Negative Exponenten einfach erklärt: Potenzen mit negativen Hochzahlen verstehen

Stell dir vor, du hast einen Kuchen und teilst ihn immer wieder in der Hälfte. Erst hast du einen ganzen Kuchen, dann eine Hälfte, dann ein Viertel, dann ein Achtel. Mit jedem Schnitt wird dein Stück kleiner – aber es verschwindet nie ganz. Genau das passiert in der Mathematik, wenn wir “rückwärts potenzieren”. Während positive Exponenten Zahlen immer grösser machen, führen uns negative Exponenten in die Welt der Brüche. In dieser Lektion wirst du entdecken, dass negative Exponenten keine komplizierten Monster sind, sondern elegante Werkzeuge, um mit sehr kleinen Zahlen umzugehen.

Von der Kuchenteilung zur Potenz

Erinnern wir uns kurz an das Kuchenbeispiel: Du startest mit einem ganzen Kuchen. Das entspricht $2^0 = 1$. Jetzt teilst du:

Aktion	Kuchenmenge	Als Potenz	Als Bruch
Start	1 ganzer Kuchen	$2^0$	$1$
1. Teilung	Halber Kuchen	$2^{-1}$	$\frac{1}{2}$
2. Teilung	Viertel Kuchen	$2^{-2}$	$\frac{1}{4}$
3. Teilung	Achtel Kuchen	$2^{-3}$	$\frac{1}{8}$

Siehst du das Muster? Jede weitere Teilung durch 2 entspricht einem Schritt “nach unten” im Exponenten. Wenn wir bei $2^0 = 1$ starten und durch 2 teilen, landen wir bei $2^{-1} = \frac{1}{2}$. Negative Exponenten bedeuten also nichts anderes als wiederholtes Teilen statt wiederholtes Multiplizieren.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

Ein negativer Exponent sagt dir: “Nimm den Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten.” Das klingt zunächst kompliziert, ist aber eigentlich ganz logisch.

Bei positiven Exponenten multiplizierst du die Basis mit sich selbst:

$$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$

Bei negativen Exponenten bildest du den Kehrwert davon:

$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$

DEFINITION

Für jede Zahl $a \neq 0$ und jeden positiven Exponenten $n$ gilt:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Der negative Exponent verwandelt die Potenz in einen Bruch. Die Basis $a$ darf nicht null sein, da man durch null nicht teilen kann.

Warum funktioniert das so?

Um zu verstehen, warum negative Exponenten genau so definiert sind, schauen wir uns die Potenzgesetze an. Du kennst bereits:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Was passiert, wenn wir $a^3 \cdot a^{-3}$ berechnen? Nach dem Potenzgesetz müsste gelten:

$$a^3 \cdot a^{-3} = a^{3+(-3)} = a^0 = 1$$

Das bedeutet, $a^{-3}$ muss genau der Wert sein, mit dem wir $a^3$ multiplizieren müssen, um 1 zu erhalten. Und das ist nichts anderes als der Kehrwert $\frac{1}{a^3}$.

Die Rechenregeln für negative Exponenten

Die gute Nachricht: Alle Potenzgesetze, die du bereits kennst, gelten auch für negative Exponenten. Hier sind die wichtigsten Regeln im Überblick:

1. Produkt von Potenzen mit gleicher Basis:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Beispiel: $5^{-2} \cdot 5^4 = 5^{-2+4} = 5^2 = 25$

2. Quotient von Potenzen mit gleicher Basis:

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Beispiel: $\frac{3^2}{3^5} = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$

3. Potenz einer Potenz:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Beispiel: $\left(2^{-3}\right)^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6} = \frac{1}{64}$

4. Potenz eines Produkts:

$$(a \cdot b)^{-n} = a^{-n} \cdot b^{-n} = \frac{1}{a^n \cdot b^n}$$

5. Potenz eines Bruches:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}$$

Diese letzte Regel ist besonders praktisch: Ein negativer Exponent bei einem Bruch bedeutet einfach, dass Zähler und Nenner die Plätze tauschen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Das Minuszeichen falsch interpretieren

Viele Schüler verwechseln $a^{-n}$ mit $-a^n$. Das sind aber völlig verschiedene Dinge:

• $2^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125$ (positiv und kleiner als 1)
• $-2^3 = -8$ (negativ und vom Betrag her gross)

Das Minuszeichen im Exponenten macht die Zahl kleiner, nicht negativ!

Fehler 2: Null als Basis verwenden

$0^{-2}$ ist nicht definiert, denn das würde $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$ bedeuten – und durch null teilen ist nicht erlaubt.

Fehler 3: Den Kehrwert falsch bilden

Bei $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ wird oft nur der Zähler oder nur der Nenner umgekehrt. Richtig ist: Der gesamte Bruch wird umgekehrt, dann potenziert: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

Beispiele

Beispiel 1: Einfache negative Exponenten berechnen

Berechne $4^{-2}$.

Lösung:

Schritt 1: Den negativen Exponenten als Bruch schreiben.

$$4^{-2} = \frac{1}{4^2}$$

Schritt 2: Den Nenner berechnen.

$$4^2 = 16$$

Schritt 3: Das Ergebnis aufschreiben.

$$4^{-2} = \frac{1}{16}$$

Beispiel 2: Brüche mit negativen Exponenten

Berechne $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$.

Lösung:

Schritt 1: Bei einem Bruch mit negativem Exponenten tauschen Zähler und Nenner die Plätze.

$$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3$$

Schritt 2: Den positiven Exponenten anwenden.

$$\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$$

Das Ergebnis ist $\frac{125}{8}$ oder als Dezimalzahl $15.625$.

Beispiel 3: Terme mit negativen Exponenten vereinfachen

Vereinfache den Term $\frac{x^3 \cdot x^{-5}}{x^{-2}}$ für $x \neq 0$.

Lösung:

Schritt 1: Die Potenzen im Zähler zusammenfassen (Exponenten addieren).

$$x^3 \cdot x^{-5} = x^{3+(-5)} = x^{-2}$$

Schritt 2: Die Division durchführen (Exponenten subtrahieren).

$$\frac{x^{-2}}{x^{-2}} = x^{-2-(-2)} = x^{-2+2} = x^0 = 1$$

Das Ergebnis ist $1$.

Beispiel 4: Anwendung in der Wissenschaft

In der Physik wird die Lichtgeschwindigkeit manchmal als $3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$ angegeben. Die Wellenlänge von rotem Licht beträgt etwa $7 \cdot 10^{-7} \, \text{m}$. Schreibe diese Wellenlänge als gewöhnlichen Dezimalbruch.

Lösung:

$$7 \cdot 10^{-7} = 7 \cdot \frac{1}{10^7} = \frac{7}{10'000'000} = 0.0000007 \, \text{m}$$

Das sind 700 Nanometer – winzig klein, aber messbar!

Beispiel 5: Komplexere Umformung

Schreibe den Ausdruck $\frac{a^{-2} \cdot b^3}{a^4 \cdot b^{-1}}$ ohne negative Exponenten.

Lösung:

Schritt 1: Die Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen.

$$\frac{a^{-2} \cdot b^3}{a^4 \cdot b^{-1}} = a^{-2-4} \cdot b^{3-(-1)} = a^{-6} \cdot b^4$$

Schritt 2: Negative Exponenten eliminieren.

$$a^{-6} \cdot b^4 = \frac{b^4}{a^6}$$

Das Endergebnis ohne negative Exponenten lautet $\frac{b^4}{a^6}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein negativer Exponent bedeutet “Kehrwert bilden”: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• Alle bekannten Potenzgesetze gelten auch für negative Exponenten
• Bei Brüchen mit negativem Exponenten tauschen Zähler und Nenner: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$
• Die Basis darf nie null sein, da $0^{-n}$ nicht definiert ist
• Negative Exponenten machen Zahlen kleiner (nicht negativ!)

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ist der Wert von $5^{-2}$?

Lösung anzeigen

$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$

Der Wert ist $\frac{1}{25}$ oder $0.04$.

❓ Frage: Vereinfache $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$ und gib das Ergebnis als Bruch an.

Lösung anzeigen

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$

Bei negativem Exponenten wird der Bruch umgekehrt, dann die Potenz berechnet.

❓ Frage: Welcher der folgenden Ausdrücke ist grösser: $2^{-3}$ oder $3^{-2}$? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Wir berechnen beide Werte:

$$2^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125$$$$3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0.111$$

Da $\frac{1}{8} > \frac{1}{9}$, ist $2^{-3}$ grösser als $3^{-2}$.

Merke: Je grösser der Nenner, desto kleiner der Bruch!

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt verstanden, wie negative Exponenten funktionieren. Als Nächstes wirst du rationale Exponenten kennenlernen – also Exponenten, die Brüche sind wie $\frac{1}{2}$ oder $\frac{2}{3}$. Was bedeutet zum Beispiel $8^{\frac{1}{3}}$? Du wirst sehen, dass das eng mit dem Wurzelziehen zusammenhängt. Denn $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$. Damit schliesst sich der Kreis: Potenzen und Wurzeln sind zwei Seiten derselben Medaille. Ausserdem bilden diese Konzepte die Grundlage für das Verständnis von Logarithmen, wo du lernst, die “umgekehrte Frage” zu stellen: Welcher Exponent führt zu einem bestimmten Ergebnis?