Kombinatorik: Ziehen mit und ohne Zurücklegen einfach erklärt

Stell dir vor, du stehst vor einer Schüssel mit bunten Gummibärchen. Du greifst hinein und ziehst ein rotes heraus. Jetzt kommt die entscheidende Frage: Legst du das rote Gummibärchen zurück in die Schüssel, bevor du nochmal ziehst – oder behältst du es in der Hand? Diese simple Entscheidung verändert alles. Im ersten Fall hast du bei jedem Griff die gleichen Chancen. Im zweiten Fall werden die Möglichkeiten mit jeder Ziehung weniger. Genau dieses Prinzip steckt hinter einem der wichtigsten Konzepte der Kombinatorik: dem Ziehen mit und ohne Zurücklegen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Anzahl möglicher Ergebnisse in beiden Fällen berechnest – und warum das für Wahrscheinlichkeiten so entscheidend ist.

Vom Gummibärchen zur Mathematik

Bleiben wir beim Beispiel mit den Gummibärchen. In der Schüssel liegen 5 verschiedenfarbige Gummibärchen: rot, gelb, grün, orange und weiss. Du sollst nacheinander 2 Gummibärchen ziehen.

Szenario A – Mit Zurücklegen: Du ziehst ein Gummibärchen, merkst dir die Farbe und legst es zurück. Dann ziehst du nochmal. Bei der ersten Ziehung hast du 5 Möglichkeiten. Da du das Gummibärchen zurücklegst, hast du bei der zweiten Ziehung wieder 5 Möglichkeiten. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse ist $5 \cdot 5 = 25$.

Szenario B – Ohne Zurücklegen: Du ziehst ein Gummibärchen und behältst es. Dann ziehst du ein zweites. Bei der ersten Ziehung hast du 5 Möglichkeiten. Da das erste Gummibärchen nicht mehr in der Schüssel ist, hast du bei der zweiten Ziehung nur noch 4 Möglichkeiten. Die Gesamtzahl ist $5 \cdot 4 = 20$.

Der Unterschied von 25 zu 20 mag klein erscheinen. Aber stell dir vor, du hast 100 Objekte und ziehst 10 davon. Dann werden die Unterschiede riesig.

Die Systematik: Geordnet oder ungeordnet?

Bevor wir zu den Formeln kommen, müssen wir noch eine zweite Frage klären: Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

Geordnete Stichprobe (Variation): Die Reihenfolge ist wichtig. “Rot, dann gelb” ist ein anderes Ergebnis als “gelb, dann rot”. Das ist wie bei einem Zahlenschloss: Die Kombination 1-2-3 ist nicht dasselbe wie 3-2-1.

Ungeordnete Stichprobe (Kombination): Die Reihenfolge ist egal. Es zählt nur, welche Objekte gezogen wurden, nicht in welcher Reihenfolge. Das ist wie beim Lotto: Ob du zuerst die 7 und dann die 12 ziehst oder umgekehrt – am Ende hast du einfach die Zahlen 7 und 12.

Wir haben also vier mögliche Situationen:

1. Mit Zurücklegen, geordnet
2. Mit Zurücklegen, ungeordnet
3. Ohne Zurücklegen, geordnet
4. Ohne Zurücklegen, ungeordnet

Für jede Situation gibt es eine eigene Formel.

Die vier Grundformeln der Kombinatorik

Nehmen wir an, du hast $n$ verschiedene Objekte und ziehst davon $k$ Stück. Hier sind die Formeln für alle vier Fälle:

Fall 1: Mit Zurücklegen, geordnet (Variation mit Wiederholung)

Bei jeder der $k$ Ziehungen hast du $n$ Möglichkeiten. Da die Ziehungen unabhängig sind, multiplizierst du:

$$n^k$$

Typisches Beispiel: Ein PIN-Code mit 4 Ziffern (0-9). Du hast $n = 10$ Ziffern und wählst $k = 4$ davon aus. Jede Ziffer kann mehrfach vorkommen. Ergebnis: $10^4 = 10000$ mögliche PINs.

Fall 2: Ohne Zurücklegen, geordnet (Variation ohne Wiederholung)

Bei der ersten Ziehung hast du $n$ Möglichkeiten, bei der zweiten $n-1$, bei der dritten $n-2$, und so weiter bis zur $k$-ten Ziehung mit $n-k+1$ Möglichkeiten:

$$\frac{n!}{(n-k)!}$$

Dabei ist $n!$ die Fakultät: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Typisches Beispiel: Die ersten drei Plätze bei einem Rennen mit 8 Läufern. Für den ersten Platz gibt es 8 Möglichkeiten, für den zweiten 7, für den dritten 6. Ergebnis: $\frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ mögliche Siegerehrungen.

Fall 3: Ohne Zurücklegen, ungeordnet (Kombination ohne Wiederholung)

Das ist die berühmte Formel für den Binomialkoeffizienten, oft als “n über k” geschrieben:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

Typisches Beispiel: Aus 49 Lottozahlen werden 6 gezogen. Die Reihenfolge ist egal. Ergebnis: $\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13983816$ mögliche Kombinationen.

Fall 4: Mit Zurücklegen, ungeordnet (Kombination mit Wiederholung)

Diese Situation ist etwas seltener, aber kommt zum Beispiel vor, wenn du aus einem Süssigkeitenladen 5 Bonbons aus 3 Sorten auswählen darfst:

$$\binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}$$

Typisches Beispiel: Du wählst 5 Kugeln Eis aus 8 Sorten. Mehrfachauswahl erlaubt, Reihenfolge egal. Ergebnis: $\binom{8+5-1}{5} = \binom{12}{5} = 792$ Möglichkeiten.

DEFINITION

Bei $n$ Objekten und $k$ Ziehungen gilt:

Mit Zurücklegen, geordnet: $n^k$

Ohne Zurücklegen, geordnet: $\frac{n!}{(n-k)!}$

Ohne Zurücklegen, ungeordnet: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Mit Zurücklegen, ungeordnet: $\binom{n+k-1}{k}$

Die Fakultät $n!$ ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $n$. Per Definition gilt: $0! = 1$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Geordnet und ungeordnet verwechseln Frage dich immer: “Ist ‘erst A, dann B’ ein anderes Ergebnis als ‘erst B, dann A’?” Bei einem Passwort: ja. Bei einer Lottoziehung: nein. Im Zweifelsfall lies die Aufgabe nochmal genau.

Fehler 2: Mit und ohne Zurücklegen verwechseln Achte auf Signalwörter. “Verschiedene” oder “unterschiedliche” deutet oft auf ohne Zurücklegen hin. Wenn Wiederholungen erlaubt sind, wird das meist explizit gesagt.

Fehler 3: Fakultät falsch berechnen Denk dran: $0! = 1$, nicht 0. Das ist eine Definition, die aus mathematischen Gründen so festgelegt wurde. Ausserdem gilt: $\frac{n!}{(n-k)!}$ kürzt sich zu $n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$ – du musst also nicht die kompletten Fakultäten ausrechnen.

Fehler 4: Die falsche Formel anwenden Erstelle dir eine Checkliste: 1. Mit oder ohne Zurücklegen? 2. Reihenfolge wichtig oder nicht? Dann wähle die passende Formel.

Beispiele

Beispiel 1: Der Schliessfach-Code

Ein Schliessfach am Bahnhof hat einen 4-stelligen Code. Jede Stelle kann eine Ziffer von 0 bis 9 sein. Wie viele verschiedene Codes sind möglich?

Analyse:

• $n = 10$ (die Ziffern 0-9)
• $k = 4$ (4 Stellen)
• Mit Zurücklegen? Ja, dieselbe Ziffer darf mehrfach vorkommen.
• Geordnet? Ja, 1234 ist nicht dasselbe wie 4321.

Formel: Mit Zurücklegen, geordnet → $n^k$

Rechnung:

$$10^4 = 10000$$

Antwort: Es gibt 10000 verschiedene mögliche Codes.

Beispiel 2: Das Klassenfoto

In einer Klasse sind 12 Schülerinnen und Schüler. Für das Klassenfoto sollen sich 5 von ihnen in die erste Reihe setzen. Auf wie viele Arten kann die erste Reihe besetzt werden?

Analyse:

• $n = 12$ (Schüler)
• $k = 5$ (Plätze in der ersten Reihe)
• Mit Zurücklegen? Nein, eine Person kann nicht zwei Plätze gleichzeitig einnehmen.
• Geordnet? Ja, wer links sitzt und wer rechts, macht einen Unterschied.

Formel: Ohne Zurücklegen, geordnet → $\frac{n!}{(n-k)!}$

Rechnung:

$$\frac{12!}{(12-5)!} = \frac{12!}{7!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 95040$$

Antwort: Es gibt 95040 verschiedene Möglichkeiten, die erste Reihe zu besetzen.

Beispiel 3: Das Lottospiel

Beim Schweizer Zahlenlotto werden 6 Zahlen aus 42 gezogen. Wie viele verschiedene Tippreihen sind möglich?

Analyse:

• $n = 42$ (Zahlen zur Auswahl)
• $k = 6$ (gezogene Zahlen)
• Mit Zurücklegen? Nein, jede Zahl kann nur einmal gezogen werden.
• Geordnet? Nein, die Reihenfolge der Ziehung spielt keine Rolle.

Formel: Ohne Zurücklegen, ungeordnet → $\binom{n}{k}$

Rechnung:

$$\binom{42}{6} = \frac{42!}{6! \cdot 36!} = \frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Zähler: $42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 = 3776965920$

Nenner: $6! = 720$

$$\frac{3776965920}{720} = 5245786$$

Antwort: Es gibt 5245786 verschiedene Tippreihen. Die Wahrscheinlichkeit auf einen Sechser ist also etwa 1 zu 5,2 Millionen.

Beispiel 4: Der Früchtesalat

In der Mensa darfst du dir 4 Früchte für deinen Obstsalat aussuchen. Zur Auswahl stehen 6 verschiedene Früchte. Du darfst auch mehrmals dieselbe Frucht wählen (z.B. 4 Erdbeeren). Wie viele verschiedene Zusammenstellungen sind möglich?

Analyse:

• $n = 6$ (Fruchtsorten)
• $k = 4$ (Früchte, die du auswählst)
• Mit Zurücklegen? Ja, dieselbe Frucht darf mehrfach gewählt werden.
• Geordnet? Nein, es zählt nur, welche Früchte im Salat sind.

Formel: Mit Zurücklegen, ungeordnet → $\binom{n+k-1}{k}$

Rechnung:

$$\binom{6+4-1}{4} = \binom{9}{4} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126$$

Antwort: Du kannst deinen Früchtesalat auf 126 verschiedene Arten zusammenstellen.

Beispiel 5: Das Komitee

Ein Verein mit 20 Mitgliedern möchte ein 4-köpfiges Komitee bilden. Die Mitglieder des Komitees sind alle gleichberechtigt (keine speziellen Rollen wie Präsident etc.). Wie viele verschiedene Komitees sind möglich?

Analyse:

• $n = 20$ (Vereinsmitglieder)
• $k = 4$ (Komitee-Mitglieder)
• Mit Zurücklegen? Nein, niemand kann zweimal im Komitee sitzen.
• Geordnet? Nein, es gibt keine unterschiedlichen Positionen.

Formel: Ohne Zurücklegen, ungeordnet → $\binom{n}{k}$

Rechnung:

$$\binom{20}{4} = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{116280}{24} = 4845$$

Antwort: Es gibt 4845 verschiedene Möglichkeiten, das Komitee zusammenzustellen.

Das Wichtigste in Kürze

• Ziehen mit Zurücklegen bedeutet: Nach jeder Ziehung wird das Objekt zurückgelegt. Die Anzahl der Möglichkeiten bleibt bei jeder Ziehung gleich.
• Ziehen ohne Zurücklegen bedeutet: Gezogene Objekte bleiben draussen. Die Anzahl der Möglichkeiten nimmt mit jeder Ziehung ab.
• Geordnet (Variation): Die Reihenfolge zählt. A-B ist verschieden von B-A.
• Ungeordnet (Kombination): Nur die Auswahl zählt, nicht die Reihenfolge.
• Die wichtigste Formel ist der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ für Kombinationen ohne Wiederholung – er kommt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ständig vor.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Bei einem Fahrradschloss musst du 3 Ziffern (0-9) einstellen. Wie viele Kombinationen sind möglich?

Lösung anzeigen

Es handelt sich um Ziehen mit Zurücklegen (dieselbe Ziffer darf mehrfach vorkommen) und die Reihenfolge ist wichtig. Also: $n^k = 10^3 = 1000$ Kombinationen.

❓ Frage: Aus einer Gruppe von 8 Personen sollen 3 für ein Projekt ausgewählt werden. Alle haben die gleiche Rolle. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

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Ohne Zurücklegen (niemand kann doppelt gewählt werden) und ungeordnet (alle haben die gleiche Rolle). Also: $\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$ Möglichkeiten.

❓ Frage: Ein Passwort besteht aus 5 verschiedenen Buchstaben (aus 26). Wie viele Passwörter sind möglich?

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“Verschiedene Buchstaben” bedeutet ohne Zurücklegen. Da es ein Passwort ist, zählt die Reihenfolge (geordnet). Also: $\frac{26!}{21!} = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 7893600$ Passwörter.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Die Kombinatorik ist das Fundament für die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit dem Wissen über Ziehen mit und ohne Zurücklegen kannst du nun Wahrscheinlichkeiten für komplexere Ereignisse berechnen. Im nächsten Schritt wirst du lernen, wie du mit dem Binomialkoeffizienten die Binomialverteilung verstehst – eines der wichtigsten Werkzeuge der Stochastik. Dort berechnest du zum Beispiel, wie wahrscheinlich es ist, bei 10 Würfen genau 3 Sechsen zu würfeln. Die Formeln, die du heute gelernt hast, bilden dafür die Basis.