Höhere Potenzen und Überschlagsrechnung: So schätzt du grosse Zahlen wie ein Profi

Darum geht's

Stell dir vor, du scrollst durch Social Media und liest: “Dieser Influencer hat 50 Millionen Follower.” Dein Gehirn nickt kurz – klingt nach viel. Aber wie viel ist das wirklich? Wenn jeder Follower eine Sekunde lang klatschen würde, wie lange dauert das? Tage? Wochen? Jahre? Unser Gehirn ist schlicht nicht dafür gebaut, mit riesigen Zahlen umzugehen. Wir können uns 50 Äpfel vorstellen – 50 Millionen? Keine Chance.

Die gute Nachricht: Mathematik gibt dir Werkzeuge, um solche Monster-Zahlen zu bändigen. Höhere Potenzen schreiben grosse Zahlen kompakt auf. Und die Überschlagsrechnung zeigt dir, wie du blitzschnell einschätzt, in welcher Grössenordnung ein Ergebnis liegt – ohne Taschenrechner. Nach diesem Kapitel behältst du selbst bei Zahlen mit 20 Stellen den Überblick.

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, Zahlen durch wiederholte Multiplikation kompakt auszudrücken, ist älter als du vielleicht denkst. Schon im alten Ägypten, etwa 1650 v. Chr., nutzte man den Rhind-Papyrus, um Berechnungen mit verdoppelten Grössen festzuhalten. Die Ägypter multiplizierten, indem sie Zahlen wiederholt verdoppelten – eine frühe Form des exponentiellen Denkens.

Die eigentliche Notation, wie wir sie heute kennen, entwickelte sich erst viel später. Der französische Mathematiker und Philosoph René Descartes führte im 17. Jahrhundert die Hochstellenschreibweise ein. In seinem Werk “La Géométrie” von 1637 schrieb er erstmals $a^2$ und $a^3$ so wie wir es heute kennen. Vorher schrieben Mathematiker umständlich “aa” oder “aaa” für quadratische oder kubische Ausdrücke.

Gleichzeitig arbeiteten John Napier in Schottland und Joost Bürgi in der Schweiz an einer revolutionären Idee: dem Logarithmus. Napier veröffentlichte 1614 seine Logarithmentafeln, Bürgi kurz darauf seine “Progressus Tabulen”. Ihr Ziel war praktisch: Astronomen und Kaufleute mussten damals riesige Zahlen mühsam von Hand multiplizieren. Der Logarithmus verwandelte Multiplikationen in einfache Additionen – ein enormer Fortschritt für die Wissenschaft.

Die Überschlagsrechnung als Methode hat ebenfalls eine lange Tradition. Ingenieure und Physiker des 19. Jahrhunderts verwendeten das sogenannte “Fermi-Prinzip”, benannt nach dem Physiker Enrico Fermi. Er war berühmt dafür, mit wenigen Annahmen erstaunlich genaue Grössenordnungen zu bestimmen. Seine bekannteste Schätzaufgabe: “Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?” Fermi schloss allein aus Bevölkerungszahl und vernünftigen Annahmen auf eine Zahl – und lag dabei nur um einen Faktor von zwei bis drei daneben.

Diese Tradition lebt in der modernen Mathematik weiter. Heute nutzen Ingenieure, Datenwissenschaftler und Ökonomen täglich Überschlagsrechnungen, um komplexe Systeme schnell einzuschätzen.

Die Grundlagen

Bevor wir in die Überschlagstechnik einsteigen, frischst du kurz auf, was eine Potenz eigentlich ist.

Definition

Eine Potenz $a^n$ bedeutet, dass die Basis $a$ genau $n$-mal mit sich selbst multipliziert wird. Den Faktor $n$ nennt man den Exponenten.

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ Faktoren}}$$

Man spricht von exponentiellem Wachstum, wenn eine Grösse mit jedem Schritt um denselben Faktor wächst. Dabei gilt: Eine Verdopplung des Exponenten führt nicht zur Verdopplung des Ergebnisses, sondern zum Quadrat des Ergebnisses:

$$a^{2n} = (a^n)^2$$

Die folgende Tabelle zeigt, wie explosionsartig Zweierpotenzen wachsen:

Potenz	Berechnung	Ergebnis	Grössenordnung
$2^1$	$2$	$2$	Einer
$2^5$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$32$	Zehner
$2^{10}$	–	$1\,024$	Tausender
$2^{20}$	–	$1\,048\,576$	Millionen
$2^{30}$	–	ca. $1$ Milliarde	Milliarden

Von $2^{10}$ zu $2^{20}$ verdoppelt sich der Exponent. Das Ergebnis aber wird tausendmal grösser. Diese explosive Eigenschaft macht höhere Potenzen gleichzeitig nützlich und tückisch. Wer sie beherrscht, kann Schreibaufwand minimieren und Grössenordnungen sofort erkennen.

Die Kernmethode

Wie schätzt du $3^{15}$ ab, ohne alles durchzurechnen? Die Antwort liegt in der Überschlagsrechnung – einer Technik, bei der du bewusst auf exakte Genauigkeit verzichtest, um schnell eine brauchbare Näherung zu erhalten.

Definition

Bei der Überschlagsrechnung mit Potenzen nutzt du bekannte Potenzwerte als Referenzpunkte. Du zerlegst den Exponenten in handliche Teile und kombinierst die entsprechenden Ergebnisse durch Multiplikation. Die Grundlage ist die Potenzregel:

$$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$$

Dabei ist $a$ die Basis, $m$ und $n$ sind Exponenten, die zusammen den Zielexponenten ergeben. Diese Regel erlaubt es dir, eine unbekannte Potenz auf bekannte Zwischenwerte zurückzuführen.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Bekannte Potenzen auflisten: Notiere dir Werte der Basis, die du kennst oder schnell berechnen kannst.
2. Exponenten zerlegen: Schreibe den Zielexponenten als Summe bekannter Exponenten.
3. Multiplizieren statt potenzieren: Multipliziere die entsprechenden Potenzwerte.
4. Grössenordnung ablesen: Runde auf eine überschaubare Zahl und ordne das Ergebnis zwischen zwei Zehnerpotenzen ein.

Diese Referenzwerte solltest du auswendig kennen – sie sind deine Werkzeugkiste:

Potenz	Wert	Merkhilfe
$2^{10}$	$1\,024$	$\approx 10^3$
$3^5$	$243$	$\approx 250$
$5^3$	$125$	$\approx 10^2$
$10^6$	$1\,000\,000$	eine Million

Besonders wertvoll: $2^{10} \approx 10^3$. Diese Näherung verbindet Zweierpotenzen mit Zehnerpotenzen und taucht in der Informatik ständig auf.

Beispiel:

Beispiel 1: Eine Zweierpotenz abschätzen

Schätze $2^{23}$ ab, ohne Taschenrechner.

Lösung:

Wir nutzen den Referenzwert $2^{10} = 1\,024 \approx 1\,000$.

Exponenten zerlegen:

$$23 = 10 + 10 + 3$$

Potenzregel anwenden:

$$2^{23} = 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^3$$

Werte einsetzen und runden:

$$2^{23} \approx 1\,000 \cdot 1\,000 \cdot 8 = 8\,000\,000$$

Grössenordnung: Das Ergebnis liegt bei etwa 8 Millionen, also zwischen $10^6$ und $10^7$.

Der exakte Wert ist $8\,388\,608$ – unser Überschlag liegt weniger als 5% daneben. Für eine Kopfrechnung ohne Hilfsmittel ist das ein ausgezeichnetes Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 2: Eine Dreierpotenz einschätzen

In welcher Grössenordnung liegt $3^{15}$?

Lösung:

Wir kennen $3^5 = 243$ und zerlegen den Exponenten:

$$15 = 5 + 5 + 5$$

Dann gilt:

$$3^{15} = 3^5 \cdot 3^5 \cdot 3^5 = 243 \cdot 243 \cdot 243$$

Für den Überschlag runden wir $243 \approx 250$:

$$3^{15} \approx 250 \cdot 250 \cdot 250$$

Schrittweise rechnen:

$$250 \cdot 250 = 62\,500$$$$62\,500 \cdot 250 = 15\,625\,000$$

Grössenordnung: Das Ergebnis liegt bei etwa 15 Millionen, knapp über $10^7$.

Der exakte Wert ist $14\,348\,907$. Unser Überschlag überschätzt leicht, weil $250 > 243$. Der Fehler beträgt weniger als 9% – eine sehr brauchbare Näherung.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Fehler 1: Ergebnisse addieren statt multiplizieren

Viele denken: “Wenn $2^5 = 32$ und $2^5 = 32$, dann ist $2^{10} = 64$.” Das ist falsch. Die Regel lautet $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, nicht $a^m + a^n$. Richtig ist: $2^{10} = 32 \cdot 32 = 1\,024$.

Achtung

Fehler 2: Die Grössenordnung nicht einordnen

Du rechnest sorgfältig $3^8 = 6\,561$, ordnest das Ergebnis aber nicht ein. Ist das viel oder wenig? Frage dich immer: Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt mein Ergebnis? Hier: $10^3 = 1\,000 < 6\,561 < 10\,000 = 10^4$, also Grössenordnung “Tausender”.

Achtung

Fehler 3: Zu früh runden

Wenn du $3^{10}$ schätzt und schon früh $3 \approx 3$ und $3^2 = 9 \approx 10$ setzt, kommst du auf $10^5 = 100\,000$. Der echte Wert ist $59\,049$ – fast halb so gross. Runde erst am Ende. Nutze vorher möglichst genaue Zwischenwerte.

Achtung

Fehler 4: Exponenten verwechseln beim Umschreiben

Aus $4^{12}$ wird manchmal fälschlicherweise $2^{12}$ statt $2^{24}$. Merke: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Die Exponenten werden multipliziert, nicht einfach übernommen. Kontrolliere diesen Schritt immer zuerst.

Beispiel:

Beispiel 3: Bakterienwachstum – ein Alltagsproblem

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 20 Minuten. Zu Beginn sind 100 Bakterien vorhanden. Wie viele Bakterien gibt es ungefähr nach 10 Stunden?

Lösung:

Anzahl der Verdopplungen bestimmen:

$$10 \text{ Stunden} = 600 \text{ Minuten}$$$$\frac{600}{20} = 30 \text{ Verdopplungen}$$

Anzahl der Bakterien nach 30 Verdopplungen:

$$N = 100 \cdot 2^{30}$$

$2^{30}$ abschätzen mit $2^{10} \approx 1\,000$:

$$2^{30} = 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10} \approx 1\,000 \cdot 1\,000 \cdot 1\,000 = 10^9$$

Gesamtanzahl:

$$N \approx 100 \cdot 10^9 = 10^{11}$$

Antwort: Nach 10 Stunden gibt es etwa 100 Milliarden Bakterien. Der exakte Wert von $2^{30}$ ist $1\,073\,741\,824$ – unser Überschlag liegt nur 7% daneben.

Beispiel:

Beispiel 4: Potenzen mit verschiedenen Basen vergleichen

Was ist grösser: $5^{10}$ oder $3^{15}$?

Lösung:

Wir schätzen beide Werte separat ab und vergleichen.

Für $5^{10}$: Wir nutzen $5^3 = 125$ und zerlegen $10 = 3 + 3 + 3 + 1$:

$$5^{10} = 5^3 \cdot 5^3 \cdot 5^3 \cdot 5^1 = 125 \cdot 125 \cdot 125 \cdot 5$$

Mit $125 \approx 100$ überschlagen:

$$5^{10} \approx 100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 5 = 5\,000\,000$$

Genauer gerechnet: $125^2 = 15\,625$ und $15\,625 \cdot 125 = 1\,953\,125$, dann $\cdot 5 = 9\,765\,625$.

Für $3^{15}$: Aus Beispiel 2: $3^{15} \approx 15\,000\,000$.

Vergleich:

$$5^{10} \approx 10\,000\,000 < 15\,000\,000 \approx 3^{15}$$

Antwort: $3^{15}$ ist grösser als $5^{10}$. Exakte Werte: $5^{10} = 9\,765\,625$ und $3^{15} = 14\,348\,907$ – der Überschlag bestätigt das Ergebnis korrekt.

Vertiefung

Du beherrschst jetzt die Überschlagsrechnung mit Potenzen. Zeit, einen Schritt weiterzugehen: den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen wirklich zu verstehen.

Definition

Der Logarithmus zur Basis $a$ ist die Umkehrung der Potenz. Er beantwortet die Frage: “Welchen Exponenten $n$ brauche ich, damit $a^n = b$ gilt?”

$$a^n = b \iff n = \log_a(b)$$

Besonders nützlich ist der dekadische Logarithmus $\log_{10}$. Er gibt direkt an, in welcher Zehnerpotenz eine Zahl liegt:

$$\log_{10}(a^n) = n \cdot \log_{10}(a)$$

Mit $\log_{10}(2) \approx 0{,}301$ und $\log_{10}(3) \approx 0{,}477$ lassen sich Grössenordnungen von Potenzen blitzschnell bestimmen.

Diese Verbindung macht die Überschlagsrechnung noch mächtiger. Statt $2^{23}$ aufwendig zu zerlegen, rechnest du:

$$\log_{10}(2^{23}) = 23 \cdot 0{,}301 \approx 6{,}9$$

Das bedeutet: $2^{23}$ liegt in der Grössenordnung $10^{6{,}9}$ – knapp unter $10^7$, also zwischen 1 und 10 Millionen. Das stimmt mit unserem früheren Ergebnis überein.

Dieser Ansatz funktioniert auch in umgekehrter Richtung. Wenn du weisst, dass eine Zahl in der Grössenordnung $10^8$ liegt, weisst du: Als Zweierpotenz ausgedrückt hat sie den Exponenten $\dfrac{8}{0{,}301} \approx 26{,}6$, liegt also bei $2^{27}$.

Ausserdem tauchen höhere Potenzen in vielen Alltagssituationen auf: In der Informatik misst man Datenmengen in Zweierpotenzen ($1\,\text{GB} = 2^{30}$ Bytes). In der Physik beschreibt die Richterskala Erdbebenstärken – jede Stufe entspricht etwa $10^{1{,}5} \approx 32$-mal mehr Energie. Im Finanzbereich gilt der Zinseszins: $(1{,}05)^{30} \approx 4{,}3$ – dein Kapital wächst nach 30 Jahren bei 5% Zinsen auf das 4,3-Fache.

Beispiel:

Beispiel 5: Grössenordnung mit dem Logarithmus bestimmen

In welcher Grössenordnung liegt $6^{12}$? Löse die Aufgabe zuerst durch Zerlegung, dann mit dem Logarithmus.

Lösung – Methode 1 (Zerlegung):

$6^{12}$ zerlegen mit $6^2 = 36$ und $6^3 = 216$:

$$6^{12} = (6^3)^4 = 216^4$$

Mit $216 \approx 200$:

$$216^4 \approx 200^4 = (2 \cdot 10^2)^4 = 2^4 \cdot 10^8 = 16 \cdot 10^8 = 1{,}6 \cdot 10^9$$

Methode 2 (Logarithmus):

$\log_{10}(6) = \log_{10}(2 \cdot 3) = \log_{10}(2) + \log_{10}(3) \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$

$$\log_{10}(6^{12}) = 12 \cdot 0{,}778 = 9{,}336$$

Grössenordnung: $10^{9{,}336} \approx 2{,}2 \cdot 10^9$ – also gut 2 Milliarden.

Exakter Wert: $6^{12} = 2\,176\,782\,336$. Beide Methoden liefern die richtige Grössenordnung.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Versuche, sie ohne Taschenrechner zu lösen. Die ausführlichen Lösungswege findest du am Ende des Artikels.

Aufgaben Stufe 1 (Grundlagen):

1. Berechne $2^{15}$ durch Zerlegung. Welche Grössenordnung hat das Ergebnis?
2. Schätze $5^8$ ab. Nutze $5^3 = 125$ als Referenz.
3. Zwischen welchen zwei Zehnerpotenzen liegt $4^7$? Gib $4^7$ zuerst als Zweierpotenz an.

Aufgaben Stufe 2 (Überschlagsrechnung):

4. Schätze $3^{20}$ ab. Zerlege den Exponenten geschickt.
5. Eine Stadt hat 500,000 Einwohner. Jede Person kennt im Schnitt 200 andere Personen. Ist die Gesamtzahl der Bekanntschaften grösser oder kleiner als $10^8$?
6. Schreibe $9^5$ als Zweierpotenz und berechne den Wert.

Aufgaben Stufe 3 (Vergleiche und Anwendungen):

7. Ordne der Grösse nach, ohne auszurechnen: $4^{15}$, $2^{31}$, $8^{10}$.
8. Ein Kapital von 1,000 Franken wird zu 10% Zins angelegt. Nach wie vielen Jahren überschreitet es grob 10,000 Franken? Schätze, ohne exakt zu rechnen.
9. Bestimme die Grössenordnung von $7^{10}$ mit dem Logarithmus. Nutze $\log_{10}(7) \approx 0{,}845$.

Aufgabe Stufe 4 (Herausforderung):

10. Zeige durch Überschlagsrechnung, dass $2^{100}$ grösser ist als $10^{29}$, aber kleiner als $10^{31}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Höhere Potenzen wachsen explosionsartig. Schon kleine Änderungen im Exponenten verändern das Ergebnis um Grössenordnungen.
• Die Grundregel lautet $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Sie erlaubt dir, unbekannte Exponenten in bekannte Teile zu zerlegen.
• Referenzwerte sind dein wichtigstes Werkzeug. Merke dir besonders $2^{10} \approx 10^3$.
• Grössenordnungen sind oft wichtiger als exakte Werte. Frage immer: Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt mein Ergebnis?
• Logarithmen sind das Gegenstück zu Potenzen. Mit $\log_{10}(a^n) = n \cdot \log_{10}(a)$ bestimmst du Grössenordnungen direkt.
• Fehler vermeiden: Runde erst am Ende. Addiere nie Ergebnisse, wenn du multiplizieren musst.

❓ Frage: Schätze $2^{17}$ ab. In welcher Grössenordnung liegt das Ergebnis?

Lösung anzeigen

Zerlege: $2^{17} = 2^{10} \cdot 2^7 = 1\,024 \cdot 128$ Mit $2^{10} \approx 1\,000$:

$$2^{17} \approx 1\,000 \cdot 128 = 128\,000$$

Die Grössenordnung ist $10^5$ (Hunderttausender). Exakter Wert: $131\,072$ ✓

❓ Frage: Ein Papier wird 50 Mal gefaltet. Jede Faltung verdoppelt die Dicke. Wenn das Papier ursprünglich 0.1 mm dick ist, schätze die Dicke nach 50 Faltungen.

Lösung anzeigen

Dicke nach 50 Faltungen: $0{,}1 \text{ mm} \cdot 2^{50}$ $2^{50}$ abschätzen: $(2^{10})^5 \approx (10^3)^5 = 10^{15}$ Dicke: $0{,}1 \cdot 10^{15} = 10^{14} \text{ mm} = 10^{11} \text{ m} = 100$ Millionen Kilometer. Das ist etwa zwei Drittel der Entfernung von der Erde zur Sonne! Exakter Wert: ca. 113 Millionen km.

❓ Frage: Ordne der Grösse nach: $4^{12}$, $2^{25}$, $8^8$

Lösung anzeigen

Alle als Zweierpotenzen ausdrücken:

$$4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}$$$$8^8 = (2^3)^8 = 2^{24}$$$$2^{25} = 2^{25}$$

Sortiert: $4^{12} = 8^8 < 2^{25}$ $4^{12}$ und $8^8$ sind gleich gross. $2^{25}$ ist doppelt so gross wie beide.

❓ Frage: In welcher Grössenordnung liegt $5^{15}$? Nutze $5^3 = 125$ als Referenz.

Lösung anzeigen

Zerlege: $5^{15} = (5^3)^5 = 125^5$ Mit $125 \approx 100 = 10^2$:

$$5^{15} \approx (10^2)^5 = 10^{10}$$

Die Grössenordnung ist $10^{10}$, also etwa 10 Milliarden. Exakter Wert: $30\,517\,578\,125$ – das liegt tatsächlich in der Grössenordnung $3 \cdot 10^{10}$. Unser Überschlag ist plausibel.

❓ Frage: Welchen Logarithmus hat $2^{40}$ zur Basis 10? Nutze $\log_{10}(2) \approx 0{,}301$. In welcher Grössenordnung liegt $2^{40}$?

Lösung anzeigen

$$\log_{10}(2^{40}) = 40 \cdot \log_{10}(2) \approx 40 \cdot 0{,}301 = 12{,}04$$

Das bedeutet: $2^{40} \approx 10^{12{,}04} \approx 1{,}1 \cdot 10^{12}$, also etwas über einer Billion. Exakter Wert: $2^{40} = 1\,099\,511\,627\,776$ – der Logarithmus-Ansatz trifft es fast exakt.

Ausblick

Du hast jetzt die Werkzeuge, um höhere Potenzen sicher abzuschätzen. Im nächsten Schritt lernst du, wie Logarithmen diese Ideen formalisieren. Mit dem Logarithmus löst du Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steckt. Zum Beispiel: “Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich mein Kapital bei 3% Zinsen?” Diese Frage versteckt sich in $1{,}03^n = 2$ – und der Logarithmus ist der Schlüssel, um $n$ zu finden. Ausserdem lernst du die Logarithmengesetze kennen, mit denen du auch sehr komplexe Ausdrücke elegant vereinfachst.

Lösungen

Aufgabe 1: Berechne $2^{15}$ durch Zerlegung.

Zerlege den Exponenten: $15 = 10 + 5$

$$2^{15} = 2^{10} \cdot 2^5 = 1\,024 \cdot 32 = 32\,768$$

Grössenordnung: $32\,768$ liegt zwischen $10^4 = 10\,000$ und $10^5 = 100\,000$, also Grössenordnung $10^4$ (Zehntausender).

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Aufgabe 2: Schätze $5^8$ ab.

Zerlege: $8 = 3 + 3 + 2$, also $5^8 = 5^3 \cdot 5^3 \cdot 5^2 = 125 \cdot 125 \cdot 25$

Mit $125 \approx 100$: $5^8 \approx 100 \cdot 100 \cdot 25 = 250\,000$

Exakter Wert: $390\,625$ – Grössenordnung $10^5$.

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Aufgabe 3: Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt $4^7$?

$4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}$

$2^{14} = 2^{10} \cdot 2^4 \approx 1\,000 \cdot 16 = 16\,000$

$4^7$ liegt zwischen $10^4$ und $10^5$. Exakter Wert: $16\,384$ ✓

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Aufgabe 4: Schätze $3^{20}$ ab.

Zerlege: $3^{20} = (3^{10})^2$. Zuerst $3^{10}$:

$3^{10} = 3^5 \cdot 3^5 = 243 \cdot 243 \approx 250 \cdot 250 = 62\,500$

Dann: $3^{20} \approx 62\,500^2 = 3\,906\,250\,000 \approx 4 \cdot 10^9$

Exakter Wert: $3\,486\,784\,401$ – Grössenordnung $10^9$. ✓

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Aufgabe 5: Bekanntschaften einer Stadt.

$500\,000 \cdot 200 = 100\,000\,000 = 10^8$

Die Gesamtzahl der Bekanntschaften ist genau $10^8$. (Achtung: Jede Bekanntschaft zählt doppelt, tatsächlich also $5 \cdot 10^7$ eindeutige Paare – aber die Grössenordnung $10^8$ ist korrekt für die Aufgabenstellung.)

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Aufgabe 6: $9^5$ als Zweierpotenz.

$9 = 3^2$, also $9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$

Alternativ: $9 = 3^2$, aber als Zweierpotenz geht das nicht exakt. Gemeint ist wohl: $9^5 = 3^{10} \approx 62\,500$ (aus Aufgabe 4 bekannt). Exakter Wert: $59\,049$.

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Aufgabe 7: Vergleich $4^{15}$, $2^{31}$, $8^{10}$.

Alles als Zweierpotenzen:

$$4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30}$$ $$8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}$$ $$2^{31} = 2^{31}$$

Reihenfolge: $4^{15} = 8^{10} < 2^{31}$

$2^{31}$ ist doppelt so gross wie $4^{15}$ und $8^{10}$.

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Aufgabe 8: Zinseszins – wann überschreitet das Kapital 10,000 Franken?

Wir suchen $n$ in: $1\,000 \cdot 1{,}1^n \approx 10\,000$, also $1{,}1^n \approx 10$.

Probieren: $1{,}1^{10} \approx 2{,}59$, $1{,}1^{20} \approx 6{,}7$, $1{,}1^{25} \approx 10{,}8$.

Das Kapital überschreitet 10,000 Franken nach etwa 25 Jahren. (Exakter Wert: $n \approx 24{,}2$ Jahre mit $\log$.)

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Aufgabe 9: Grössenordnung von $7^{10}$.

$$\log_{10}(7^{10}) = 10 \cdot \log_{10}(7) \approx 10 \cdot 0{,}845 = 8{,}45$$

$7^{10} \approx 10^{8{,}45} \approx 2{,}8 \cdot 10^8$ – also etwa 280 Millionen.

Exakter Wert: $282\,475\,249$ ✓

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Aufgabe 10: Nachweis $10^{29} < 2^{100} < 10^{31}$.

Mit $2^{10} \approx 10^3$:

$$2^{100} = (2^{10})^{10} \approx (10^3)^{10} = 10^{30}$$

Das liegt klar zwischen $10^{29}$ und $10^{31}$.

Genauer mit dem Logarithmus: $\log_{10}(2^{100}) = 100 \cdot 0{,}301 = 30{,}1$, also $2^{100} \approx 10^{30{,}1} \approx 1{,}27 \cdot 10^{30}$.

Exakter Wert: $2^{100} = 1\,267\,650\,600\,228\,229\,401\,496\,703\,205\,376$ – tatsächlich zwischen $10^{29}$ und $10^{31}$ ✓