Gebrochene Exponenten einfach erklärt: So rechnest du mit Wurzeln als Potenzen

Darum geht's

Stell dir vor, du backst einen Kuchen. Das Rezept verlangt, dass du die Teigmenge verdoppelst. Zweimal verdoppeln bedeutet vervierfachen, dreimal verdoppeln bedeutet verachtfachen. Das kennst du bereits als Potenzen: $2^1$, $2^2$, $2^3$ und so weiter.

Aber was bedeutet es, etwas nur “halb zu verdoppeln”? Was steckt hinter $2^{0{,}5}$? Genau hier kommen gebrochene Exponenten ins Spiel. Sie verbinden zwei Welten, die du bisher getrennt gelernt hast: Potenzen und Wurzeln. Am Ende dieses Kapitels wirst du verstehen, warum $\sqrt{9}$ und $9^{\frac{1}{2}}$ exakt dasselbe sind – und wie du sicher damit rechnest.

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der gebrochenen Exponenten ist länger, als du vielleicht erwartest. Und sie zeigt, wie Mathematiker über Jahrhunderte um eine einfache Notation gerungen haben.

Die Babylonier und das Wurzelziehen

Schon vor etwa 4000 Jahren kannten babylonische Mathematiker Methoden, um Quadratwurzeln zu berechnen. Auf Tontafeln aus dem alten Mesopotamien finden sich Näherungsverfahren für $\sqrt{2}$, die bemerkenswert präzise sind. Die Babylonier dachten dabei nicht in Exponenten, sondern in geometrischen Problemen: Wie lang ist die Seite eines Quadrats mit einer gegebenen Fläche?

Die griechische Tradition

Die alten Griechen behandelten Wurzeln als geometrische Grössen. Euklid beschrieb in seinen “Elementen” (ca. 300 v. Chr.) Strecken, die Quadratwurzeln repräsentieren. Eine Zahl wie $\sqrt{2}$ war für die Griechen keine Zahl im eigentlichen Sinne, sondern ein geometrisches Objekt. Das Denken in Exponenten war noch weit entfernt.

Nicole Oresme und die erste Idee

Den entscheidenden Schritt machte der französische Mathematiker und Bischof Nicole Oresme im 14. Jahrhundert. Er schlug als Erster vor, Brüche als Exponenten zu verwenden. In seiner Schrift “Algorismus proportionum” aus dem Jahr 1351 nutzte er die Schreibweise $p \frac{1}{2}$ für $\sqrt{p}$. Das war revolutionär – aber seine Zeitgenossen ignorierten die Idee weitgehend.

John Wallis und die moderne Notation

Drei Jahrhunderte später griff der englische Mathematiker John Wallis die Idee auf. In seinem Werk “Arithmetica Infinitorum” (1655) formalisierte er negative und gebrochene Exponenten. Er erkannte, dass die Potenzgesetze für alle rationalen Exponenten gelten – nicht nur für ganze Zahlen.

Isaac Newton und die Verallgemeinerung

Isaac Newton vollendete das Bild. In seinen Arbeiten zur Analysis verwendete er gebrochene Exponenten selbstverständlich und systematisch. Die Schreibweise, die du heute in der Schule lernst, geht im Wesentlichen auf diese Periode zurück.

Diese Geschichte zeigt etwas Wichtiges: Mathematische Notation entwickelt sich langsam. Was dir heute selbstverständlich erscheint, war einst eine bahnbrechende Idee.

Die Grundlagen

Bevor du mit gebrochenen Exponenten rechnest, musst du die Verbindung zwischen Potenzen und Wurzeln klar verstehen. Der Schlüssel liegt in den Potenzgesetzen.

Starte mit einer einfachen Beobachtung. Du weisst, dass $3^2 = 9$ gilt. Jetzt stell dir vor, es gibt eine Zahl $x$ mit der Eigenschaft:

$$x \cdot x = 9$$

Diese Zahl ist $x = 3$, also $\sqrt{9} = 3$. Soweit klar. Jetzt kommt der clevere Gedanke.

Angenommen, du schreibst $x = 9^{\frac{1}{2}}$. Dann gilt:

$$9^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 9^1 = 9$$

Das Potenzgesetz für die Multiplikation erzwingt diese Schreibweise. Eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt, ist per Definition $\sqrt{9}$. Also:

$$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$

Dasselbe Argument funktioniert für jede Wurzel.

Definition

Für jede positive Zahl $a$ und jede natürliche Zahl $n \geq 2$ gilt:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

Der Nenner des Bruchs gibt die Wurzel an. Der Ausdruck $a^{\frac{1}{n}}$ bedeutet: Ziehe die $n$-te Wurzel aus $a$.

Für einen allgemeinen Bruchexponenten $\dfrac{m}{n}$ mit $m, n \in \mathbb{N}$ und $n \geq 2$ gilt:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Der Zähler $m$ steht für die Potenz, der Nenner $n$ steht für die Wurzel. Diese Schreibweise setzt $a > 0$ voraus, wenn $n$ gerade ist.

Die folgende Tabelle zeigt, wie vertraut Ausdrücke mit Bruchexponenten zusammenhängen:

Potenzschreibweise	Wurzelschreibweise	Ergebnis
$8^{\frac{1}{3}}$	$\sqrt[3]{8}$	$2$
$16^{\frac{1}{4}}$	$\sqrt[4]{16}$	$2$
$27^{\frac{2}{3}}$	$\left(\sqrt[3]{27}\right)^2$	$9$
$32^{\frac{3}{5}}$	$\left(\sqrt[5]{32}\right)^3$	$8$

Die Kernmethode

Du kennst die Definition. Jetzt lernst du, wie du systematisch mit gebrochenen Exponenten rechnest.

Der wichtigste Tipp zuerst: Ziehe die Wurzel vor dem Potenzieren. Das hält die Zahlen klein und vermeidet unübersichtliche Zwischenergebnisse.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Schreibe den Bruchexponenten als $\dfrac{m}{n}$ auf.
2. Ziehe zuerst die $n$-te Wurzel aus der Basis.
3. Potenziere das Ergebnis mit $m$.

Bei komplexeren Ausdrücken nutze die Potenzgesetze. Sie gelten unverändert auch für Bruchexponenten.

Definition

Für positive Zahlen $a, b$ und rationale Exponenten $r, s$ gelten folgende Gesetze:

Gesetz	Formel
Multiplikation gleicher Basis	$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
Division gleicher Basis	$\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
Potenz einer Potenz	$\left(a^r\right)^s = a^{r \cdot s}$
Potenz eines Produkts	$(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$
Negativer Exponent	$a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}$

Diese Regeln gelten für alle rationalen Exponenten – ganze Zahlen, Brüche und negative Werte.

Mit diesen Werkzeugen kannst du jeden Ausdruck mit gebrochenen Exponenten systematisch vereinfachen.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg mit einfachem Bruchexponent

Berechne $16^{\frac{3}{4}}$ ohne Taschenrechner.

Lösung:

Identifiziere Zähler und Nenner: Nenner 4 bedeutet vierte Wurzel, Zähler 3 bedeutet Potenz 3.

Ziehe zuerst die Wurzel:

$$16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3$$

Berechne die vierte Wurzel von 16. Überlege: Welche Zahl hoch 4 ergibt 16? Das ist 2, denn $2^4 = 16$.

$$\left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Ergebnis: $16^{\frac{3}{4}} = 8$

Kontrolle: Wenn du zuerst potenzierst: $16^3 = 4096$ und $\sqrt[4]{4096} = 8$. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 2: Potenzgesetze anwenden

Vereinfache den Ausdruck $\dfrac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{2}}}$.

Lösung:

Fasse den Zähler mithilfe des Additionsgesetzes zusammen:

$$27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 27^{\frac{3}{3}} = 27^1 = 27$$

Teile durch den Nenner mit dem Subtraktionsgesetz:

$$\frac{27}{27^{\frac{1}{2}}} = 27^{1 - \frac{1}{2}} = 27^{\frac{1}{2}}$$

Berechne das Ergebnis:

$$27^{\frac{1}{2}} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

Ergebnis: $\dfrac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{2}}} = 3\sqrt{3}$

Dieses Beispiel zeigt: Die Potenzgesetze machen komplexe Ausdrücke handhabbar.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Zähler und Nenner verwechseln

Dies ist der häufigste Fehler überhaupt. Viele Schülerinnen und Schüler denken fälschlicherweise, der Zähler gebe die Wurzel an.

Merke dir: Der Nenner ist die Wurzel, der Zähler ist die Potenz.

Falsch: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[2]{8^3} = \sqrt{512}$

Richtig: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Ein einfacher Merksatz hilft: “Der Nenner steht unten – die Wurzel gehört nach unten in den Wurzelturm.”

Achtung

Stolperstein 2: Negative Basen bei geraden Wurzeln

Gerade Wurzeln von negativen Zahlen sind im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Das gilt auch für gebrochene Exponenten mit geradem Nenner.

Nicht definiert (reell): $(-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}$

Nicht definiert (reell): $(-8)^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{(-8)^2} = \sqrt[4]{64}$ – Vorsicht: Hier muss man den Bruch kürzen!

Ungekürzt sieht $\dfrac{2}{4}$ wie ein gerader Nenner aus. Tatsächlich gilt $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$. Der Ausdruck $(-8)^{\frac{1}{2}}$ ist aber ebenfalls nicht reell definiert.

Ungerade Nenner sind unproblematisch: $(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Achtung

Stolperstein 3: Potenzgesetze auf Summen anwenden

Die Potenzgesetze gelten nur für Produkte und Quotienten, niemals für Summen.

Falsch: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = (4 + 9)^{\frac{1}{2}} = 13^{\frac{1}{2}}$

Richtig: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$

Der korrekte Wert ist 5. Der falsche Ausdruck $\sqrt{13} \approx 3{,}6$ weicht stark ab.

Achtung

Stolperstein 4: Bruch im Exponenten nicht kürzen

Kürze Brüche im Exponenten immer zuerst, bevor du rechnest. Das vereinfacht die Rechnung erheblich.

Unnötig kompliziert: $64^{\frac{4}{6}} = \sqrt[6]{64^4} = \sqrt[6]{16\,777\,216}$

Einfacher: $64^{\frac{4}{6}} = 64^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^2 = 4^2 = 16$

Kürze den Bruch $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ zuerst. Danach ist die Rechnung deutlich übersichtlicher.

Beispiel:

Beispiel 3: Gleichung mit gebrochenen Exponenten lösen

Löse die Gleichung $x^{\frac{2}{3}} = 4$.

Lösung:

Um $x$ zu isolieren, mache den Exponenten $\dfrac{2}{3}$ rückgängig. Dazu potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert $\dfrac{3}{2}$:

$$\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}$$

Vereinfache die linke Seite mit dem Gesetz “Potenz einer Potenz”:

$$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = x^1 = x$$

Berechne die rechte Seite:

$$4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Ergebnis: $x = 8$

Probe: $8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ ✓

Die Probe ist unverzichtbar. Bei solchen Gleichungen können sich unzulässige Lösungen einschleichen, besonders wenn die Basis negativ sein könnte.

Beispiel:

Beispiel 4: Negativer Bruchexponent

Berechne $81^{-\frac{3}{4}}$.

Lösung:

Ein negativer Exponent bedeutet: Bilde den Kehrwert. Schreibe um:

$$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}$$

Berechne den Nenner. Nenner 4 bedeutet vierte Wurzel, Zähler 3 bedeutet Potenz 3:

$$81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^3$$

Bestimme die vierte Wurzel von 81. Da $3^4 = 81$, gilt $\sqrt[4]{81} = 3$:

$$\left(\sqrt[4]{81}\right)^3 = 3^3 = 27$$

Setze ein:

$$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$$

Ergebnis: $81^{-\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{27}$

Merke: Negative Bruchexponenten sind keine Sonderregel. Du wendest einfach die Definition des negativen Exponenten und die Bruchexponenten-Regel nacheinander an.

Vertiefung

Du beherrschst jetzt die Grundfälle. In diesem Abschnitt lernst du zwei wichtige Erweiterungen kennen.

Bruchexponenten und Dezimalzahlen

Dezimale Exponenten sind oft nur versteckte Brüche. Du kannst sie immer umwandeln:

$$a^{0{,}5} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$ $$a^{0{,}25} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$$ $$a^{1{,}5} = a^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{a}\right)^3$$

Schreibe Dezimalexponenten immer als Brüche um, bevor du rechnest. Das vermeidet Fehler.

Bruchexponenten in Formeln der Naturwissenschaften

Gebrochene Exponenten erscheinen in vielen Formeln ausserhalb der Mathematik. Das Keplersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Umlaufzeit $T$ eines Planeten und seiner Bahnhalbachse $a$:

$$T \propto a^{\frac{3}{2}}$$

Die Kugelformel für den Radius aus dem Volumen lautet:

$$r = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$$

In der Physik und Chemie begegnest du solchen Ausdrücken regelmässig.

Definition

Die bisherige Definition lässt sich auf alle rationalen Exponenten $q = \dfrac{m}{n}$ mit ganzzahligem Zähler $m \in \mathbb{Z}$ und natürlichem Nenner $n \in \mathbb{N}$ erweitern:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \quad \text{für } a > 0$$

Für negative Zähler gilt zusätzlich:

$$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \quad \text{für } a > 0$$

Alle Potenzgesetze bleiben gültig. Diese Erweiterung bildet die Grundlage für den Logarithmus und später für reelle und komplexe Exponenten.

Bruchexponenten und Taschenrechner

Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner gibst du $a^{\frac{m}{n}}$ als a ^ (m/n) ein. Die Klammern um den Bruch sind zwingend notwendig. Ohne sie berechnet der Rechner (a^m)/n, was ein völlig anderes Ergebnis liefert.

Beispiel:

Beispiel 5: Anwendungsaufgabe – Würfel und Kugel

Eine Würfel hat das gleiche Volumen wie eine Kugel mit Radius $r = 3$ cm. Berechne die Kantenlänge des Würfels. Nutze die Formel $V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

Lösung:

Berechne zuerst das Kugelvolumen:

$$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \, \text{cm}^3$$

Das Volumen des Würfels ist $V = a^3$. Löse nach $a$ auf:

$$a^3 = 36\pi \implies a = (36\pi)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{36\pi}$$

Berechne numerisch:

$$a = \sqrt[3]{36\pi} \approx \sqrt[3]{113{,}1} \approx 4{,}84 \, \text{cm}$$

Ergebnis: Die Kantenlänge des Würfels beträgt ungefähr $4{,}84$ cm.

Dieses Beispiel zeigt: Der Bruchexponent $\dfrac{1}{3}$ erscheint natürlich, wenn du aus einem Volumen eine Länge berechnest.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Löse sie zunächst ohne Taschenrechner.

Stufe 1 – Grundlagen

1. Schreibe um als Wurzelausdruck: $25^{\frac{1}{2}}$, $64^{\frac{1}{3}}$, $81^{\frac{1}{4}}$

2. Schreibe um als Potenz mit Bruchexponent: $\sqrt[3]{125}$, $\sqrt[5]{32}$, $\sqrt[4]{256}$

3. Berechne: $4^{\frac{3}{2}}$

4. Berechne: $27^{\frac{2}{3}}$

Stufe 2 – Potenzgesetze

5. Vereinfache: $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

6. Berechne: $\dfrac{32^{\frac{4}{5}}}{32^{\frac{1}{5}}}$

7. Berechne: $\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^4$

Stufe 3 – Anspruchsvoll

8. Berechne: $125^{-\frac{2}{3}}$

9. Löse die Gleichung: $x^{\frac{3}{2}} = 27$

10. Vereinfache vollständig: $\dfrac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}}$

Das Wichtigste in Kürze

• Gebrochener Exponent = Wurzel in Verkleidung. Der Nenner gibt die Wurzel an. Der Zähler gibt die Potenz an.

• Grundformel: $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

• Alle Potenzgesetze gelten weiterhin. Du kannst Exponenten addieren, subtrahieren und multiplizieren – wie gewohnt.

• Rechenstrategie: Ziehe zuerst die Wurzel, dann potenziere. Das hält Zwischenergebnisse klein.

• Kürze immer zuerst. Vereinfache den Bruchexponenten, bevor du rechnest.

• Vorsicht bei geraden Nennern und negativen Basen. Solche Ausdrücke sind im Reellen nicht definiert.

• Dezimalexponenten umschreiben. Wandle $0{,}5$, $1{,}5$ usw. in Brüche um, bevor du rechnest.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welcher Ausdruck ist äquivalent zu $\sqrt[5]{x^3}$?

Lösung anzeigen

Die Antwort ist $x^{\frac{3}{5}}$. Die fünfte Wurzel entspricht dem Exponenten $\frac{1}{5}$. Die dritte Potenz im Inneren multipliziert diesen Exponenten: $\left(x^3\right)^{\frac{1}{5}} = x^{3 \cdot \frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$. Denke an die Grundregel: Zähler = Potenz, Nenner = Wurzel.

❓ Frage: Berechne $64^{\frac{2}{3}}$ ohne Taschenrechner.

Lösung anzeigen

Die Antwort ist $16$. Schritt 1: Den Nenner 3 erkennen – dritte Wurzel ziehen. $\sqrt[3]{64} = 4$, denn $4^3 = 64$. Schritt 2: Mit dem Zähler 2 potenzieren. $4^2 = 16$. Also gilt: $64^{\frac{2}{3}} = 16$.

❓ Frage: Warum ist der Ausdruck $(-9)^{\frac{1}{2}}$ im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

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Der Ausdruck $(-9)^{\frac{1}{2}}$ bedeutet $\sqrt{-9}$. Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Denn positiv mal positiv ist positiv, und negativ mal negativ ist ebenfalls positiv. Quadratwurzeln – und allgemein gerade Wurzeln – aus negativen Zahlen führen zu imaginären Zahlen. Diese lernst du später kennen.

❓ Frage: Ein Schüler schreibt: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = 13^{\frac{1}{2}}$. Was ist falsch daran?

Lösung anzeigen

Der Schüler wendet ein Potenzgesetz auf eine Addition an. Das ist falsch. Potenzgesetze gelten nur für Multiplikation und Division, niemals für Addition. Richtig gerechnet: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$. Der falsche Ausdruck ergibt $\sqrt{13} \approx 3{,}6$ – ein deutlich anderer Wert.

❓ Frage: Löse die Gleichung $x^{\frac{1}{3}} = 5$.

Lösung anzeigen

Potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert des Exponenten, also mit 3: $\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 5^3$ $x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 = x = 125$ Probe: $125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$ ✓ Die Antwort ist $x = 125$.

Ausblick

Du hast jetzt verstanden, dass Wurzeln und Potenzen zwei Seiten derselben Medaille sind. Die Frage “Welche Potenz von 2 ergibt 8?” beantwortest du mit 3, denn $2^3 = 8$.

Aber was ist, wenn die Antwort kein ganzer Wert ist? Welche Potenz von 2 ergibt 10? Die Antwort liegt irgendwo zwischen 3 und 4. Wie findest du sie exakt?

Genau dafür gibt es den Logarithmus. Er beantwortet die Frage: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?” Im nächsten Kapitel lernst du, wie du mit Logarithmen rechnest und warum sie in Wissenschaft, Technik und sogar Musik unverzichtbar sind.

Lösungen

Aufgabe 1: Schreibe um als Wurzelausdruck.

$$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$$ $$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4 \quad \text{(denn } 4^3 = 64\text{)}$$ $$81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 \quad \text{(denn } 3^4 = 81\text{)}$$

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Aufgabe 2: Schreibe um als Potenz mit Bruchexponent.

$$\sqrt[3]{125} = 125^{\frac{1}{3}}$$ $$\sqrt[5]{32} = 32^{\frac{1}{5}}$$ $$\sqrt[4]{256} = 256^{\frac{1}{4}}$$

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Aufgabe 3: Berechne $4^{\frac{3}{2}}$.

Nenner 2 bedeutet Quadratwurzel, Zähler 3 bedeutet Potenz 3:

$$4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$

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Aufgabe 4: Berechne $27^{\frac{2}{3}}$.

Nenner 3 bedeutet dritte Wurzel, Zähler 2 bedeutet Quadrieren:

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$$

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Aufgabe 5: Vereinfache $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$.

Addiere die Exponenten (gleiche Basis):

$$x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x$$

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Aufgabe 6: Berechne $\dfrac{32^{\frac{4}{5}}}{32^{\frac{1}{5}}}$.

Subtrahiere die Exponenten:

$$\frac{32^{\frac{4}{5}}}{32^{\frac{1}{5}}} = 32^{\frac{4}{5} - \frac{1}{5}} = 32^{\frac{3}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Da $\sqrt[5]{32} = 2$, denn $2^5 = 32$.

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Aufgabe 7: Berechne $\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^4$.

Wende das Gesetz “Potenz einer Potenz” an:

$$\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^4 = 9^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 9^2 = 81$$

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Aufgabe 8: Berechne $125^{-\frac{2}{3}}$.

Der negative Exponent bedeutet Kehrwert:

$$125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}$$

Berechne den Nenner:

$$125^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{125}\right)^2 = 5^2 = 25$$

Also:

$$125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$$

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Aufgabe 9: Löse $x^{\frac{3}{2}} = 27$.

Potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert $\dfrac{2}{3}$:

$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}$$

Vereinfache die linke Seite:

$$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^1 = x$$

Berechne die rechte Seite:

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$$

Ergebnis: $x = 9$

Probe: $9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3 = 27$ ✓

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Aufgabe 10: Vereinfache $\dfrac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}}$.

Fasse den Zähler zusammen. Dazu Brüche auf gleichen Nenner bringen: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$.

$$a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}}$$

Teile durch $a^{\frac{1}{4}}$:

$$\frac{a^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} = a^1 = a$$

Ergebnis: Der Ausdruck vereinfacht sich zu $a$.