Zusammengesetzte Körper berechnen: Volumen und Oberfläche Schritt für Schritt

Stell dir vor, du baust ein Vogelhaus aus Holz. Der untere Teil ist ein Würfel, darauf sitzt ein Dach in Form einer Pyramide. Wie viel Holz brauchst du für die Aussenfläche? Wie viel Platz ist im Inneren?

Solche Objekte aus mehreren geometrischen Grundformen begegnen dir überall: Silos auf dem Bauernhof, Eiswaffeln mit Kugel, Bleistifte mit Spitze. In der Mathematik nennen wir sie zusammengesetzte Körper. Du lernst hier, wie du ihr Volumen und ihre Oberfläche systematisch berechnest – selbst wenn sie aus vielen Teilen bestehen.

Was sind zusammengesetzte Körper?

Ein zusammengesetzter Körper entsteht, wenn du zwei oder mehr geometrische Grundkörper kombinierst. Das Vogelhaus von oben ist ein perfektes Beispiel: Ein Quader bildet den Korpus, eine Pyramide das Dach.

Diese Grundkörper kennst du bereits:

• Quader und Würfel – rechteckige Kästen
• Zylinder – runde Säulen wie Dosen
• Kegel – spitze Formen wie Eistüten
• Kugel – perfekt rund wie ein Ball
• Pyramide – spitz zulaufend mit vieleckiger Grundfläche
• Prisma – Säulen mit beliebiger Grundfläche

Der Trick bei zusammengesetzten Körpern: Du zerlegst sie gedanklich in ihre Einzelteile. Dann berechnest du jeden Teil separat und kombinierst die Ergebnisse.

Das Prinzip der Zerlegung

Bevor du rechnest, analysierst du den Körper. Welche Grundkörper erkennst du? Wie sind sie verbunden? Diese Analyse ist der wichtigste Schritt.

Nimm einen Bleistift als Beispiel. Er besteht aus einem Zylinder (der Schaft) und einem Kegel (die Spitze). Beide teilen sich eine Kreisfläche als Verbindung.

Die Methode in vier Schritten

1. Zerlegen: Identifiziere alle Grundkörper im zusammengesetzten Körper.
2. Skizzieren: Zeichne jeden Grundkörper separat mit allen bekannten Massen.
3. Berechnen: Ermittle Volumen und Oberfläche jedes Einzelteils.
4. Kombinieren: Addiere die Ergebnisse – aber Vorsicht bei der Oberfläche!

DEFINITION

Das Gesamtvolumen eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Einzelvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 + V_3 + \ldots$

Die Gesamtoberfläche ist die Summe der Einzeloberflächen, abzüglich der verdeckten Flächen:

$O_{\text{gesamt}} = O_1 + O_2 + O_3 + \ldots - 2 \cdot A_{\text{verdeckt}}$

Dabei ist $A_{\text{verdeckt}}$ die Fläche, an der sich zwei Körper berühren. Diese Fläche existiert bei beiden Körpern, wird aber von aussen nicht sichtbar – daher ziehst du sie zweimal ab.

Die wichtigsten Formeln im Überblick

Für die Berechnungen brauchst du die Formeln der Grundkörper. Hier eine kompakte Übersicht:

Quader mit Länge $a$, Breite $b$, Höhe $c$:

$V = a \cdot b \cdot c$

$O = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right)$

Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

$O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Kegel mit Radius $r$, Höhe $h$ und Mantellinie $s = \sqrt{r^2 + h^2}$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

$O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$

Kugel mit Radius $r$:

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

$O = 4 \cdot \pi \cdot r^2$

Halbkugel mit Radius $r$:

$V = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

$O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r^2 = 3 \cdot \pi \cdot r^2$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verdeckte Flächen vergessen

Bei der Oberfläche darfst du die Berührungsflächen nicht mitzählen. Wenn ein Kegel auf einem Zylinder sitzt, ist die gemeinsame Kreisfläche von aussen nicht sichtbar. Ziehe sie bei beiden Körpern ab – also insgesamt zweimal.

Fehler 2: Unterschiedliche Einheiten mischen

Achte darauf, dass alle Masse in derselben Einheit vorliegen. Wenn die Höhe in Metern und der Radius in Zentimetern gegeben ist, musst du vor dem Rechnen umrechnen.

Fehler 3: Mantellinie mit Höhe verwechseln

Beim Kegel ist $h$ die senkrechte Höhe und $s$ die schräge Mantellinie. Für das Volumen brauchst du $h$, für die Mantelfläche brauchst du $s$. Verwechsle diese Grössen nicht.

Beispiele

Beispiel 1: Bleistift (Zylinder + Kegel)

Ein Bleistift besteht aus einem zylindrischen Schaft und einer kegelförmigen Spitze.

Gegeben:

• Schaft: Radius $r = 0{,}4 \, \text{cm}$, Länge $h_1 = 17 \, \text{cm}$
• Spitze: Radius $r = 0{,}4 \, \text{cm}$, Höhe $h_2 = 1{,}5 \, \text{cm}$

Gesucht: Volumen und Oberfläche

Schritt 1: Volumen berechnen

Volumen des Zylinders:

$V_1 = \pi \cdot r^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 0{,}4^2 \cdot 17 = \pi \cdot 0{,}16 \cdot 17 = 2{,}72 \cdot \pi \approx 8{,}55 \, \text{cm}^3$

Volumen des Kegels:

$V_2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 0{,}16 \cdot 1{,}5 = 0{,}08 \cdot \pi \approx 0{,}25 \, \text{cm}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 \approx 8{,}55 + 0{,}25 = 8{,}80 \, \text{cm}^3$

Schritt 2: Mantellinie des Kegels berechnen

$s = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{0{,}4^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{0{,}16 + 2{,}25} = \sqrt{2{,}41} \approx 1{,}55 \, \text{cm}$

Schritt 3: Oberfläche berechnen

Mantelfläche des Zylinders:

$M_1 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_1 = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}4 \cdot 17 = 13{,}6 \cdot \pi \approx 42{,}73 \, \text{cm}^2$

Mantelfläche des Kegels:

$M_2 = \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot 0{,}4 \cdot 1{,}55 = 0{,}62 \cdot \pi \approx 1{,}95 \, \text{cm}^2$

Grundfläche des Zylinders (hinteres Ende):

$G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 0{,}16 \approx 0{,}50 \, \text{cm}^2$

Die Kreisfläche zwischen Zylinder und Kegel ist verdeckt und wird nicht mitgezählt.

Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} = M_1 + M_2 + G \approx 42{,}73 + 1{,}95 + 0{,}50 = 45{,}18 \, \text{cm}^2$

Beispiel 2: Silo (Zylinder + Halbkugel)

Ein Getreidesilo hat die Form eines Zylinders mit einer Halbkugel als Dach.

Gegeben:

• Radius $r = 3 \, \text{m}$
• Höhe des Zylinders $h = 8 \, \text{m}$

Gesucht: Volumen und Oberfläche

Schritt 1: Volumen berechnen

Volumen des Zylinders:

$V_1 = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72 \cdot \pi \approx 226{,}19 \, \text{m}^3$

Volumen der Halbkugel:

$V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 18 \cdot \pi \approx 56{,}55 \, \text{m}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = 72\pi + 18\pi = 90\pi \approx 282{,}74 \, \text{m}^3$

Schritt 2: Oberfläche berechnen

Mantelfläche des Zylinders:

$M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 8 = 48 \cdot \pi \approx 150{,}80 \, \text{m}^2$

Grundfläche des Zylinders (Boden):

$G = \pi \cdot r^2 = 9 \cdot \pi \approx 28{,}27 \, \text{m}^2$

Oberfläche der Halbkugel (nur die gewölbte Fläche):

$O_{\text{Halbkugel}} = 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 18 \cdot \pi \approx 56{,}55 \, \text{m}^2$

Die Kreisfläche zwischen Zylinder und Halbkugel zählst du nicht mit.

Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} = M + G + O_{\text{Halbkugel}} = 48\pi + 9\pi + 18\pi = 75\pi \approx 235{,}62 \, \text{m}^2$

Beispiel 3: Eistüte mit Kugel (Kegel + Kugel)

Eine Eistüte besteht aus einem kegelförmigen Hörnchen und einer Eiskugel, die oben aufsitzt. Die Kugel ragt zur Hälfte aus dem Kegel heraus.

Gegeben:

• Kegel: Radius $r = 2{,}5 \, \text{cm}$, Höhe $h = 12 \, \text{cm}$
• Kugel: Radius $r_k = 2{,}5 \, \text{cm}$

Gesucht: Gesamtvolumen und sichtbare Oberfläche

Schritt 1: Volumen berechnen

Volumen des Kegels:

$V_1 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6{,}25 \cdot 12 = 25 \cdot \pi \approx 78{,}54 \, \text{cm}^3$

Volumen der Kugel:

$V_2 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_k^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 15{,}625 = \frac{62{,}5}{3} \cdot \pi \approx 65{,}45 \, \text{cm}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} \approx 78{,}54 + 65{,}45 = 144{,}0 \, \text{cm}^3$

Schritt 2: Mantellinie des Kegels berechnen

$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6{,}25 + 144} = \sqrt{150{,}25} \approx 12{,}26 \, \text{cm}$

Schritt 3: Sichtbare Oberfläche berechnen

Mantelfläche des Kegels:

$M = \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot 2{,}5 \cdot 12{,}26 \approx 30{,}65 \cdot \pi \approx 96{,}29 \, \text{cm}^2$

Oberfläche der Kugel (sichtbar ist die obere Hälfte):

$O_{\text{sichtbar}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_k^2 = 2 \cdot \pi \cdot 6{,}25 = 12{,}5 \cdot \pi \approx 39{,}27 \, \text{cm}^2$

Die Kreisöffnung des Kegels ist durch die Kugel verdeckt.

Sichtbare Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} \approx 96{,}29 + 39{,}27 = 135{,}56 \, \text{cm}^2$

Beispiel 4: Haus mit Satteldach (Quader + Prisma)

Ein Modellhaus besteht aus einem quaderförmigen Korpus und einem dreieckigen Prisma als Dach.

Gegeben:

• Quader: Länge $l = 10 \, \text{cm}$, Breite $b = 6 \, \text{cm}$, Höhe $h_1 = 5 \, \text{cm}$
• Dach (Prisma): Grundfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $b = 6 \, \text{cm}$ und Höhe $h_d = 3 \, \text{cm}$; Länge des Prismas $l = 10 \, \text{cm}$

Gesucht: Volumen und Oberfläche

Schritt 1: Volumen des Quaders

$V_1 = l \cdot b \cdot h_1 = 10 \cdot 6 \cdot 5 = 300 \, \text{cm}^3$

Schritt 2: Volumen des Prismas

Fläche des Dreiecks:

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_d = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \, \text{cm}^2$

$V_2 = A_{\text{Dreieck}} \cdot l = 9 \cdot 10 = 90 \, \text{cm}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\text{gesamt}} = 300 + 90 = 390 \, \text{cm}^3$

Schritt 3: Oberfläche berechnen

Zuerst berechnen wir die schräge Seite des Dach-Dreiecks:

$s = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_d^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24 \, \text{cm}$

Oberfläche des Quaders (ohne Deckfläche):

$O_1 = 2 \cdot (l \cdot h_1) + 2 \cdot (b \cdot h_1) + (l \cdot b)$

$O_1 = 2 \cdot 50 + 2 \cdot 30 + 60 = 100 + 60 + 60 = 220 \, \text{cm}^2$

Oberfläche des Prismas (ohne Grundfläche):

• Zwei Dachflächen: $2 \cdot (s \cdot l) = 2 \cdot 4{,}24 \cdot 10 = 84{,}8 \, \text{cm}^2$
• Zwei Dreiecksseiten (Giebel): $2 \cdot 9 = 18 \, \text{cm}^2$

$O_2 = 84{,}8 + 18 = 102{,}8 \, \text{cm}^2$

Die Deckfläche des Quaders und die Grundfläche des Prismas überlappen – sie werden nicht mitgezählt.

Gesamtoberfläche:

$O_{\text{gesamt}} = 220 + 102{,}8 = 322{,}8 \, \text{cm}^2$

Das Wichtigste in Kürze

• Zusammengesetzte Körper bestehen aus mehreren geometrischen Grundkörpern wie Quadern, Zylindern, Kegeln oder Kugeln.
• Das Gesamtvolumen ist die Summe aller Einzelvolumen.
• Bei der Oberfläche musst du die verdeckten Berührungsflächen abziehen – und zwar bei beiden Körpern, also insgesamt zweimal.
• Systematisches Vorgehen ist entscheidend: Zerlegen, Skizzieren, Berechnen, Kombinieren.
• Achte auf einheitliche Masseinheiten und verwechsle beim Kegel nicht Höhe $h$ und Mantellinie $s$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Zylinder mit Radius $r = 2 \, \text{cm}$ und Höhe $h = 5 \, \text{cm}$ trägt eine Halbkugel mit demselben Radius als Deckel. Wie gross ist das Gesamtvolumen?

Lösung anzeigen

Volumen Zylinder: $V_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 5 = 20\pi$

Volumen Halbkugel: $V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 2^3 = \frac{16}{3}\pi$

Gesamtvolumen: $V = 20\pi + \frac{16}{3}\pi = \frac{60\pi + 16\pi}{3} = \frac{76\pi}{3} \approx 79{,}6 \, \text{cm}^3$

❓ Frage: Warum wird bei der Oberflächenberechnung die Berührungsfläche zweimal abgezogen?

Lösung anzeigen

Die Berührungsfläche gehört ursprünglich zu beiden Körpern – einmal als Deckfläche des unteren und einmal als Grundfläche des oberen Körpers. Da diese Fläche von aussen nicht mehr sichtbar ist, muss sie bei beiden Körpern abgezogen werden. Rechnest du die Einzeloberflächen zusammen, ist diese Fläche doppelt enthalten – deshalb ziehst du sie zweimal ab.

❓ Frage: Ein Kegel hat den Radius $r = 3 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Mantellinie $s$.

Lösung anzeigen

Die Mantellinie berechnest du mit dem Satz des Pythagoras:

$s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast gelernt, zusammengesetzte Körper zu analysieren und ihre Volumen sowie Oberflächen zu berechnen. Diese Fähigkeit bildet die Grundlage für viele weiterführende Themen.

Im nächsten Schritt wirst du dich mit Körpern in Sachaufgaben beschäftigen. Dort geht es darum, reale Probleme mathematisch zu modellieren: Wie viel Farbe brauchst du für einen Tank? Wie schwer ist ein Betonpfeiler? Ausserdem werden Schnitte durch Körper interessant – was passiert, wenn du einen Kegel schräg durchschneidest?

Mit dem Wissen über zusammengesetzte Körper bist du bestens vorbereitet, um komplexere geometrische Herausforderungen zu meistern.