Gebrochene Exponenten einfach erklärt: So rechnest du mit Wurzeln als Potenzen

Stell dir vor, du backst einen Kuchen. Das Rezept verlangt, dass du die Teigmenge verdoppelst – also mit 2 multiplizierst. Zweimal verdoppeln bedeutet vervierfachen, dreimal verdoppeln bedeutet verachtfachen. Das kennst du bereits als Potenzen: $2^1$, $2^2$, $2^3$ und so weiter.

Aber was, wenn du den Teig nur “halb verdoppeln” willst? Was bedeutet es, etwas $2^{0.5}$-mal zu multiplizieren? Klingt absurd, oder? Genau hier kommen gebrochene Exponenten ins Spiel. Sie verbinden zwei Welten, die du bisher getrennt gelernt hast: Potenzen und Wurzeln. Am Ende dieses Kapitels wirst du verstehen, warum $\sqrt{9}$ und $9^{\frac{1}{2}}$ exakt dasselbe sind – und wie du damit rechnest.

Warum brauchen wir gebrochene Exponenten?

Erinnern wir uns an das Kuchenbeispiel. Wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst, potenzierst du sie:

$$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$$

Die Frage ist: Gibt es eine Zahl, die du mit sich selbst multiplizieren kannst, um 9 zu erhalten? Die Antwort kennst du: $3$. Das ist genau die Definition der Quadratwurzel:

$$\sqrt{9} = 3$$

Jetzt kommt der entscheidende Gedanke. Wenn $3^2 = 9$ gilt, dann muss die “Umkehrung” dieser Operation einen Exponenten haben, der kleiner als 1 ist. Genauer gesagt: Der Exponent muss $\frac{1}{2}$ sein.

Warum? Weil die Potenzgesetze es verlangen. Schau dir diese Rechnung an:

$$9^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 9^1 = 9$$

Eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt, ist per Definition $\sqrt{9} = 3$. Also muss gelten:

$$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$

Die Verbindung zwischen Wurzeln und Potenzen

Diese Erkenntnis lässt sich verallgemeinern. Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben. Das ist keine willkürliche Festlegung, sondern eine logische Konsequenz der Potenzgesetze.

DEFINITION

Für jede positive Zahl $a$ und jede natürliche Zahl $n \geq 2$ gilt:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

Der Bruch $\frac{1}{n}$ im Exponenten entspricht der $n$-ten Wurzel. Der Nenner des Bruchs gibt an, welche Wurzel gemeint ist.

Allgemeiner gilt für jeden Bruch $\frac{m}{n}$:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Dabei ist $m$ der Zähler (die Potenz) und $n$ der Nenner (die Wurzel).

Lass uns das an konkreten Beispielen durchgehen:

Potenzschreibweise	Wurzelschreibweise	Ergebnis
$8^{\frac{1}{3}}$	$\sqrt[3]{8}$	$2$
$16^{\frac{1}{4}}$	$\sqrt[4]{16}$	$2$
$27^{\frac{2}{3}}$	$\sqrt[3]{27^2}$ oder $\left(\sqrt[3]{27}\right)^2$	$9$
$32^{\frac{3}{5}}$	$\sqrt[5]{32^3}$ oder $\left(\sqrt[5]{32}\right)^3$	$8$

So rechnest du mit gebrochenen Exponenten

Das Schöne an gebrochenen Exponenten ist, dass alle Potenzgesetze weiterhin gelten. Du kannst sie genauso anwenden wie bei ganzzahligen Exponenten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung für Berechnungen:

1. Schreibe den Bruch im Exponenten auf. Der Zähler steht für die Potenz, der Nenner für die Wurzel.

2. Wähle den einfacheren Rechenweg. Du kannst entweder zuerst potenzieren und dann die Wurzel ziehen, oder umgekehrt. Meistens ist es einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen.

3. Berechne schrittweise. Führe Wurzel und Potenz nacheinander aus.

4. Vereinfache falls möglich. Kürze Brüche im Exponenten, bevor du rechnest.

Für komplexere Ausdrücke mit mehreren Potenzen nutzt du die bekannten Gesetze:

Gesetz	Formel	Beispiel
Multiplikation	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2^2 = 4$
Division	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\frac{8^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}} = 8^{\frac{1}{3}} = 2$
Potenz einer Potenz	$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$	$\left(4^{\frac{1}{2}}\right)^3 = 4^{\frac{3}{2}} = 8$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Zähler und Nenner verwechseln

Viele Schüler denken, der Zähler sei die Wurzel. Das ist falsch! Der Nenner gibt die Wurzel an, der Zähler die Potenz.

Falsch: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt{8^3}$

Richtig: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Fehler 2: Negative Basen bei geraden Wurzeln

Bei geraden Wurzeln (Quadratwurzel, vierte Wurzel usw.) darf die Basis nicht negativ sein. Der Ausdruck $(-4)^{\frac{1}{2}}$ ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert.

Fehler 3: Potenzgesetze falsch anwenden

Bei der Addition oder Subtraktion von Potenzen gelten keine vereinfachenden Regeln:

Falsch: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = 13^{\frac{1}{2}}$

Richtig: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = 2 + 3 = 5$

Die Potenzgesetze gelten nur für Multiplikation und Division, nicht für Addition!

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Berechnung mit Bruchexponent

Berechne $16^{\frac{3}{4}}$.

Lösung:

Der Nenner 4 bedeutet: vierte Wurzel. Der Zähler 3 bedeutet: hoch 3.

Wir ziehen zuerst die Wurzel, weil das die Zahlen kleiner hält:

$$16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3$$

Die vierte Wurzel von 16 ist 2, denn $2^4 = 16$:

$$\left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Ergebnis: $16^{\frac{3}{4}} = 8$

Beispiel 2: Potenzgesetze anwenden

Vereinfache den Ausdruck $\frac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{2}}}$.

Lösung:

Wir wenden die Potenzgesetze an. Zuerst fassen wir den Zähler zusammen:

$$27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 27^1 = 27$$

Jetzt teilen wir durch den Nenner:

$$\frac{27}{27^{\frac{1}{2}}} = 27^{1 - \frac{1}{2}} = 27^{\frac{1}{2}}$$

Zum Schluss berechnen wir das Ergebnis:

$$27^{\frac{1}{2}} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

Ergebnis: $\frac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{2}}} = 3\sqrt{3}$

Beispiel 3: Gleichung mit gebrochenen Exponenten lösen

Löse die Gleichung $x^{\frac{2}{3}} = 4$.

Lösung:

Um $x$ zu isolieren, müssen wir den Exponenten $\frac{2}{3}$ “rückgängig machen”. Dazu potenzieren wir beide Seiten mit dem Kehrwert $\frac{3}{2}$:

$$\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}$$

Auf der linken Seite vereinfacht sich der Exponent:

$$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = x^1 = x$$

Auf der rechten Seite berechnen wir:

$$4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Ergebnis: $x = 8$

Probe: $8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ ✓

Beispiel 4: Negative Exponenten mit Brüchen

Berechne $81^{-\frac{3}{4}}$.

Lösung:

Ein negativer Exponent bedeutet: Nimm den Kehrwert. Wir schreiben um:

$$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}$$

Jetzt berechnen wir $81^{\frac{3}{4}}$:

$$81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^3$$

Die vierte Wurzel von 81 ist 3, denn $3^4 = 81$:

$$\left(\sqrt[4]{81}\right)^3 = 3^3 = 27$$

Also ist:

$$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$$

Ergebnis: $81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$

Beispiel 5: Textaufgabe aus der Praxis

Die Kantenlänge eines Würfels lässt sich aus seinem Volumen $V$ berechnen durch $a = V^{\frac{1}{3}}$. Ein Würfel hat ein Volumen von $125 \, \text{cm}^3$. Wie lang ist seine Kante?

Lösung:

Wir setzen das Volumen in die Formel ein:

$$a = 125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125}$$

Wir suchen eine Zahl, die hoch 3 genommen 125 ergibt. Da $5^3 = 125$:

$$a = 5$$

Ergebnis: Die Kantenlänge beträgt $5 \, \text{cm}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Gebrochene Exponenten sind Wurzeln in Verkleidung. Der Nenner des Bruchs gibt an, welche Wurzel gemeint ist. Der Zähler gibt die Potenz an.

• Die Grundformel lautet: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

• Alle Potenzgesetze gelten weiterhin. Du kannst multiplizieren, dividieren und Potenzen von Potenzen bilden – genau wie bei ganzzahligen Exponenten.

• Rechentipp: Ziehe zuerst die Wurzel, dann potenziere. Das hält die Zahlen kleiner und das Rechnen einfacher.

• Vorsicht bei negativen Basen: Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welcher Ausdruck ist äquivalent zu $\sqrt[5]{x^3}$?

Lösung anzeigen

Die Antwort ist $x^{\frac{3}{5}}$.

Die fünfte Wurzel entspricht dem Exponenten $\frac{1}{5}$. Die dritte Potenz im Inneren multipliziert sich dazu: $\left(x^3\right)^{\frac{1}{5}} = x^{3 \cdot \frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$.

❓ Frage: Berechne $64^{\frac{2}{3}}$ ohne Taschenrechner.

Lösung anzeigen

Die Antwort ist $16$.

Schritt 1: Die dritte Wurzel von 64 berechnen: $\sqrt[3]{64} = 4$, denn $4^3 = 64$.

Schritt 2: Das Ergebnis quadrieren: $4^2 = 16$.

Also: $64^{\frac{2}{3}} = 16$.

❓ Frage: Warum ist der Ausdruck $(-9)^{\frac{1}{2}}$ im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

Lösung anzeigen

Der Ausdruck $(-9)^{\frac{1}{2}}$ bedeutet $\sqrt{-9}$, also die Quadratwurzel aus $-9$.

Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Denn:

• Positiv mal positiv ergibt positiv.
• Negativ mal negativ ergibt ebenfalls positiv.

Deshalb sind Quadratwurzeln (und allgemein gerade Wurzeln) aus negativen Zahlen im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Solche Ausdrücke führen zu den sogenannten imaginären Zahlen, die du später kennenlernen wirst.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gesehen, dass Wurzeln und Potenzen zwei Seiten derselben Medaille sind. Die Frage “Welche Potenz von 2 ergibt 8?” beantwortest du mit $3$, denn $2^3 = 8$.

Aber was ist, wenn die Antwort kein “schöner” Wert ist? Welche Potenz von 2 ergibt 10? Die Antwort ist irgendwo zwischen 3 und 4, aber wie findet man sie genau?

Genau dafür gibt es den Logarithmus. Er ist die Umkehroperation des Potenzierens und beantwortet die Frage: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?” Im nächsten Kapitel lernst du, wie du mit Logarithmen rechnest und warum sie in der Wissenschaft, Technik und sogar in der Musik unverzichtbar sind.