Quader und Prisma einfach erklärt: Volumen und Oberfläche berechnen

Stell dir vor, du ziehst in eine neue Wohnung und musst Umzugskartons packen. Wie viele Bücher passen in einen Karton? Wie viel Geschenkpapier brauchst du, um ein rechteckiges Paket einzupacken? Oder denk an einen Toblerone-Riegel: Warum hat er diese dreieckige Form, und wie viel Schokolade steckt eigentlich drin?

All diese Fragen drehen sich um geometrische Körper, die uns täglich begegnen. Der Umzugskarton ist ein Quader, die Toblerone ein Prisma. In diesem Kapitel lernst du, wie du das Volumen (den Rauminhalt) und die Oberfläche solcher Körper berechnest. Das sind Fähigkeiten, die du nicht nur in der Schule, sondern auch im Alltag immer wieder brauchst.

Vom Karton zum Quader: Die Grundlagen verstehen

Kehren wir zum Umzugskarton zurück. Wenn du ihn dir genau anschaust, erkennst du bestimmte Eigenschaften: Er hat sechs rechteckige Seiten (Flächen), acht Ecken und zwölf Kanten. Drei dieser Kanten sind besonders wichtig: die Länge, die Breite und die Höhe.

Diese drei Masse beschreiben den Karton vollständig. In der Mathematik nennen wir einen solchen Körper einen Quader. Er ist einer der wichtigsten geometrischen Körper überhaupt.

Was ist ein Quader?

Ein Quader ist ein geometrischer Körper mit folgenden Eigenschaften:

• Er hat 6 rechteckige Flächen (Seitenflächen).
• Er hat 8 Ecken.
• Er hat 12 Kanten.
• Gegenüberliegende Flächen sind immer gleich gross und parallel.

Die drei Kantenlängen heissen Länge $a$, Breite $b$ und Höhe $c$. Manchmal siehst du auch die Bezeichnungen $l$, $b$, $h$ oder einfach Länge, Breite, Höhe.

Ein Sonderfall des Quaders ist der Würfel. Beim Würfel sind alle drei Kantenlängen gleich: $a = b = c$. Alle sechs Flächen sind dann Quadrate.

DEFINITION

Ein Quader ist ein geometrischer Körper mit sechs rechteckigen Seitenflächen. Er wird durch drei Kantenlängen beschrieben: Länge $a$, Breite $b$ und Höhe $c$. Alle Winkel im Quader sind rechte Winkel (90°).

Das Volumen des Quaders: Wie viel passt hinein?

Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Beim Umzugskarton ist das die Frage: Wie viel passt hinein?

Stell dir vor, du füllst den Karton mit kleinen Würfeln, die jeweils $1 \, \text{cm}$ Kantenlänge haben (sogenannte Einheitswürfel). Jeder dieser Würfel hat ein Volumen von $1 \, \text{cm}^3$.

Wenn dein Karton $30 \, \text{cm}$ lang, $20 \, \text{cm}$ breit und $25 \, \text{cm}$ hoch ist, dann passen:

• In die unterste Schicht: $30 \cdot 20 = 600$ Würfel
• Es gibt $25$ solcher Schichten übereinander
• Insgesamt: $600 \cdot 25 = 15000$ Würfel

Das Volumen beträgt also $15000 \, \text{cm}^3$.

Die Volumenformel für den Quader

Das Prinzip ist immer dasselbe: Du multiplizierst die drei Kantenlängen miteinander.

$$V = a \cdot b \cdot c$$

Dabei gilt:

• $V$ ist das Volumen
• $a$ ist die Länge
• $b$ ist die Breite
• $c$ ist die Höhe

DEFINITION

Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizierst: $V = a \cdot b \cdot c$. Das Ergebnis hat immer eine Volumeneinheit (z.B. $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ oder Liter).

Die Oberfläche des Quaders: Wie viel Material brauchst du?

Zurück zum Geschenkpapier: Um ein Paket einzupacken, musst du wissen, wie gross die Oberfläche ist. Die Oberfläche ist die Summe aller sechs Seitenflächen.

Bei einem Quader gibt es drei verschiedene Rechtecke, die jeweils zweimal vorkommen:

• Deckfläche und Bodenfläche: $a \cdot b$ (zweimal)
• Vorderfläche und Rückfläche: $a \cdot c$ (zweimal)
• Linke und rechte Seitenfläche: $b \cdot c$ (zweimal)

Die Oberflächenformel für den Quader

Die Gesamtoberfläche ist die Summe aller sechs Flächen:

$$O = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c$$

Du kannst die Formel auch so schreiben:

$$O = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right)$$

Dabei gilt:

• $O$ ist die Oberfläche
• $a$, $b$, $c$ sind die drei Kantenlängen

DEFINITION

Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe aller sechs Seitenflächen: $O = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right)$. Das Ergebnis hat immer eine Flächeneinheit (z.B. $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$).

Vom Quader zum Prisma: Die Verallgemeinerung

Jetzt kommt die Toblerone ins Spiel. Sie hat keine rechteckige, sondern eine dreieckige Grundfläche. Trotzdem funktioniert die Berechnung nach einem ähnlichen Prinzip.

Ein Prisma ist ein Körper, der entsteht, wenn du eine beliebige Fläche (die Grundfläche) gerade nach oben “schiebst”. Diese Verschiebung erzeugt die Höhe des Prismas. Die Grundfläche kann ein Dreieck, ein Viereck, ein Fünfeck oder jedes andere Vieleck sein.

Was ist ein Prisma?

Ein Prisma hat folgende Eigenschaften:

• Es hat zwei deckungsgleiche Grundflächen (oben und unten).
• Diese Grundflächen liegen parallel zueinander.
• Die Seitenflächen sind Rechtecke.
• Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden Grundflächen.

Der Quader ist übrigens ein Spezialfall des Prismas: ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche.

DEFINITION

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper mit zwei parallelen, deckungsgleichen Grundflächen. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen den Grundflächen.

Das Volumen des Prismas: Die universelle Formel

Hier kommt die geniale Erkenntnis: Das Prinzip vom Quader lässt sich auf alle Prismen übertragen. Beim Quader haben wir $V = a \cdot b \cdot c$ berechnet. Dabei ist $a \cdot b$ die Grundfläche und $c$ die Höhe.

Bei einem beliebigen Prisma gilt dasselbe Prinzip:

$$V = G \cdot h$$

Dabei gilt:

• $V$ ist das Volumen
• $G$ ist der Flächeninhalt der Grundfläche
• $h$ ist die Höhe des Prismas

Diese Formel ist extrem mächtig. Sie funktioniert für jedes Prisma, egal ob die Grundfläche ein Dreieck, ein Sechseck oder eine andere Form hat.

DEFINITION

Das Volumen eines beliebigen Prismas berechnest du mit: $V = G \cdot h$. Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas.

Die Oberfläche des Prismas: Alles zusammenzählen

Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus drei Teilen zusammen:

1. Zwei Grundflächen (oben und unten): $2 \cdot G$
2. Die Mantelfläche (alle Seitenflächen zusammen): $M$

Die Gesamtoberfläche ist also:

$$O = 2 \cdot G + M$$

Die Mantelfläche berechnen

Die Mantelfläche ist die Summe aller rechteckigen Seitenflächen. Jede Seitenfläche ist ein Rechteck mit:

• Einer Seite der Grundfläche als Länge
• Der Prismahöhe $h$ als Breite

Wenn du alle Seitenflächen “abwickelst” (wie ein Etikett von einer Flasche), erhältst du ein grosses Rechteck. Seine Länge ist der Umfang $u$ der Grundfläche, seine Breite ist die Höhe $h$.

$$M = u \cdot h$$

Die vollständige Oberflächenformel lautet also:

$$O = 2 \cdot G + u \cdot h$$

DEFINITION

Die Oberfläche eines Prismas ist: $O = 2 \cdot G + M$, wobei $M = u \cdot h$ die Mantelfläche ist. Dabei ist $G$ die Grundfläche, $u$ der Umfang der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Einheiten vergessen oder falsch umrechnen

Achte immer darauf, dass alle Masse in derselben Einheit sind, bevor du rechnest. Wenn die Länge in Metern und die Breite in Zentimetern gegeben ist, musst du zuerst umrechnen. Das Volumen hat immer eine “hoch 3”-Einheit ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$), die Oberfläche immer eine “hoch 2”-Einheit ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).

Fehler 2: Bei der Oberfläche die Grundflächen vergessen

Ein häufiger Fehler ist, bei der Oberflächenberechnung nur die Mantelfläche zu berechnen. Denk daran: Ein Prisma hat auch eine Deck- und eine Bodenfläche!

Fehler 3: Bei Prismen die falsche Grundfläche wählen

Die Grundfläche eines Prismas ist nicht immer die Fläche, die “unten” liegt. Die Grundfläche ist das Vieleck, das durch die Höhe $h$ nach oben verschoben wird. Schau genau hin, welche Fläche gemeint ist.

Beispiele

Beispiel 1: Volumen und Oberfläche eines Quaders

Ein Aquarium hat die Masse $80 \, \text{cm}$ (Länge), $40 \, \text{cm}$ (Breite) und $50 \, \text{cm}$ (Höhe). Berechne das Volumen und die Oberfläche.

Volumen:

$$V = a \cdot b \cdot c = 80 \cdot 40 \cdot 50 = 160000 \, \text{cm}^3$$

Umrechnung in Liter (1 Liter = $1000 \, \text{cm}^3$):

$$V = \frac{160000}{1000} = 160 \, \text{Liter}$$

Oberfläche:

$$O = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right)$$$$O = 2 \cdot \left( 80 \cdot 40 + 80 \cdot 50 + 40 \cdot 50 \right)$$$$O = 2 \cdot \left( 3200 + 4000 + 2000 \right) = 2 \cdot 9200 = 18400 \, \text{cm}^2$$

Das Aquarium fasst 160 Liter Wasser und hat eine Oberfläche von $18400 \, \text{cm}^2$ (oder $1.84 \, \text{m}^2$).

Beispiel 2: Volumen eines dreiseitigen Prismas

Eine Toblerone-Verpackung hat eine dreieckige Grundfläche mit der Basis $3.5 \, \text{cm}$ und der Höhe des Dreiecks $3 \, \text{cm}$. Die Länge der Verpackung beträgt $21 \, \text{cm}$. Wie viel Volumen hat die Verpackung?

Schritt 1: Grundfläche berechnen

Die Grundfläche ist ein Dreieck:

$$G = \frac{1}{2} \cdot \text{Basis} \cdot \text{Höhe des Dreiecks}$$$$G = \frac{1}{2} \cdot 3.5 \cdot 3 = 5.25 \, \text{cm}^2$$

Schritt 2: Volumen berechnen

Die Länge der Verpackung ist die Prismahöhe $h = 21 \, \text{cm}$:

$$V = G \cdot h = 5.25 \cdot 21 = 110.25 \, \text{cm}^3$$

Die Toblerone-Verpackung hat ein Volumen von $110.25 \, \text{cm}^3$.

Beispiel 3: Oberfläche eines sechsseitigen Prismas

Ein sechseckiger Bleistift hat folgende Masse: Die Grundfläche (regelmässiges Sechseck) hat einen Flächeninhalt von $0.5 \, \text{cm}^2$ und einen Umfang von $2.6 \, \text{cm}$. Der Bleistift ist $17 \, \text{cm}$ lang. Berechne die Oberfläche.

Gegeben:

• $G = 0.5 \, \text{cm}^2$
• $u = 2.6 \, \text{cm}$
• $h = 17 \, \text{cm}$

Schritt 1: Mantelfläche berechnen

$$M = u \cdot h = 2.6 \cdot 17 = 44.2 \, \text{cm}^2$$

Schritt 2: Gesamtoberfläche berechnen

$$O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 0.5 + 44.2 = 1 + 44.2 = 45.2 \, \text{cm}^2$$

Die Oberfläche des Bleistifts beträgt $45.2 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 4: Textaufgabe mit Umrechnung

Ein Schwimmbecken hat die Form eines Quaders mit den Massen $25 \, \text{m}$ (Länge), $10 \, \text{m}$ (Breite) und $2 \, \text{m}$ (Tiefe).

a) Wie viele Liter Wasser fasst das Becken? b) Der Boden und die vier Seitenwände sollen mit Fliesen bedeckt werden. Wie gross ist die zu fliesende Fläche?

Lösung a) Volumen:

$$V = a \cdot b \cdot c = 25 \cdot 10 \cdot 2 = 500 \, \text{m}^3$$

Umrechnung in Liter (1 $\text{m}^3$ = 1000 Liter):

$$V = 500 \cdot 1000 = 500000 \, \text{Liter}$$

Das Becken fasst 500000 Liter (oder 500 Kubimeter) Wasser.

Lösung b) Zu fliesende Fläche:

Die Deckfläche (Wasseroberfläche) wird nicht gefliest. Wir brauchen also:

• Bodenfläche: $25 \cdot 10 = 250 \, \text{m}^2$
• Zwei lange Seitenwände: $2 \cdot \left( 25 \cdot 2 \right) = 100 \, \text{m}^2$
• Zwei kurze Seitenwände: $2 \cdot \left( 10 \cdot 2 \right) = 40 \, \text{m}^2$

Gesamtfläche:

$$A = 250 + 100 + 40 = 390 \, \text{m}^2$$

Es müssen $390 \, \text{m}^2$ gefliest werden.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Quader hat sechs rechteckige Flächen und wird durch Länge $a$, Breite $b$ und Höhe $c$ beschrieben.
• Das Volumen des Quaders ist $V = a \cdot b \cdot c$.
• Die Oberfläche des Quaders ist $O = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right)$.
• Ein Prisma hat zwei parallele, deckungsgleiche Grundflächen und rechteckige Seitenflächen.
• Das Volumen jedes Prismas ist $V = G \cdot h$ (Grundfläche mal Höhe).
• Die Oberfläche jedes Prismas ist $O = 2 \cdot G + u \cdot h$ (zwei Grundflächen plus Mantelfläche).

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Würfel hat eine Kantenlänge von $5 \, \text{cm}$. Wie gross ist sein Volumen?

Lösung anzeigen

Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang: $a = b = c = 5 \, \text{cm}$

$$V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \, \text{cm}^3$$

Das Volumen beträgt $125 \, \text{cm}^3$.

❓ Frage: Ein dreiseitiges Prisma hat eine dreieckige Grundfläche mit $G = 12 \, \text{cm}^2$ und eine Höhe von $h = 8 \, \text{cm}$. Berechne das Volumen.

Lösung anzeigen

Wir verwenden die Prismenformel:

$$V = G \cdot h = 12 \cdot 8 = 96 \, \text{cm}^3$$

Das Volumen des Prismas beträgt $96 \, \text{cm}^3$.

❓ Frage: Ein Quader hat die Masse $4 \, \text{cm}$, $3 \, \text{cm}$ und $2 \, \text{cm}$. Berechne seine Oberfläche.

Lösung anzeigen

Wir setzen in die Oberflächenformel ein:

$$O = 2 \cdot \left( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c \right)$$$$O = 2 \cdot \left( 4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \right)$$$$O = 2 \cdot \left( 12 + 8 + 6 \right) = 2 \cdot 26 = 52 \, \text{cm}^2$$

Die Oberfläche beträgt $52 \, \text{cm}^2$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit dem Wissen über Quader und Prismen hast du eine solide Grundlage für weitere geometrische Körper gelegt. Als Nächstes lernst du Zylinder kennen. Der Zylinder ist gewissermassen ein “rundes Prisma” – seine Grundfläche ist ein Kreis statt eines Vielecks. Die Volumenformel $V = G \cdot h$ bleibt dabei gleich, nur dass $G$ jetzt die Kreisfläche $\pi \cdot r^2$ ist.

Danach folgen spitze Körper wie Pyramiden und Kegel. Bei diesen gilt eine spannende Regel: Ihr Volumen ist genau ein Drittel des Volumens eines entsprechenden Prismas oder Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Das Verständnis von Prismen ist also der Schlüssel zu vielen weiteren Körpern in der Geometrie!