Kreisbogen und Kreissektor einfach erklärt: So berechnest du Tortenstücke

Stell dir vor, du schneidest eine Pizza in Stücke. Jedes Stück hat eine knusprige Aussenkante – den Rand. Und es hat eine bestimmte Fläche, die du gleich verspeisen wirst. Genau so funktioniert Mathematik am Kreis. Der Pizzarand eines Stücks entspricht dem Kreisbogen. Das ganze Stück mit seiner Fläche ist der Kreissektor. In diesem Kapitel lernst du, wie du beide exakt berechnest. Du wirst verstehen, wie Winkel, Radius und der geheimnisvolle Faktor $\pi$ zusammenspielen.

Vom Pizzastück zur Mathematik

Bleiben wir kurz bei der Pizza. Eine ganze runde Pizza hat einen vollständigen Rand – den Umfang. Sie hat auch eine komplette Fläche – den Flächeninhalt. Beide Grössen kennst du bereits.

Was passiert nun, wenn du die Pizza in 8 gleiche Stücke schneidest? Jedes Stück bekommt genau ein Achtel des Randes. Und jedes Stück hat genau ein Achtel der Gesamtfläche. Die Mathematik macht nichts anderes. Sie berechnet, welcher Bruchteil des Kreises zu einem bestimmten Winkel gehört.

Der Winkel bestimmt alles. Ein Achtel der Pizza entspricht einem Winkel von $45°$. Denn $360° \div 8 = 45°$. Ein Viertel der Pizza hat einen Winkel von $90°$. Die Formel, die wir gleich entwickeln, funktioniert für jeden beliebigen Winkel.

Die Grundlagen: Umfang und Flächeninhalt des Vollkreises

Bevor wir Teile berechnen, wiederholen wir kurz das Ganze. Ein Kreis mit Radius $r$ hat:

Umfang des Vollkreises: $U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Flächeninhalt des Vollkreises: $A = \pi \cdot r^2$

Der Vollkreis entspricht einem Winkel von $360°$ oder im Bogenmass $2\pi$. Diese Zahl ist entscheidend. Denn jeder Kreisbogen und jeder Kreissektor ist ein Bruchteil davon.

Der Kreisbogen: Die gekrümmte Kante

Der Kreisbogen ist der Teil der Kreislinie zwischen zwei Punkten. Stell dir zwei Nadeln vor, die du in den Rand einer Pizza steckst. Der Rand zwischen diesen beiden Nadeln ist ein Kreisbogen.

So berechnest du die Bogenlänge

Die Bogenlänge $b$ hängt von zwei Grössen ab: dem Radius $r$ und dem Mittelpunktswinkel $\alpha$. Der Mittelpunktswinkel ist der Winkel, der vom Kreismittelpunkt aus gemessen wird.

Schritt 1: Bestimme, welcher Bruchteil des Vollkreises vorliegt. Der Vollkreis hat $360°$. Dein Winkel $\alpha$ macht also den Bruchteil $\frac{\alpha}{360°}$ aus.

Schritt 2: Multipliziere diesen Bruchteil mit dem Gesamtumfang. $b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$

Diese Formel lässt sich vereinfachen: $b = \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r}{180°}$

DEFINITION

Die Länge eines Kreisbogens beträgt: $b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$

Dabei ist $b$ die Bogenlänge, $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad und $r$ der Radius des Kreises.

Warum funktioniert das?

Die Logik ist simpel. Bei $360°$ erhältst du den vollen Umfang $2 \pi r$. Bei $180°$ erhältst du genau die Hälfte, also $\pi r$. Bei $90°$ ein Viertel, also $\frac{\pi r}{2}$. Der Faktor $\frac{\alpha}{360°}$ skaliert den Umfang passend zum Winkel.

Der Kreissektor: Das ganze Tortenstück

Der Kreissektor ist die Fläche, die vom Kreisbogen und zwei Radien eingeschlossen wird. Er sieht aus wie ein Tortenstück oder ein Kuchenstück. Manchmal wird er auch als Kreisausschnitt bezeichnet.

So berechnest du den Flächeninhalt

Die Berechnung folgt exakt der gleichen Logik wie beim Kreisbogen. Nur nehmen wir jetzt den Flächeninhalt statt des Umfangs.

Schritt 1: Bestimme den Bruchteil des Vollkreises. $\frac{\alpha}{360°}$

Schritt 2: Multipliziere diesen Bruchteil mit der Gesamtfläche. $A_{\text{Sektor}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2$

DEFINITION

Der Flächeninhalt eines Kreissektors beträgt: $A_{\text{Sektor}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2$

Dabei ist $A_{\text{Sektor}}$ der Flächeninhalt des Sektors, $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad und $r$ der Radius des Kreises.

Der Zusammenhang zwischen Bogen und Sektor

Kreisbogen und Kreissektor gehören zusammen wie Rand und Fläche beim Pizzastück. Der Kreisbogen begrenzt den Kreissektor an der Aussenseite. Die beiden Radien begrenzen ihn an den Seiten.

Es gibt auch eine elegante Formel, die Bogenlänge und Sektorfläche verknüpft: $A_{\text{Sektor}} = \frac{b \cdot r}{2}$

Diese Formel ist nützlich, wenn du die Bogenlänge bereits kennst.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Winkel im Bogenmass statt in Grad einsetzen Die Formeln oben gelten für Winkel in Grad. Wenn dein Winkel im Bogenmass angegeben ist (z.B. $\frac{\pi}{3}$), musst du ihn zuerst umrechnen oder die Bogenmass-Formel verwenden: $b = \alpha \cdot r$ (mit $\alpha$ im Bogenmass).

Fehler 2: Radius und Durchmesser verwechseln Die Formeln verwenden den Radius $r$, nicht den Durchmesser $d$. Ist der Durchmesser gegeben, rechne zuerst: $r = \frac{d}{2}$.

Fehler 3: Klammern bei $r^2$ vergessen Bei der Sektorformel muss der gesamte Radius quadriert werden. Also $(5 \, \text{cm})^2 = 25 \, \text{cm}^2$, nicht $5 \, \text{cm}^2$.

Beispiele

Beispiel 1: Bogenlänge eines Viertelkreises

Aufgabe: Ein Kreis hat einen Radius von $r = 6 \, \text{cm}$. Berechne die Länge des Kreisbogens für einen Winkel von $\alpha = 90°$.

Lösung:

Wir setzen die Werte in die Formel ein: $b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$

$b = \frac{90°}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 6 \, \text{cm}$

$b = \frac{1}{4} \cdot 12\pi \, \text{cm}$

$b = 3\pi \, \text{cm} \approx 9{,}42 \, \text{cm}$

Antwort: Der Kreisbogen ist etwa $9{,}42 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Fläche eines Tortenstücks

Aufgabe: Eine runde Torte hat einen Durchmesser von $d = 24 \, \text{cm}$. Sie wird in 12 gleiche Stücke geschnitten. Wie gross ist die Fläche eines Stücks?

Lösung:

Zuerst berechnen wir den Radius: $r = \frac{d}{2} = \frac{24 \, \text{cm}}{2} = 12 \, \text{cm}$

Bei 12 Stücken hat jedes Stück einen Winkel von: $\alpha = \frac{360°}{12} = 30°$

Nun setzen wir in die Formel ein: $A_{\text{Sektor}} = \frac{30°}{360°} \cdot \pi \cdot (12 \, \text{cm})^2$

$A_{\text{Sektor}} = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot 144 \, \text{cm}^2$

$A_{\text{Sektor}} = 12\pi \, \text{cm}^2 \approx 37{,}70 \, \text{cm}^2$

Antwort: Jedes Tortenstück hat eine Fläche von etwa $37{,}70 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 3: Vom Bogen zur Fläche

Aufgabe: Ein Kreissektor hat einen Radius von $r = 10 \, \text{cm}$ und eine Bogenlänge von $b = 15 \, \text{cm}$. Berechne den Flächeninhalt des Sektors.

Lösung:

Hier nutzen wir die Formel, die Bogenlänge und Fläche direkt verknüpft: $A_{\text{Sektor}} = \frac{b \cdot r}{2}$

$A_{\text{Sektor}} = \frac{15 \, \text{cm} \cdot 10 \, \text{cm}}{2}$

$A_{\text{Sektor}} = \frac{150 \, \text{cm}^2}{2}$

$A_{\text{Sektor}} = 75 \, \text{cm}^2$

Antwort: Der Kreissektor hat eine Fläche von $75 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 4: Winkel aus Bogenlänge berechnen

Aufgabe: Ein Kreisbogen hat die Länge $b = 8\pi \, \text{cm}$. Der Radius beträgt $r = 12 \, \text{cm}$. Welchen Mittelpunktswinkel schliesst der Bogen ein?

Lösung:

Wir stellen die Bogenformel nach $\alpha$ um: $b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$

$\alpha = \frac{b \cdot 360°}{2 \cdot \pi \cdot r}$

Nun setzen wir ein: $\alpha = \frac{8\pi \, \text{cm} \cdot 360°}{2 \cdot \pi \cdot 12 \, \text{cm}}$

$\alpha = \frac{8\pi \cdot 360°}{24\pi}$

$\alpha = \frac{8 \cdot 360°}{24}$

$\alpha = \frac{2880°}{24} = 120°$

Antwort: Der Mittelpunktswinkel beträgt $120°$.

Beispiel 5: Anwendung im Alltag – Scheibenwischer

Aufgabe: Ein Scheibenwischer hat eine Länge von $45 \, \text{cm}$ und überstreicht einen Winkel von $110°$. Wie gross ist die überstrichene Fläche?

Lösung:

Der Scheibenwischer beschreibt einen Kreissektor mit $r = 45 \, \text{cm}$ und $\alpha = 110°$.

$A_{\text{Sektor}} = \frac{110°}{360°} \cdot \pi \cdot (45 \, \text{cm})^2$

$A_{\text{Sektor}} = \frac{110}{360} \cdot \pi \cdot 2025 \, \text{cm}^2$

$A_{\text{Sektor}} = \frac{11}{36} \cdot 2025\pi \, \text{cm}^2$

$A_{\text{Sektor}} = \frac{22275\pi}{36} \, \text{cm}^2$

$A_{\text{Sektor}} \approx 1944{,}4 \, \text{cm}^2$

Antwort: Der Scheibenwischer überstreicht eine Fläche von etwa $1944 \, \text{cm}^2$ oder rund $0{,}19 \, \text{m}^2$.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Kreisbogen ist ein Teil der Kreislinie. Seine Länge berechnest du mit $b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi r$.
• Der Kreissektor ist die Fläche zwischen zwei Radien und einem Kreisbogen. Sein Flächeninhalt beträgt $A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$.
• Der Faktor $\frac{\alpha}{360°}$ gibt an, welcher Bruchteil des Vollkreises betrachtet wird.
• Bogenlänge und Sektorfläche hängen über $A = \frac{b \cdot r}{2}$ zusammen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Kreis hat einen Radius von $r = 8 \, \text{cm}$. Wie lang ist der Kreisbogen bei einem Winkel von $45°$?

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Wir setzen in die Formel ein: $b = \frac{45°}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 8 \, \text{cm} = \frac{1}{8} \cdot 16\pi \, \text{cm} = 2\pi \, \text{cm} \approx 6{,}28 \, \text{cm}$

❓ Frage: Ein Kreissektor hat einen Radius von $5 \, \text{cm}$ und einen Winkel von $72°$. Wie gross ist seine Fläche?

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$A = \frac{72°}{360°} \cdot \pi \cdot (5 \, \text{cm})^2 = \frac{1}{5} \cdot 25\pi \, \text{cm}^2 = 5\pi \, \text{cm}^2 \approx 15{,}71 \, \text{cm}^2$

❓ Frage: Ein Kreissektor hat eine Fläche von $50 \, \text{cm}^2$ und einen Radius von $10 \, \text{cm}$. Wie lang ist der zugehörige Kreisbogen?

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Wir nutzen die Formel $A = \frac{b \cdot r}{2}$ und stellen nach $b$ um: $b = \frac{2 \cdot A}{r} = \frac{2 \cdot 50 \, \text{cm}^2}{10 \, \text{cm}} = \frac{100 \, \text{cm}^2}{10 \, \text{cm}} = 10 \, \text{cm}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst nun die Berechnung von Kreisbogen und Kreissektor. Als nächstes erweiterst du dieses Wissen auf das Kreissegment. Das Kreissegment ist die Fläche zwischen einem Kreisbogen und der zugehörigen Sehne – sozusagen das „abgeschnittene” Stück. Ausserdem wirst du diese Konzepte bald auf Körper anwenden. Bei Kegeln und Kugeln spielen Sektoren eine wichtige Rolle für die Berechnung von Mantelflächen und Oberflächen.