Winkel im Kreis einfach erklärt: Zentriwinkel, Peripheriewinkel und Sehnentangentenwinkel meistern

Stell dir vor, du sitzt in einem Fussballstadion. Je nachdem, wo du sitzt, siehst du das Tor aus einem anderen Blickwinkel. Sitzt du ganz aussen am Rand, erscheint das Tor schmal. Sitzt du in der Mitte direkt hinter dem Tor, wirkt es viel breiter. Doch egal wo du sitzt – das Tor selbst bleibt immer gleich gross.

Dieses Phänomen lässt sich mathematisch präzise beschreiben. Der Kreis und seine Winkel spielen dabei die Hauptrolle. In diesem Kapitel lernst du, wie verschiedene Winkel im Kreis zusammenhängen und warum der Blickwinkel auf einen Gegenstand von deiner Position auf dem Kreis abhängt.

Vom Stadion zum Kreis: Die mathematische Übersetzung

Übertragen wir das Stadion-Beispiel in die Geometrie. Das Tor entspricht einer Strecke – genauer gesagt einer Sehne oder einem Kreisbogen. Die verschiedenen Sitzplätze liegen alle auf einem Kreis. Dein Blickwinkel auf das Tor ist ein Winkel im Kreis.

Der Mittelpunkt des Kreises spielt eine besondere Rolle. Von dort aus betrachtet, sieht man den Kreisbogen aus einer festen Perspektive. Dieser spezielle Winkel heisst Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel.

Die Zuschauer auf den Rängen befinden sich auf dem Kreisrand – der Kreislinie oder Peripherie. Ihr Blickwinkel heisst deshalb Peripheriewinkel oder Umfangswinkel.

Die wichtigsten Winkel im Kreis

Im Kreis unterscheiden wir drei fundamentale Winkeltypen. Jeder hat seine eigene Definition und besondere Eigenschaften.

Der Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)

Der Zentriwinkel $\alpha$ hat seinen Scheitelpunkt im Mittelpunkt $M$ des Kreises. Seine beiden Schenkel sind Radien, die zu den Endpunkten eines Kreisbogens führen.

DEFINITION

Der Zentriwinkel $\alpha$ ist der Winkel, der im Mittelpunkt $M$ des Kreises liegt. Seine Schenkel verbinden den Mittelpunkt mit zwei Punkten $A$ und $B$ auf der Kreislinie. Der Zentriwinkel misst den zugehörigen Kreisbogen direkt.

Der Zentriwinkel ist sozusagen der “Chef” unter den Kreiswinkeln. Er gibt die Grösse des Kreisbogens unmittelbar an. Ein Zentriwinkel von $90°$ entspricht einem Viertelkreis, $180°$ einem Halbkreis.

Der Peripheriewinkel (Umfangswinkel)

Der Peripheriewinkel $\beta$ hat seinen Scheitelpunkt auf der Kreislinie selbst. Seine Schenkel verbinden diesen Punkt mit den beiden Endpunkten eines Kreisbogens.

DEFINITION

Der Peripheriewinkel $\beta$ ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt $P$ auf der Kreislinie liegt. Seine Schenkel gehen zu zwei anderen Punkten $A$ und $B$ auf dem Kreis. Alle Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich gross.

Hier liegt das Geheimnis des Stadions: Egal wo du auf dem Kreisbogen sitzt – der Blickwinkel auf das Tor (die Sehne $AB$) bleibt konstant. Das ist der Peripheriewinkelsatz.

Der Sehnentangentenwinkel

Der Sehnentangentenwinkel $\gamma$ entsteht, wenn eine Tangente und eine Sehne am selben Punkt auf den Kreis treffen.

DEFINITION

Der Sehnentangentenwinkel $\gamma$ ist der Winkel zwischen einer Tangente an den Kreis und einer Sehne, die im Berührungspunkt der Tangente beginnt. Er ist gleich gross wie der Peripheriewinkel über demselben Bogen.

Der zentrale Zusammenhang: Zentriwinkelsatz

Die wichtigste Beziehung im Kreis verbindet den Zentriwinkel mit dem Peripheriewinkel. Diese Beziehung ist so fundamental, dass sie einen eigenen Namen trägt.

Der Zentriwinkelsatz lautet:

$\alpha = 2 \cdot \beta$

Der Zentriwinkel ist immer doppelt so gross wie jeder Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen.

Umgekehrt formuliert:

$\beta = \frac{\alpha}{2}$

Der Peripheriewinkel ist immer halb so gross wie der zugehörige Zentriwinkel.

Warum gilt dieser Zusammenhang?

Betrachte einen Kreisbogen $AB$ mit Mittelpunkt $M$. Der Zentriwinkel $\alpha$ liegt bei $M$. Ein Punkt $P$ auf dem gegenüberliegenden Kreisbogen bildet den Peripheriewinkel $\beta$.

Die Dreiecke $MAP$ und $MBP$ sind gleichschenklig, weil $MA = MP = MB = r$ (alles Radien). In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich.

Durch geschickte Winkelbetrachtung – Aussenwinkelsatz und Winkelsumme – ergibt sich der Faktor 2.

Der Satz des Thales: Ein Spezialfall

Ein besonders eleganter Spezialfall entsteht, wenn der Zentriwinkel genau $180°$ beträgt. Dann liegt die Sehne $AB$ als Durchmesser vor.

DEFINITION

Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein rechter Winkel ($90°$). Umgekehrt gilt: Liegt der Scheitelpunkt eines rechten Winkels auf einem Kreis und die Schenkel gehen durch zwei Punkte auf dem Kreis, dann ist die Verbindungsstrecke dieser Punkte ein Durchmesser.

Der Beweis folgt direkt aus dem Zentriwinkelsatz:

$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{180°}{2} = 90°$

Der Satz des Thales ist eines der ältesten bekannten mathematischen Resultate. Thales von Milet soll ihn vor etwa 2600 Jahren entdeckt haben.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Zentriwinkel und Peripheriewinkel verwechseln Achte genau auf den Scheitelpunkt! Liegt er im Mittelpunkt → Zentriwinkel. Liegt er auf der Kreislinie → Peripheriewinkel. Zeichne im Zweifelsfall den Mittelpunkt ein und prüfe.

Fehler 2: Den falschen Kreisbogen verwenden Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen – ein kleiner und ein grosser. Zentriwinkel und Peripheriewinkel müssen sich auf denselben Bogen beziehen. Der Peripheriewinkel-Scheitelpunkt liegt immer auf dem gegenüberliegenden Bogen.

Fehler 3: Faktor 2 in die falsche Richtung anwenden Merke dir: Der Zentriwinkel ist der grössere Winkel (ausser bei sehr kleinen Bögen). Also: Zentriwinkel = 2 × Peripheriewinkel, nicht umgekehrt.

Fehler 4: Satz des Thales bei beliebigen Sehnen anwenden Der Satz des Thales gilt nur für Durchmesser. Bei anderen Sehnen ist der Peripheriewinkel nicht 90°.

Beispiele

Beispiel 1: Vom Zentriwinkel zum Peripheriewinkel

Aufgabe: In einem Kreis beträgt der Zentriwinkel $\alpha = 124°$. Berechne den zugehörigen Peripheriewinkel $\beta$.

Lösung:

Wir verwenden den Zentriwinkelsatz:

$\beta = \frac{\alpha}{2}$

Einsetzen des gegebenen Wertes:

$\beta = \frac{124°}{2}$

$\beta = 62°$

Antwort: Der Peripheriewinkel beträgt $62°$.

Beispiel 2: Vom Peripheriewinkel zum Zentriwinkel

Aufgabe: Ein Peripheriewinkel über einem Kreisbogen misst $\beta = 37°$. Wie gross ist der zugehörige Zentriwinkel $\alpha$?

Lösung:

Der Zentriwinkelsatz lautet $\alpha = 2 \cdot \beta$.

Einsetzen:

$\alpha = 2 \cdot 37°$

$\alpha = 74°$

Antwort: Der Zentriwinkel beträgt $74°$.

Beispiel 3: Anwendung des Satzes von Thales

Aufgabe: Die Punkte $A$ und $B$ sind die Endpunkte eines Durchmessers eines Kreises mit Mittelpunkt $M$. Der Punkt $C$ liegt auf der Kreislinie. Im Dreieck $ABC$ ist die Seite $AC = 5 \, \text{cm}$ und $BC = 12 \, \text{cm}$. Berechne die Länge des Durchmessers $AB$.

Lösung:

Nach dem Satz des Thales ist der Winkel $\angle ACB = 90°$, da $AB$ ein Durchmesser ist.

Das Dreieck $ABC$ ist also rechtwinklig mit der Hypotenuse $AB$.

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 5^2 + 12^2$

$AB^2 = 25 + 144$

$AB^2 = 169$

$AB = \sqrt{169}$

$AB = 13 \, \text{cm}$

Antwort: Der Durchmesser beträgt $13 \, \text{cm}$.

Beispiel 4: Zwei Peripheriewinkel über demselben Bogen

Aufgabe: In einem Kreis liegen die Punkte $A$ und $B$ auf der Kreislinie. Die Punkte $P$ und $Q$ liegen beide auf dem gegenüberliegenden Kreisbogen. Der Winkel $\angle APB = 48°$. Wie gross ist der Winkel $\angle AQB$?

Lösung:

Nach dem Peripheriewinkelsatz sind alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen gleich gross.

Da beide Winkel $\angle APB$ und $\angle AQB$ Peripheriewinkel über dem Bogen $AB$ sind (mit Scheitelpunkten auf dem gegenüberliegenden Bogen), gilt:

$\angle AQB = \angle APB = 48°$

Antwort: Der Winkel $\angle AQB$ beträgt ebenfalls $48°$.

Beispiel 5: Komplexere Winkelberechnung im Kreis

Aufgabe: In einem Kreis mit Mittelpunkt $M$ gilt: $\angle AMB = 96°$. Der Punkt $P$ liegt auf dem grösseren Kreisbogen von $A$ nach $B$. Der Punkt $Q$ liegt auf dem kleineren Kreisbogen. Berechne die Peripheriewinkel $\angle APB$ und $\angle AQB$.

Lösung:

Teil 1: Winkel bei P (auf dem grösseren Bogen)

Der Zentriwinkel über dem kleineren Bogen ist $\alpha_1 = 96°$.

Der Peripheriewinkel bei $P$ gehört zum kleineren Bogen:

$\angle APB = \frac{96°}{2} = 48°$

Teil 2: Winkel bei Q (auf dem kleineren Bogen)

Der Zentriwinkel über dem grösseren Bogen ist:

$\alpha_2 = 360° - 96° = 264°$

Der Peripheriewinkel bei $Q$ gehört zum grösseren Bogen:

$\angle AQB = \frac{264°}{2} = 132°$

Antwort: $\angle APB = 48°$ und $\angle AQB = 132°$.

Kontrolle: Die Summe der beiden Peripheriewinkel ist $48° + 132° = 180°$. Das ist kein Zufall – Peripheriewinkel über den beiden komplementären Bögen ergänzen sich stets zu $180°$.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Zentriwinkel liegt im Mittelpunkt, der Peripheriewinkel auf der Kreislinie.
• Zentriwinkelsatz: $\alpha = 2 \cdot \beta$ – der Zentriwinkel ist doppelt so gross wie der Peripheriewinkel über demselben Bogen.
• Peripheriewinkelsatz: Alle Peripheriewinkel über demselben Kreisbogen sind gleich gross.
• Satz des Thales: Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist $90°$.
• Der Sehnentangentenwinkel ist gleich gross wie der Peripheriewinkel über demselben Bogen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Der Zentriwinkel über einem Kreisbogen beträgt $150°$. Wie gross ist der zugehörige Peripheriewinkel?

Lösung anzeigen

Der Peripheriewinkel ist halb so gross wie der Zentriwinkel:

$\beta = \frac{150°}{2} = 75°$

Der Peripheriewinkel beträgt $75°$.

❓ Frage: Ein Dreieck $ABC$ ist einem Kreis einbeschrieben. Die Seite $AB$ ist ein Durchmesser des Kreises. Was kannst du über den Winkel bei $C$ aussagen?

Lösung anzeigen

Nach dem Satz des Thales ist jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ein rechter Winkel.

Der Winkel $\angle ACB = 90°$.

Das Dreieck $ABC$ ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $C$.

❓ Frage: Zwei Peripheriewinkel $\angle APB$ und $\angle AQB$ liegen über verschiedenen Bögen derselben Sehne $AB$. Einer beträgt $65°$. Wie gross ist der andere?

Lösung anzeigen

Peripheriewinkel über den zwei komplementären Bögen einer Sehne ergänzen sich zu $180°$.

$\angle AQB = 180° - 65° = 115°$

Der andere Peripheriewinkel beträgt $115°$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit dem Wissen über Winkel im Kreis bist du bestens vorbereitet für weitere Themen der Kreisgeometrie. Als Nächstes wirst du den Kreis und seine Berechnung vertiefen – insbesondere die Formeln für Kreisumfang und Kreisfläche sowie Bogenlänge und Kreissektorinhalt.

Ausserdem werden dir die Winkel im Kreis bei der Trigonometrie wieder begegnen. Die Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen in Dreiecken bauen direkt auf dem auf, was du hier gelernt hast. Der Einheitskreis – ein Kreis mit Radius 1 – wird dabei zum zentralen Werkzeug für Sinus, Kosinus und Tangens.