Logarithmen einfach erklärt: Die Umkehrung der Potenzrechnung verstehen

Darum geht's

Stell dir vor, du legst 1000 CHF auf ein Sparkonto mit 5% Zinsen pro Jahr. Du fragst dich: “Wie viele Jahre dauert es, bis sich mein Geld verdoppelt hat?” Dein Kapital multipliziert sich jedes Jahr mit 1.05. Du musst also lösen: $1.05^x = 2$. Der Exponent $x$ ist unbekannt. Mit Potenzrechnung allein kommst du hier nicht weiter. Genau für solche Probleme gibt es den Logarithmus. Er ist das mathematische Werkzeug, das unbekannte Exponenten sichtbar macht. Du wirst sehen: Wer Logarithmen versteht, versteht auch Zinseszins, pH-Werte und Schallpegel auf einer völlig neuen Ebene.

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte des Logarithmus beginnt mit einem praktischen Problem: Wie rechnet man schnell mit sehr grossen Zahlen? Im 16. Jahrhundert war das eine ernste Frage. Astronomen, Navigatoren und Kaufleute mussten täglich aufwendige Multiplikationen mit vielen Stellen durchführen. Taschenrechner gab es nicht. Jede Rechnung kostete Zeit und war fehleranfällig.

Der schottische Mathematiker John Napier (1550–1617) arbeitete zwanzig Jahre lang an einer Lösung. Im Jahr 1614 veröffentlichte er sein Werk Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio – zu Deutsch: “Beschreibung des wunderbaren Kanons der Logarithmen”. Napier hatte eine Tabelle entwickelt, mit der man Multiplikationen in Additionen umwandeln konnte. Die Idee dahinter war einfach: Statt zwei grosse Zahlen zu multiplizieren, addiert man ihre Logarithmen und schlägt das Ergebnis in einer Tabelle nach.

Wenig später verfeinerte der englische Mathematiker Henry Briggs (1561–1630) Napiers Idee. Er schlug vor, die Basis 10 zu verwenden, weil das besser zum Dezimalsystem passt. Diese Logarithmen nennt man heute dekadische Logarithmen oder Briggssche Logarithmen.

Das Rechenwerkzeug, das aus dieser Idee entstand – der Rechenschieber – blieb über 350 Jahre lang das wichtigste Hilfsmittel für Ingenieure, Wissenschaftler und Techniker. Noch die Ingenieure, die 1969 die Mondlandung berechnet haben, arbeiteten teilweise mit Rechenschiebern. Erst der elektronische Taschenrechner machte dieses Werkzeug in den 1970er Jahren überflüssig.

Der natürliche Logarithmus mit der Basis $e \approx 2.718$ hat eine etwas andere Geschichte. Die Zahl $e$ tauchte erstmals bei Jakob Bernoulli (1654–1705) auf, als er Zinseszinsberechnungen untersuchte. Leonhard Euler (1707–1783), der bedeutendste Schweizer Mathematiker aller Zeiten, erkannte die zentrale Rolle dieser Zahl in der Analysis und führte das Symbol $e$ ein.

Heute begegnet dir der Logarithmus überall: in der Chemie beim pH-Wert, in der Physik beim Dezibel, in der Informatik bei der Analyse von Algorithmen und in der Biologie bei Wachstumsmodellen. Was vor 400 Jahren ein Rechentrick war, ist heute ein fundamentales Konzept der Mathematik.

Die Grundlagen

Beim Potenzieren kennst du die Basis und den Exponenten. Du berechnest das Ergebnis:

$2^3 = 8$

Manchmal ist die Situation umgekehrt. Du kennst die Basis und das Ergebnis, suchst aber den Exponenten:

$2^{?} = 8$

Die Antwort ist 3, denn $2^3 = 8$. Doch wie drückst du das mathematisch präzise aus? Genau hier kommt der Logarithmus ins Spiel.

Definition

Der Logarithmus von $b$ zur Basis $a$ ist der Exponent, mit dem man $a$ potenzieren muss, um $b$ zu erhalten:

$\log_a(b) = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = b$

Bedingungen: $a > 0$, $a \neq 1$ und $b > 0$.

• $a$ heisst Basis des Logarithmus
• $b$ heisst Numerus (die Zahl, deren Logarithmus du berechnest)
• $x$ ist der gesuchte Exponent

Die Schreibweise $\log_a(b) = x$ und die Potenzschreibweise $a^x = b$ drücken exakt denselben Sachverhalt aus. Sie sind wie zwei Seiten derselben Münze. Das Umschreiben zwischen diesen beiden Formen ist die wichtigste Technik beim Arbeiten mit Logarithmen.

In der Praxis begegnen dir drei Basen besonders häufig:

Basis	Schreibweise	Name	Verwendung
10	$\log(x)$ oder $\lg(x)$	Dekadischer Logarithmus	Taschenrechner, pH-Wert, Dezibel
$e \approx 2.718$	$\ln(x)$	Natürlicher Logarithmus	Naturwissenschaften, Wachstum
2	$\log_2(x)$	Binärer Logarithmus	Informatik, Algorithmen

Auf deinem Taschenrechner findest du die Tasten log (Basis 10) und ln (Basis $e$). Für andere Basen brauchst du die Basiswechselformel, die du weiter unten kennenlernst.

Die Kernmethode

Die vier wichtigsten Logarithmusregeln leiten sich direkt aus den Potenzgesetzen ab. Wer die Potenzgesetze kennt, versteht diese Regeln sofort.

Definition

Für $a > 0$, $a \neq 1$ und $u, v > 0$ gilt:

Produktregel: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$

Quotientenregel: $\log_a\!\left(\frac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)$

Potenzregel: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$

Basiswechselformel: $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

Ausserdem gelten zwei spezielle Werte, die du auswendig kennen solltest:

$\log_a(1) = 0 \qquad \text{(weil } a^0 = 1\text{)}$

$\log_a(a) = 1 \qquad \text{(weil } a^1 = a\text{)}$

Die Potenzregel ist besonders nützlich. Sie erlaubt es dir, einen Exponenten aus dem Argument herauszuziehen und als Faktor zu schreiben. Das ist der Schlüsseltrick beim Lösen von Exponentialgleichungen. Die Basiswechselformel hilft dir, wenn dein Taschenrechner nur $\log$ und $\ln$ kennt, du aber einen Logarithmus mit einer anderen Basis brauchst.

Beispiel:

Beispiel 1: Logarithmus direkt berechnen

Berechne $\log_3(81)$ ohne Taschenrechner.

Lösung:

Gefragt ist: “3 hoch was ergibt 81?”

Du probierst systematisch:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$
• $3^4 = 81$ ✓

Also gilt $\log_3(81) = 4$.

Probe: $3^4 = 81$ ✓

Tipp: Bei einfachen Logarithmen hilft das schrittweise Potenzieren. Du fragst dich immer: “Welcher Exponent passt?” Sobald du die Verbindung $\log_a(b) = x \Leftrightarrow a^x = b$ sicher beherrschst, gehst du von der Logarithmusform direkt in die Potenzform – und die Antwort liegt offen.

Beispiel:

Beispiel 2: Logarithmusgleichung lösen

Löse die Gleichung $\log_5(x) = 3$.

Lösung:

Du schreibst die Gleichung in die Potenzform um. Das ist die zentrale Technik:

$\log_5(x) = 3 \quad \Leftrightarrow \quad 5^3 = x$

Du berechnest:

$x = 5^3 = 125$

Probe: Ist $\log_5(125) = 3$? Prüfe: $5^3 = 125$ ✓

Zweites Beispiel: Löse $\log_x(27) = 3$.

Hier ist diesmal die Basis unbekannt. Umschreiben ergibt:

$x^3 = 27$

Also ist $x = \sqrt[3]{27} = 3$.

Probe: $\log_3(27) = 3$, denn $3^3 = 27$ ✓

Das Umschreiben zwischen Logarithmus- und Potenzform funktioniert in beide Richtungen und löst viele Gleichungstypen auf einen Schlag.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Fehler 1: Es gibt keine Summenregel

Viele Lernende denken fälschlicherweise:

$\log_a(u + v) \stackrel{?}{=} \log_a(u) + \log_a(v)$

Das ist falsch. Die Produktregel gilt nur für ein Produkt im Argument, nicht für eine Summe. Der Ausdruck $\log_a(u + v)$ lässt sich nicht weiter vereinfachen. Diese Verwechslung führt zu einem der häufigsten Fehler in Prüfungen.

Achtung

Fehler 2: Logarithmus von Null oder negativen Zahlen

Die Ausdrücke $\log_a(0)$ und $\log_a(-5)$ sind nicht definiert. Der Numerus muss immer strikt positiv sein ($b > 0$). Frage dich: “Welchen Exponenten bräuchte ich, damit eine positive Basis eine negative Zahl oder Null ergibt?” Das ist unmöglich. Vergiss beim Lösen von Gleichungen nie, den Definitionsbereich zu prüfen.

Achtung

Fehler 3: Potenzregel falsch angewendet

Die Potenzregel lautet: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$

Der Exponent $n$ wird zum Faktor vor dem Logarithmus. Er wird nicht selbst zum Exponenten des Logarithmus:

Falsch: $\log_a(u^n) \stackrel{?}{=} [\log_a(u)]^n$

Diese Verwechslung führt zu komplett falschen Ergebnissen. Denk daran: Der Exponent wandert nach vorne als Multiplikator.

Achtung

Fehler 4: Basis und Numerus vertauschen

$\log_2(8) = 3$ bedeutet: $2^3 = 8$. Die Basis des Logarithmus ($2$) ist die Basis der Potenz. Der Numerus ($8$) ist das Ergebnis der Potenz. Wer diese beiden Zahlen vertauscht und schreibt $8^3 = 2$, erhält Unsinn. Beim Umschreiben in Potenzform: Die Basis bleibt unten, der Logarithmuswert wird zum Exponenten.

Beispiel:

Beispiel 3: Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen

Löse die Gleichung $2^x = 50$.

Lösung:

Der Exponent $x$ ist unbekannt. Du kannst $x$ nicht direkt ablesen. Deshalb wendest du auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an:

$\ln(2^x) = \ln(50)$

Mit der Potenzregel ziehst du $x$ nach vorne:

$x \cdot \ln(2) = \ln(50)$

Du löst nach $x$ auf:

$x = \frac{\ln(50)}{\ln(2)}$

Du berechnest mit dem Taschenrechner:

$x = \frac{3.912}{0.693} \approx 5.64$

Probe: $2^{5.64} \approx 49.9 \approx 50$ ✓

Wichtig: Du kannst genauso den dekadischen Logarithmus $\log$ verwenden. Das Ergebnis ist dasselbe:

$x = \frac{\log(50)}{\log(2)} = \frac{1.699}{0.301} \approx 5.64$

Beispiel:

Beispiel 4: Logarithmusregeln anwenden und vereinfachen

Vereinfache $\log_2(32) - \log_2(4) + \log_2(8)$.

Lösung:

Methode 1 – Direkte Berechnung:

Du berechnest jeden Logarithmus einzeln:

• $\log_2(32) = 5$, denn $2^5 = 32$
• $\log_2(4) = 2$, denn $2^2 = 4$
• $\log_2(8) = 3$, denn $2^3 = 8$

Ergebnis: $5 - 2 + 3 = 6$

Methode 2 – Mit den Logarithmusregeln:

Du fassst zuerst zusammen. Subtraktion entspricht einer Division im Argument, Addition einer Multiplikation:

$\log_2(32) - \log_2(4) + \log_2(8) = \log_2\!\left(\frac{32 \cdot 8}{4}\right) = \log_2(64) = 6$

Beide Methoden liefern 6. Methode 2 ist effizienter, wenn die einzelnen Logarithmen keine ganzen Zahlen ergeben.

Vertiefung

Sobald du die Grundlagen sicher beherrschst, öffnen sich weitere wichtige Konzepte.

Logarithmusfunktion: Die Funktion $f(x) = \log_a(x)$ ist auf dem Bereich $x > 0$ definiert. Ihr Graph verläuft durch den Punkt $(1|0)$, wächst für $a > 1$ streng monoton und steigt immer langsamer. Für $a > 1$ ist die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $g(x) = a^x$. Die Graphen beider Funktionen sind symmetrisch zur Winkelhalbierenden $y = x$.

Basiswechsel in der Praxis: Dein Taschenrechner kennt nur $\log$ und $\ln$. Für jeden anderen Logarithmus verwendest du:

$\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} = \frac{\log(b)}{\log(a)}$

Definition

Potenzieren und Logarithmieren heben sich gegenseitig auf:

$a^{\log_a(b)} = b \qquad \text{und} \qquad \log_a(a^n) = n$

Diese Eigenschaft macht den Logarithmus zur Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Anwendungen im Alltag:

Der pH-Wert einer Lösung ist definiert als $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$, wobei $[\text{H}^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen angibt. Eine Lösung mit pH 3 hat zehnmal mehr Wasserstoffionen als eine Lösung mit pH 4.

Der Dezibel-Wert eines Schalldrucks ist $L = 20 \cdot \log\!\left(\dfrac{p}{p_0}\right)$. Eine Verdopplung des Schalldrucks erhöht den Dezibelwert um etwa 6 dB.

In der Informatik gibt die Funktion $\log_2(n)$ an, wie viele Schritte ein binärer Suchalgorithmus maximal braucht. Bei einer Million Einträgen genügen rund 20 Schritte – ein beeindruckendes Beispiel für die Kraft des Logarithmus.

Beispiel:

Beispiel 5: Zinseszins-Aufgabe

Du legst 5000 CHF zu einem Zinssatz von 3% pro Jahr an. Nach wie vielen Jahren hast du mindestens 7000 CHF?

Lösung:

Die Zinseszinsformel lautet: $K_n = K_0 \cdot q^n$

Dabei gilt:

• $K_0 = 5000$ CHF (Anfangskapital)
• $K_n = 7000$ CHF (Zielkapital)
• $q = 1.03$ (Wachstumsfaktor bei 3% Zinsen)
• $n$ = gesuchte Anzahl Jahre

Du setzt ein und dividierst durch 5000:

$\frac{7000}{5000} = 1.03^n \quad \Rightarrow \quad 1.4 = 1.03^n$

Du logarithmierst beide Seiten:

$\ln(1.4) = n \cdot \ln(1.03)$

$n = \frac{\ln(1.4)}{\ln(1.03)} = \frac{0.3365}{0.02956} \approx 11.39$

Antwort: Nach etwa 11.4 Jahren überschreitest du 7000 CHF. Da das Kapital am Ende jedes vollen Jahres gutgeschrieben wird, brauchst du 12 volle Jahre.

Probe: $5000 \cdot 1.03^{12} \approx 5000 \cdot 1.4258 \approx 7129$ CHF ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne oben und arbeite dich vor. Die vollständigen Lösungswege findest du im Abschnitt “Lösungen” am Ende des Artikels.

Grundlagen (Aufgaben 1–3)

Aufgabe 1: Berechne ohne Taschenrechner:

a) $\log_2(16)$ b) $\log_3(27)$ c) $\log_{10}(1000)$ d) $\log_5(1)$

Aufgabe 2: Schreibe jeweils in Potenzform um:

a) $\log_4(64) = 3$ b) $\log_2(0.5) = -1$ c) $\log_a(m) = k$

Aufgabe 3: Schreibe jeweils in Logarithmusform um:

a) $7^2 = 49$ b) $10^{-2} = 0.01$ c) $e^1 = e$

Regelanwendung (Aufgaben 4–6)

Aufgabe 4: Vereinfache mit den Logarithmusregeln (ohne Taschenrechner):

a) $\log_3(9) + \log_3(3)$ b) $\log_2(64) - \log_2(8)$ c) $\log_5(5^7)$

Aufgabe 5: Berechne mit dem Taschenrechner (auf zwei Dezimalstellen):

a) $\log_3(20)$ b) $\log_7(100)$ c) $\log_6(200)$

Aufgabe 6: Löse die Gleichungen:

a) $\log_3(x) = 4$ b) $\log_x(16) = 2$ c) $\log_2(x+1) = 5$

Exponentialgleichungen (Aufgaben 7–8)

Aufgabe 7: Löse die Exponentialgleichungen (auf zwei Dezimalstellen):

a) $3^x = 20$ b) $5^x = 0.1$ c) $2^{x+1} = 10$

Aufgabe 8: Vereinfache vollständig:

$\log_6(4) + 2 \cdot \log_6(3) - \log_6(2)$

Anwendungen (Aufgaben 9–10)

Aufgabe 9: Ein Bakterium verdoppelt sich alle 30 Minuten. Die Anfangspopulation beträgt 500 Bakterien. Nach wie vielen Minuten sind es mehr als 100 000 Bakterien?

Aufgabe 10: Eine radioaktive Substanz zerfällt jedes Jahr um 12%. Ausgangsmenge: 200 g. Nach wie vielen Jahren sind noch weniger als 50 g übrig?

Das Wichtigste in Kürze

• Der Logarithmus beantwortet: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?”
• Zentrale Beziehung: $\log_a(b) = x \Leftrightarrow a^x = b$
• Produktregel: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$
• Quotientenregel: $\log_a\!\left(\dfrac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)$
• Potenzregel: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$
• Basiswechsel: $\log_a(b) = \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)}$
• Es gibt keine Summenregel für $\log_a(u+v)$.
• Der Numerus muss immer positiv sein: $b > 0$.
• Für Exponentialgleichungen: Logarithmieren und Potenzregel anwenden, dann nach $x$ auflösen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ist $\log_4(64)$?

Lösung anzeigen

$\log_4(64) = 3$ Begründung: Gesucht ist der Exponent $x$ mit $4^x = 64$. Probe: $4^3 = 64$ ✓ Also ist $\log_4(64) = 3$.

❓ Frage: Vereinfache: $\log_5(25) + \log_5(5)$

Lösung anzeigen

Methode 1 – Produktregel: $\log_5(25) + \log_5(5) = \log_5(25 \cdot 5) = \log_5(125) = 3$ Methode 2 – Einzeln berechnen: $\log_5(25) = 2$ (weil $5^2 = 25$) und $\log_5(5) = 1$ (weil $5^1 = 5$). Also: $2 + 1 = 3$ Das Ergebnis ist 3.

❓ Frage: Löse die Gleichung $3^x = 100$. Runde auf zwei Dezimalstellen.

Lösung anzeigen

Du logarithmierst beide Seiten: $\ln(3^x) = \ln(100)$ $x \cdot \ln(3) = \ln(100)$ $x = \frac{\ln(100)}{\ln(3)} = \frac{4.6052}{1.0986} \approx 4.19$ Die Lösung ist $x \approx 4.19$. Probe: $3^{4.19} \approx 100$ ✓

❓ Frage: Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? A) $\log_2(8 + 4) = \log_2(8) + \log_2(4)$ B) $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4)$ C) $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) \cdot \log_2(4)$

Lösung anzeigen

Die richtige Antwort ist B. Die Produktregel lautet: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$. Probe: $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(32) = 5$ und $\log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5$ ✓ Aussage A ist falsch: Es gibt keine Summenregel für Logarithmen. Aussage C ist falsch: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe, nicht das Produkt der Logarithmen.

❓ Frage: Berechne $\log_8(2)$.

Lösung anzeigen

Gesucht ist $x$ mit $8^x = 2$. Du erkennst: $8 = 2^3$, also: $(2^3)^x = 2^1$ $2^{3x} = 2^1$ Durch Vergleich der Exponenten: $3x = 1$, also $x = \dfrac{1}{3}$. Somit ist $\log_8(2) = \dfrac{1}{3}$. Probe: $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ ✓

Ausblick

Mit dem Logarithmus hast du ein mächtiges Werkzeug kennengelernt, das weit über die Schulstube hinausreicht. Im nächsten Schritt wirst du Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen als Graphen untersuchen. Du lernst, wie Wachstums- und Zerfallsprozesse modelliert werden – von Bakterienpopulationen bis zum radioaktiven Zerfall. In der Oberstufe begegnet dir der natürliche Logarithmus erneut in der Analysis, wo er eine zentrale Rolle bei der Ableitungs- und Integralrechnung spielt. Die Rechenregeln, die du heute geübt hast, bleiben dabei immer dieselben.

Lösungen

Aufgabe 1:

a) $\log_2(16) = 4$, denn $2^4 = 16$

b) $\log_3(27) = 3$, denn $3^3 = 27$

c) $\log_{10}(1000) = 3$, denn $10^3 = 1000$

d) $\log_5(1) = 0$, denn $5^0 = 1$ (gilt für jede erlaubte Basis)

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Aufgabe 2:

a) $\log_4(64) = 3 \Leftrightarrow 4^3 = 64$

b) $\log_2(0.5) = -1 \Leftrightarrow 2^{-1} = 0.5$

c) $\log_a(m) = k \Leftrightarrow a^k = m$

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Aufgabe 3:

a) $7^2 = 49 \Leftrightarrow \log_7(49) = 2$

b) $10^{-2} = 0.01 \Leftrightarrow \log_{10}(0.01) = -2$

c) $e^1 = e \Leftrightarrow \ln(e) = 1$

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Aufgabe 4:

a) $\log_3(9) + \log_3(3) = 2 + 1 = 3$. Oder: $\log_3(9 \cdot 3) = \log_3(27) = 3$ ✓

b) $\log_2(64) - \log_2(8) = 6 - 3 = 3$. Oder: $\log_2\!\left(\dfrac{64}{8}\right) = \log_2(8) = 3$ ✓

c) $\log_5(5^7) = 7$ (direkt aus der Regel $\log_a(a^n) = n$)

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Aufgabe 5: Du verwendest die Basiswechselformel $\log_a(b) = \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)}$:

a) $\log_3(20) = \dfrac{\ln(20)}{\ln(3)} = \dfrac{2.996}{1.099} \approx 2.73$

b) $\log_7(100) = \dfrac{\ln(100)}{\ln(7)} = \dfrac{4.605}{1.946} \approx 2.37$

c) $\log_6(200) = \dfrac{\ln(200)}{\ln(6)} = \dfrac{5.298}{1.792} \approx 2.96$

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Aufgabe 6:

a) $\log_3(x) = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$

b) $\log_x(16) = 2 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ (da $x > 0$ und $x \neq 1$)

c) $\log_2(x+1) = 5 \Rightarrow x + 1 = 2^5 = 32 \Rightarrow x = 31$

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Aufgabe 7:

a) $3^x = 20$: Du logarithmierst beide Seiten.

$x = \frac{\ln(20)}{\ln(3)} = \frac{2.996}{1.099} \approx 2.73$

b) $5^x = 0.1$: Du logarithmierst beide Seiten.

$x = \frac{\ln(0.1)}{\ln(5)} = \frac{-2.303}{1.609} \approx -1.43$

c) $2^{x+1} = 10$: Du logarithmierst beide Seiten und wendest die Potenzregel an.

$(x+1) \cdot \ln(2) = \ln(10)$

$x + 1 = \frac{\ln(10)}{\ln(2)} = \frac{2.303}{0.693} \approx 3.32$

$x \approx 2.32$

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Aufgabe 8:

$\log_6(4) + 2 \cdot \log_6(3) - \log_6(2)$

Du wendest die Potenzregel auf den mittleren Term an:

$= \log_6(4) + \log_6(3^2) - \log_6(2) = \log_6(4) + \log_6(9) - \log_6(2)$

Du fasst mit Produkt- und Quotientenregel zusammen:

$= \log_6\!\left(\frac{4 \cdot 9}{2}\right) = \log_6(18) = \log_6(18)$

Da $6^1 = 6$ und $6^2 = 36$, liegt der Wert zwischen 1 und 2. Genauer: $\log_6(18) = \dfrac{\ln(18)}{\ln(6)} \approx \dfrac{2.890}{1.792} \approx 1.61$

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Aufgabe 9:

Die Population verdoppelt sich alle 30 Minuten. Nach $n$ Halbwertsperioden gilt:

$P(n) = 500 \cdot 2^n > 100\,000$

$2^n > 200$

Du logarithmierst:

$n > \frac{\ln(200)}{\ln(2)} = \frac{5.298}{0.693} \approx 7.64$

Du brauchst also mindestens 8 vollständige Verdopplungsperioden. Das entspricht $8 \cdot 30 = 240$ Minuten, also 4 Stunden.

Probe: $500 \cdot 2^8 = 500 \cdot 256 = 128\,000 > 100\,000$ ✓

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Aufgabe 10:

Die Substanz verliert jedes Jahr 12%. Der Wachstumsfaktor ist $q = 1 - 0.12 = 0.88$.

$200 \cdot 0.88^n < 50$

$0.88^n < 0.25$

Du logarithmierst (Achtung: $\ln(0.88) < 0$, die Ungleichung dreht sich um):

$n > \frac{\ln(0.25)}{\ln(0.88)} = \frac{-1.386}{-0.128} \approx 10.83$

Nach mehr als 10.83 Jahren, also ab dem 11. Jahr, sind weniger als 50 g übrig.

Probe: $200 \cdot 0.88^{11} \approx 200 \cdot 0.2430 \approx 48.6 < 50$ ✓