Steigung einer Kurve berechnen: So verstehst du Funktionsuntersuchungen

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Hügel hinauf. Am Anfang ist der Weg noch flach, dann wird er immer steiler, bis du oben angekommen bist und es auf der anderen Seite wieder bergab geht. Dein Körper spürt in jedem Moment, wie steil der Weg gerade ist – mal mehr, mal weniger. Genau dieses Gefühl für “Steilheit” können wir mathematisch erfassen. Die Steigung einer Kurve beschreibt, wie stark sich ein Graph in einem bestimmten Punkt nach oben oder unten neigt. Dieses Konzept ist der Schlüssel, um das Verhalten von Funktionen wirklich zu verstehen.

Von der Bergstrasse zur Kurvensteigung

Bei einer geraden Strasse ist die Sache einfach: Die Steigung bleibt überall gleich. Du rechnest, wie viele Meter du nach oben kommst, wenn du einen Meter vorwärts gehst. Bei einer gewundenen Bergstrasse ist das anders. In jeder Kurve, an jeder Stelle ändert sich die Steilheit.

Genau so verhält es sich bei gekrümmten Funktionsgraphen. Bei einer linearen Funktion wie $f(x) = 2x + 3$ ist die Steigung konstant – sie beträgt immer $2$. Aber was ist bei einer Parabel wie $f(x) = x^2$? Hier ist der Graph links fallend, in der Mitte flach und rechts steigend. Die Steigung wechselt ständig.

Die zentrale Frage lautet: Wie bestimmen wir die Steigung einer Kurve an einem ganz bestimmten Punkt?

Das Sekantenverfahren: Annäherung an die Wahrheit

Um die Steigung einer Kurve in einem Punkt zu verstehen, beginnen wir mit etwas, das wir bereits kennen: der Steigung einer Geraden.

Nimm zwei Punkte auf dem Graphen einer Funktion. Die Gerade, die diese beiden Punkte verbindet, heisst Sekante. Die Steigung dieser Sekante können wir leicht berechnen:

$$m_{\text{Sekante}} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$

Das ist das klassische “Steigungsdreieck”: Höhenunterschied geteilt durch horizontale Distanz.

Aber diese Sekantensteigung gibt uns nur eine durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten. Sie sagt uns nicht, wie steil die Kurve genau an einem bestimmten Punkt ist.

Der Trick: Wir lassen den zweiten Punkt immer näher an den ersten heranrücken. Je näher die beiden Punkte beieinanderliegen, desto besser nähert sich die Sekantensteigung der tatsächlichen Kurvensteigung an.

Der Differenzenquotient: Das mathematische Werkzeug

Um diesen Annäherungsprozess mathematisch zu beschreiben, führen wir den Differenzenquotienten ein. Er ist die Formel für die Sekantensteigung, geschrieben in einer besonderen Form.

Wir betrachten einen Punkt $x$ und einen zweiten Punkt, der um die kleine Strecke $h$ davon entfernt liegt, also bei $x + h$.

Die Steigung der Sekante zwischen diesen beiden Punkten ist:

$$m_{\text{Sekante}} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Dieser Ausdruck heisst Differenzenquotient. Er gibt an, um wie viel sich der Funktionswert ändert, wenn wir $x$ um $h$ vergrössern.

DEFINITION

Der Differenzenquotient einer Funktion $f$ an der Stelle $x$ mit der Schrittweite $h$ lautet:

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Er beschreibt die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion im Intervall von $x$ bis $x + h$. Je kleiner $h$ wird, desto genauer nähert sich der Differenzenquotient der momentanen Steigung der Kurve an.

Von der Sekante zur Tangente: Der Grenzwert

Was passiert, wenn wir $h$ immer kleiner machen? Die Sekante dreht sich langsam und nähert sich einer besonderen Geraden an: der Tangente.

Die Tangente berührt die Kurve in genau einem Punkt und gibt dort die exakte Richtung der Kurve an. Ihre Steigung ist die gesuchte Kurvensteigung.

Mathematisch drücken wir das so aus: Wir bilden den Grenzwert des Differenzenquotienten für $h \to 0$:

$$m_{\text{Tangente}} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Dieser Grenzwert – sofern er existiert – heisst Ableitung der Funktion an der Stelle $x$. Er wird als $f'(x)$ geschrieben.

DEFINITION

Die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x$ ist definiert als:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Sie gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(x, f(x))$ an. Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion.

Schritt-für-Schritt: Die Ableitung berechnen

Um die Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle zu finden, gehst du folgendermassen vor:

1. Differenzenquotienten aufstellen: Berechne $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ für die gegebene Funktion.

2. Ausdruck vereinfachen: Forme den Bruch so um, dass du $h$ im Nenner kürzen kannst.

3. Grenzwert bilden: Setze gedanklich $h = 0$ ein (nachdem $h$ gekürzt wurde).

4. Ergebnis interpretieren: Die resultierende Formel oder Zahl ist die Steigung der Kurve.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Das $h$ im Nenner vergessen auszuklammern Viele Schüler setzen $h = 0$ ein, bevor sie den Bruch vereinfacht haben. Das führt zu einer Division durch Null. Du musst zuerst $h$ aus dem Zähler ausklammern und kürzen, erst dann darfst du $h \to 0$ betrachten.

Fehler 2: Vorzeichen beim Ausmultiplizieren vertauschen Bei $f(x + h)$ musst du besonders aufpassen: $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$, nicht $x^2 + h^2$. Vergiss die gemischten Terme nicht.

Fehler 3: Die Bedeutung der Ableitung verwechseln Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung an, nicht den Funktionswert. Wenn du $f'(2) = 4$ berechnest, bedeutet das: Die Kurve hat im Punkt mit $x = 2$ die Steigung $4$. Der Funktionswert $f(2)$ kann etwas ganz anderes sein.

Beispiele

Beispiel 1: Steigung einer linearen Funktion

Gegeben ist $f(x) = 3x + 2$. Bestimme die Ableitung.

Schritt 1: Differenzenquotienten aufstellen.

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\left(3(x + h) + 2\right) - (3x + 2)}{h}$$

Schritt 2: Vereinfachen.

$$= \frac{3x + 3h + 2 - 3x - 2}{h} = \frac{3h}{h} = 3$$

Schritt 3: Grenzwert bilden.

Da $h$ bereits weggekürzt ist, erhalten wir direkt:

$$f'(x) = 3$$

Interpretation: Die Steigung ist überall konstant $3$. Das entspricht der Steigung $m$ in der Geradengleichung $y = mx + q$.

Beispiel 2: Steigung einer quadratischen Funktion

Gegeben ist $f(x) = x^2$. Bestimme die Ableitungsfunktion $f'(x)$.

Schritt 1: Differenzenquotienten aufstellen.

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$$

Schritt 2: Binomische Formel anwenden und vereinfachen.

$$= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h}$$

Schritt 3: $h$ ausklammern und kürzen.

$$= \frac{h \cdot (2x + h)}{h} = 2x + h$$

Schritt 4: Grenzwert für $h \to 0$ bilden.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$

Interpretation: Die Steigung der Parabel hängt von der Stelle $x$ ab. Bei $x = 0$ ist die Steigung $0$ (Scheitelpunkt). Bei $x = 3$ ist die Steigung $6$. Bei $x = -2$ ist die Steigung $-4$ (fallend).

Beispiel 3: Steigung an einem konkreten Punkt

Gegeben ist $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Berechne die Steigung der Kurve im Punkt $P(3, 0)$.

Schritt 1: Wir berechnen zuerst die allgemeine Ableitung.

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\left((x + h)^2 - 4(x + h) + 3\right) - (x^2 - 4x + 3)}{h}$$

Schritt 2: Ausmultiplizieren.

$$= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 3 - x^2 + 4x - 3}{h}$$

Schritt 3: Zusammenfassen.

$$= \frac{2xh + h^2 - 4h}{h} = \frac{h \cdot (2x + h - 4)}{h} = 2x + h - 4$$

Schritt 4: Grenzwert bilden.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 4) = 2x - 4$$

Schritt 5: Konkreten Wert einsetzen.

$$f'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$$

Interpretation: Im Punkt $P(3, 0)$ hat die Kurve die Steigung $2$. Die Tangente in diesem Punkt steigt also mit einem Winkel von etwa $63°$ an.

Beispiel 4: Wo ist die Steigung gleich Null?

Für welchen $x$-Wert hat die Funktion $f(x) = x^2 - 6x + 5$ die Steigung $0$?

Schritt 1: Wir benötigen die Ableitungsfunktion. Diese berechnen wir analog zu Beispiel 2.

Für $f(x) = x^2 - 6x + 5$ ergibt sich:

$$f'(x) = 2x - 6$$

Schritt 2: Setze $f'(x) = 0$ und löse nach $x$ auf.

$$2x - 6 = 0$$$$2x = 6$$$$x = 3$$

Schritt 3: Berechne den zugehörigen Funktionswert.

$$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$$

Interpretation: Im Punkt $(3, -4)$ ist die Steigung gleich Null. Die Kurve hat dort eine waagerechte Tangente. Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist dieser Punkt der Tiefpunkt (Scheitelpunkt) der Funktion.

Was die Steigung über eine Funktion verrät

Die Steigung einer Kurve ist viel mehr als nur eine Zahl. Sie verrät dir, wie sich die Funktion verhält:

Positive Steigung ($f'(x) > 0$): Die Funktion steigt in diesem Bereich. Der Graph geht nach rechts oben.

Negative Steigung ($f'(x) < 0$): Die Funktion fällt in diesem Bereich. Der Graph geht nach rechts unten.

Steigung gleich Null ($f'(x) = 0$): Die Funktion hat an dieser Stelle einen waagerechten Verlauf. Hier können Hoch- oder Tiefpunkte liegen.

Grosse Steigung (Betrag von $f'(x)$ ist gross): Die Kurve verläuft steil.

Kleine Steigung (Betrag von $f'(x)$ nahe bei Null): Die Kurve verläuft flach.

Mit diesem Wissen kannst du den Verlauf einer Funktion analysieren, ohne den Graphen zeichnen zu müssen.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Steigung einer Kurve in einem Punkt ist die Steigung der Tangente an diesem Punkt.

• Der Differenzenquotient $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ gibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten an.

• Die Ableitung $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten und liefert die momentane Steigung.

• An Stellen mit $f'(x) = 0$ hat die Kurve waagerechte Tangenten – dort können Extrempunkte liegen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was beschreibt die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion geometrisch?

Lösung anzeigen

Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(x, f(x))$ an. Sie beschreibt, wie steil die Kurve an dieser Stelle verläuft.

❓ Frage: Berechne die Ableitung von $f(x) = 2x^2$ an der Stelle $x = 4$.

Lösung anzeigen

Die Ableitungsfunktion ist $f'(x) = 4x$ (nach der bekannten Regel, dass sich der Vorfaktor verdoppelt). Einsetzen ergibt: $f'(4) = 4 \cdot 4 = 16$. Die Steigung der Kurve im Punkt mit $x = 4$ beträgt also $16$.

❓ Frage: Eine Funktion hat an der Stelle $x = 2$ die Ableitung $f'(2) = -3$. Was bedeutet das für den Graphen?

Lösung anzeigen

Der Graph fällt an der Stelle $x = 2$. Die Tangente hat dort eine negative Steigung von $-3$. Konkret bedeutet das: Wenn man auf dem Graphen einen Schritt nach rechts geht, sinkt der Funktionswert um etwa $3$ Einheiten.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast gelernt, wie du die Steigung einer Kurve mit dem Differenzenquotienten und dem Grenzwertbegriff berechnen kannst. Dieser Prozess ist allerdings oft aufwendig.

Im nächsten Schritt wirst du Ableitungsregeln kennenlernen. Mit der Potenzregel, der Summenregel und weiteren Regeln kannst du Ableitungen viel schneller berechnen – ohne jedes Mal den Grenzwert bilden zu müssen. Für $f(x) = x^n$ gilt beispielsweise direkt $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.

Danach folgen die Extremwertaufgaben: Mit Hilfe der Ableitung findest du Hoch- und Tiefpunkte von Funktionen und kannst damit Optimierungsprobleme aus der Praxis lösen – etwa die Frage, welche Abmessungen eine Verpackung haben muss, damit sie bei gegebenem Materialverbrauch das grösste Volumen hat.