Sehnen und Tangenten am Kreis einfach erklärt: Grundlagen der Kreisgeometrie

Stell dir vor, du stehst am Rand eines runden Trampolins. Wenn du mit einem Seil quer über das Trampolin gehst und beide Enden am Rand befestigst, hast du eine Sehne gespannt. Läufst du hingegen am äussersten Rand entlang und legst ein Brett so hin, dass es den Rand nur an einem einzigen Punkt berührt, hast du eine Tangente gelegt. Diese beiden Konzepte – Linien, die einen Kreis schneiden oder berühren – sind fundamentale Werkzeuge der Geometrie. In diesem Kapitel lernst du, was Sehnen und Tangenten mathematisch bedeuten, wie du ihre Eigenschaften nutzt und welche Berechnungen du damit durchführen kannst.

Vom Trampolin zur Mathematik: Was sind Sehnen und Tangenten?

Kehren wir zu unserem Trampolin zurück. Der runde Rahmen des Trampolins entspricht einem Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$. Das Seil, das du quer über das Trampolin spannst, verbindet zwei Punkte auf dem Rand – mathematisch gesprochen zwei Punkte auf der Kreislinie. Diese Verbindungsstrecke nennen wir Sehne.

Das Brett am Rand, das den Kreis nur in einem Punkt berührt, ist eine Tangente. Sie liegt komplett ausserhalb des Kreises, hat aber genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie.

Um diese Konzepte zu verstehen und damit zu rechnen, brauchen wir zunächst eine klare Übersicht über die Begriffe:

Begriff	Beschreibung	Besonderheit
Sehne	Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie	Liegt vollständig im Kreis
Durchmesser	Sehne durch den Mittelpunkt	Längste mögliche Sehne ($d = 2r$)
Tangente	Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt	Steht senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt
Sekante	Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet	Enthält eine Sehne als Teilstrecke

Die Sehne: Verbindung zweier Kreispunkte

Eine Sehne ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ auf der Kreislinie. Je nachdem, wo diese Punkte liegen, kann die Sehne unterschiedlich lang sein.

Die längste mögliche Sehne ist der Durchmesser. Er verläuft durch den Mittelpunkt $M$ des Kreises und hat die Länge $d = 2r$.

Eigenschaften der Sehne

Für jede Sehne gilt eine wichtige Beziehung: Die Mittelsenkrechte einer Sehne verläuft immer durch den Kreismittelpunkt. Das bedeutet umgekehrt: Wenn du vom Mittelpunkt $M$ aus das Lot auf eine Sehne fällst, triffst du die Sehne genau in ihrer Mitte.

Diese Eigenschaft ermöglicht dir eine wichtige Berechnung. Wenn eine Sehne die Länge $s$ hat und ihr Abstand zum Mittelpunkt $h$ beträgt, dann gilt:

$r^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

Diese Formel ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Der Radius $r$, die halbe Sehnenlänge $\frac{s}{2}$ und der Abstand $h$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

DEFINITION

Eine Sehne ist eine Strecke, die zwei Punkte auf der Kreislinie verbindet. Für eine Sehne der Länge $s$ mit Abstand $h$ zum Mittelpunkt eines Kreises mit Radius $r$ gilt die Beziehung: $r^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$ Die Mittelsenkrechte jeder Sehne verläuft durch den Kreismittelpunkt.

Die Tangente: Berührung in einem Punkt

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Diesen Punkt nennen wir Berührpunkt oder Tangentenpunkt $T$.

Die wichtigste Eigenschaft der Tangente: Sie steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius. Mathematisch ausgedrückt: Der Winkel zwischen Tangente und Radius im Punkt $T$ beträgt immer $90°$.

Tangenten von einem äusseren Punkt

Befindet sich ein Punkt $P$ ausserhalb des Kreises, kannst du von diesem Punkt aus genau zwei Tangenten an den Kreis legen. Diese beiden Tangenten haben eine besondere Eigenschaft: Die Strecken von $P$ zu den jeweiligen Berührpunkten $T_1$ und $T_2$ sind gleich lang.

Die Länge einer Tangentenstrecke $t$ von einem Punkt $P$ mit Abstand $d$ zum Mittelpunkt lässt sich berechnen:

$t = \sqrt{d^2 - r^2}$

Dabei ist $d$ der Abstand vom Punkt $P$ zum Kreismittelpunkt $M$ und $r$ der Radius des Kreises.

DEFINITION

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt $T$ berührt. Im Berührpunkt steht die Tangente senkrecht auf dem Radius: $\angle(MT, \text{Tangente}) = 90°$ Für die Tangentenlänge $t$ von einem äusseren Punkt $P$ mit Abstand $d$ zum Mittelpunkt gilt: $t = \sqrt{d^2 - r^2}$

Das Zusammenspiel von Sehne und Tangente

Sehnen und Tangenten haben eine interessante Beziehung. Wenn du eine Sehne immer weiter nach aussen verschiebst, wird sie kürzer. Im Grenzfall, wenn sie den Kreis nur noch in einem Punkt berührt, wird aus der Sehne eine Tangente. Man kann die Tangente also als “Sehne der Länge Null” verstehen.

Diese Beziehung zeigt sich auch in den Formeln: Bei einer Sehne mit $h = r$ (die Sehne würde den Kreismittelpunkt maximal “verfehlen”) ergibt sich $s = 0$, was dem Tangentialfall entspricht.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verwechslung von Sekante und Tangente Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten, eine Tangente berührt ihn nur in einem. Merke dir: “Tangente” kommt vom lateinischen “tangere” (berühren) – sie berührt nur.

Fehler 2: Falscher Winkel bei der Tangente Viele Schüler vergessen, dass die Tangente senkrecht auf dem Radius steht. Bei Konstruktionen und Berechnungen ist dieser $90°$-Winkel entscheidend. Zeichne den rechten Winkel immer ein!

Fehler 3: Pythagoras falsch angewendet In der Sehnenformel $r^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$ ist der Radius die Hypotenuse. Bei der Tangentenformel $t^2 = d^2 - r^2$ ist hingegen der Abstand $d$ die Hypotenuse. Überlege immer zuerst, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck die längste ist.

Beispiele

Beispiel 1: Länge einer Sehne berechnen

Aufgabe: Ein Kreis hat den Radius $r = 10 \, \text{cm}$. Eine Sehne hat den Abstand $h = 6 \, \text{cm}$ zum Mittelpunkt. Wie lang ist die Sehne?

Lösung:

Wir nutzen die Sehnenformel und lösen nach $s$ auf:

$r^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

Einsetzen der Werte:

$10^2 = 6^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

$100 = 36 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

$64 = \left(\frac{s}{2}\right)^2$

$\frac{s}{2} = 8$

$s = 16 \, \text{cm}$

Antwort: Die Sehne ist $16 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Abstand einer Sehne zum Mittelpunkt

Aufgabe: In einem Kreis mit Radius $r = 13 \, \text{cm}$ ist eine Sehne der Länge $s = 24 \, \text{cm}$ eingezeichnet. Berechne den Abstand $h$ der Sehne zum Mittelpunkt.

Lösung:

Wir verwenden die Sehnenformel:

$r^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$

Einsetzen:

$13^2 = h^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2$

$169 = h^2 + 12^2$

$169 = h^2 + 144$

$h^2 = 25$

$h = 5 \, \text{cm}$

Antwort: Der Abstand der Sehne zum Mittelpunkt beträgt $5 \, \text{cm}$.

Beispiel 3: Tangentenlänge von einem äusseren Punkt

Aufgabe: Ein Punkt $P$ liegt $15 \, \text{cm}$ vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius $r = 9 \, \text{cm}$ entfernt. Berechne die Länge der Tangentenstrecke von $P$ zum Berührpunkt.

Lösung:

Wir nutzen die Tangentenformel mit $d = 15 \, \text{cm}$ und $r = 9 \, \text{cm}$:

$t = \sqrt{d^2 - r^2}$

$t = \sqrt{15^2 - 9^2}$

$t = \sqrt{225 - 81}$

$t = \sqrt{144}$

$t = 12 \, \text{cm}$

Antwort: Die Tangentenstrecke ist $12 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 4: Radius aus Tangentenlänge bestimmen

Aufgabe: Von einem Punkt $P$, der $20 \, \text{cm}$ vom Kreismittelpunkt entfernt liegt, wird eine Tangente an den Kreis gelegt. Die Tangentenstrecke ist $16 \, \text{cm}$ lang. Wie gross ist der Radius des Kreises?

Lösung:

Wir formen die Tangentenformel nach $r$ um:

$t^2 = d^2 - r^2$

$r^2 = d^2 - t^2$

Einsetzen mit $d = 20 \, \text{cm}$ und $t = 16 \, \text{cm}$:

$r^2 = 20^2 - 16^2$

$r^2 = 400 - 256$

$r^2 = 144$

$r = 12 \, \text{cm}$

Antwort: Der Radius des Kreises beträgt $12 \, \text{cm}$.

Beispiel 5: Anwendung in der Praxis – Sichtweite vom Turm

Aufgabe: Ein Leuchtturm steht auf einer kleinen runden Insel. Die Insel hat einen Durchmesser von $200 \, \text{m}$. Der Leuchtturm befindet sich im Mittelpunkt der Insel. Ein Schiff liegt $130 \, \text{m}$ vom Leuchtturm entfernt. Wie lang ist die kürzeste Strecke vom Schiff zum Rand der Insel?

Lösung:

Der Radius der Insel beträgt $r = \frac{200}{2} = 100 \, \text{m}$.

Das Schiff liegt im Abstand $d = 130 \, \text{m}$ vom Mittelpunkt (Leuchtturm).

Die kürzeste Strecke zum Inselrand entspricht der Tangentenstrecke, da das Schiff ausserhalb der Insel liegt.

$t = \sqrt{d^2 - r^2}$

$t = \sqrt{130^2 - 100^2}$

$t = \sqrt{16900 - 10000}$

$t = \sqrt{6900}$

$t \approx 83.07 \, \text{m}$

Antwort: Die kürzeste Strecke vom Schiff zum Inselrand beträgt etwa $83 \, \text{m}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Sehne verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie. Ihre Mittelsenkrechte verläuft immer durch den Kreismittelpunkt.
• Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt und steht dort senkrecht auf dem Radius.
• Für Berechnungen an Sehnen gilt: $r^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$
• Für die Tangentenlänge von einem äusseren Punkt gilt: $t = \sqrt{d^2 - r^2}$
• Der Satz des Pythagoras ist das zentrale Werkzeug für alle Berechnungen an Sehnen und Tangenten.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Kreis hat den Radius $r = 5 \, \text{cm}$. Eine Sehne hat den Abstand $h = 3 \, \text{cm}$ zum Mittelpunkt. Wie lang ist die Sehne?

Lösung anzeigen

Wir nutzen die Formel $r^2 = h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$: $25 = 9 + \left(\frac{s}{2}\right)^2$ $\left(\frac{s}{2}\right)^2 = 16$ $\frac{s}{2} = 4$ $s = 8 \, \text{cm}$

❓ Frage: Welchen Winkel bildet eine Tangente mit dem Radius im Berührpunkt?

Lösung anzeigen

Eine Tangente steht im Berührpunkt immer senkrecht auf dem Radius. Der Winkel beträgt also $90°$ (ein rechter Winkel).

❓ Frage: Ein Punkt $P$ liegt $25 \, \text{cm}$ vom Mittelpunkt eines Kreises entfernt. Die Tangente von $P$ zum Kreis ist $24 \, \text{cm}$ lang. Wie gross ist der Radius?

Lösung anzeigen

Mit der Formel $r^2 = d^2 - t^2$: $r^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$ $r = 7 \, \text{cm}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit dem Wissen über Sehnen und Tangenten hast du wichtige Grundlagen für weiterführende Themen der Kreisgeometrie gelegt. Im nächsten Schritt wirst du dich mit dem Peripheriewinkelsatz und dem Zentriwinkelsatz beschäftigen. Diese Sätze beschreiben, wie Winkel zusammenhängen, die von derselben Sehne ausgehen – einmal vom Kreismittelpunkt aus (Zentriwinkel) und einmal von einem Punkt auf der Kreislinie (Peripheriewinkel). Auch das Themengebiet der Kreisberechnungen mit Umfang und Flächeninhalt baut auf dem Verständnis von Radius und Durchmesser auf, das du hier vertieft hast.