Kreisumfang und Kreisfläche berechnen: So gelingt es dir garantiert

Stell dir vor, du willst einen runden Geburtstagskuchen backen. Die Kuchenform hat einen Durchmesser von 26 cm. Jetzt fragst du dich: Wie viel Teig brauchst du eigentlich, um die Form zu füllen? Und wie lang muss das Dekoband sein, das du um den fertigen Kuchen wickeln möchtest?

Beide Fragen lassen sich mit Mathematik beantworten. Das Band um den Kuchen entspricht dem Kreisumfang. Der Teig, der die Form ausfüllt, entspricht der Kreisfläche. In diesem Artikel lernst du, wie du beide Grössen mit einfachen Formeln berechnest.

Vom Kuchen zur Mathematik: Was ist ein Kreis eigentlich?

Bevor wir rechnen, klären wir die wichtigsten Begriffe. Ein Kreis ist eine Figur, bei der alle Punkte denselben Abstand zum Mittelpunkt haben. Dieser Abstand heisst Radius und wird mit $r$ abgekürzt.

Der Durchmesser $d$ ist die längste Strecke durch den Kreis. Er geht durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius:

$d = 2 \cdot r$

Umgekehrt gilt:

$r = \frac{d}{2}$

Diese Beziehung ist wichtig. In Aufgaben wird manchmal der Radius gegeben, manchmal der Durchmesser. Du musst flexibel umrechnen können.

Die Kreiszahl Pi: Eine besondere Konstante

Wenn du den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilst, erhältst du immer dieselbe Zahl. Egal wie gross oder klein der Kreis ist. Diese Zahl heisst Pi und wird mit dem griechischen Buchstaben $\pi$ geschrieben.

$\pi \approx 3{,}14159...$

Pi ist eine irrationale Zahl. Das bedeutet: Ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nicht. Für Berechnungen verwenden wir meist den gerundeten Wert $\pi \approx 3{,}14$ oder lassen $\pi$ im Ergebnis stehen.

DEFINITION

Die Kreiszahl $\pi$ (Pi) ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser. Sie gilt für jeden Kreis und hat den Wert $\pi \approx 3{,}14159...$. Pi ist eine mathematische Konstante, die du in beiden Kreisformeln brauchst.

Der Kreisumfang: Wie lang ist die Kreislinie?

Der Kreisumfang $U$ ist die Länge der Kreislinie. Zurück zu unserem Kuchen: Der Umfang entspricht der Länge des Dekobands.

Die Formel für den Kreisumfang

Da $\pi$ das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist, können wir den Umfang berechnen:

$U = \pi \cdot d$

Mit $d = 2 \cdot r$ erhalten wir die zweite Form der Formel:

$U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Beide Formeln sind gleichwertig. Verwende die Version, die zur gegebenen Grösse passt.

So berechnest du den Kreisumfang Schritt für Schritt

1. Lies den Radius $r$ oder Durchmesser $d$ aus der Aufgabe ab.
2. Falls nur $d$ gegeben ist, berechne $r = \frac{d}{2}$ (oder umgekehrt).
3. Setze in die passende Formel ein: $U = \pi \cdot d$ oder $U = 2 \cdot \pi \cdot r$.
4. Rechne aus und gib das Ergebnis mit Einheit an.

Beispiel 1: Dekoband für den Kuchen

Der Kuchen hat einen Durchmesser von $d = 26 \, \text{cm}$. Wie lang muss das Dekoband sein?

Lösung:

Gegeben: $d = 26 \, \text{cm}$

Gesucht: Umfang $U$

Formel: $U = \pi \cdot d$

Einsetzen: $U = \pi \cdot 26 \, \text{cm}$

Berechnen: $U = 26\pi \, \text{cm} \approx 81{,}68 \, \text{cm}$

Antwort: Das Dekoband muss etwa $81{,}7 \, \text{cm}$ lang sein.

Beispiel 2: Umfang eines Fahrrads bestimmen

Ein Fahrradreifen hat einen Radius von $r = 35 \, \text{cm}$. Welche Strecke legt das Fahrrad bei einer Radumdrehung zurück?

Lösung:

Gegeben: $r = 35 \, \text{cm}$

Gesucht: Umfang $U$

Formel: $U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Einsetzen: $U = 2 \cdot \pi \cdot 35 \, \text{cm}$

Berechnen: $U = 70\pi \, \text{cm} \approx 219{,}91 \, \text{cm}$

Antwort: Bei einer Umdrehung legt das Fahrrad etwa $220 \, \text{cm}$ oder $2{,}20 \, \text{m}$ zurück.

Die Kreisfläche: Wie viel Platz hat der Kreis?

Die Kreisfläche $A$ beschreibt den Inhalt des Kreises. Bei unserem Kuchen wäre das die Teigmenge, die in die Form passt.

Die Formel für die Kreisfläche

Die Formel für die Kreisfläche lautet:

$A = \pi \cdot r^2$

Das $r^2$ bedeutet “Radius zum Quadrat”. Du multiplizierst den Radius mit sich selbst.

Falls nur der Durchmesser gegeben ist, kannst du die Formel umschreiben:

$A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Die erste Version mit $r$ ist übersichtlicher. Rechne daher zuerst $r$ aus, wenn nur $d$ gegeben ist.

So berechnest du die Kreisfläche Schritt für Schritt

1. Lies den Radius $r$ oder Durchmesser $d$ aus der Aufgabe ab.
2. Falls nur $d$ gegeben ist, berechne $r = \frac{d}{2}$.
3. Berechne $r^2$ (Radius zum Quadrat).
4. Setze in die Formel ein: $A = \pi \cdot r^2$.
5. Rechne aus und gib das Ergebnis mit Flächeneinheit an.

Beispiel 3: Fläche der Kuchenform

Die Kuchenform hat einen Durchmesser von $d = 26 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Bodenfläche?

Lösung:

Gegeben: $d = 26 \, \text{cm}$

Gesucht: Fläche $A$

Zuerst den Radius berechnen: $r = \frac{d}{2} = \frac{26 \, \text{cm}}{2} = 13 \, \text{cm}$

Formel: $A = \pi \cdot r^2$

Einsetzen: $A = \pi \cdot (13 \, \text{cm})^2$

$A = \pi \cdot 169 \, \text{cm}^2$

$A = 169\pi \, \text{cm}^2 \approx 530{,}93 \, \text{cm}^2$

Antwort: Die Bodenfläche beträgt etwa $531 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 4: Rasenfläche eines Kreisels berechnen

Ein Verkehrskreisel hat einen Radius von $r = 8 \, \text{m}$. Die Gemeinde möchte die Rasenfläche in der Mitte neu bepflanzen. Wie viele Quadratmeter Rasen werden benötigt?

Lösung:

Gegeben: $r = 8 \, \text{m}$

Gesucht: Fläche $A$

Formel: $A = \pi \cdot r^2$

Einsetzen: $A = \pi \cdot (8 \, \text{m})^2$

$A = \pi \cdot 64 \, \text{m}^2$

$A = 64\pi \, \text{m}^2 \approx 201{,}06 \, \text{m}^2$

Antwort: Es werden etwa $201 \, \text{m}^2$ Rasen benötigt.

Beispiel 5: Pizzagrössen vergleichen

Eine kleine Pizza hat einen Durchmesser von $d_1 = 20 \, \text{cm}$. Eine grosse Pizza hat einen Durchmesser von $d_2 = 30 \, \text{cm}$. Um wie viel Prozent ist die grosse Pizza grösser?

Lösung:

Zuerst beide Radien berechnen: $r_1 = \frac{20 \, \text{cm}}{2} = 10 \, \text{cm}$

$r_2 = \frac{30 \, \text{cm}}{2} = 15 \, \text{cm}$

Fläche der kleinen Pizza: $A_1 = \pi \cdot (10 \, \text{cm})^2 = 100\pi \, \text{cm}^2$

Fläche der grossen Pizza: $A_2 = \pi \cdot (15 \, \text{cm})^2 = 225\pi \, \text{cm}^2$

Verhältnis berechnen: $\frac{A_2}{A_1} = \frac{225\pi}{100\pi} = \frac{225}{100} = 2{,}25$

Die grosse Pizza ist $2{,}25$-mal so gross. Das entspricht einer Steigerung um $125\%$.

Antwort: Die grosse Pizza ist um $125\%$ grösser als die kleine, obwohl der Durchmesser nur um $50\%$ zugenommen hat.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Radius und Durchmesser verwechseln

Viele Schüler setzen den Durchmesser direkt in die Flächenformel ein, obwohl dort der Radius gebraucht wird. Prüfe immer: Ist $r$ oder $d$ gegeben? Falls $d$ gegeben ist, halbiere zuerst.

Fehler 2: Quadrat falsch berechnen

Bei $r^2$ wird nur der Radius quadriert, nicht $\pi$. Falsch: $(\pi \cdot r)^2$. Richtig: $\pi \cdot r^2$.

Fehler 3: Einheiten vergessen oder falsch angeben

Der Umfang hat eine Längeneinheit (cm, m). Die Fläche hat eine Flächeneinheit (cm², m²). Achte darauf, dass die Einheit zum Ergebnis passt.

Fehler 4: Proportionalität falsch einschätzen

Verdoppelst du den Radius, verdoppelt sich der Umfang. Aber die Fläche vervierfacht sich! Das liegt am Quadrat in der Flächenformel.

Formeln umstellen: Den Radius aus Umfang oder Fläche berechnen

Manchmal ist nicht der Radius gegeben, sondern der Umfang oder die Fläche. Dann musst du die Formeln umstellen.

Radius aus dem Umfang berechnen

Ausgangsformel: $U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Nach $r$ umgestellt: $r = \frac{U}{2 \cdot \pi}$

Radius aus der Fläche berechnen

Ausgangsformel: $A = \pi \cdot r^2$

Nach $r^2$ umgestellt: $r^2 = \frac{A}{\pi}$

Wurzel ziehen: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Beispiel 6: Radius aus der Fläche bestimmen

Ein kreisförmiger Teich hat eine Fläche von $A = 78{,}5 \, \text{m}^2$. Wie gross ist sein Radius?

Lösung:

Gegeben: $A = 78{,}5 \, \text{m}^2$

Gesucht: Radius $r$

Formel umstellen: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Einsetzen: $r = \sqrt{\frac{78{,}5 \, \text{m}^2}{\pi}}$

$r = \sqrt{\frac{78{,}5}{3{,}14159} \, \text{m}^2}$

$r = \sqrt{24{,}98 \, \text{m}^2}$

$r \approx 5 \, \text{m}$

Antwort: Der Teich hat einen Radius von etwa $5 \, \text{m}$.

Zusammengesetzte Figuren: Kreise in der Praxis

In realen Anwendungen kommen oft Figuren vor, die aus Kreisen und anderen Formen zusammengesetzt sind. Beispiele sind Halbkreise, Viertelkreise oder Kreisringe.

Der Halbkreis

Beim Halbkreis halbiert sich die Fläche: $A_{\text{Halbkreis}} = \frac{\pi \cdot r^2}{2}$

Der Umfang besteht aus dem halben Kreisumfang plus dem Durchmesser: $U_{\text{Halbkreis}} = \pi \cdot r + 2 \cdot r = r \cdot (\pi + 2)$

Der Kreisring

Ein Kreisring entsteht, wenn aus einem grossen Kreis ein kleinerer ausgeschnitten wird. Die Fläche ist die Differenz: $A_{\text{Ring}} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right)$

Dabei ist $R$ der äussere Radius und $r$ der innere Radius.

Beispiel 7: Fläche eines Kreisrings

Ein Blumenbeet hat die Form eines Kreisrings. Der äussere Radius beträgt $R = 4 \, \text{m}$, der innere Radius $r = 2 \, \text{m}$. Wie gross ist die Beetfläche?

Lösung:

Gegeben: $R = 4 \, \text{m}$, $r = 2 \, \text{m}$

Gesucht: Fläche des Kreisrings

Formel: $A_{\text{Ring}} = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right)$

Einsetzen: $A_{\text{Ring}} = \pi \cdot \left((4 \, \text{m})^2 - (2 \, \text{m})^2\right)$

$A_{\text{Ring}} = \pi \cdot \left(16 \, \text{m}^2 - 4 \, \text{m}^2\right)$

$A_{\text{Ring}} = \pi \cdot 12 \, \text{m}^2$

$A_{\text{Ring}} = 12\pi \, \text{m}^2 \approx 37{,}7 \, \text{m}^2$

Antwort: Das Blumenbeet hat eine Fläche von etwa $37{,}7 \, \text{m}^2$.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Kreisumfang berechnet sich mit $U = 2 \cdot \pi \cdot r$ oder $U = \pi \cdot d$.
• Die Kreisfläche berechnet sich mit $A = \pi \cdot r^2$.
• Die Kreiszahl $\pi \approx 3{,}14159$ ist eine Konstante, die in beiden Formeln vorkommt.
• Achte genau darauf, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. Es gilt: $d = 2 \cdot r$.
• Verdoppelst du den Radius, verdoppelt sich der Umfang. Die Fläche vervierfacht sich.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Kreis hat einen Durchmesser von $d = 14 \, \text{cm}$. Wie gross ist sein Umfang?

Lösung anzeigen

Der Radius beträgt $r = 7 \, \text{cm}$.

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 7 \, \text{cm} = 14\pi \, \text{cm} \approx 43{,}98 \, \text{cm}$

Alternativ direkt: $U = \pi \cdot d = \pi \cdot 14 \, \text{cm} \approx 43{,}98 \, \text{cm}$

❓ Frage: Ein kreisförmiges Trampolin hat einen Radius von $r = 2 \, \text{m}$. Wie gross ist die Sprungfläche?

Lösung anzeigen

$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2 \, \text{m})^2 = \pi \cdot 4 \, \text{m}^2 = 4\pi \, \text{m}^2 \approx 12{,}57 \, \text{m}^2$

Die Sprungfläche beträgt etwa $12{,}57 \, \text{m}^2$.

❓ Frage: Ein Kreis hat eine Fläche von $A = 50{,}27 \, \text{cm}^2$. Berechne den Radius.

Lösung anzeigen

Formel umstellen: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

$r = \sqrt{\frac{50{,}27 \, \text{cm}^2}{\pi}} = \sqrt{\frac{50{,}27}{3{,}14159} \, \text{cm}^2} = \sqrt{16 \, \text{cm}^2} = 4 \, \text{cm}$

Der Radius beträgt $4 \, \text{cm}$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, Umfang und Fläche von Kreisen zu berechnen. Diese Kenntnisse sind die Grundlage für weitere spannende Themen. Als Nächstes wirst du dreidimensionale Körper kennenlernen, die auf dem Kreis basieren.

Der Zylinder entsteht, wenn du einen Kreis in die Höhe ziehst. Sein Volumen und seine Oberfläche berechnest du mit den Kreisformeln, die du jetzt beherrschst.

Auch der Kegel und die Kugel bauen auf dem Kreis auf. Mit deinem Wissen über $\pi$, Radius und die Kreisfläche bist du bestens vorbereitet für diese Körper.