Logarithmen einfach erklärt: Die Umkehrung der Potenzrechnung verstehen

Stell dir vor, du legst 1000 CHF auf ein Sparkonto mit 5% Zinsen pro Jahr. Du fragst dich: “Wie viele Jahre dauert es, bis sich mein Geld verdoppelt hat?” Du weisst, dass sich das Kapital jedes Jahr mit 1.05 multipliziert. Aber wie findest du heraus, nach wie vielen Jahren du bei 2000 CHF landest? Du müsstest lösen: $1.05^x = 2$. Das Problem: Der Exponent $x$ ist unbekannt. Genau für solche Aufgaben gibt es den Logarithmus – er ist das mathematische Werkzeug, um unbekannte Exponenten zu finden.

Vom Potenzieren zum Logarithmieren

Beim Potenzieren kennst du die Basis und den Exponenten und berechnest das Ergebnis:

$2^3 = 8$

Manchmal ist die Situation aber umgekehrt. Du kennst die Basis und das Ergebnis, suchst aber den Exponenten:

$2^{?} = 8$

Die Antwort ist 3, denn $2^3 = 8$. Doch wie drückst du das mathematisch aus? Hier kommt der Logarithmus ins Spiel. Du schreibst:

$\log_2(8) = 3$

Das liest du als: “Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.”

Der Logarithmus beantwortet also die Frage: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um die Zahl zu erhalten?”

Die Definition des Logarithmus

DEFINITION

Der Logarithmus von $b$ zur Basis $a$ ist der Exponent, mit dem man $a$ potenzieren muss, um $b$ zu erhalten:

$\log_a(b) = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = b$

Dabei gilt: $a > 0$, $a \neq 1$ und $b > 0$.

• $a$ heisst Basis des Logarithmus
• $b$ heisst Numerus (die Zahl, von der du den Logarithmus nimmst)
• $x$ ist der gesuchte Exponent

Die beiden Schreibweisen $\log_a(b) = x$ und $a^x = b$ drücken exakt denselben Sachverhalt aus. Sie sind wie zwei Seiten derselben Münze. Diese Umformung zwischen Logarithmus- und Potenzschreibweise ist der Schlüssel zum Verständnis.

Besondere Basen

In der Mathematik und im Alltag begegnen dir drei Basen besonders häufig:

Basis	Schreibweise	Name	Verwendung
10	$\log(x)$ oder $\lg(x)$	Dekadischer Logarithmus	Taschenrechner, pH-Wert, Dezibel
$e \approx 2.718$	$\ln(x)$	Natürlicher Logarithmus	Naturwissenschaften, Wachstum
2	$\log_2(x)$ oder $\text{ld}(x)$	Binärer Logarithmus	Informatik

Auf deinem Taschenrechner findest du die Tasten “log” (für Basis 10) und “ln” (für Basis $e$).

Die wichtigsten Logarithmusregeln

Logarithmen folgen klaren Rechenregeln. Diese leiten sich direkt aus den Potenzgesetzen ab.

Regel 1: Logarithmus eines Produkts

$\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen.

Warum? Aus den Potenzgesetzen weisst du: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Die Exponenten werden addiert. Da der Logarithmus genau diese Exponenten liefert, werden auch die Logarithmen addiert.

Regel 2: Logarithmus eines Quotienten

$\log_a\left(\frac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)$

Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen.

Regel 3: Logarithmus einer Potenz

$\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$

Der Exponent wird zum Faktor vor dem Logarithmus.

Regel 4: Basiswechsel

$\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

Mit dieser Formel kannst du jeden Logarithmus in eine andere Basis umrechnen. Das ist praktisch, weil dein Taschenrechner nur $\log$ und $\ln$ kennt.

Spezielle Werte

Diese Werte solltest du auswendig kennen:

$\log_a(1) = 0 \quad \text{(weil } a^0 = 1 \text{)}$

$\log_a(a) = 1 \quad \text{(weil } a^1 = a \text{)}$

$\log_a(a^n) = n$

$a^{\log_a(b)} = b$

Die letzten beiden zeigen, dass Potenzieren und Logarithmieren sich gegenseitig aufheben – sie sind Umkehroperationen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Summenregel verwechseln

Falsch: $\log_a(u + v) = \log_a(u) + \log_a(v)$

Es gibt keine Regel für den Logarithmus einer Summe! Die Produktregel gilt nur für $\log_a(u \cdot v)$.

Fehler 2: Logarithmus von negativen Zahlen oder Null

Der Ausdruck $\log_a(-5)$ oder $\log_a(0)$ ist nicht definiert. Der Numerus muss immer positiv sein. Frage dich: “Mit welchem Exponenten erhalte ich eine negative Zahl?” – Das geht nicht mit positiven Basen.

Fehler 3: Basis und Numerus vertauschen

$\log_2(8) = 3$ bedeutet $2^3 = 8$, nicht $8^3 = 2$. Die Basis des Logarithmus ist die Basis der Potenz.

Fehler 4: Die Potenzregel falsch anwenden

Falsch: $\log_a(u^n) = \log_a(u)^n$

Richtig: Der Exponent wird zum Faktor, nicht zum Exponenten des Logarithmus: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$

Beispiele

Beispiel 1: Logarithmus direkt berechnen

Berechne $\log_3(81)$ ohne Taschenrechner.

Lösung:

Wir fragen uns: “3 hoch was ergibt 81?”

Wir probieren:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$
• $3^4 = 81$ ✓

Also ist $\log_3(81) = 4$.

Probe: $3^4 = 81$ ✓

Beispiel 2: Logarithmusgleichung lösen

Löse die Gleichung $\log_5(x) = 3$.

Lösung:

Wir schreiben die Gleichung in Potenzform um:

$\log_5(x) = 3 \quad \Leftrightarrow \quad 5^3 = x$

Wir berechnen:

$x = 5^3 = 125$

Probe: $\log_5(125) = 3$, denn $5^3 = 125$ ✓

Beispiel 3: Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen

Löse die Gleichung $2^x = 50$.

Lösung:

Der Exponent $x$ ist unbekannt. Wir wenden auf beiden Seiten den Logarithmus an (hier den natürlichen Logarithmus):

$\ln(2^x) = \ln(50)$

Mit der Potenzregel ziehen wir $x$ nach vorne:

$x \cdot \ln(2) = \ln(50)$

Wir lösen nach $x$ auf:

$x = \frac{\ln(50)}{\ln(2)}$

Mit dem Taschenrechner:

$x = \frac{3.912}{0.693} \approx 5.64$

Probe: $2^{5.64} \approx 49.9 \approx 50$ ✓

Beispiel 4: Logarithmusregeln anwenden

Vereinfache $\log_2(32) - \log_2(4) + \log_2(8)$.

Lösung:

Methode 1: Jeden Logarithmus einzeln berechnen

• $\log_2(32) = 5$, denn $2^5 = 32$
• $\log_2(4) = 2$, denn $2^2 = 4$
• $\log_2(8) = 3$, denn $2^3 = 8$

Also: $5 - 2 + 3 = 6$

Methode 2: Mit den Logarithmusregeln

$\log_2(32) - \log_2(4) + \log_2(8) = \log_2\left(\frac{32 \cdot 8}{4}\right) = \log_2(64) = 6$

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis: 6

Beispiel 5: Zinseszins-Aufgabe

Du legst 5000 CHF zu einem Zinssatz von 3% pro Jahr an. Nach wie vielen Jahren hast du 7000 CHF?

Lösung:

Die Zinseszinsformel lautet: $K_n = K_0 \cdot q^n$

Dabei ist:

• $K_n = 7000$ CHF (Endkapital)
• $K_0 = 5000$ CHF (Anfangskapital)
• $q = 1.03$ (Wachstumsfaktor)
• $n$ = gesuchte Anzahl Jahre

Wir setzen ein:

$7000 = 5000 \cdot 1.03^n$

Wir teilen durch 5000:

$1.4 = 1.03^n$

Wir logarithmieren beide Seiten:

$\ln(1.4) = \ln(1.03^n)$

$\ln(1.4) = n \cdot \ln(1.03)$

$n = \frac{\ln(1.4)}{\ln(1.03)} = \frac{0.336}{0.0296} \approx 11.4$

Antwort: Nach etwa 11.4 Jahren, also nach 12 vollen Jahren, hast du mehr als 7000 CHF.

Logarithmen auf dem Taschenrechner

Dein Taschenrechner hat zwei Logarithmus-Tasten:

• log: Dekadischer Logarithmus (Basis 10)
• ln: Natürlicher Logarithmus (Basis $e$)

Für andere Basen verwendest du die Basiswechselformel:

$\log_3(20) = \frac{\ln(20)}{\ln(3)} = \frac{2.996}{1.099} \approx 2.73$

Manche Taschenrechner haben auch eine Funktion “logbase” oder ähnlich, mit der du die Basis direkt eingeben kannst.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Logarithmus beantwortet die Frage: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?”

• Die zentrale Beziehung: $\log_a(b) = x \Leftrightarrow a^x = b$

• Produktregel: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$

• Quotientenregel: $\log_a\left(\frac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)$

• Potenzregel: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$

• Es gibt keine Summenregel: $\log_a(u + v)$ lässt sich nicht vereinfachen.

• Der Numerus muss immer positiv sein.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ist $\log_4(64)$?

Lösung anzeigen

$\log_4(64) = 3$

Begründung: Wir suchen den Exponenten $x$, sodass $4^x = 64$.

$4^3 = 64$, also ist $x = 3$.

❓ Frage: Vereinfache mit den Logarithmusregeln: $\log_5(25) + \log_5(5)$

Lösung anzeigen

$\log_5(25) + \log_5(5) = \log_5(25 \cdot 5) = \log_5(125) = 3$

Alternativ: $\log_5(25) = 2$ und $\log_5(5) = 1$, also $2 + 1 = 3$.

❓ Frage: Löse die Gleichung $3^x = 100$ (runde auf zwei Dezimalstellen).

Lösung anzeigen

Wir logarithmieren beide Seiten:

$\ln(3^x) = \ln(100)$

$x \cdot \ln(3) = \ln(100)$

$x = \frac{\ln(100)}{\ln(3)} = \frac{4.605}{1.099} \approx 4.19$

Die Lösung ist $x \approx 4.19$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit dem Logarithmus hast du ein mächtiges Werkzeug kennengelernt, um Exponentialgleichungen zu lösen. Im nächsten Schritt wirst du Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen als Graphen untersuchen. Du wirst sehen, wie diese Funktionen aussehen, wo sie definiert sind und wie sie sich verhalten. Besonders spannend wird die Anwendung auf Wachstums- und Zerfallsprozesse – von Bakterienwachstum bis zum radioaktiven Zerfall. Die Logarithmusregeln, die du heute gelernt hast, werden dabei immer wieder zum Einsatz kommen.