.