Ziehen mit einem Griff einfach erklärt: So meisterst du die Kombinatorik

Stell dir vor, du greifst in eine Schüssel mit bunten Gummibärchen und holst mit einem einzigen Griff drei Stück heraus. Du schaust in deine Hand: ein rotes, ein gelbes und ein grünes Gummibärchen. Dein Freund macht dasselbe und erwischt auch ein rotes, ein gelbes und ein grünes. Habt ihr beide “das Gleiche” gezogen? Na klar! Denn bei einem Griff zählt nur, welche Farben in deiner Hand liegen – nicht, in welcher Reihenfolge du sie gegriffen hast. Genau dieses Prinzip steckt hinter dem “Ziehen mit einem Griff” in der Kombinatorik. Du wirst lernen, wie du berechnest, auf wie viele verschiedene Arten du eine Auswahl treffen kannst, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Vom Gummibärchen zur Mathematik

Bleiben wir beim Gummibärchen-Beispiel. Angenommen, in der Schüssel liegen 10 verschiedenfarbige Gummibärchen, und du ziehst 3 davon mit einem Griff heraus. Die entscheidende Frage lautet: Auf wie viele verschiedene Arten kannst du 3 aus 10 Gummibärchen auswählen?

Zwei wichtige Beobachtungen helfen dir:

1. Jedes Gummibärchen ist einzigartig – du kannst nicht zweimal das rote ziehen.
2. Die Reihenfolge spielt keine Rolle – rot-gelb-grün ist dasselbe wie grün-rot-gelb.

Diese beiden Eigenschaften definieren das “Ziehen mit einem Griff” mathematisch: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge.

Der Binomialkoeffizient – Dein Werkzeug für Kombinationen

Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, brauchst du den Binomialkoeffizienten. Er wird oft als “n über k” gelesen und so geschrieben:

$\binom{n}{k}$

Dabei bedeuten:

• $n$ = die Gesamtanzahl der Objekte (alle Gummibärchen in der Schüssel)
• $k$ = die Anzahl der Objekte, die du auswählst (wie viele du mit einem Griff herausholst)

Die Schritt-für-Schritt-Anleitung

So berechnest du den Binomialkoeffizienten:

1. Identifiziere $n$ und $k$: Bestimme, aus wie vielen Objekten du auswählst ($n$) und wie viele du ziehst ($k$).

2. Wende die Formel an: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

3. Berechne die Fakultäten: Erinnere dich: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

4. Kürze und rechne aus: Oft kannst du vor dem Ausrechnen kürzen, was die Rechnung vereinfacht.

DEFINITION

Beim Ziehen mit einem Griff wählst du $k$ Objekte aus einer Menge von $n$ Objekten aus. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und jedes Objekt kann nur einmal gewählt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten berechnet sich mit dem Binomialkoeffizienten:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Man nennt diese Auswahl auch Kombination ohne Wiederholung.

Warum funktioniert diese Formel?

Stell dir vor, du würdest die 3 Gummibärchen nacheinander ziehen und auf die Reihenfolge achten. Dann hättest du $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ Möglichkeiten. Aber da dir die Reihenfolge egal ist, hast du jede Auswahl mehrfach gezählt. Wie oft? Genau $3! = 6$ mal, denn 3 Objekte können auf 6 Arten angeordnet werden.

Daher teilst du durch $3!$: $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Das ist genau das, was die Binomialkoeffizienten-Formel macht!

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verwechslung mit Variationen Viele Schüler verwechseln Kombinationen (Reihenfolge egal) mit Variationen (Reihenfolge wichtig). Frag dich immer: “Macht es einen Unterschied, in welcher Reihenfolge ich die Objekte ziehe?” Beim Lotto ist die Reihenfolge egal → Kombination. Bei einem Podiumsplatz (1., 2., 3. Platz) ist sie wichtig → Variation.

Fehler 2: Fakultät falsch berechnen Denke daran: $0! = 1$ (nicht 0!). Das ist eine wichtige Konvention, die bei $\binom{n}{n}$ oder $\binom{n}{0}$ benötigt wird.

Fehler 3: $n$ und $k$ vertauschen Achte darauf, dass $n$ immer die grössere Zahl ist (Gesamtmenge) und $k$ die kleinere (Auswahl). Es muss gelten: $k \leq n$.

Beispiele

Beispiel 1: Lottozahlen

Beim Schweizer Zahlenlotto werden 6 Zahlen aus 42 gezogen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Wie viele verschiedene Tippreihen gibt es?

Lösung:

Hier ist $n = 42$ (alle Zahlen) und $k = 6$ (gezogene Zahlen).

$\binom{42}{6} = \frac{42!}{6! \cdot 36!}$

Das kürzen wir geschickt:

$\binom{42}{6} = \frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$= \frac{3'776'965'920}{720} = 5'245'786$

Es gibt 5’245’786 verschiedene Tippreihen. Kein Wunder, dass ein Sechser so unwahrscheinlich ist!

Beispiel 2: Klassenteam auswählen

In einer Klasse mit 25 Schülern soll ein Projektteam aus 4 Personen gebildet werden. Auf wie viele Arten kann dieses Team zusammengestellt werden?

Lösung:

Hier gilt $n = 25$ und $k = 4$. Die Reihenfolge spielt keine Rolle – ein Team aus Anna, Ben, Clara und David ist dasselbe wie eines aus David, Clara, Ben und Anna.

$\binom{25}{4} = \frac{25!}{4! \cdot 21!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$= \frac{303'600}{24} = 12'650$

Es gibt 12’650 verschiedene Möglichkeiten, das Team zu bilden.

Beispiel 3: Handkarten beim Jassen

Beim Schieber (ein beliebtes Schweizer Kartenspiel) erhält jeder Spieler 9 Karten aus einem Stapel von 36 Karten. Wie viele verschiedene Startblätter sind möglich?

Lösung:

Mit $n = 36$ und $k = 9$ rechnen wir:

$\binom{36}{9} = \frac{36!}{9! \cdot 27!}$

$= \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Der Zähler ergibt: $36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 = 30'060'784'550'400$

Der Nenner ergibt: $9! = 362'880$

$\binom{36}{9} = \frac{30'060'784'550'400}{362'880} = 82'851'720$

Es gibt über 82 Millionen verschiedene Startblätter – jedes Spiel ist praktisch einzigartig!

Beispiel 4: Eiscreme-Auswahl

In einer Gelateria gibt es 12 verschiedene Eissorten. Du darfst 3 Kugeln wählen, aber jede Sorte nur einmal. Wie viele verschiedene Kombinationen sind möglich?

Lösung:

Da du jede Sorte nur einmal nehmen kannst und die Reihenfolge der Kugeln egal ist, handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung.

Mit $n = 12$ und $k = 3$:

$\binom{12}{3} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

$= \frac{1'320}{6} = 220$

Du hast 220 verschiedene Möglichkeiten, dein Eis zusammenzustellen.

Nützliche Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient hat einige praktische Eigenschaften, die dir das Rechnen erleichtern:

Symmetrie: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Das bedeutet: 3 aus 10 auszuwählen ist genauso viel wie 7 aus 10 “nicht auszuwählen”. Praktisch, wenn $k$ sehr gross ist!

Randfälle: $\binom{n}{0} = 1 \quad \text{und} \quad \binom{n}{n} = 1$

Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen (nämlich die leere Auswahl) und genau eine Möglichkeit, alles auszuwählen.

Pascalsches Dreieck: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$

Diese Beziehung erklärt, warum die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck auftauchen.

Wann verwendest du welche Formel?

In der Kombinatorik gibt es verschiedene Ziehungsarten. Hier eine Übersicht, um sie zu unterscheiden:

Situation	Reihenfolge	Zurücklegen	Formel
Variation mit Wiederholung	wichtig	ja	$n^k$
Variation ohne Wiederholung	wichtig	nein	$\frac{n!}{(n-k)!}$
Kombination mit Wiederholung	egal	ja	$\binom{n+k-1}{k}$
Kombination ohne Wiederholung (Ziehen mit einem Griff)	egal	nein	$\binom{n}{k}$

Deine Entscheidungsfragen sind also:

1. Wird jedes Objekt nach dem Ziehen zurückgelegt?
2. Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

Das Wichtigste in Kürze

• Beim Ziehen mit einem Griff wählst du mehrere Objekte gleichzeitig aus, ohne sie zurückzulegen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
• Die Anzahl der Möglichkeiten berechnest du mit dem Binomialkoeffizienten: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
• Der Binomialkoeffizient beantwortet die Frage: “Auf wie viele Arten kann ich $k$ Objekte aus $n$ Objekten auswählen?”
• Nutze die Symmetrie-Eigenschaft $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, um Rechnungen zu vereinfachen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

In einem Bücherregal stehen 15 verschiedene Romane. Du möchtest 4 davon für die Ferien auswählen. Wie viele Möglichkeiten hast du?

Lösung anzeigen

Es handelt sich um eine Kombination ohne Wiederholung mit $n = 15$ und $k = 4$.

$\binom{15}{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{32'760}{24} = 1'365$

Du hast 1’365 Möglichkeiten, deine Ferienlektüre zusammenzustellen.

❓ Frage:

Warum gilt $\binom{8}{3} = \binom{8}{5}$? Erkläre in eigenen Worten.

Lösung anzeigen

Wenn du aus 8 Objekten 3 auswählst, lässt du automatisch 5 übrig. Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 auszuwählen, ist also gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 5 “nicht auszuwählen” (also die anderen 5 zu bestimmen). Das ist die Symmetrie-Eigenschaft des Binomialkoeffizienten.

Rechnerisch: $\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56$ und $\binom{8}{5} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = 56$

❓ Frage:

Bei einem Wettbewerb sollen aus 20 Teilnehmern die 3 Gewinner (Gold, Silber, Bronze) bestimmt werden. Ist dies eine Situation für “Ziehen mit einem Griff”? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein, dies ist keine Situation für “Ziehen mit einem Griff”. Bei Gold, Silber und Bronze spielt die Reihenfolge eine Rolle – der Erstplatzierte bekommt Gold, nicht der Drittplatzierte.

Hier brauchst du eine Variation ohne Wiederholung: $\frac{20!}{(20-3)!} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6'840$

Es gibt 6’840 verschiedene Podiumsbesetzungen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Kombination ohne Wiederholung gemeistert – eines der wichtigsten Werkzeuge der Kombinatorik. Im nächsten Schritt wirst du die Kombination mit Wiederholung kennenlernen. Dabei darfst du dasselbe Objekt mehrfach auswählen, wie zum Beispiel wenn du an einem Automaten 5 Getränke kaufst und dieselbe Sorte mehrfach wählen kannst. Die Formel dafür sieht etwas anders aus, baut aber auf dem Binomialkoeffizienten auf.

Ausserdem werden Binomialkoeffizienten später in der Wahrscheinlichkeitsrechnung unverzichtbar sein, etwa bei der Binomialverteilung. Dort berechnest du, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis bei mehreren Versuchen genau $k$-mal eintritt. Die Grundlagen, die du hier gelernt hast, werden dir dabei sehr helfen.